VBE formulių rinkinys: B kurso lapas ir skirtumai nuo A

Q: Kuo skiriasi A ir B kurso VBE formulių rinkiniai?

Tik I skyriuje, skirtame matematikos (B) egzaminui, yra dvinario kvadrato formulės, laipsnių ir šaknų taisyklės, sudėtinių procentų ir skritulio išpjovos formulės, trikampio ploto per aukštinę ir pusperimetrio formulės. Tik II skyriuje, skirtame matematikos (A) egzaminui, yra dvinario kubo, dvigubo kampo ir kampų sumos bei skirtumo formulės, trigonometrinių lygčių sprendiniai radianais, daugiau išvestinių taisyklių, integralai, kombinatorika ir tikimybės, vektoriai, nupjautinis kūgis, nupjautinė piramidė ir rutulio nuopjova. Aritmetinės progresijos ir liestinės lygties formulės abiejuose skyriuose vienodos.

Q: Ar formulių rinkinys duodamas ir VBE I daliai?

Pagal 2026 m. tvarką – taip: formulių rinkinį buvo leidžiama naudoti ir pirmojoje, ir antrojoje egzamino dalyje. Tais metais oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). 2026 m. spalio 7 d. NŠA paskelbė atnaujintų VBE užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Kokia tvarka galios 2027 m., paaiškės tik patvirtinus galutinį aprašą.

Q: Ar „formulynas“ ir „formulių rinkinys“ – tas pats?

Taip. „Formulynas“ – kasdienis žodis, o NŠA dokumento oficialus pavadinimas yra „Matematikos valstybinių brandos egzaminų formulių rinkinys“. Šiame puslapyje žodžiai „formulynas“, „formulių lapas“ ir „formulių rinkinys“ reiškia tą patį dokumentą.

Q: Ar 2027 metų VBE formulių rinkinys bus toks pat kaip 2026?

Kol kas nežinoma. 2026 m. spalio 7 d. NŠA paskelbė atnaujintų VBE užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Koks bus 2027 m. rinkinys, lems patvirtinta galutinė aprašo redakcija. Šiame puslapyje pateikta redakcija, kuri galiojo 2026 m. spalio 9 d.

Matematikos VBE formulių rinkinys – NŠA (Nacionalinės švietimo agentūros) parengtas formulių sąrašas matematikos valstybiniams brandos egzaminams (VBE). Pagal 2026 m. tvarką oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Tais metais šį priedą buvo leidžiama naudoti ir pirmojoje, ir antrojoje egzamino dalyje. Lape paaiškinta tik tai, ką reiškia kai kurios raidės, bet ne tai, kada formulę taikyti. Todėl toliau visas I skyrius pateiktas lentele, kurioje prie kiekvieno skyrelio parašyta, kada jį taikyti. Atskirose dalyse – kuo jis skiriasi nuo II skyriaus ir ką teks mokėti mintinai. II skyrius su tokiais pat paaiškinimais – puslapyje VBE formulės A lygis.

VBE formulių lapas

Abu skyriai yra tame pačiame aprašo PDF faile, jo nuoroda – šios dalies pabaigoje. I skyriuje yra 16 sunumeruotų skyrelių, II skyriuje – 22. Žemiau I skyrius perkeltas į lentelę ta pačia tvarka kaip lape. Kiekvienos eilutės paaiškinimas prasideda lapo skyrelio numeriu ir trumpu pavadinimu.

Čia pateiktas 2026 m. rinkinys, nes 2027 m. aprašas dar nepatvirtintas. 2026 m. spalio 7 d. NŠA paskelbė atnaujintų VBE užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Koks bus 2027 m. formulių rinkinys, paaiškės tik patvirtinus galutinį aprašą. Apie patį egzaminą ir pasiruošimą jam – puslapyje matematikos VBE.

Kasdienėje kalboje šis dokumentas dar vadinamas formulynu, o oficialiai – formulių rinkiniu.

Lenteles galima atsispausdinti naršyklės spausdinimo komanda (Ctrl+P, „Mac“ kompiuteryje ⌘P): puslapis spausdinamas baltame fone, o lentelių eilutės neskaidomos per du lapus.

NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniais (PDF)

Matematikos formulynas: bendrasis kursas

I skyrius skirtas matematikos (B) egzaminui. B kursas – tai bendrasis kursas, todėl šis skyrius ir yra bendrojo kurso formulynas.

Pirmiausia – trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelė, kuri lape yra 5 skyrelyje „Trigonometrija“. Kampai joje užrašyti tik laipsniais. Toliau – visi 16 skyrelių eilės tvarka. 5 skyrelis padalytas į dvi eilutes: tapatybės ir lygčių sprendiniai. Sąlygos skliaustuose, pavyzdžiui, $(a \neq 0)$ , išspausdintos ir lape.

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \alpha = & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ \hline \sin \alpha = & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \cos \alpha = & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline \operatorname{tg} \alpha = & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{–} \end{array}

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \end{gathered}$	1. Greitoji daugyba – kai reikia atskliausti dvinario kvadratą arba išskaidyti kvadratų skirtumą dauginamaisiais.Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} a^{-n} = \frac{1}{a^n} \; (a \neq 0) \\ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \\ (a > 0,\ n \in \mathbb{N},\ m \in \mathbb{Z},\ n > 1) \\ a^n \cdot a^m = a^{n+m} \\ a^n : a^m = a^{n-m} \\ (a^n)^m = a^{n \cdot m} \\ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \\ a^n : b^n = (a : b)^n \end{gathered}$	2. Laipsniai – kai laipsnius reikia sudauginti, padalyti ar pakelti laipsniu arba trupmeninį rodiklį pakeisti šaknimi, pavyzdžiui, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ .Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \\ \text{jei } \sqrt[n]{a} = b, \text{ tai } b^n = a \\ (n \in \mathbb{N},\ n > 1) \\ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \\ \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b} \\ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a} \\ \left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k} \end{gathered}$	3. Šaknys – kai reikia sudauginti ar padalyti to paties laipsnio šaknis, sutraukti šaknį iš šaknies arba šaknį pakelti laipsniu. Lape nėra sąlygų skaičiams $a$ ir $b$ : kai $n$ lyginis, jie turi būti neneigiami, o dalijant $b > 0$ .Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} a^{\log_a b} = b \\ \text{jei } \log_a b = c, \text{ tai } a^c = b \\ (a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0) \\ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \\ \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) \\ k \log_a b = \log_a \left(b^k\right) \end{gathered}$	4. Logaritmai – kai logaritmą reikia paversti laipsniu (ir atvirkščiai), pavyzdžiui, $\log_2 8 = 3$ , nes $2^3 = 8$ . Taip pat kai logaritmų sumą, skirtumą ar daugiklį reikia sutraukti į vieną logaritmą.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$\begin{gathered} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \\ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \end{gathered}$	5. Trigonometrija (tapatybės) – kai žinoma viena kampo funkcija ir reikia rasti kitas arba suprastinti trigonometrinį reiškinį.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \text{Jei } \sin x = a,\ a \in [-1; 1], \text{ tai:} \\ x = (-1)^k \arcsin a + 180^\circ \cdot k,\ k \in \mathbb{Z} \\ \text{Jei } \cos x = a,\ a \in [-1; 1], \text{ tai:} \\ x = \pm \arccos a + 360^\circ \cdot k,\ k \in \mathbb{Z} \\ \text{Jei } \operatorname{tg} x = a,\ a \in \mathbb{R}, \text{ tai:} \\ x = \operatorname{arctg} a + 180^\circ \cdot k,\ k \in \mathbb{Z} \end{gathered}$	5. Trigonometrija (lygtys) – kai reikia užrašyti visus lygties $\sin x = a$ ar $\cos x = a$ sprendinius; $k$ – bet koks sveikasis skaičius. Čia $\arcsin a$ , $\arccos a$ ir pridedami nariai $180^\circ \cdot k$ , $360^\circ \cdot k$ užrašomi laipsniais, pavyzdžiui, $\arccos \frac{1}{2} = 60^\circ$ . Lygties $\operatorname{tg} x = a$ formulė lape irgi yra, nors bendrojo (B) kurso programoje lygtys su tangentu nenagrinėjamos.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} a_n = a_1 + d(n-1) \\ d = a_{n+1} - a_n \\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \\ = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n \end{gathered}$	6. Aritmetinė progresija – kai kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tuo pačiu skaičiumi $d$ : rasti narį, skirtumą ar pirmųjų $n$ narių sumą.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$\begin{gathered} b_n = b_1 q^{n-1} \\ q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ S_n = \frac{b_1 - q b_n}{1 - q} \\ = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} \end{gathered}$	7. Geometrinė progresija – kai kiekvienas narys gaunamas ankstesnį padauginus iš to paties skaičiaus $q$ : rasti narį, vardiklį ar pirmųjų $n$ narių sumą. Sumos formulės tinka, kai $q \neq 1$ ; kai $q = 1$ , $S_n = n b_1$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$S_n = S_0 \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$	8. Sudėtiniai procentai – kai dydis $S_0$ kelis kartus iš eilės padidėja arba sumažėja tuo pačiu procentu $p$ ; $n$ – kiek kartų. Pliusas imamas, kai dydis didėja, minusas – kai mažėja. Pavyzdžiui, jei 200 du kartus iš eilės padidėja po 10 %, gauname $200 \cdot 1{,}1^2 = 242$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Procentai
$\begin{gathered} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \angle A \\ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} \\ = \frac{c}{\sin \angle C} = 2R \\ S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} ab \cdot \sin \angle C \\ = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ = rp = \frac{abc}{4R} \\ p = \frac{a+b+c}{2} \end{gathered}$	9. Trikampis – kai iš žinomų kraštinių ir kampų reikia rasti likusią kraštinę, kampą ar plotą. $h_a$ – į kraštinę $a$ nuleista aukštinė, $p$ – pusperimetris, $r$ ir $R$ – įbrėžto ir apibrėžto apskritimų spinduliai.Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} S_{\text{išpj.}} = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha \\ C_{\text{išpj.}} = \frac{2\pi R}{360} \cdot \alpha \end{gathered}$	10. Skritulio išpjova – išpjovos plotas ir jos lanko ilgis, kai kampas $\alpha$ duotas laipsniais.Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} S = 2\pi R H \\ V = \pi R^2 H \end{gathered}$	11. Ritinys – šoninio paviršiaus plotas ir tūris; $R$ – pagrindo spindulys, $H$ – aukštinė.Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} S = \pi R l \\ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \end{gathered}$	12. Kūgis – šoninio paviršiaus plotas su sudaromąja $l$ ir tūris su aukštine $H$ .Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} S = 4\pi R^2 \\ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \end{gathered}$	13. Rutulys – rutulio paviršiaus plotas ir tūris, kai žinomas spindulys $R$ .Yra VBE B kurso formulių lape
$V = \frac{1}{3} S H$	14. Piramidės tūris – bet kokiai piramidei; $S$ – pagrindo plotas, $H$ – aukštinė.Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} \left(c\, f(x)\right)' = c\, f'(x) \\ \left(f(x) + g(x)\right)' = f'(x) + g'(x) \\ \left(f(x) - g(x)\right)' = f'(x) - g'(x) \\ (x^n)' = n\, x^{n-1} \end{gathered}$	15. Išvestinės – kai reikia rasti daugianario išvestinę: kiekvieno dėmens išvestinė imama atskirai, o pastovus daugiklis iškeliamas prieš išvestinę. Pavyzdžiui, $(3x^2 - 5x)' = 3 \cdot 2x - 5 = 6x - 5$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$	16. Liestinės lygtis – kai reikia parašyti funkcijos grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė (x koordinatė) lygi $x_0$ ; $f'(x_0)$ – liestinės krypties koeficientas.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės

Kuo skiriasi A ir B kurso formulių rinkiniai

Čia lyginama tik tai, kas išspausdinta: kas yra I skyriuje (matematikos B), bet nėra II skyriuje (matematikos A), ir atvirkščiai. Visi 22 II skyriaus skyreliai su paaiškinimais – puslapyje VBE formulės A lygis.

Kai kurios dalys sutampa visiškai: aritmetinė progresija (I skyriaus 6 ir II skyriaus 4 skyrelis) ir liestinės lygtis (abiejuose – 16 skyrelis).

Abiejuose skyriuose yra ir kosinusų bei sinusų teoremos, ritinio, kūgio ir rutulio formulės, piramidės tūris. Abiejuose yra ir geometrinės progresijos nario, vardiklio ir sumos formulės, ir logaritmų sumos, skirtumo ir daugiklio taisyklės. II skyriuje kūnų plotai tik pažymėti kitaip – su indeksu „šon.pav.“ arba „pav.“. Skirtumai:

Greitoji daugyba: I skyriuje – dvinario kvadrato ir kvadratų skirtumo formulės, II skyriuje – dvinario kubo ir kubų sumos bei skirtumo formulės.
Laipsnių ir šaknų taisyklės, tarp jų trupmeninio rodiklio pakeitimas šaknimi, yra tik I skyriuje.
Logaritmai: tik I skyriuje yra apibrėžimas su sąlygomis pagrindui ir logaritmuojamam skaičiui. Tik II skyriuje yra perėjimas prie kito pagrindo ir taisyklė logaritmui, kurio pagrindas – laipsnis.
Trigonometrija: trys pagrindinės tapatybės yra I skyriuje, o dvigubo kampo ir kampų sumos bei skirtumo formulės – II skyriuje. I skyriaus reikšmių lentelė ir lygčių sprendiniai užrašyti laipsniais, II skyriaus – radianais (lentelėje kartu ir laipsniais).
Geometrinė progresija: nykstamosios progresijos visų narių suma yra tik II skyriuje.
Sudėtinių procentų formulė ir skritulio išpjovos ploto bei lanko ilgio formulės yra tik I skyriuje.
Išvestinės: I skyriuje – pastovaus daugiklio, sumos, skirtumo ir laipsninės funkcijos taisyklės; II skyriuje – sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos taisyklės bei sinuso, kosinuso, tangento, rodiklinės ir logaritminės funkcijų išvestinės.
Tik II skyriuje: vektoriai, nupjautinis kūgis, rutulio nuopjova, nupjautinė piramidė, integralai, sukinio tūris, kombinatorika, atsitiktinis dydis, binominiai bandymai ir Niutono binomo formulė.
Trikampio plotas: tik I skyriuje yra ploto formulė su aukštine ir pusperimetrio formulė. II skyriuje pusperimetris tik įvardytas žodžiu.
Ką tai reiškia A kurso mokiniui: 2026 m. apraše nenurodyta, ar matematikos (A) egzamine kartu duodamas ir I skyrius. II skyriuje nėra laipsnių ir šaknų taisyklių, tapatybės $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ ir išvestinių $(x^n)' = n x^{n-1}$ , $(c \cdot f)'$ , $(f \pm g)'$ . Todėl jas saugiau mokėti mintinai.

VBE formulės A kursui II skyrius: visi 22 skyreliai su paaiškinimais, pavyzdys ir uždaviniai.

Ko nėra nė viename VBE formulių lape

Žemiau esančios lentelės formulių nerasi nei I, nei II skyriuje, todėl jas teks mokėti mintinai. Pirmosios penkios yra PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) formulių lape, bet į VBE rinkinį neįtrauktos.

Apskritimo ilgio ir skritulio ploto formulių atskirai nėra, bet I skyriaus išpjovos formulės su $\alpha = 360^\circ$ duoda būtent jas: $\frac{2\pi R}{360} \cdot 360 = 2\pi R$ ir $\frac{\pi R^2}{360} \cdot 360 = \pi R^2$ . II skyriuje išpjovos formulių nėra.

PUPP lapo formulės su paaiškinimais surinktos puslapyje PUPP formulių rinkinys.

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} D = b^2 - 4ac \\ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \end{gathered}$	Kvadratinės lygties $ax^2 + bx + c = 0$ sprendiniai, kai $a \neq 0$ ir $D \geq 0$ ; kai $D < 0$ , sprendinių nėra.Išmok mintinai · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$	Kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais; $x_1$ ir $x_2$ – lygties $ax^2 + bx + c = 0$ sprendiniai.Išmok mintinai · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$x_{\text{virš.}} = -\frac{b}{2a}$	Parabolės $y = ax^2 + bx + c$ viršūnės abscisė; ordinatę (y koordinatę) gausi įstatęs $x_{\text{virš.}}$ į funkcijos formulę.Išmok mintinai · Plačiau: Kvadratinė funkcija
$\begin{gathered} y = kx + b \\ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{gathered}$	Tiesė per taškus $(x_1; y_1)$ ir $(x_2; y_2)$ , kai $x_1 \neq x_2$ : $k$ – krypties koeficientas, o $b$ randamas įstačius vieno taško koordinates.Išmok mintinai
$180^\circ \cdot (n - 2)$	Visų $n$ -kampio kampų suma.Išmok mintinai
$c^2 = a^2 + b^2$	Pitagoro teorema stačiajame trikampyje: $c$ – įžambinė, $a$ ir $b$ – statiniai.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$\begin{gathered} C = 2\pi R \\ S = \pi R^2 \end{gathered}$	Apskritimo ilgis ir skritulio plotas (žr. pastabą apie išpjovos formules aukščiau).Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin \alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{c} \\ \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \end{gathered}$	Stačiajame trikampyje: $a$ – statinis prieš kampą $\alpha$ , $b$ – statinis prie kampo $\alpha$ , $c$ – įžambinė.Išmok mintinai

VBE formulių taikymo pavyzdžiai

Pirmajame pavyzdyje lapo formulės veikia kartu su formule, kurios lape nėra. Antrajame ta pati lygtis išspręsta abiem lapo užrašymo būdais – laipsniais ir radianais. Abiejuose parodyta klaida, kurią čia lengva padaryti.

Kūgio tūris ir šoninis paviršius

Vaikų žaidimų palapinė yra kūgio formos. Jos pagrindo spindulys $R = 1{,}5$ m, o aukštinė $H = 2$ m (žr. brėžinį). Apskaičiuok palapinės tūrį ir šoninio paviršiaus plotą, t. y. kiek audinio reikia jos šonui. Atsakymus užrašyk su $\pi$ ir apytiksliai šimtųjų tikslumu.

Aukštinė

H

, spindulys

R

ir sudaromoji

l

sudaro statųjį trikampį.

Lape, skyrelyje „Kūgis“, yra dvi formulės: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ ir $S = \pi R l$ . Tūriui reikia aukštinės $H$ , o šoniniam paviršiui – sudaromosios $l$ , kurios sąlygoje nėra.
Sudaromąją randame iš stačiojo trikampio, kurį sudaro aukštinė, spindulys ir sudaromoji. Pitagoro teoremos lape nėra, ją reikia mokėti: $\begin{aligned} l &= \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{2{,}25 + 4} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 \end{aligned}$ Taigi $l = 2{,}5$ m.
Tūris: $\begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \pi \cdot 1{,}5^2 \cdot 2 \\ &= \frac{1}{3} \pi \cdot 4{,}5 = 1{,}5\pi \end{aligned}$ Tai apie $4{,}71$ kubinio metro.
Šoninio paviršiaus plotas: $S = \pi \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}5 = 3{,}75\pi$ , t. y. apie $11{,}78$ kvadratinio metro.
Klaida, kurios reikia saugotis, – į šoninio paviršiaus formulę įstatyti aukštinę: $\pi \cdot 1{,}5 \cdot 2 = 3\pi$ . Taip gaunamas per mažas plotas. Aukštinė eina palapinės viduje ir yra trumpesnė už sudaromąją, o audinys dengia šoną, kurio ilgis nuo viršūnės iki pagrindo krašto lygus $l$ .

Atsakymas: $V = 1{,}5\pi \approx 4{,}71$ m³; $S = 3{,}75\pi \approx 11{,}78$ m².

Viena lygtis laipsniais ir radianais

Išspręsk lygtį $2\cos x - \sqrt{2} = 0$ . Sprendinius užrašyk laipsniais, kaip I skyriaus formulėje, ir radianais, kaip II skyriaus formulėje.

Perkeliame $\sqrt{2}$ į dešinę pusę: $2\cos x = \sqrt{2}$ . Dalijame iš 2: $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Ši reikšmė priklauso atkarpai $[-1; 1]$ , todėl sprendinių yra.
Iš reikšmių lentelės $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , todėl $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^\circ$ , arba radianais $\frac{\pi}{4}$ .
Laipsniais, pagal I skyriaus formulę $x = \pm \arccos a + 360^\circ \cdot k$ : $x = \pm 45^\circ + 360^\circ \cdot k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
Radianais, pagal II skyriaus formulę: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ . Tai tie patys kampai: $\frac{\pi}{4}$ atitinka $45^\circ$ , o $2\pi$ – pilną apsisukimą, $360^\circ$ .
Klaidingas užrašas: $x = \pm 45^\circ + 2\pi k$ . Jame sumaišyti vienetai: $45^\circ$ – laipsniai, o $2\pi \approx 6{,}28$ – radianai. Jei visą reiškinį skaitytume laipsniais, kai $k = 1$ , gautume $x \approx 45^\circ + 6{,}28^\circ = 51{,}28^\circ$ . O $\cos 51{,}28^\circ \approx 0{,}63$ , ne $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ . Viename sprendinyje visi dydžiai turi būti tais pačiais vienetais.
Patikriname radianais du sprendinius. Kai $k = 0$ : $2\cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ . Kai $k = 1$ : $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ , o kosinuso periodas lygus $2\pi$ , todėl $\cos \frac{9\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}$ .

Atsakymas: $x = \pm 45^\circ + 360^\circ \cdot k$ , arba radianais $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

VBE formulių lapo užduotys

Spręsk turėdamas lentelę prieš akis ir prie kiekvieno uždavinio pirmiausia rask tinkamą skyrelį.

Lengvesni

1. Kiekvienam uždaviniui A–D parink VBE formulių lapo skyrelį, kurio formulė jį išsprendžia. Skyreliai: „Aritmetinė progresija“, „Sudėtiniai procentai“, „Skritulio išpjova“, „Kūgis“, „Rutulys“. Vienas skyrelis liks nepanaudotas. Skaičiuoti nereikia – tik parink skyrelius. A) Apsaugos kamera mato iki 15 m atstumu, o jos matymo kampas lygus 110°. Kokio ploto aikštelės dalį ji stebi? B) Pirmą savaitę į taupyklę įdedami 5 eurai, o kiekvieną kitą savaitę – 1 euru daugiau nei ankstesnę. Kiek iš viso bus įdėta per 30 savaičių? C) Miestelyje gyvena 6000 žmonių ir kasmet gyventojų sumažėja 2 %. Kiek gyventojų bus po 5 metų? D) Kiek kvadratinių centimetrų odos reikia rutulio formos kamuoliui, kurio spindulys 11 cm, aptraukti?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A – „Skritulio išpjova“, B – „Aritmetinė progresija“, C – „Sudėtiniai procentai“, D – „Rutulys“; „Kūgis“ nepanaudotas.

A: kameros stebima dalis yra skritulio išpjova, kurios spindulys $15$ m, o kampas $110^\circ$ . B: kas savaitę įmoka padidėja tuo pačiu skaičiumi, todėl įmokos sudaro aritmetinę progresiją. C: tas pats dydis kasmet sumažėja tuo pačiu procentu. D: odos plotas lygus rutulio paviršiaus plotui.

2. Amfiteatro pirmoje eilėje yra 18 vietų, o kiekvienoje kitoje eilėje – 3 vietomis daugiau nei ankstesnėje. Iš viso yra 15 eilių. Kiek vietų yra amfiteatre?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 585 vietos.

Vietų skaičiai eilėse sudaro aritmetinę progresiją: $a_1 = 18$ , $d = 3$ , $n = 15$ , todėl $n - 1 = 14$ . Pagal sumos formulę $\begin{aligned} S_{15} &= \frac{2 \cdot 18 + 3 \cdot 14}{2} \cdot 15 \\ &= \frac{78}{2} \cdot 15 = 585 \end{aligned}$

Vidutiniai

3. Apskaičiuok $\log_6 27 + 2\log_6 4 - \log_6 2$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 3.

Pagal taisyklę $k \log_a b = \log_a \left(b^k\right)$ : $2\log_6 4 = \log_6 4^2 = \log_6 16$ . Sumą paverčiame sandaugos, o skirtumą – dalmens logaritmu: $\log_6 \frac{27 \cdot 16}{2} = \log_6 (27 \cdot 8) = \log_6 216 = 3,$ nes $6^3 = 216$ .

4. Parašyk funkcijos $f(x) = x^3 - 4x + 1$ grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė $x_0 = 2$ . Atsakymą užrašyk pavidalu $y = kx + b$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $y = 8x - 15$ .

$f(2) = 8 - 8 + 1 = 1$ . Pagal išvestinių taisykles $f'(x) = 3x^2 - 4$ , todėl $f'(2) = 12 - 4 = 8$ . Įstatome į liestinės lygtį: $y = 8(x - 2) + 1 = 8x - 16 + 1 = 8x - 15$ .

5. Geometrinės progresijos pirmasis narys $b_1 = 2$ , o vardiklis $q = -3$ . Apskaičiuok pirmųjų penkių narių sumą $S_5$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 122.

Atkreipk dėmesį į ženklą: $(-3)^5 = -243$ , nes nelyginis neigiamo skaičiaus laipsnis yra neigiamas. Todėl $1 - (-3)^5 = 1 + 243$ . Pagal sumos formulę $\begin{aligned} S_5 &= \frac{2\left(1 - (-3)^5\right)}{1 - (-3)} \\ &= \frac{2(1 + 243)}{4} = 122 \end{aligned}$ Patikrinti galima sudėjus narius: $2 - 6 + 18 - 54 + 162 = 122$ .

Temos, kurias apima VBE formulės

Kiekvienos temos puslapyje formulės paaiškintos išsamiau, su išspręstais pavyzdžiais ir uždaviniais.

Palūkanos 7, 10–11 klasė; NMPP 8, PUPP, VBE (B)
Prizmė ir piramidė 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. tūris), VBE
Ritinys, kūgis, rutulys 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. formulės), VBE
Lygčių sistemos 8–11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Skaičių aibės ir modulis 8 ir 11 klasė, NMPP 8 ir VBE
Šaknys 8 ir 11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Vektoriai 8 ir 11 klasė (A kursas), VBE
Funkcijos 9–11 klasė, PUPP ir VBE
Kvadratinės nelygybės 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Tikimybės ir kombinatorika 10–12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Vienetinis apskritimas 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Logaritmai 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Progresijos 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Rodiklinė funkcija 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Trigonometrija 11–12 klasė, VBE
Integralai 12 klasė, A kursas, VBE
Išvestinės 12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Optimizavimo uždaviniai 12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Stereometrija 12 klasė, A ir B kursai, VBE
Matematikos VBE Ką apima egzaminas ir kaip kartoti temas.
PUPP formulių rinkinys Pagrindinio ugdymo patikrinimo formulių lapas su paaiškinimais.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo skiriasi A ir B kurso VBE formulių rinkiniai?

Tik I skyriuje, skirtame matematikos (B) egzaminui, yra dvinario kvadrato formulės, laipsnių ir šaknų taisyklės, sudėtinių procentų ir skritulio išpjovos formulės, trikampio ploto per aukštinę ir pusperimetrio formulės. Tik II skyriuje, skirtame matematikos (A) egzaminui, yra dvinario kubo, dvigubo kampo ir kampų sumos bei skirtumo formulės, trigonometrinių lygčių sprendiniai radianais, daugiau išvestinių taisyklių, integralai, kombinatorika ir tikimybės, vektoriai, nupjautinis kūgis, nupjautinė piramidė ir rutulio nuopjova. Aritmetinės progresijos ir liestinės lygties formulės abiejuose skyriuose vienodos.

Ar formulių rinkinys duodamas ir VBE I daliai?

Pagal 2026 m. tvarką – taip: formulių rinkinį buvo leidžiama naudoti ir pirmojoje, ir antrojoje egzamino dalyje. Tais metais oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). 2026 m. spalio 7 d. NŠA paskelbė atnaujintų VBE užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Kokia tvarka galios 2027 m., paaiškės tik patvirtinus galutinį aprašą.

Ar „formulynas“ ir „formulių rinkinys“ – tas pats?

Taip. „Formulynas“ – kasdienis žodis, o NŠA dokumento oficialus pavadinimas yra „Matematikos valstybinių brandos egzaminų formulių rinkinys“. Šiame puslapyje žodžiai „formulynas“, „formulių lapas“ ir „formulių rinkinys“ reiškia tą patį dokumentą.

Ar 2027 metų VBE formulių rinkinys bus toks pat kaip 2026?

Kol kas nežinoma. 2026 m. spalio 7 d. NŠA paskelbė atnaujintų VBE užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Koks bus 2027 m. rinkinys, lems patvirtinta galutinė aprašo redakcija. Šiame puslapyje pateikta redakcija, kuri galiojo 2026 m. spalio 9 d.

Taip pat: Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE · Matematikos VBE 1 dalis · Matematikos VBE 2 dalis

Šaltiniai

NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-10

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt