Exacta

Daugianariai: greitosios daugybos formulės ir skaidymas dauginamaisiais

Vienanaris – tai skaičių, raidžių ir jų laipsnių sandauga, pavyzdžiui, −5a2b-5a^2b. Daugianaris – kelių vienanarių suma, pavyzdžiui, 4x2−3x+74x^2 - 3x + 7. Daugianarius sudedame, atimame ir dauginame panašiai kaip skaičius. Greitosios daugybos formulės leidžia, pavyzdžiui, (x+3)2(x + 3)^2 atskliausti be ilgo dauginimo, o skaidymas dauginamaisiais daro atvirkščiai: sumą paverčia sandauga. Tai 8 klasės algebra. 9 klasėje prie jos prisideda kvadratinio trinario skaidymas, o 11 klasės išplėstiniame (A) kurse – kubų formulės.

Daugianariai ir vienanariai

Vienanaris – tai skaičių, raidžių ir jų natūraliųjų laipsnių sandauga: 7x37x^3, −ab2-ab^2 ar tiesiog 1212. Standartinio pavidalo vienanaryje skaitinis daugiklis (koeficientas) rašomas pirmas, o kiekviena raidė užrašoma tik vieną kartą. Pavyzdžiui, 2x⋅3x2y=6x3y2x \cdot 3x^2y = 6x^3y: koeficientai sudauginami, o tos pačios raidės rodikliai sudedami, nes x⋅x2=x1+2x \cdot x^2 = x^{1+2} (žr. laipsnių savybes).

Daugianaris – vienanarių suma, o kiekvienas jos dėmuo vadinamas nariu. Daugianaris iš dviejų narių vadinamas dvinariu (a+5a + 5), iš trijų – trinariu (x2−4x+1x^2 - 4x + 1). Nariai su vienoda raidžių dalimi vadinami panašiaisiais: 5x2y5x^2y ir −2x2y-2x^2y panašieji, o 5x2y5x^2y ir 5xy25xy^2 – ne. Panašiuosius narius sutraukiame, sudėdami jų koeficientus: 5x2y−2x2y=3x2y5x^2y - 2x^2y = 3x^2y. Vienanario laipsnis – jo raidžių rodiklių suma: 5x2y5x^2y laipsnis lygus 2+1=32 + 1 = 3. Daugianario laipsnis – aukščiausias jo narių laipsnis, kai panašieji nariai jau sutraukti: x2−4x+1x^2 - 4x + 1 yra antrojo laipsnio.

Minusas prieš skliaustus keičia visų skliaustuose esančių narių ženklus: −(3x−4)=−3x+4-(3x - 4) = -3x + 4. Vienanaris iš daugianario dauginamas pagal skirstomumo dėsnį: 3a(2a−b)=6a2−3ab3a(2a - b) = 6a^2 - 3ab. Dauginant du daugianarius, kiekvienas pirmojo daugianario narys dauginamas iš kiekvieno antrojo nario: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Lygiai taip pat skliaustai atskliaudžiami sprendžiant tiesines lygtis.

Dviejų dvinarių sandauga ir panašieji nariai

Užrašyk reiškinį (3x−2)(x+5)−2x(x+6)(3x - 2)(x + 5) - 2x(x + 6) standartinio pavidalo daugianariu ir nurodyk jo laipsnį.

  1. Dauginame dvinarius, kiekvieną narį iš kiekvieno: (3x−2)(x+5)=3x2+15x−2x−10=3x2+13x−10\begin{aligned} &(3x - 2)(x + 5) \\ &= 3x^2 + 15x - 2x - 10 \\ &= 3x^2 + 13x - 10 \end{aligned}
  2. Antroji sandauga lygi 2x(x+6)=2x2+12x2x(x + 6) = 2x^2 + 12x. Prieš ją yra minusas, todėl atimame ją visą: 3x2+13x−10−2x2−12x3x^2 + 13x - 10 - 2x^2 - 12x
  3. Sutraukiame panašiuosius narius: 3x2−2x2=x23x^2 - 2x^2 = x^2 ir 13x−12x=x13x - 12x = x. Lieka x2+x−10x^2 + x - 10. Aukščiausias narių laipsnis lygus 2, todėl tai antrojo laipsnio trinaris.
  4. Patikriname skaičiumi, kai x=2x = 2: pradinis reiškinys lygus (6−2)(2+5)−4⋅(2+6)=4⋅7−4⋅8=−4(6 - 2)(2 + 5) - 4 \cdot (2 + 6) = 4 \cdot 7 - 4 \cdot 8 = -4, o gautasis 4+2−10=−44 + 2 - 10 = -4.

Atsakymas: x2+x−10x^2 + x - 10, antrojo laipsnio trinaris.

  • Laipsniai Laipsnių savybės, kurias naudoja vienanarių daugyba.
  • Lygtys Raidiniai reiškiniai, skliaustai ir tiesinės lygtys.

Sutrumpintos daugybos formulės

Sutrumpintos daugybos formulės, dar vadinamos greitosiomis, – tai trys sandaugos, kurias verta atpažinti iš pirmo žvilgsnio: (a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)(a+b)=a2−b2\begin{gathered} (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \end{gathered} Pirmoji vadinama sumos kvadratu, antroji – skirtumo kvadratu, trečioji – kvadratų skirtumu. Pavyzdžiui, (x+3)2=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9, o (x−3)(x+3)=x2−9(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9.

Visos trys gaunamos sudauginant. Sumos kvadratas yra (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2, o lygios sandaugos abab ir baba kartu duoda 2ab2ab. Brėžinys rodo tą patį plotais: kvadratą, kurio kraštinė a+ba + b, sudaro kvadratai a2a^2, b2b^2 ir du stačiakampiai abab. Skirtumo kvadrate vidurinis narys su minusu. Dauginant (a−b)(a+b)(a - b)(a + b), nariai +ab+ab ir −ab-ab vienas kitą panaikina.

Vietoj aa ir bb gali būti bet kokie skaičiai ar vienanariai: (2x+5)2=4x2+20x+25(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25, nes a=2xa = 2x, b=5b = 5. Formulės padeda skaičiuoti ir be skaičiuotuvo: 712=(70+1)2=4900+140+1=504171^2 = (70 + 1)^2 = 4900 + 140 + 1 = 5041, o 69⋅71=702−12=489969 \cdot 71 = 70^2 - 1^2 = 4899.

Skaitant formulę iš dešinės į kairę, trinarį galima užrašyti dvinario kvadratu ir skaičiumi. Tai vadinama dvinario kvadrato išskyrimu: x2−8x+19=(x2−8x+16)+3=(x−4)2+3\begin{aligned} x^2 - 8x + 19 &= (x^2 - 8x + 16) + 3 \\ &= (x - 4)^2 + 3 \end{aligned} Kvadratas negali būti neigiamas, todėl šio reiškinio reikšmė niekada nebūna mažesnė už 3. Tuo remiamasi ieškant parabolės viršūnės temoje kvadratinė funkcija.

a²ababb²abab
Viso kvadrato plotas (a+b)2(a + b)^2 lygus jo dalių plotų sumai a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2.

Klaida: kvadratu keliamas kiekvienas dėmuo atskirai

Atskliausk (3x+4y)2(3x + 4y)^2. Paaiškink, kodėl atsakymas 9x2+16y29x^2 + 16y^2 klaidingas.

  1. Tai sumos kvadratas, kai a=3xa = 3x ir b=4yb = 4y.
  2. Pirmasis narys a2=(3x)2=9x2a^2 = (3x)^2 = 9x^2. Kvadratu keliamas ir koeficientas 3, ne tik raidė.
  3. Vidurinis narys 2ab=2⋅3x⋅4y=24xy2ab = 2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy, paskutinis b2=(4y)2=16y2b^2 = (4y)^2 = 16y^2.
  4. Klaidingame atsakyme trūksta vidurinio nario: kvadratu pakeltas kiekvienas dėmuo atskirai. Įstatykime x=1x = 1 ir y=1y = 1: (3+4)2=49(3 + 4)^2 = 49, o 9+16=259 + 16 = 25. Skirtumas 2424 – tai abu stačiakampiai abab iš brėžinio.

Atsakymas: 9x2+24xy+16y29x^2 + 24xy + 16y^2.

Skaidymas dauginamaisiais

Išskaidyti daugianarį dauginamaisiais – reiškia užrašyti jį sandauga. Tai atskliaudimas atvirkščiai: lygybę 3x(x+2)=3x2+6x3x(x + 2) = 3x^2 + 6x skaitome iš dešinės į kairę. Panašiai skaičių skaidome pirminiais dauginamaisiais: 84=2⋅2⋅3⋅784 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7. Sandauga patogesnė už sumą: trupmenoje ją galima prastinti, o lygtis „sandauga lygi nuliui“ suskyla į kelias paprastesnes.

Būdai bandomi tokia tvarka, ir dažnai prireikia dviejų iš eilės:

  • Iškelk bendrą daugiklį prieš skliaustus. Jį sudaro didžiausias bendras koeficientų daliklis ir kiekviena visuose nariuose esanti raidė mažiausiu jos laipsniu: 12a3b−18a2b2=6a2b(2a−3b)12a^3b - 18a^2b^2 = 6a^2b(2a - 3b). Čia 6 – didžiausias bendras 12 ir 18 daliklis, o a2a^2 ir bb – mažiausi tų raidžių laipsniai. Skliaustuose likęs reiškinys dažnai pasirodo esąs formulė.
  • Atpažink greitosios daugybos formulę ir pritaikyk ją iš dešinės į kairę: 25−4c2=(5−2c)(5+2c)25 - 4c^2 = (5 - 2c)(5 + 2c), o m2+10m+25=(m+5)2m^2 + 10m + 25 = (m + 5)^2.
  • Kai narių keturi, sugrupuok juos poromis (kitas skyrius).
  • Jei liko kvadratinis trinaris, kuris nėra formulė, rask jo šaknis ir skaidyk: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) (žr. toliau).
  • Patikrink: atskliausk gautą sandaugą. Turi gauti pradinį daugianarį.

Bendras daugiklis, tada formulė

Išskaidyk dauginamaisiais: a) 2y3−50y2y^3 - 50y; b) 3t2−24t+483t^2 - 24t + 48.

  1. a) Abu nariai dalijasi iš 2y2y: 2y3−50y=2y(y2−25)2y^3 - 50y = 2y(y^2 - 25).
  2. Skliaustuose liko kvadratų skirtumas: y2−25=y2−52=(y−5)(y+5)y^2 - 25 = y^2 - 5^2 = (y - 5)(y + 5).
  3. b) Visi koeficientai dalijasi iš 3: 3t2−24t+48=3(t2−8t+16)3t^2 - 24t + 48 = 3(t^2 - 8t + 16).
  4. Skliaustuose t2t^2 ir 16=4216 = 4^2 yra kvadratai, o 8t=2⋅t⋅48t = 2 \cdot t \cdot 4 ir prieš jį minusas. Tai skirtumo kvadratas: t2−8t+16=(t−4)2t^2 - 8t + 16 = (t - 4)^2.
  5. Patikriname b), kai t=1t = 1: 3−24+48=273 - 24 + 48 = 27 ir 3⋅(1−4)2=273 \cdot (1 - 4)^2 = 27.

Atsakymas: a) 2y(y−5)(y+5)2y(y - 5)(y + 5); b) 3(t−4)23(t - 4)^2.

Skaidymas dauginamaisiais grupavimo būdu

Grupavimas padeda, kai visi nariai kartu bendro daugiklio neturi, bet poromis jį turi. Sugrupuok narius po du ir iš kiekvienos poros iškelk jos bendrą daugiklį. Jei abiejuose skliaustuose liko tas pats dvinaris, iškelk ir jį. Jei skliaustai skiriasi, sugrupuok kitaip, pavyzdžiui, pirmąjį narį su trečiuoju. Iškėlus neigiamą daugiklį, keičiasi visų skliaustuose likusių narių ženklai.

Grupavimas, kai antrojoje poroje yra minusas

Išskaidyk dauginamaisiais 4mn−12m−n+34mn - 12m - n + 3.

  1. Visi keturi nariai bendro daugiklio neturi. Grupuojame poromis: (4mn−12m)+(−n+3)(4mn - 12m) + (-n + 3).
  2. Iš pirmosios poros iškeliame 4m4m: 4m(n−3)4m(n - 3).
  3. Iš antrosios iškeliame −1-1: −n+3=−(n−3)-n + 3 = -(n - 3). Pasikeitė abu ženklai, ir dabar skliaustai vienodi.
  4. Iškeliame bendrą skliaustą: 4m(n−3)−1⋅(n−3)=(n−3)(4m−1)\begin{aligned} &4m(n - 3) - 1 \cdot (n - 3) \\ &= (n - 3)(4m - 1) \end{aligned} Iš antrosios dalies lieka −1-1, o ne nulis. Jį pamiršus, būtų gautas klaidingas atsakymas 4m(n−3)4m(n - 3).
  5. Patikriname atskliausdami: (n−3)(4m−1)=4mn−n−12m+3(n - 3)(4m - 1) = 4mn - n - 12m + 3. Nariai tie patys, tik kita tvarka.

Atsakymas: (n−3)(4m−1)(n - 3)(4m - 1).

Kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais

Kvadratinis trinaris – tai daugianaris ax2+bx+cax^2 + bx + c, kai a≠0a \neq 0. Jo šaknys yra lygties ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 sprendiniai x1x_1 ir x2x_2. Kaip juos rasti, aiškinama temoje kvadratinės lygtys. Kai šaknys yra, trinaris skaidomas taip: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Kodėl tai teisinga? Sudėję ir sudauginę abi sprendinių formules, gauname x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ir x1x2=cax_1 x_2 = \frac{c}{a} (tai Vieto teorema). Atskliaudę dešinę pusę gauname: a(x−x1)(x−x2)=a(x2−(x1+x2)x+x1x2)=a(x2+bax+ca)=ax2+bx+c\begin{aligned} &a(x - x_1)(x - x_2) \\ &= a\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right) \\ &= a\left(x^2 + \tfrac{b}{a}x + \tfrac{c}{a}\right) \\ &= ax^2 + bx + c \end{aligned}

Kiek dauginamųjų gausi, lemia diskriminantas D=b2−4acD = b^2 - 4ac. Kai D>0D > 0, šaknys dvi, ir gaunami du skirtingi dvinariai. Kai D=0D = 0, šaknys sutampa: ax2+bx+c=a(x−x1)2ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2. Kai D<0D < 0, šaknų nėra, ir tiesiniais dauginamaisiais trinario išskaidyti negalima. Toks yra, pavyzdžiui, x2+2x+7x^2 + 2x + 7, nes jo D=4−28=−24D = 4 - 28 = -24.

Nepamiršk vyresniojo koeficiento aa. Jis lieka priekyje arba įdauginamas į vieną skliaustą, kad neliktų trupmenos: 2(x+12)(x−2)=(2x+1)(x−2)2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2). Toks skaidymas reikalingas prastinant algebrines trupmenas, o jas toliau naudoja racionaliosios lygtys.

Trupmenos prastinimas: pilnas sprendimas

Suprastink trupmeną 4x2+7x−2x2−4\frac{4x^2 + 7x - 2}{x^2 - 4}. Užrašyk pilną sprendimą.

  1. Vardiklis – kvadratų skirtumas: x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Trupmena apibrėžta, kai x≠2x \neq 2 ir x≠−2x \neq -2.
  2. Randame skaitiklio šaknis iš lygties 4x2+7x−2=04x^2 + 7x - 2 = 0: D=72−4⋅4⋅(−2)=49+32=81\begin{gathered} D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) \\ = 49 + 32 = 81 \end{gathered} x1=−7−98=−2x2=−7+98=14\begin{gathered} x_1 = \frac{-7 - 9}{8} = -2 \\ x_2 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{1}{4} \end{gathered}
  3. Skaidome skaitiklį: 4x2+7x−2=4(x+2)(x−14)=(x+2)(4x−1)4x^2 + 7x - 2 = 4(x + 2)\left(x - \frac{1}{4}\right) = (x + 2)(4x - 1).
  4. Prastiname iš bendro daugiklio x+2x + 2: (x+2)(4x−1)(x−2)(x+2)=4x−1x−2\frac{(x + 2)(4x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4x - 1}{x - 2}
  5. Patikriname skaičiumi, kai x=1x = 1: pradinė trupmena 4+7−21−4=−3\frac{4 + 7 - 2}{1 - 4} = -3, gautoji 4−11−2=−3\frac{4 - 1}{1 - 2} = -3.

Atsakymas: 4x−1x−2\frac{4x - 1}{x - 2}, kai x≠2x \neq 2 ir x≠−2x \neq -2.

Greitosios daugybos formulės kubams (A kursas)

11 klasėje išplėstiniame (A) kurse prie kvadratų formulių prisideda kubų formulės. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\begin{gathered} (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \\ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \end{gathered}

Sumos kubą gausi, sumos kvadratą a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 dar kartą padauginęs iš a+ba + b ir sutraukęs panašiuosius narius. Kubų sumos formulę patikrinsi atskliausdamas dešinę pusę: (a+b)(a2−ab+b2)=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3=a3+b3\begin{aligned} &(a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ &= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \\ &= a^3 + b^3 \end{aligned}

Skirtumo kube ženklai kaitaliojasi: ++, −-, ++, −-. Antrasis kubų sumos ar skirtumo skliaustas nėra dvinario kvadratas ir toliau neskaidomas.

Skirtumo kubas ir kubų suma

a) Atskliausk (2x−1)3(2x - 1)^3. b) Suprastink x3+64x2−4x+16\frac{x^3 + 64}{x^2 - 4x + 16}.

  1. a) Tai skirtumo kubas, kai a=2xa = 2x ir b=1b = 1: (2x−1)3=8x3−3⋅4x2+3⋅2x−1=8x3−12x2+6x−1\begin{aligned} &(2x - 1)^3 \\ &= 8x^3 - 3 \cdot 4x^2 + 3 \cdot 2x - 1 \\ &= 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \end{aligned}
  2. b) Skaitiklis – kubų suma: x3+64=x3+43=(x+4)(x2−4x+16)x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16).
  3. Vardiklis sutampa su antruoju skliaustu, todėl prastiname ir lieka x+4x + 4.
  4. Vardiklis niekada nelygus nuliui: jo diskriminantas 16−64=−4816 - 64 = -48 neigiamas. Todėl atsakymas tinka su visomis xx reikšmėmis.

Atsakymas: a) 8x3−12x2+6x−18x^3 - 12x^2 + 6x - 1; b) x+4x + 4.

Daugianarių formulės: kas yra lape, ką mokėti mintinai

Žyma prie formulės rodo, kuriame oficialiame 2026 m. formulių rinkinyje ji yra – PUPP ar VBE. Kitas formules reikia mokėti mintinai. Žyma „Yra PUPP formulių lape“ galioja tik PUPP; ką gali naudoti per NMPP 8, rašoma skyriuje apie patikrinimus.

FormulėKada taikyti
ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)Kai visi nariai turi bendrą daugiklį: iškelk jį prieš skliaustus.Išmok mintinai
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdKai dauginami du dvinariai: kiekvienas narys dauginamas iš kiekvieno.Išmok mintinai
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2Kai dvinaris su pliusu keliamas kvadratu arba trinaryje atpažįsti sumos kvadratą.Yra PUPP formulių lape
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2Kai dvinaris su minusu keliamas kvadratu arba išskiriamas dvinario kvadratas.Yra PUPP formulių lape
(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2Kai dviejų reiškinių suma dauginama iš jų skirtumo arba skaidomas kvadratų skirtumas.Yra PUPP formulių lape
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)Kai skaidomas kvadratinis trinaris, kurio D≥0D \geq 0; x1x_1 ir x2x_2 – jo šaknys.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3A kursas: kai dvinaris keliamas kubu.Yra VBE A kurso formulių lape
(a±b)(a2∓ab+b2)=a3±b3(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3A kursas: kai skaidoma kubų suma arba kubų skirtumas.Yra VBE A kurso formulių lape

Dažnos klaidos su daugianariais

Prieš baigdamas peržiūrėk sprendimą pagal šį sąrašą.

  • Kvadratu keliamas kiekvienas dėmuo atskirai: (x+3)2(x + 3)^2 parašoma kaip x2+9x^2 + 9. Pamirštas vidurinis narys 6x6x. Patikrink skaičiumi: kai x=1x = 1, (1+3)2=16(1 + 3)^2 = 16, o 1+9=101 + 9 = 10.
  • Pamirštama kvadratu pakelti koeficientą: (5a)2(5a)^2 parašoma 5a25a^2, nors turi būti 25a225a^2.
  • Painiojami (a−b)2(a - b)^2 ir a2−b2a^2 - b^2. Pirmasis yra skirtumo kvadratas, antrasis – kvadratų skirtumas, ir jie nelygūs.
  • Pamirštamas vienetas skliaustuose: iškėlus bendrą daugiklį, jo vietoje turi likti 11. Pavyzdžiui, 6x2+2x=2x(3x+1)6x^2 + 2x = 2x(3x + 1), o ne 2x⋅3x2x \cdot 3x.
  • Skaidant kvadratinį trinarį, pamirštamas koeficientas aa. Reiškinys (x+12)(x−2)\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) nelygus 2x2−3x−22x^2 - 3x - 2: atskliaudus pirmasis narys yra x2x^2, o ne 2x22x^2.

Daugianariai NMPP 8, PUPP ir VBE užduotyse

NMPP 8 – nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas 8 klasėje, PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas, VBE – valstybinis brandos egzaminas. Plačiau – puslapiuose NMPP 8 klasei ir matematikos PUPP.

  • NMPP 8 – tikrinama. Matematikos NMPP aštuntokams vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Algebros šiame sąraše nėra. Vadinasi, daugianariai, greitosios daugybos formulės ir skaidymas dauginamaisiais (iškėlimas, formulės, grupavimas) gali būti per NMPP 8.
  • NMPP 8 priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Formulių rinkinio tarp jų nebuvo, todėl greitosios daugybos formules reikia mokėti mintinai.
  • PUPP – tikrinama ir naudojama. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Pagal 2026 m. tvarką gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Kvadratinio trinario skaidymas yra 9 klasės turinys, todėl jis gali būti per PUPP. Veiksmų su daugianariais ir greitosios daugybos formulių (8 klasės turinys) prireiks sprendžiant kitus uždavinius.
  • PUPP (2026 m. tvarka): oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jo skyriuje „Greitoji daugyba“ yra trys greitosios daugybos formulės, o atskirame skyriuje – kvadratinio trinario skaidymo formulė. PUPP priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Daugiau – puslapyje PUPP formulių rinkinys.
  • VBE: kubų formulės yra 11 klasės išplėstinio (A) kurso turinys, o bendrojo (B) kurso programoje jų nėra. VBE formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Kubų formulės yra tik II skyriuje (A kursas), dalyje „Greitoji daugyba“. VBE priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Daugiau – puslapyje VBE formulės.
  • Patikrinimų datos čia – 2027 m., o aprašų duomenys (kas neįtraukiama, formulių rinkiniai, priemonės) – pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. aprašai dar nepatvirtinti. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) NMPP ir PUPP aprašų projektus viešam derinimui pateikė 2026 m. spalio 1 d., VBE – 2026 m. spalio 7 d.

Daugianariai ir skaidymas: uždaviniai su atsakymais

Spręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Kiekvieną skaidinį patikrink atskliausdamas.

Lengvesni

1. Sutrauk panašiuosius narius: 4a2−3ab+2a2+5ab−a24a^2 - 3ab + 2a^2 + 5ab - a^2.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 5a2+2ab5a^2 + 2ab.

4a2+2a2−a2=5a24a^2 + 2a^2 - a^2 = 5a^2, o −3ab+5ab=2ab-3ab + 5ab = 2ab.

2. Atskliausk (5−2k)2(5 - 2k)^2.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 4k2−20k+254k^2 - 20k + 25.

Skirtumo kvadratas, kai a=5a = 5 ir b=2kb = 2k: 25−2⋅5⋅2k+4k2=25−20k+4k225 - 2 \cdot 5 \cdot 2k + 4k^2 = 25 - 20k + 4k^2.

3. Kuris reiškinys lygus 36−c236 - c^2? A) (36−c)(36+c)(36 - c)(36 + c); B) (6−c)(6+c)(6 - c)(6 + c); C) (6−c)2(6 - c)^2; D) (c−6)(c+6)(c - 6)(c + 6).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B.

36=6236 = 6^2, todėl tai kvadratų skirtumas 62−c26^2 - c^2. Variantas D lygus c2−36c^2 - 36, t. y. turi priešingą ženklą.

Vidutiniai

4. Apskaičiuok be skaičiuotuvo: 872−13274\frac{87^2 - 13^2}{74}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 100100.

Skaitiklis – kvadratų skirtumas: (87−13)(87+13)=74⋅100(87 - 13)(87 + 13) = 74 \cdot 100. Padalijus iš 74, lieka 100.

5. Sugretink reiškinius su jų skaidiniais. Reiškiniai: 1) x2−10x+25x^2 - 10x + 25; 2) x2−25x^2 - 25; 3) x2−5xx^2 - 5x; 4) x2+4x−5x^2 + 4x - 5. Skaidiniai: A) x(x−5)x(x - 5); B) (x−5)2(x - 5)^2; C) (x+5)(x−1)(x + 5)(x - 1); D) (x−5)(x+5)(x - 5)(x + 5).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1–B, 2–D, 3–A, 4–C.

1) skirtumo kvadratas; 2) kvadratų skirtumas; 3) bendras daugiklis xx; 4) trinario šaknys 11 ir −5-5 (jų suma −4-4, sandauga −5-5), todėl x2+4x−5=(x+5)(x−1)x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1).

6. Išskaidyk dauginamaisiais trinarį 2x2−9x+42x^2 - 9x + 4.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: (x−4)(2x−1)(x - 4)(2x - 1).

D=81−32=49D = 81 - 32 = 49, šaknys 9+74=4\frac{9 + 7}{4} = 4 ir 9−74=12\frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}. Taigi 2(x−4)(x−12)=(x−4)(2x−1)2(x - 4)\left(x - \frac{1}{2}\right) = (x - 4)(2x - 1).

7. Kai x=−3x = -3, išdėstyk reiškinių reikšmes didėjimo tvarka: P=(x+1)2P = (x + 1)^2, Q=x2+1Q = x^2 + 1, R=(x−1)(x+1)R = (x - 1)(x + 1). Atsakymą užrašyk raidėmis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: P, R, Q.

P=(−2)2=4P = (-2)^2 = 4, Q=9+1=10Q = 9 + 1 = 10, R=(−4)⋅(−2)=8R = (-4) \cdot (-2) = 8. Atkreipk dėmesį: (x+1)2(x + 1)^2 nelygu x2+1x^2 + 1.

Sunkesni

8. Išskaidyk dauginamaisiais x3+2x2−9x−18x^3 + 2x^2 - 9x - 18.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: (x+2)(x−3)(x+3)(x + 2)(x - 3)(x + 3).

Grupuojame: x2(x+2)−9(x+2)=(x+2)(x2−9)x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 9). Antrasis skliaustas – kvadratų skirtumas, todėl (x+2)(x−3)(x+3)(x + 2)(x - 3)(x + 3).

9. Kokią didžiausią reikšmę gali įgyti reiškinys −x2+6x−4-x^2 + 6x - 4? Su kuria xx reikšme ji įgyjama?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 55, kai x=3x = 3.

Išskiriame dvinario kvadratą: −x2+6x−4=−(x2−6x+9)+9−4=5−(x−3)2-x^2 + 6x - 4 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 - 4 = 5 - (x - 3)^2. Iš 5 atimamas neneigiamas skaičius, todėl reiškinys didžiausias, kai (x−3)2=0(x - 3)^2 = 0, t. y. kai x=3x = 3.

10. Kiekvieną kvadrato kraštinę pailginus 3 cm, gautas naujas kvadratas, kurio plotas 51 cm² didesnis už pradinio kvadrato plotą. Kokio ilgio buvo pradinio kvadrato kraštinė?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 7 cm.

Tegu pradinio kvadrato kraštinė lygi xx cm. Plotų skirtumas (x+3)2−x2=6x+9(x + 3)^2 - x^2 = 6x + 9. Iš 6x+9=516x + 9 = 51 gauname x=7x = 7. Patikrinimas: 102−72=100−49=5110^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51.

11. A kursas. Atskliausk ir sutrauk reiškinį (x+3)3−x3−27(x + 3)^3 - x^3 - 27, o gautą daugianarį išskaidyk dauginamaisiais.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 9x2+27x=9x(x+3)9x^2 + 27x = 9x(x + 3).

Sumos kubas: (x+3)3=x3+9x2+27x+27(x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27. Atėmus x3x^3 ir 27, lieka 9x2+27x9x^2 + 27x, o iškėlus 9x9x gaunama 9x(x+3)9x(x + 3).

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo vienanaris skiriasi nuo daugianario?

Vienanaris yra viena sandauga, pavyzdžiui, minus 4 a kvadratu b. Daugianaris yra kelių vienanarių suma, pavyzdžiui, x kvadratu minus 3x plius 2. Pavienis vienanaris irgi laikomas daugianariu, turinčiu vieną narį. Jei reiškinyje dalijama iš raidės, pavyzdžiui, 3 padalyta iš x, tai jau ne daugianaris, o algebrinė trupmena.

Ar kvadratinę lygtį galima išspręsti skaidant dauginamaisiais?

Taip. Skaidoma ne pati lygtis, o jos kairioji pusė, kai dešinėje yra nulis. Sandauga lygi nuliui, kai bent vienas daugiklis lygus nuliui, todėl lygtis suskyla į dvi tiesines. Pavyzdžiui, x kvadratu minus 7x lygu nuliui virsta x, padaugintas iš (x minus 7), lygu nuliui, iš kur x lygu 0 arba 7.

Kaip neapsirikti dėl ženklų kubų sumos ir kubų skirtumo formulėse?

Pirmasis skliaustas turi tą patį ženklą, kuris yra tarp kubų: a kubu plius b kubu prasideda nuo a plius b, o a kubu minus b kubu – nuo a minus b. Antrajame skliauste yra a kvadratu, ab ir b kvadratu, o ženklas prieš ab visada priešingas pirmojo skliausto ženklui. Jei suabejojai, atskliausk: teisingoje formulėje visi viduriniai nariai vienas kitą panaikina.

Taip pat: Lygtys · Racionaliosios lygtys · Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos PUPP

Šaltiniai

  1. ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
  2. NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
  3. ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
  4. NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
  5. NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
  6. NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
  7. NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta:

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt