Kvadratinė funkcija: parabolė, viršūnė, nuliai ir poslinkiai

Kvadratinė funkcija: apibrėžimas ir pagrindinės sąvokos

Kvadratine vadinama funkcija $y = ax^2 + bx + c$, kurioje $a$, $b$ ir $c$ yra skaičiai ir $a \neq 0$. Skaičiai $a$, $b$ ir $c$ vadinami koeficientais, o $c$ dar vadinamas laisvuoju nariu. Jei $a = 0$, lieka $y = bx + c$ – tai jau tiesinė funkcija, kurios grafikas yra tiesė, o ne parabolė. Todėl sąlyga $a \neq 0$ yra apibrėžimo dalis.

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė – simetriška kreivė, kurios šakos eina aukštyn arba žemyn. Žemiausias arba aukščiausias parabolės taškas vadinamas viršūne, o vertikali tiesė per viršūnę – simetrijos ašimi: abipus jos parabolė atrodo kaip veidrodinis atspindys. Viršūnės koordinates šiame puslapyje žymime $(x_0; y_0)$: $x_0$ vadinama viršūnės abscise, o $y_0$ – viršūnės ordinate.

Kiekvienas koeficientas kai ką pasako apie grafiką. Koeficiento $a$ ženklas nusako šakų kryptį: kai $a > 0$, šakos eina aukštyn, kai $a < 0$ – žemyn. Kuo didesnis $a$ modulis $|a|$, tuo parabolė siauresnė. Laisvasis narys $c$ parodo, kur parabolė kerta ordinačių ašį $Oy$ (vertikalią $y$ ašį): taške $(0; c)$, nes įstačius $x = 0$ lieka tik $c$.

Funkcijos nuliai – tai $x$ reikšmės, su kuriomis $y = 0$. Grafike tai taškai, kuriuose parabolė kerta abscisių ašį $Ox$ arba ją liečia. Nuliai randami sprendžiant lygtį $ax^2 + bx + c = 0$, todėl prieš šią temą verta mokėti kvadratines lygtis. Funkcijos nuliai ir lygties sprendiniai yra tie patys skaičiai: skiriasi tik tai, ar į juos žiūri kaip į taškus grafike, ar kaip į lygties sprendinius.

Kvadratine funkcija aprašoma daug realių situacijų: mesto kamuolio skrydis, stačiakampio plotas, kai jo perimetras ribotas, pajamos, kurios priklauso nuo kainos. Kai situacija aprašyta kvadratine funkcija, klausimas „kada didžiausia?“ ar „kada mažiausia?“ virsta viršūnės paieška. Vyresnėse klasėse tos pačios savybės praverčia tiriant funkcijas su išvestinėmis.

• Tiesinė funkcija Kas lieka, kai a lygus nuliui: tiesė y = kx + b.
• Funkcijos Bendros sąvokos: argumentas, reikšmė, apibrėžimo ir reikšmių sritis.

Kvadratinės funkcijos formulė: trys pavidalai ir viršūnė

Tą pačią kvadratinę funkciją galima užrašyti trimis pavidalais. Bendrasis pavidalas $y = ax^2 + bx + c$ iš karto parodo, kur parabolė kerta ašį $Oy$. Viršūnės pavidalas $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ parodo viršūnę. Pavidalas per nulius $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ parodo funkcijos nulius $x_1$ ir $x_2$. Juo galima užrašyti tik tą funkciją, kuri turi nulių, t. y. kai diskriminantas $D = b^2 - 4ac$ neneigiamas ($D \geq 0$). Visuose trijuose pavidaluose koeficientas $a$ tas pats.

• Kodėl viršūnės abscisė lygi $-\frac{b}{2a}$? Parabolė kerta tiesę $y = c$ ten, kur $ax^2 + bx + c = c$. Atėmę $c$ iš abiejų pusių, gauname $ax^2 + bx = 0$, t. y. $x(ax + b) = 0$. Tai taškai $x = 0$ ir $x = -\frac{b}{a}$. Dėl simetrijos viršūnė yra tiksliai per vidurį tarp jų: $$x_0 = \frac{0 + \left(-\frac{b}{a}\right)}{2} = -\frac{b}{2a}$$ Pavyzdžiui, $y = x^2 - 6x + 5$ kerta tiesę $y = 5$ taškuose $x = 0$ ir $x = 6$, todėl $x_0 = 3$. Kai $b = 0$, abu taškai sutampa, o viršūnė yra $x_0 = 0$ – formulė tinka ir tada.
• Kodėl viršūnės pavidale viršūnė matoma iš karto? Funkcijoje $y = 3(x - 1)^2 + 4$ reiškinys $(x - 1)^2$ niekada nebūna neigiamas, o lygus nuliui tik tada, kai $x = 1$. Kadangi $a = 3 > 0$, mažiausią reikšmę funkcija įgyja būtent su $x = 1$, ir ji lygi $4$. Taigi viršūnė yra $(1; 4)$.
• Iš bendrojo pavidalo į viršūnės pavidalą pereinama dviem žingsniais: randi $x_0$ ir $y_0$, o tada užrašai $a(x - x_0)^2 + y_0$ su tuo pačiu $a$. Pavyzdžiui, funkcijai $y = x^2 - 6x + 5$ gauni $x_0 = 3$ ir $y_0 = 9 - 18 + 5 = -4$, todėl $y = (x - 3)^2 - 4$. Pasitikrink atskliausdamas pagal greitosios daugybos formulę: $(x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5$.
• Pavidalas per nulius gaunamas išskaidžius kvadratinį trinarį $ax^2 + bx + c$ dauginamaisiais. Iš jo viršūnę rasti ypač lengva: funkcijos $y = 2(x + 1)(x - 5)$ nuliai yra $-1$ ir $5$, todėl $x_0 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$. Įstatę $x = 2$ į abu skliaustus, gauname $y_0 = 2 \cdot (2 + 1) \cdot (2 - 5) = 2 \cdot 3 \cdot (-3) = -18$.

Kvadratinės funkcijos grafikas žingsnis po žingsnio

Kvadratinės funkcijos grafiko nereikia braižyti taškas po taško. Užtenka kelių skaičių, kuriuos randi iš formulės, ir parabolės eskizas jau aiškus. Kad nieko nepraleistum, laikykis tos pačios tvarkos.

• Pažiūrėk į $a$ ženklą: kai $a > 0$, šakos eina aukštyn, kai $a < 0$ – žemyn.
• Rask viršūnę $(x_0; y_0)$ ir nubrėžk simetrijos ašį $x = x_0$ punktyru.
• Pažymėk sankirtą su ašimi $Oy$ – tašką $(0; c)$ – ir jam simetrišką tašką $(2x_0; c)$. Taškai $x = 0$ ir $x = 2x_0$ yra vienodu atstumu nuo simetrijos ašies, todėl funkcijos reikšmės juose sutampa: vienu skaičiavimu gauni du grafiko taškus.
• Jei $D \geq 0$, rask nulius ir pažymėk juos ašyje $Ox$. Jei $D < 0$, parabolė su ašimi $Ox$ bendrų taškų neturi.
• Jei taškų vis dar per mažai, apskaičiuok funkcijos reikšmę dar su viena $x$ reikšme ir atspindėk gautą tašką per simetrijos ašį.
• Sujunk taškus glotnia kreive. Viršūnėje parabolė neturi kampo: ji ten apvali, o ne smaili.

Parabolės padėtis: ką rodo koeficientas a ir diskriminantas

Parabolės padėtį koordinačių plokštumoje lemia du skaičiai: koeficientas $a$ ir diskriminantas $D = b^2 - 4ac$. Koeficientas $a$ nusako, ar šakos eina aukštyn, ar žemyn. Diskriminantas nusako, kiek bendrų taškų parabolė turi su ašimi $Ox$.

Kai $D > 0$, parabolė kerta ašį $Ox$ dviejuose taškuose. Kai $D = 0$, ji tik liečia ašį: viršūnė yra ant ašies, o funkcija turi vieną nulį $x_0$. Kai $D < 0$, parabolė su ašimi bendrų taškų neturi: kai $a > 0$, visas grafikas yra virš ašies, o kai $a < 0$ – po ja. Brėžinyje matyti visi šeši atvejai.

Iš šių atvejų daug ką galima pasakyti nesprendžiant lygties. Pavyzdžiui, funkcijos $y = -x^2 + 4x - 7$ koeficientas $a = -1 < 0$, o $D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 16 - 28 = -12 < 0$. Vadinasi, visas jos grafikas yra po ašimi $Ox$: su visomis $x$ reikšmėmis funkcijos reikšmės neigiamos.

Kvadratinės funkcijos savybės: reikšmių sritis, didėjimas ir ženklai

Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai, nes į formulę $ax^2 + bx + c$ galima įstatyti bet kokį $x$. Kitos savybės priklauso nuo viršūnės ir šakų krypties.

Reikšmių sritis. Kai $a > 0$, mažiausia funkcijos reikšmė yra $y_0$, o didžiausios nėra, todėl reikšmių sritis yra $[y_0; +\infty)$. Kai $a < 0$, didžiausia reikšmė yra $y_0$, o reikšmių sritis – $(-\infty; y_0]$. Prie $y_0$ rašomas laužtinis skliaustas, nes šią reikšmę funkcija įgyja viršūnėje.

Didėjimas ir mažėjimas. Viršūnė dalija grafiką į dvi šakas. Kai $a > 0$, funkcija mažėja intervale $(-\infty; x_0]$ ir didėja intervale $[x_0; +\infty)$. Kai $a < 0$, yra atvirkščiai: iki viršūnės funkcija didėja, po jos mažėja. Atkreipk dėmesį: šie intervalai nurodomi $x$ reikšmėmis, o reikšmių sritis – $y$ reikšmėmis.

Ženklų intervalai. Kai $D > 0$, nuliai $x_1 < x_2$ dalija skaičių tiesę į tris intervalus. Kai $a > 0$, funkcija neigiama tarp nulių ir teigiama už jų. Kai $a < 0$, ji teigiama tarp nulių ir neigiama už jų. Kai $D < 0$, funkcija visur teigiama, jei $a > 0$, ir visur neigiama, jei $a < 0$. Kai $D = 0$, yra taip pat, tik vieninteliame nulyje $x_0$ funkcija lygi nuliui. Taip grafiškai sprendžiamos kvadratinės nelygybės, kurias plačiau nagrinėsi 10 klasėje.

• Kvadratinės nelygybės Grafinis ir intervalų metodas, kai reikia rasti, kur funkcija teigiama ar neigiama.

Kvadratinės funkcijos transformacijos: parabolės poslinkiai

Bet kurios kvadratinės funkcijos grafiką galima gauti iš paprasčiausios parabolės $y = x^2$, kurios viršūnė yra koordinačių pradžioje. Tam funkcija užrašoma viršūnės pavidalu $y = a(x - m)^2 + n$; čia $m = x_0$ ir $n = y_0$. Kiekvienas iš trijų skaičių grafiką keičia savaip.

Kodėl $(x - m)^2$ slenka grafiką į dešinę, nors parašytas minusas? Pavyzdžiui, funkcija $y = (x - 3)^2$ lygi nuliui, kai $x = 3$, o funkcija $y = x^2$ – kai $x = 0$. Viršūnė iš taško $0$ persikėlė į tašką $3$, t. y. 3 vienetus į dešinę. Taip yra visada: naujoji funkcija su $x = m$ įgyja tą reikšmę, kurią senoji įgijo su $x = 0$, todėl grafikas pasislenka per $m$ vienetų į dešinę.

• Skaičius $m$ slenka parabolę horizontaliai: kai $m > 0$ – $m$ vienetų į dešinę, kai $m < 0$ – $|m|$ vienetų į kairę. Funkcijoje $y = (x + 2)^2$ yra $m = -2$, nes $x + 2 = x - (-2)$, todėl parabolė pasislenka 2 vienetus į kairę.
• Skaičius $n$ slenka parabolę vertikaliai: kai $n > 0$ – aukštyn, kai $n < 0$ – žemyn.
• Koeficientas $a$ keičia formą: kai $|a| > 1$, parabolė ištempiama nuo ašies $Ox$ ir atrodo siauresnė, kai $0 < |a| < 1$ – suspaudžiama ir atrodo platesnė. Kai $a < 0$, parabolė dar ir atspindima ašies $Ox$ atžvilgiu, todėl jos šakos eina žemyn.
• Poslinkiai formos nekeičia: parabolės $y = 2(x - 5)^2 + 1$ ir $y = 2x^2$ yra vienodos, tik nubrėžtos skirtingose vietose.

Kvadratinės funkcijos tyrimas: pavyzdžiai su brėžiniais

Tirdamas kvadratinę funkciją, laikykis tos pačios tvarkos: šakų kryptis, viršūnė, sankirtos su ašimis, o tada – ką klausia uždavinys. Net jei brėžinio nereikia, greitas eskizas padeda išvengti ženklo klaidų.

Ketvirtasis pavyzdys parašytas kaip pilnas sprendimas: kiekvienas žingsnis paaiškintas, o rasti koeficientai dar kartą įstatomi į sąlygą.

Dažnos klaidos tiriant kvadratinę funkciją

Šias klaidas lengva padaryti net gerai suprantant temą, nes jos susijusios su ženklais ir panašiomis sąvokomis.

• Viršūnės formulėje pamirštamas minusas. $x_0 = -\frac{b}{2a}$, todėl kai $b = -8$ ir $a = 2$, gaunama $+2$, o ne $-2$.
• Viršūnės pavidale ženklas skaitomas atvirkščiai. Funkcijos $y = (x + 3)^2 - 1$ viršūnė yra $(-3; -1)$, o ne $(3; -1)$.
• Painiojamos sąvokos. Nuliai yra $x$ reikšmės, kai $y = 0$, o didžiausia ar mažiausia reikšmė yra $y$ reikšmė viršūnėje. Į klausimą „kokia didžiausia reikšmė?“ atsakoma vienu skaičiumi $y_0$, o ne tašku $(x_0; y_0)$.
• Ženklų intervalai nustatomi neatsižvelgus į šakų kryptį. Kai $a < 0$, funkcija teigiama tarp nulių, o kai $a > 0$ – už jų.
• Teigiama, kad funkcija turi ir didžiausią, ir mažiausią reikšmę. Visoje skaičių tiesėje funkcija turi tik vieną iš jų – tą, kuri yra viršūnėje.
• Keliant kvadratu neigiamą skaičių, pamirštami skliaustai. Kai $x = -3$, reiškinys $x^2$ lygus $(-3)^2 = 9$, o ne $-9$. Skaičiuotuve irgi įvesk skliaustus, kad kvadratu būtų pakeltas visas neigiamas skaičius.

Kvadratinė funkcija per PUPP: kas tikrinama ir kas yra formulių lape

Kvadratinė funkcija yra 9 klasės tema, o jos savybės vėliau naudojamos ir 10 klasės kvadratinėse nelygybėse. PUPP data nurodyta 2027 metams. Kas tikrinama, kas yra formulių lape ir kokias priemones galima naudoti, rašoma pagal 2026 m. tvarką.

• Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Todėl kvadratinė funkcija per PUPP gali būti. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d.
• Formulių lapas (2026 m. tvarka): oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Viršūnės abscisės formulė $x_{\text{virš.}} = -\frac{b}{2a}$ yra formulių lape. Ten pat yra kvadratinės lygties sprendinių formulės su diskriminantu ir kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais. Šių dalykų lape nėra, juos išmok pats: viršūnės ordinatė, viršūnės pavidalas, reikšmių sritis ir taisyklė, kad viršūnė yra per vidurį tarp nulių. Visas rinkinys su paaiškinimais – puslapyje PUPP formulių rinkinys.
• Priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Skaičiuotuvas padeda apskaičiuoti diskriminantą ar viršūnės ordinatę, bet šakų kryptį, viršūnę ir ženklų intervalus vis tiek nustatai pats.
• Vertinimas (2026 m. tvarka): pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Todėl pilnojo sprendimo uždavinyje rašyk visus žingsnius, kaip ketvirtajame pavyzdyje, kad vertintojas galėtų sekti tavo sprendimą.
• Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) 2026 m. spalio 1 d. paskelbė, kad 2027 m. nacionalinio mokinių pasiekimų patikrinimo (NMPP) ir PUPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui. Tai reiškia, kad 2027 m. taisyklės dar tik svarstomos ir gali pasikeisti.

• NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys yra aprašo priede.
• PUPP formulių rinkinys Kas yra lape ir ką reikia mokėti mintinai.
• Matematikos PUPP Data, vertinimas ir pasiruošimas.
• PUPP užduotys PUPP formato užduotys su atsakymais pagal temas.

Kvadratinė funkcija: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti į tris sunkumo lygius. Jais patogu pasitikrinti prieš kontrolinį darbą ar PUPP. Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą.

Jei užstrigsi, nusibraižyk eskizą: šakų kryptis ir viršūnė dažnai iš karto parodo, ko ieškoti. Tekstiniame uždavinyje pirmiausia užrašyk, ką reiškia $x$ ir kokias reikšmes jis gali įgyti.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni