Tiesinė funkcija y = kx + b: grafikas, tiesė per du taškus ir sklaidos diagrama

Q: Kokia tiesinės funkcijos formulė?

Tiesinė funkcija užrašoma y = kx + b. Čia k yra krypties koeficientas, o b – funkcijos reikšmė, kai x lygus nuliui. Jei žinomi du tiesės taškai, k lygus jų y koordinačių skirtumui, padalytam iš x koordinačių skirtumo. Abu skirtumus skaičiuok ta pačia taškų tvarka. Tada b randamas įstačius vieno taško koordinates.

Q: Ką funkcijoje y = kx + b rodo k ir b?

k rodo tiesės kryptį ir statumą: kai k teigiamas, tiesė kyla, kai neigiamas – leidžiasi, o kuo didesnis jo modulis, tuo tiesė statesnė. b rodo, kur tiesė kerta y ašį: taške (0; b). Tekstiniame uždavinyje k paprastai yra pokytis per vienetą, o b – pradinė reikšmė.

Q: Kaip sklaidos diagrama vadinama angliškai?

Angliškai ji vadinama scatter plot, dar scatter diagram arba scatter chart. Lietuviškai sakoma ir taškinė diagrama.

Q: Kaip sklaidos diagramą nubraižyti Excel programoje?

Surašyk duomenis į du stulpelius: kairėje x reikšmes, dešinėje y reikšmes. Pažymėk abu stulpelius ir įterpk taškinę (sklaidos) diagramą. Per taškus galima nubrėžti tiesinę tendencijos liniją ir parodyti jos lygtį. Programa tiesę parenka skaičiavimu, todėl jos lygtis gali šiek tiek skirtis nuo tiesės, kurią nubrėžei akimi.

Tiesinė funkcija $y = kx + b$ yra funkcija, kurios grafikas – tiesė. Skaičius $k$ rodo, kiek pakinta $y$ , kai $x$ padidėja vienetu, o $b$ – kur tiesė kerta $y$ ašį. 9 klasėje mokomasi nubrėžti tokios funkcijos grafiką ir užrašyti tiesės lygtį per du taškus. Taip pat mokomasi gauti grafiką iš tiesės $y = x$ ją ištempiant ir pastumiant, o sklaidos diagramoje atpažinti tiesinį ryšį tarp dviejų dydžių.

Kas yra tiesinė funkcija?

Funkcija vadinama tiesine, jei ją galima užrašyti pavidalu $y = kx + b$ , kur $k$ ir $b$ – bet kokie skaičiai. $k$ vadinamas krypties koeficientu, $b$ – postūmio koeficientu (dar vadinamas laisvuoju nariu). Pavyzdžiui, funkcijos $y = 2x + 1$ krypties koeficientas $k = 2$ , o $b = 1$ . Vietoj $x$ galima įrašyti bet kokį skaičių, todėl apibrėžimo sritis (visos galimos $x$ reikšmės) – visi realieji skaičiai.

Kodėl grafikas yra tiesė? Paimkime $y = 2x + 1$ . Kai $x = 0, 1, 2, 3$ , gauname $y = 1, 3, 5, 7$ : kiekvienas žingsnis vienetu į dešinę pakelia $y$ lygiai 2 vienetais. Taip yra su bet kokiu žingsniu: jei $x$ padidėja $h$ , tai $y$ pakinta $k(x + h) + b - (kx + b) = kh$ . Kai pokytis visada proporcingas žingsniui, taškai išsidėsto vienoje tiesėje.

Du atskiri atvejai. Kai $b = 0$ , gaunama $y = kx$ , pavyzdžiui, $y = 3x$ . Jos grafikas eina per koordinačių pradžią $(0; 0)$ . Kai dar $k \neq 0$ , tai tiesioginis proporcingumas, kurio mokeisi žemesnėse klasėse. Kai $k = 0$ , gaunama pastovioji funkcija $y = b$ , pavyzdžiui, $y = 4$ : su bet kuriuo $x$ reikšmė ta pati. Jos grafikas lygiagretus $x$ ašiai, o kai $b = 0$ , sutampa su ja. Vertikali tiesė, pavyzdžiui, $x = 3$ , nėra funkcijos grafikas: vienai $x$ reikšmei joje tenka be galo daug $y$ reikšmių.

Funkcijos reikšmę randi įstatęs $x$ . Atvirkščiai, $x$ pagal žinomą $y$ randi išsprendęs tiesinę lygtį: jei $y = 2x + 1$ ir $y = 15$ , tai $2x + 1 = 15$ , todėl $x = 7$ .

Funkcijos Apibrėžimo ir reikšmių sritis, nuliai, didėjimas ir mažėjimas bet kokiai funkcijai.
Proporcijos Tiesioginis proporcingumas y = kx – atvejis, kai b lygus nuliui.

Tiesinės funkcijos formulės ir ką rodo k ir b

Krypties koeficientas $k$ nusako tiesės polinkį. Kai $k > 0$ , funkcija didėja ir tiesė kyla iš kairės į dešinę. Kai $k < 0$ , funkcija mažėja ir tiesė leidžiasi. Kai $k = 0$ , tiesė gulsčia. Kuo didesnis $k$ modulis (skaičius be ženklo), tuo tiesė statesnė: $y = -5x$ leidžiasi daug staigiau nei $y = 0{,}2x$ kyla.

Postūmio koeficientas $b$ yra funkcijos reikšmė, kai $x = 0$ , todėl tiesė kerta $y$ ašį taške $(0; b)$ . Tekstiniame uždavinyje $b$ paprastai yra pradinė reikšmė, o $k$ – pokytis per vieną vienetą: per valandą, per kilometrą, už vieną daiktą.

Kodėl $k$ galima rasti iš bet kurių dviejų tiesės taškų? Pereinant nuo taško $(x_1; y_1)$ prie taško $(x_2; y_2)$ , $x$ pakinta dydžiu $x_2 - x_1$ , o $y$ – dydžiu $k(x_2 - x_1)$ . Padalijus $y$ pokytį iš $x$ pokyčio, lieka $k$ , kad ir kuriuos du taškus paimtum. Pavyzdžiui, tiesė $y = 2x + 1$ eina per taškus $(1; 3)$ ir $(4; 9)$ , o $\frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 = k$ . Ta pati mintis grįš 12 klasėje, kai mokysiesi išvestinių.

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} y = kx + b \\ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{gathered}$	Kai žinomi du tiesės taškai $(x_1; y_1)$ ir $(x_2; y_2)$ , $x_1 \neq x_2$ : pirmiausia rask krypties koeficientą $k$ .Yra PUPP formulių lape
$b = y_1 - kx_1$	Kai $k$ jau žinomas: įstatyk vieno tiesės taško koordinates į $y = kx + b$ ir rask $b$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} (0;\ b) \\ x_0 = -\frac{b}{k},\quad k \neq 0 \end{gathered}$	Kai reikia susikirtimo su ašimis: su $y$ ašimi tiesė susikerta taške $(0; b)$ , su $x$ ašimi – taške $(x_0; 0)$ , kur $x_0$ yra funkcijos nulis.Išmok mintinai
$\begin{gathered} k_1 = k_2,\ b_1 \neq b_2 \\ \Downarrow \\ \text{tiesės lygiagrečios} \end{gathered}$	Kai reikia tiesės, lygiagrečios duotajai: krypties koeficientas lieka tas pats, keičiasi tik $b$ .Išmok mintinai
$y = x \;\to\; y = kx \;\to\; y = kx + b$	Kai grafiką reikia gauti transformacijomis: padauginus visas reikšmes iš $k$ , keičiasi polinkis, o pridėjus $b$ , tiesė pasislenka $b$ vienetų aukštyn arba žemyn.Išmok mintinai

Tiesinės funkcijos grafikas ir transformacijos iš y = x

Tiesę nusako du taškai, todėl grafikui pakanka dviejų taškų. Patogu imti $(0; b)$ ir dar vieną tašką, kurio $x$ parinktas taip, kad $y$ būtų sveikasis skaičius. Trečiasis taškas tinka patikrinimui: jei jis neatsiduria toje pačioje tiesėje, kažkur suklydai.

Grafiką $y = kx + b$ galima gauti iš tiesės $y = x$ dviem žingsniais. Pirma, kiekvieną $y$ reikšmę padaugini iš $k$ ir gauni $y = kx$ . Taškas $(1; 1)$ pereina į $(1; k)$ , o koordinačių pradžia lieka vietoje. Kai $|k| > 1$ , tiesė ištempiama išilgai $y$ ašies ir tampa statesnė. Kai $|k| < 1$ , ji suspaudžiama ir tampa lėkštesnė. Kai $k < 0$ , tiesė dar atspindima $x$ ašies atžvilgiu, todėl ima leistis. Antra, prie visų reikšmių pridedi $b$ : tiesė pasislenka $|b|$ vienetų aukštyn, kai $b > 0$ , arba žemyn, kai $b < 0$ .

Pasvirąją tiesę pastūmus aukštyn ar žemyn, gaunama ta pati tiesė kaip ir pastūmus ją į šoną. Pavyzdžiui, $2x - 3 = 2(x - 1{,}5)$ , todėl $y = 2x - 3$ gausi ir iš $y = 2x$ , pastūmęs ją 1,5 vieneto į dešinę.

Iš

y = x

gaunama

y = 2x

(visos reikšmės padaugintos iš 2), o iš jos –

y = 2x - 3

(tiesė pastumta 3 vienetais žemyn).

Grafikas, susikirtimas su ašimis ir taško priklausymas

Nubrėžk funkcijos $y = 0{,}5x - 2$ grafiką. Rask, kuriuose taškuose jis kerta koordinačių ašis, ar funkcija didėja, ar mažėja, ir ar taškas $M(6; 2)$ priklauso grafikui.

Su $y$ ašimi: įstatome $x = 0$ ir gauname $y = -2$ . Taškas $(0; -2)$ .
Su $x$ ašimi: sprendžiame $0{,}5x - 2 = 0$ , iš čia $0{,}5x = 2$ ir $x = 4$ . Taškas $(4; 0)$ .
Per šiuos du taškus brėžiame tiesę. Kadangi $k = 0{,}5 > 0$ , funkcija didėja: kai $x$ padidėja 2, $y$ padidėja 1.
Taškas $M$ : kai $x = 6$ , funkcijos reikšmė $0{,}5 \cdot 6 - 2 = 1$ . Grafiko taškas yra $(6; 1)$ , o taško $M$ ordinatė ( $y$ koordinatė) lygi 2, todėl $M$ grafikui nepriklauso – jis vienetu aukščiau tiesės.

Atsakymas: grafikas kerta $y$ ašį taške $(0; -2)$ , $x$ ašį – taške $(4; 0)$ ; funkcija didėja; taškas $M(6; 2)$ grafikui nepriklauso.

Tiesės lygtis per du taškus

Kai žinomi du tiesės taškai, jos lygtis randama trimis žingsniais: apskaičiuoji $k$ pagal formulę, įstatai vieno taško koordinates į $y = kx + b$ ir randi $b$ , o tada patikrini antruoju tašku. Patikrinimas trumpas, o pagauna ženklo ir skaičiavimo klaidas.

Formulėje taškų tvarka skaitiklyje ir vardiklyje turi būti ta pati. Jei skaitiklyje iš antrojo taško $y$ atimi pirmojo taško $y$ , tai ir vardiklyje iš antrojo taško $x$ atimk pirmojo taško $x$ . Jei $x_1 = x_2$ , formulė netinka: tiesė vertikali, jos lygtis $x = x_1$ , ir ji nėra funkcijos grafikas.

Tiesė per du taškus ir ženklo klaida

Tiesė eina per taškus $A(-4; 7)$ ir $B(2; -2)$ . Užrašyk jos lygtį $y = kx + b$ .

Krypties koeficientas (ir skaitiklyje, ir vardiklyje iš taško $B$ koordinačių atimame taško $A$ koordinates): $k = \frac{-2 - 7}{2 - (-4)} = \frac{-9}{6} = -1{,}5$
Įstatome taško $A$ koordinates: $7 = -1{,}5 \cdot (-4) + b$ , t. y. $7 = 6 + b$ , todėl $b = 1$ .
Tikriname tašku $B$ : $-1{,}5 \cdot 2 + 1 = -2$ . Tinka.
Dažna klaida – sumaišyti tvarką: $\frac{-2 - 7}{-4 - 2} = 1{,}5$ . Tada iš taško $A$ gautume $b = 13$ , o patikrinimas tašku $B$ duotų $1{,}5 \cdot 2 + 13 = 16 \neq -2$ . Brėžinys irgi perspėja: tiesė leidžiasi, todėl $k$ turi būti neigiamas.

Atsakymas: $y = -1{,}5x + 1$ .

Tiesinė funkcija realiose situacijose: pilnas sprendimas

Kai dydis kas valandą (ar kas kilometrą) pakinta tiek pat, jį aprašo tiesinė funkcija. Tada $k$ yra kitimo greitis su matavimo vienetais (eurai per kilometrą, procentai per valandą), o $b$ – pradinė reikšmė. Pilname sprendime užrašyk kiekvieną žingsnį ir trumpai paaiškink, ką jame darai.

Telefono įkrova: lygtis, k ir b prasmė, prognozė

Žygio metu telefono įkrova mažėja tolygiai. Praėjus 2 valandoms nuo žygio pradžios telefonas rodė 86 %, o praėjus 6 valandoms – 62 %. a) Užrašyk formulę, kuria įkrova $y$ (procentais) išreiškiama laiku $t$ (valandomis nuo žygio pradžios). b) Paaiškink, ką šiame kontekste reiškia $k$ ir $b$ . c) Po kiek valandų nuo žygio pradžios įkrova nukris iki 20 %?

Tolygus mažėjimas reiškia, kad įkrova yra tiesinė laiko funkcija $y = kt + b$ . Sąlyga duoda du grafiko taškus: $(2; 86)$ ir $(6; 62)$ .
Krypties koeficientas: $k = \frac{62 - 86}{6 - 2} = \frac{-24}{4} = -6$
Iš taško $(2; 86)$ : $86 = -6 \cdot 2 + b$ , todėl $b = 86 + 12 = 98$ . Patikrinimas taške $(6; 62)$ : $-6 \cdot 6 + 98 = 62$ . Formulė: $y = -6t + 98$ .
Prasmė: $k = -6$ reiškia, kad kas valandą įkrova sumažėja 6 procentiniais punktais (pavyzdžiui, nuo 86 % iki 80 %). $b = 98$ reiškia, kad žygio pradžioje telefonas rodė 98 %.
Sprendžiame $-6t + 98 = 20$ : $-6t = -78$ , $t = 13$ .
Formulė tinka tik tol, kol įkrova nenukrinta žemiau 0 %: $0 \le t \le \frac{98}{6} \approx 16{,}3$ . Gautas $t = 13$ į šį intervalą patenka.

Atsakymas: a) $y = -6t + 98$ ; b) $k$ – įkrovos pokytis per valandą (sumažėja 6 procentiniais punktais), $b$ – įkrova žygio pradžioje (98 %); c) po 13 valandų.

Kas yra sklaidos diagrama?

Sklaidos (taškinė) diagrama kiekvieną stebėtą objektą vaizduoja vienu tašku $(x; y)$ , kur $x$ ir $y$ – du jo matavimai. Pavyzdžiui, kiekvienas mokinys gali būti taškas, kurio $x$ – ūgis, o $y$ – šuolio į tolį rezultatas. Iš taškų išsidėstymo matyti, ar tarp dviejų dydžių yra ryšys.

Jei taškai kyla iš kairės į dešinę, ryšys (koreliacija) teigiamas: vienam dydžiui didėjant, kitas paprastai irgi didėja. Jei taškai leidžiasi – neigiamas. Jei išsibarstę be krypties, tiesinio ryšio nėra. Kuo arčiau vienos tiesės sugula taškai, tuo ryšys stipresnis. Jo stiprumas vertinamas žodžiais: stiprus, vidutinis arba silpnas.

Kai ryšys tiesinis, per taškų debesį brėžiama tiesė: ji eina per debesies vidurį, o abipus jos lieka panašiai taškų. Tiesei nebūtina eiti per kurį nors duomenų tašką. Jos lygtį užrašai kaip anksčiau – iš dviejų patogių tiesės taškų. Tada $k$ rodo, kiek vidutiniškai pakinta $y$ , kai $x$ padidėja vienetu.

Trys atsargumo taisyklės. Pirma, tiesė tinka reikšmėms įvertinti tik ten, kur yra duomenų: toli už jų ribų ji gali duoti beprasmį skaičių. Antra, ryšys dar nereiškia, kad vienas dydis sukelia kitą. Trečia, iš kelių ar specialiai atrinktų stebėjimų negalima daryti išvados apie visus panašius žmones ar objektus.

Sklaidos diagrama: ryšio kryptis, tiesės lygtis ir įvertis

Bėgimo klubo aštuoni nariai užrašė, kiek kilometrų per savaitę vidutiniškai nubėga ( $x$ ) ir per kiek minučių įveikia 5 km ( $y$ ). Duomenys $(x; y)$ : $(12; 31)$ , $(15; 29{,}4)$ , $(19; 29{,}7)$ , $(23; 27{,}9)$ , $(27; 28)$ , $(31; 26{,}4)$ , $(34; 26{,}4)$ , $(38; 25{,}1)$ . Per sklaidos diagramos taškus nubrėžta tiesė eina per taškus $(10; 31)$ ir $(40; 25)$ . a) Ar ryšys tarp šių dydžių teigiamas, ar neigiamas, ir koks jo stiprumas? b) Užrašyk tiesės lygtį. c) Įvertink, per kiek minučių 5 km nubėgtų klubo narys, kuris per savaitę nubėga 30 km.

Taškai leidžiasi iš kairės į dešinę ir sugula arti tiesės, todėl ryšys neigiamas ir stiprus: kas daugiau bėgioja, tas paprastai įveikia 5 km greičiau.
Krypties koeficientas: $k = \frac{25 - 31}{40 - 10} = \frac{-6}{30} = -0{,}2$
Iš taško $(10; 31)$ : $31 = -0{,}2 \cdot 10 + b$ , todėl $b = 33$ . Patikrinimas: $-0{,}2 \cdot 40 + 33 = 25$ . Lygtis: $y = -0{,}2x + 33$ .
Prasmė: kiekvienam papildomam savaitės kilometrui vidutiniškai tenka 0,2 min. (12 s) trumpesnis 5 km laikas.
Kai $x = 30$ : $y = -0{,}2 \cdot 30 + 33 = 27$ . Tai įvertis, ne tikslus rezultatas. Juo galima remtis, nes 30 km yra tarp mažiausios ir didžiausios duomenų $x$ reikšmės.
Diagrama nerodo, kas ką sukelia: gali būti, kad daugiau treniruojasi tie, kuriems bėgimas ir taip sekasi.

Atsakymas: a) neigiamas ir stiprus; b) $y = -0{,}2x + 33$ ; c) apie 27 min.

Diagramos Stulpelinės, skritulinės ir linijinės diagramos: kaip jas skaityti ir braižyti.

Dažnos klaidos: tiesinė funkcija ir sklaidos diagrama

Krypties koeficientas skaičiuojamas sumaišius taškų tvarką skaitiklyje ir vardiklyje, todėl gaunamas priešingas ženklas. Apsaugo patikrinimas antruoju tašku ir žvilgsnis į brėžinį: besileidžiančios tiesės $k$ neigiamas.
$k$ ir $b$ skaitomi pagal vietą formulėje. Funkcijoje $y = 4 - 3x$ krypties koeficientas lygus $-3$ , o $b = 4$ : $k$ visada yra skaičius prie $x$ kartu su savo ženklu.
Painiojami susikirtimo taškai. Tiesė kerta $y$ ašį taške $(0; b)$ , o ne $(b; 0)$ . Nulis yra $x_0 = -\frac{b}{k}$ , ne $\frac{b}{k}$ : funkcijos $y = 2x + 6$ nulis lygus $-3$ .
$k$ skaičiuojamas langeliais, nepažiūrėjus į ašių mastelį. Jei $x$ ašyje vienas langelis reiškia 2 valandas, o $y$ ašyje – 10 %, langelių santykis dar nėra $k$ : imk tikrąsias taškų koordinates.
Sklaidos diagramoje taškai sujungiami laužte arba tiesė vedama per pirmą ir paskutinį tašką. Tiesė turi eiti per viso taškų debesies vidurį, o jos lygtis skaičiuojama iš tiesės taškų, ne iš atsitiktinai pasirinktų duomenų.

Tiesinė funkcija ir sklaidos diagrama per PUPP

Abi temos yra 9 klasės programoje. Žemiau – ką apie jas sako PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) dokumentai. Data ir taškų dalijimas tarp sričių nurodyti 2027 m., o kiti punktai – pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. užduoties aprašas dar nepatvirtintas.

Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Tiesinė funkcija priklauso sričiai „Modeliai ir sąryšiai“, o sklaidos diagrama – sričiai „Duomenys ir tikimybės“. Pagal bendrąją programą PUPP taškai tarp sričių dalijami taip: modeliai ir sąryšiai – 55 %, geometrija ir matavimai – 40 %, duomenys ir tikimybės – 5 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida).
Abi temos per PUPP gali būti. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Sklaidos diagramos ir tiesinis ryšys tarp dviejų dydžių pagal bendrąją programą yra 9 klasės turinys, todėl ši išimtis jų neliečia.
Formulių lapas (2026 m. tvarka): oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis $y = kx + b$ su krypties koeficiento formule yra formulių lape. Formulių $b = y_1 - kx_1$ ir $x_0 = -\frac{b}{k}$ , lygiagrečių tiesių sąlygos ir transformacijų lape nėra: jas reikia mokėti pačiam. Visas rinkinys su paaiškinimais – puslapyje PUPP formulės.
Priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Vadinasi, skaičiuotuvu naudotis buvo galima. Jis padeda dalyti ir dauginti dešimtaines trupmenas, bet tiesės kryptį ir ryšio pobūdį nustatai pats.
Vertinimas (2026 m. tvarka): pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Pilnojo sprendimo uždavinyje vertinamas visas sprendimas, todėl užrašyk visus žingsnius, kaip pavyzdyje su telefono įkrova.
NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 1 d. paskelbė, kad 2027 m. PUPP užduoties aprašo projektas teikiamas viešam derinimui.

NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys yra aprašo priede.
PUPP formulės Kas yra formulių lape ir ką reikia mokėti mintinai.
PUPP užduotys Savos PUPP formato užduotys pagal temas.

Tiesinė funkcija: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti pagal sunkumą. Pirma išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Kiekvieną rastą tiesės lygtį patikrink antruoju tašku.

Lengvesni

1. Duota funkcija $y = -3x + 7$ . Apskaičiuok $y$ , kai $x = -2$ , ir rask $x$ , su kuriuo $y = -8$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $y = 13$ ; $x = 5$ .

$-3 \cdot (-2) + 7 = 6 + 7 = 13$ . Iš $-3x + 7 = -8$ gauname $-3x = -15$ , $x = 5$ .

2. Sugretink funkcijas 1–4 su savybėmis A–D. Kiekvienai funkcijai tinka lygiai viena savybė. 1) $y = 4 - x$ ; 2) $y = 2x$ ; 3) $y = -3$ ; 4) $y = 0{,}5x + 6$ . A) grafikas eina per koordinačių pradžią; B) funkcija pastovi; C) funkcija mažėja; D) grafikas kerta $y$ ašį taške $(0; 6)$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – C, 2 – A, 3 – B, 4 – D.

1) $k = -1 < 0$ , funkcija mažėja. 2) $b = 0$ , todėl tiesė eina per $(0; 0)$ . 3) $k = 0$ : pastovioji funkcija. 4) $b = 6$ , todėl tiesė kerta $y$ ašį taške $(0; 6)$ .

3. Tiesės krypties koeficientas lygus 4, o tiesė kerta $y$ ašį taške $(0; -5)$ . Užrašyk šios tiesinės funkcijos formulę ir rask jos nulį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $y = 4x - 5$ ; nulis $x = 1{,}25$ .

$k = 4$ , $b = -5$ . Iš $4x - 5 = 0$ gauname $x = \frac{5}{4} = 1{,}25$ .

Vidutiniai

4. Tiesė eina per taškus $C(-1; -7)$ ir $D(3; 5)$ . Užrašyk jos lygtį $y = kx + b$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $y = 3x - 4$ .

$k = \frac{5 - (-7)}{3 - (-1)} = \frac{12}{4} = 3$ . Iš taško $C$ : $-7 = 3 \cdot (-1) + b$ , todėl $b = -4$ . Patikrinimas tašku $D$ : $3 \cdot 3 - 4 = 5$ .

5. Išdėstyk šių funkcijų grafikus nuo stačiausio iki lėkščiausio: $y = -4x + 1$ , $y = 0{,}5x - 3$ , $y = 2x + 7$ , $y = -x$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $y = -4x + 1$ , $y = 2x + 7$ , $y = -x$ , $y = 0{,}5x - 3$ .

Statumą lemia krypties koeficiento modulis: 4, 2, 1 ir 0,5. Ženklas rodo tik tai, ar tiesė kyla, ar leidžiasi, o $b$ statumo nekeičia.

6. Funkcijos $y = kx + 4$ grafikas eina per tašką $(6; 1)$ . Rask $k$ ir nustatyk, ar ši funkcija didėja, ar mažėja.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $k = -0{,}5$ ; funkcija mažėja.

Įstatome taško koordinates: $1 = 6k + 4$ , todėl $6k = -3$ ir $k = -0{,}5$ . Kadangi $k < 0$ , funkcija mažėja.

7. Funkcijos $y = -3x + 2$ grafiką gauk iš tiesės $y = x$ dviem žingsniais: pirma visas $y$ reikšmes padaugink iš to paties skaičiaus, paskui tiesę pastumk aukštyn arba žemyn. Iš kokio skaičiaus dauginama ir kas tada nutinka tiesei? Kiek vienetų ir kuria kryptimi ji stumiama? Kuriame taške gautas grafikas kerta $x$ ašį?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1) visas reikšmes padauginti iš $-3$ : tiesė ištempiama 3 kartus išilgai $y$ ašies ir atspindima $x$ ašies atžvilgiu (t. y. tampa 3 kartus statesnė ir ima leistis), gaunama $y = -3x$ ; 2) pastumti 2 vienetais aukštyn. Grafikas kerta $x$ ašį taške $\left(\frac{2}{3}; 0\right)$ .

Nulis: $-3x + 2 = 0$ , todėl $x = \frac{2}{3}$ .

8. Užrašyk lygtį tiesės, kuri lygiagreti tiesei $y = 2{,}5x - 1$ ir eina per tašką $(4; 3)$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $y = 2{,}5x - 7$ .

Lygiagrečių tiesių krypties koeficientai lygūs, todėl $k = 2{,}5$ . Iš $3 = 2{,}5 \cdot 4 + b$ gauname $b = 3 - 10 = -7$ .

Sunkesni

9. Traukinio bilieto kaina tiesiškai priklauso nuo kelionės ilgio. 40 km kelionės bilietas kainuoja 3,60 euro, o 100 km – 7,20 euro. a) Užrašyk kainos $y$ (eurais) formulę pagal atstumą $d$ (kilometrais) ir paaiškink, ką reiškia $k$ ir $b$ . b) Kiek kilometrų galima nuvažiuoti už 9 eurus?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $y = 0{,}06d + 1{,}2$ : kiekvienas kilometras kainuoja 0,06 euro, o 1,20 euro – pastovi bilieto kainos dalis, nepriklausanti nuo atstumo; b) 130 km.

$k = \frac{7{,}2 - 3{,}6}{100 - 40} = \frac{3{,}6}{60} = 0{,}06$ . Iš $3{,}6 = 0{,}06 \cdot 40 + b$ gauname $b = 3{,}6 - 2{,}4 = 1{,}2$ . Patikrinimas: $0{,}06 \cdot 100 + 1{,}2 = 7{,}2$ . Iš $0{,}06d + 1{,}2 = 9$ gauname $0{,}06d = 7{,}8$ , $d = 130$ .

10. Kavinė kelias savaites užrašinėjo, kiek valandų per dieną lijo ( $x$ ) ir kiek lankytojų tą dieną apsilankė lauko terasoje ( $y$ ). Visų dienų $x$ reikšmės buvo nuo 0 iki 10. Sklaidos diagramoje taškai leidžiasi iš kairės į dešinę, o per juos nubrėžta tiesė eina per taškus $(2; 150)$ ir $(8; 60)$ . a) Ar ryšys tarp šių dydžių teigiamas, ar neigiamas? b) Užrašyk tiesės lygtį. c) Įvertink lankytojų skaičių dieną, kai lijo 5 valandas. d) Kokį skaičių lygtis duoda, kai $x = 14$ , ir kodėl juo remtis negalima?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) neigiamas; b) $y = -15x + 180$ ; c) apie 105 lankytojus; d) $-30$ : lankytojų skaičius negali būti neigiamas, o 14 valandų yra už duomenų ribų, kur tiesė nebetinka.

$k = \frac{60 - 150}{8 - 2} = \frac{-90}{6} = -15$ . Iš $150 = -15 \cdot 2 + b$ gauname $b = 180$ . Kai $x = 5$ : $-75 + 180 = 105$ . Kai $x = 14$ : $-210 + 180 = -30$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Kokia tiesinės funkcijos formulė?

Tiesinė funkcija užrašoma y = kx + b. Čia k yra krypties koeficientas, o b – funkcijos reikšmė, kai x lygus nuliui. Jei žinomi du tiesės taškai, k lygus jų y koordinačių skirtumui, padalytam iš x koordinačių skirtumo. Abu skirtumus skaičiuok ta pačia taškų tvarka. Tada b randamas įstačius vieno taško koordinates.

Ką funkcijoje y = kx + b rodo k ir b?

k rodo tiesės kryptį ir statumą: kai k teigiamas, tiesė kyla, kai neigiamas – leidžiasi, o kuo didesnis jo modulis, tuo tiesė statesnė. b rodo, kur tiesė kerta y ašį: taške (0; b). Tekstiniame uždavinyje k paprastai yra pokytis per vienetą, o b – pradinė reikšmė.

Kaip sklaidos diagrama vadinama angliškai?

Angliškai ji vadinama scatter plot, dar scatter diagram arba scatter chart. Lietuviškai sakoma ir taškinė diagrama.

Kaip sklaidos diagramą nubraižyti Excel programoje?

Surašyk duomenis į du stulpelius: kairėje x reikšmes, dešinėje y reikšmes. Pažymėk abu stulpelius ir įterpk taškinę (sklaidos) diagramą. Per taškus galima nubrėžti tiesinę tendencijos liniją ir parodyti jos lygtį. Programa tiesę parenka skaičiavimu, todėl jos lygtis gali šiek tiek skirtis nuo tiesės, kurią nubrėžei akimi.

Taip pat: Lygčių sistemos · Kvadratinė funkcija · Lygtys · Funkcijos · Matematikos PUPP

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, PUPP lentelė; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 3 p., 10.8 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt