Lygtys ir raidiniai reiškiniai: kaip spręsti tiesines lygtis

Raidiniai reiškiniai ir jų reikšmės

Raidinis reiškinys – tai reiškinys, kuriame be skaičių ir veiksmų ženklų yra raidžių, pavyzdžiui, $5a + 3$ arba $18(k - 1)$. Raidė žymi skaičių, kuris nežinomas arba gali kisti. Daugybos ženklas tarp skaičiaus ir raidės paprastai nerašomas: $5a$ reiškia $5 \cdot a$.

Raidinis reiškinys trumpai užrašo taisyklę. Tarp dviejų gretimų aukštų yra 18 laiptelių. Iš 1 aukšto į 2 aukštą užlipi 1 kartą po 18 laiptelių, į 3 aukštą – 2 kartus, į 4 aukštą – 3 kartus. Kartų visada vienu mažiau nei aukšto numeris. Todėl į $k$-ąjį aukštą lipi $k - 1$ kartų po 18: iš viso $18(k - 1)$ laiptelių.

Kad apskaičiuotum reiškinio reikšmę, vietoj raidės įrašyk duotą skaičių ir atlik veiksmus įprasta tvarka. Kai $k = 5$, $18(k - 1) = 18 \cdot 4 = 72$: tiek laiptelių iki penkto aukšto. Neigiamą skaičių įrašyk skliaustuose: kai $a = -2$, $5a + 3 = 5 \cdot (-2) + 3 = -7$.

Reiškinio nariai – tai jo dalys, kurias skiria pliusas arba minusas: reiškinyje $7x + 2x - 5$ yra trys nariai. Panašieji nariai turi tą pačią raidinę dalį, pavyzdžiui, $7x$ ir $2x$, arba yra vien skaičiai. Juos galima sutraukti: $7x + 2x = 9x$, nes septyni $x$ ir dar du $x$ yra devyni $x$. Nepanašių narių sutraukti negalima: $4x + 3$ – ne $7x$.

Skliaustai atskliaudžiami pagal skirstomumo dėsnį: skaičius prieš skliaustus dauginamas iš kiekvieno skliaustuose esančio nario, $3(x + 5) = 3x + 15$. Jei prieš skliaustus yra minusas, keičiasi visų skliaustuose esančių narių ženklai: $10 - (x - 4) = 10 - x + 4 = 14 - x$. Pasitikrink skaičiais, kai $x = 6$: $10 - (6 - 4) = 10 - 2 = 8$ ir $14 - 6 = 8$. Sutampa.

• Veiksmų tvarka Kuria tvarka atliekami veiksmai reiškinyje su skliaustais.
• Racionalieji skaičiai Veiksmai su neigiamais skaičiais, kurių prireikia įrašant reikšmę.
• Daugianariai Kas toliau: vienanariai ir daugianariai 8 klasėje.

Kas yra lygtys?

Lygtis – tai du reiškiniai, sujungti lygybės ženklu, kai bent viename jų yra nežinomasis. Lygtyje $2x + 7 = 19$ nežinomasis yra $x$. Skaičius, kurį įrašius vietoj $x$ gaunama teisinga skaitinė lygybė, vadinamas lygties sprendiniu. Lygties $2x + 7 = 19$ sprendinys yra 6, nes $2 \cdot 6 + 7 = 19$. Skaičius 5 – ne sprendinys: $2 \cdot 5 + 7 = 17$, o ne 19. Taip ir tikrinamas sprendinys: įrašai jį į pradinę lygtį ir palygini abiejų pusių reikšmes.

Mokykloje pirmiausia sprendžiamos tiesinės lygtys. Jose nėra nei $x^2$, nei $x$ vardiklyje: $3x + 8 = 35$ yra tiesinė lygtis, o $x^2 = 9$ – ne. Tiesinę lygtį visada galima pertvarkyti taip, kad liktų $ax = b$. Pavyzdžiui, atėmus 8 iš abiejų lygties $3x + 8 = 35$ pusių, gaunama $3x = 27$. Skaičius prieš $x$ (čia 3) vadinamas koeficientu prie $x$. Jei jis nelygus nuliui, sprendinys vienas: $x = \frac{b}{a}$, čia $x = 27 : 3 = 9$. Kartais sutraukus narius $x$ dingsta visai. Jei tada lieka teisinga lygybė, pavyzdžiui, $0 = 0$, tinka bet kuris skaičius. Jei lieka neteisinga, pavyzdžiui, $0 = 6$, sprendinių nėra. Lygtys su $x^2$ – atskira tema: kvadratinės lygtys.

Lygčių mokomasi palaipsniui:

• 3–4 klasėse – paprasčiausios lygtys su vienu veiksmu, pavyzdžiui, $x + 27 = 64$. Nežinomasis randamas atvirkštiniu veiksmu: $x = 64 - 27 = 37$.
• 5 klasėje – lygtys, kurias išsprendi vienu ar dviem žingsniais, kaip $3x + 8 = 35$.
• 6 klasėje – lygtys iki keturių žingsnių, kuriose gali būti skliaustų ir trupmenų. Lygtį mokomasi sudaryti ir tada, kai sąlygoje nepasakyta, ką žymėti raide.
• 7 klasėje tuo pačiu būdu sprendžiamos nelygybės. Svarbiausias skirtumas: dauginant ar dalijant iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas apsiverčia (pavyzdžiui, $>$ virsta $<$).

• Nelygybės Tas pats sprendimo būdas, kai vietoj lygybės ženklo yra nelygybės ženklas.
• Lygčių sistemos Kai nežinomųjų du, o lygčių taip pat dvi.

Kas yra ekvivalenčios lygtys?

Dvi lygtys vadinamos ekvivalenčiomis (lygiavertėmis), kai jų sprendiniai tie patys. Lygtys $3x + 4 = 19$ ir $3x = 15$ ekvivalenčios: abiejų sprendinys yra 5. Spręsti lygtį – tai keisti ją vis paprastesne ekvivalenčia lygtimi, kol lieka paprasčiausia lygtis, šiuo atveju $x = 5$.

Lygtis – tarsi svarstyklės pusiausvyroje (žr. brėžinį): kairėje lėkštėje – kairės pusės reiškinys, dešinėje – dešinės. Nuo abiejų lėkščių nuėmus po tiek pat arba abiejų krovinį padvigubinus, pusiausvyra išlieka. Pakeitus tik vienos lėkštės krovinį, svarstyklės pasvyra – lygybė sugriūna.

Ką daryti, kad lygtis liktų ekvivalenti? Su abiem pusėmis daryk tą patį: pridėk prie abiejų pusių tą patį skaičių ar narį; atimk iš abiejų pusių tą patį; padaugink abi puses iš to paties skaičiaus (ne nulio); padalyk abi puses iš to paties skaičiaus (ne nulio). Atskliausti ir sutraukti panašiuosius narius galima ir vienoje pusėje: tos pusės reikšmė nuo to nepasikeičia.

Abiejų lygties pusių dauginti iš nulio negalima. Pavyzdžiui, abi lygties $x + 1 = 4$ puses padauginus iš 0, gaunama $0 = 0$. Šiai lygybei tinka bet kuris $x$, o pradinei lygčiai – tik 3, todėl nauja lygtis nebėra ekvivalenti. Dalyti iš nulio apskritai negalima.

Iš čia kyla žinomas sutrumpinimas: narį galima perkelti į kitą lygties pusę, pakeitus jo ženklą. Pavyzdžiui, $5x - 8 = 2x + 13$. Pridėk 8 prie abiejų pusių: $5x = 2x + 13 + 8$. Atimk $2x$ iš abiejų pusių: $5x - 2x = 13 + 8$. Matai: $-8$ kairėje dingo, o dešinėje atsirado $+8$; $2x$ dešinėje dingo, o kairėje atsirado $-2x$. Toliau $3x = 21$, $x = 7$. Tai ne atskira taisyklė, o tas pats veiksmas su abiem pusėmis.

Lygčių sprendimas žingsnis po žingsnio

Kiekvieną tiesinę lygtį galima išspręsti tais pačiais žingsniais. Ne kiekvienoje lygtyje reikia visų, todėl tuos, kurių nereikia, praleisk.

• Jei lygtyje yra trupmenų, abi puses padaugink iš bendro vardiklio. Dauginamas kiekvienas narys, taip pat ir tas, kuris trupmenos neturi.
• Atskliausk. Jei prieš skliaustus yra minusas, pakeisk visų skliaustuose esančių narių ženklus.
• Narius su $x$ surink vienoje pusėje, o skaičius – kitoje. Perkeliamo nario ženklas keičiasi.
• Sutrauk panašiuosius narius. Gausi lygtį $ax = b$.
• Abi puses padalyk iš skaičiaus prie $x$ (iš $a$) kartu su jo ženklu.
• Patikrink: įrašyk sprendinį į pradinę lygtį, ne į pertvarkytą.

• Trupmenų daugyba ir dalyba Dalyba iš trupmenos: jos prireikia, kai koeficientas prie x yra trupmena.

Lygčių sprendimo taisyklės ir kada jas taikyti

Pirmose trijose eilutėse $a$ ir $b$ žymi dvi lygias lygties puses ($a = b$), o $c$ – skaičių ar narį. Kitose eilutėse raidės žymi bet kokius skaičius. Bendrą vardiklį rasti padės puslapis Trupmenos.

Lygties sudarymas iš uždavinio sąlygos

Tekstiniame uždavinyje lygtį sudarai pats. Lygtis priklauso nuo to, ką pažymėsi raide, todėl ji gali būti skirtinga. Bet atsakymas į uždavinio klausimą išeina tas pats. Dirbk tokia tvarka:

• Nuspręsk, ką žymėsi raide $x$, ir užsirašyk tai žodžiais su matavimo vienetu, pavyzdžiui: „$x$ – trečiąją dieną nueitas kelias, km“. Jei gali, raide pažymėk tą dydį, su kuriuo lygtyje neatsiras trupmenų.
• Kitus dydžius išreikšk per $x$: „5 daugiau“ – $x + 5$, „dvigubai daugiau“ – $2x$, „perpus mažiau“ – $\frac{x}{2}$.
• Rask dydį, kurį gali užrašyti dviem būdais, ir tarp tų užrašų parašyk lygybės ženklą. Pavyzdžiui, žygio uždavinyje žemiau visas kelias yra 30 km, o kartu jis lygus trijų dienų kelių sumai.
• Išspręsk lygtį ir patikrink atsakymą pagal sąlygą: ar jis prasmingas? Pavyzdžiui, žmonių skaičius turi būti sveikasis ir teigiamas.
• Atsakyk į tą klausimą, kurio klausta: jis ne visada sutampa su $x$.

• Tekstiniai uždaviniai Daugiau uždavinių, sprendžiamų sudarant lygtį: darbo, amžiaus, procentų.

Dažnos klaidos sprendžiant lygtis

• Perkeliant narį, pamirštama pakeisti jo ženklą. Iš $x + 6 = 2$ parašoma $x = 2 + 6 = 8$, nors iš abiejų pusių reikia atimti 6: $x = 2 - 6 = -4$.
• Kai prieš skliaustus yra minusas, pamirštama pakeisti antrojo ir tolesnių narių ženklus: $-(3x - 5)$ užrašoma $-3x - 5$, nors turi būti $-3x + 5$.
• Iš bendro vardiklio padauginamas ne kiekvienas lygties narys: pamirštamas narys be trupmenos. Arba skaitiklis nerašomas skliaustuose, nors prieš trupmeną yra minusas.
• Dalijama ne iš to skaičiaus. Iš $-4x = 20$ rašoma $x = 5$ arba $x = -\frac{4}{20}$. Dalijama visada iš koeficiento prie $x$, kartu su jo ženklu: $x = 20 : (-4) = -5$.
• Sutraukiami nepanašieji nariai: $3x + 2$ virsta $5x$.
• Rastas $x$, bet atsakyta ne į uždavinio klausimą. Prieš rašydamas atsakymą, dar kartą perskaityk, ko klausiama.

Lygtys NMPP 8 užduotyse

• Matematikos NMPP (nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas) 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Patikrinimas bus elektroninis.
• Kas gali būti per patikrinimą, nurodo Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) užduoties aprašas. 2027 m. aprašas dar nepatvirtintas: jo projektą NŠA viešam aptarimui paskelbė 2026 m. spalio 1 d. Todėl turinys, uždavinių rūšys ir priemonės čia nurodyti pagal 2026 m. aprašą.
• Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Lygtys ir raidiniai reiškiniai – 5–6 klasių turinys, todėl tokių uždavinių gali būti.
• 2026 m. užduotyje buvo pasirenkamojo atsakymo ir trumpojo atsakymo uždaviniai. Tai reiškia: vienur reikėjo pasirinkti atsakymą iš pateiktų variantų, kitur – įrašyti trumpą atsakymą.
• 2026 m. leistos priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Todėl lygtis verta spręsti ranka, o sprendinį tikrinti be skaičiuotuvo, įrašant jį į lygtį.

• NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF)
• Matematikos NMPP 8 klasėje
• Matematikos užduotys 8 klasei
• Matematikos užduotys 6 klasei

Lygtys: uždaviniai su atsakymais

Spręsk be skaičiuotuvo. Kiekvieną sprendinį patikrink, įrašęs jį į pradinę lygtį.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni