Optimizavimo uždaviniai: nuo sąlygos iki pilno sprendimo

Optimizavimo uždavinys – tai užduotis iš visų galimų variantų išrinkti geriausią: didžiausią talpą, mažiausią medžiagos kiekį, trumpiausią kelionės laiką. 12 klasėje jis sprendžiamas išvestine: iš sąlygos sudaroma vieno kintamojo funkcija, randama jos didžiausia arba mažiausia reikšmė, o atsakymas pagrindžiamas. Čia rasi sprendimo planą, keturis pavyzdžius su brėžiniais (vienas – A kursui), dažnas klaidas ir uždavinius su atsakymais.

Optimizavimo uždaviniai: kintamasis, tikslo funkcija ir apribojimai

Kiekviename optimizavimo uždavinyje yra trys dalys. Kintamasis – dydis, kurį galima keisti, pavyzdžiui, indo spindulys. Tikslo funkcija – dydis, kurio didžiausios arba mažiausios reikšmės ieškoma, pavyzdžiui, sunaudotos skardos plotas. Apribojimai – sąlygos, kurios susieja dydžius ir nurodo, kokias reikšmes kintamasis gali įgyti: ilgis negali būti neigiamas, tūris turi būti lygus duotam skaičiui.

Kodėl čia padeda išvestinė? Tarkime, intervalo viduje esančiame taške $x_0$ išvestinė teigiama. Tada funkcija ties $x_0$ didėja: šiek tiek dešiniau jos reikšmė didesnė, o šiek tiek kairiau – mažesnė. Todėl $x_0$ negali būti nei didžiausios, nei mažiausios reikšmės taškas. Jei išvestinė neigiama, viskas atvirkščiai: didesnė reikšmė yra kairiau, mažesnė – dešiniau. Vadinasi, intervalo viduje didžiausia ar mažiausia reikšmė gali būti tik ten, kur $f'(x) = 0$ arba išvestinės nėra. Tokie taškai vadinami kritiniais.

Kai tikslo funkcija kvadratinė, išvestinės galima ir nenaudoti. Tarkime, ieškai didžiausios reikšmės, o parabolės šakos nukreiptos žemyn. Jei viršūnė patenka į intervalą, kuriame gali kisti kintamasis, atsakymas yra viršūnėje. Mažiausios reikšmės taip ieškoma, kai šakos nukreiptos aukštyn. Kitais atvejais atsakymo ieškok intervalo galuose (žr. kvadratinė funkcija). Išvestinės reikia, pavyzdžiui, kai funkcija yra trečiojo laipsnio arba kai joje yra trupmena su $x$ vardiklyje ar šaknis. Diferencijavimo taisykles rasi puslapyje išvestinės. Žemiau – formulės, kurių prireikia šio puslapio uždaviniuose; prie kiekvienos pažymėta, ar ji yra valstybinio brandos egzamino (VBE) formulių lape.

Formulė	Kada taikyti
$f'(x_0) = 0$	Kritinio taško sąlyga: intervalo viduje didžiausia ar mažiausia reikšmė gali būti tik taške, kuriame išvestinė lygi nuliui arba jos nėra.Išmok mintinai
$\max_{[a;\,b]} f(x) = \max\{f(a);\ f(b);\ f(x_1);\ \ldots\}$	Atkarpoje $[a; b]$ didžiausia reikšmė – didžiausias skaičius iš reikšmių galuose ir kritiniuose taškuose $x_1, \ldots$ ; mažiausia randama lygiai taip pat.Išmok mintinai
$(x^n)' = n\, x^{n-1}$	Laipsninės funkcijos išvestinė; tinka ir neigiamam rodikliui: $\left(\frac{1}{x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\begin{gathered} \left(c\, f(x)\right)' = c\, f'(x) \\ \left(f(x) + g(x)\right)' = f'(x) + g'(x) \\ \left(f(x) - g(x)\right)' = f'(x) - g'(x) \end{gathered}$	Pastovų daugiklį iškelk prieš išvestinės ženklą, sumą ir skirtumą diferencijuok panariui.Yra VBE B kurso formulių lape
$S = 2\pi R H, \qquad V = \pi R^2 H$	Ritinio šoninio paviršiaus plotas ir tūris – dažna tikslo funkcijos ar apribojimo dalis; tos pačios formulės yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$	Kūgio tūris; ši formulė yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape

Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame intervale

Uždaras intervalas – tai atkarpa $[a; b]$ kartu su abiem galais. Jei funkcijos grafikas joje nenutrūksta, funkcija toje atkarpoje būtinai įgyja ir didžiausią, ir mažiausią reikšmę. Jos gali būti tik kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose, todėl ieškoma taip:

apskaičiuok išvestinę ir išspręsk lygtį $f'(x) = 0$ ; kai $f$ – trečiojo laipsnio daugianaris, ši lygtis kvadratinė (žr. kvadratinės lygtys);
palik tik tuos kritinius taškus, kurie priklauso atkarpai $[a; b]$ ;
apskaičiuok funkcijos reikšmes šiuose taškuose ir abiejuose galuose $a$ ir $b$ ;
didžiausias iš gautų skaičių yra didžiausia reikšmė, mažiausias – mažiausia.

Didžiausia reikšmė atkarpos gale

Rask funkcijos $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$ didžiausią ir mažiausią reikšmes atkarpoje $[0; 3]$ .

Ties

x = 1

grafikas turi „kalnelį“, bet aukščiausias grafiko taškas yra ties dešiniuoju atkarpos galu.

Išvestinė: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$ .
Kritiniai taškai $x = 1$ ir $x = 2$ . Abu priklauso atkarpai $[0; 3]$ .
Reikšmės kritiniuose taškuose: $f(1) = 2 - 9 + 12 - 1 = 4$ ir $f(2) = 16 - 36 + 24 - 1 = 3$ .
Reikšmės galuose: $f(0) = -1$ ir $f(3) = 54 - 81 + 36 - 1 = 8$ .
Palyginame keturis skaičius $-1$ , $4$ , $3$ ir $8$ . Didžiausias yra $8$ , mažiausias $-1$ , ir abu jie – atkarpos galuose.
Dažna klaida – atsakyti „didžiausia reikšmė 4“. Taškas $x = 1$ yra maksimumo taškas, bet tik vietinis: šalia jo reikšmės mažesnės, o atkarpos gale funkcija pakyla dar aukščiau.

Atsakymas: didžiausia reikšmė $8$ (kai $x = 3$ ), mažiausia reikšmė $-1$ (kai $x = 0$ ).

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę?

Mažiausios reikšmės ieškoma tuo pačiu planu kaip ir didžiausios. Tačiau optimizavimo uždavinyje kintamasis gali kisti atvirame intervale, t. y. be galų, pavyzdžiui, $R > 0$ arba $0 < x < 5$ . Galų reikšmių tada apskaičiuoti negalima arba jos neturi prasmės: indas, kurio spindulys lygus nuliui, – jau ne indas.

Tada remiamasi išvestinės ženklu. Jei intervale yra vienintelis kritinis taškas ir išvestinė jame keičia ženklą iš minuso į pliusą, funkcija iki jo mažėja, o po jo didėja. Vadinasi, tame taške yra mažiausia reikšmė visame intervale, ne tik šalia taško. Didžiausiai reikšmei ženklas keičiasi iš pliuso į minusą.

Mažiausiai skardos ritinio formos talpai

Iš skardos gaminama ritinio formos talpa be dangčio. Jos tūris turi būti $64\pi\ \text{dm}^3$ (apie 201 litrą). Koks turi būti talpos pagrindo spindulys ir aukštis, kad skardos reikėtų mažiausiai? Siūlių ir atraižų nepaisyk.

Skardos reikia dugnui (plotas

\pi R^2

) ir šonui (plotas

2\pi R H

Kintamasis – spindulys $R$ (dm), $R > 0$ . Aukštį išreiškiame iš tūrio: $\pi R^2 H = 64\pi$ , todėl $H = \frac{64}{R^2}$ .
Tikslo funkcija – skardos plotas: $\begin{aligned} S(R) &= \pi R^2 + 2\pi R \cdot \frac{64}{R^2} \\ &= \pi R^2 + \frac{128\pi}{R} \end{aligned}$
Išvestinė. Kadangi $\frac{128\pi}{R} = 128\pi R^{-1}$ , šio dėmens išvestinė lygi $-\frac{128\pi}{R^2}$ . Todėl $\begin{aligned} S'(R) &= 2\pi R - \frac{128\pi}{R^2} \\ &= \frac{2\pi R^3 - 128\pi}{R^2} = \frac{2\pi(R^3 - 64)}{R^2} \end{aligned}$
$S'(R) = 0$ , kai $R^3 = 64$ , t. y. $R = 4$ . Kai $0 < R < 4$ , $R^3 < 64$ ir $S'(R) < 0$ ; kai $R > 4$ , $S'(R) > 0$ . Ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, todėl $R = 4$ yra mažiausios reikšmės taškas.
Aukštis $H = \frac{64}{16} = 4$ dm, skardos plotas $S(4) = 16\pi + 32\pi = 48\pi \approx 150{,}8\ \text{dm}^2$ .

Atsakymas: spindulys 4 dm, aukštis 4 dm; skardos reikės $48\pi \approx 150{,}8\ \text{dm}^2$ .

Kaip nustatyti funkcijos didžiausią reikšmę?

Rasti kritinį tašką dar neužtenka: reikia nustatyti ir parodyti, kad jame reikšmė tikrai didžiausia. Todėl optimizavimo uždavinio sprendimą užrašyk visą. Kai matyti kiekvienas žingsnis, lengviau pastebėti klaidą. Žingsniai tokie:

pažymėk kintamąjį ir parašyk jo matavimo vienetą;
kitus dydžius išreikšk per tą kintamąjį, naudodamasis sąlyga;
užrašyk, kokias reikšmes kintamasis gali įgyti;
sudaryk tikslo funkciją, rask jos išvestinę ir kritinius taškus;
pagrįsk, kodėl rastame taške reikšmė didžiausia: išvestinės ženklais arba palygindamas reikšmes;
atsakyk būtent į klausimą ir nepamiršk matavimo vienetų.

Didžiausi vartai parabolės formos arkoje

Angaro galinės sienos kontūras – parabolės formos arka. Koordinačių sistemoje, kurios $x$ ašis eina žemės paviršiumi, o $y$ ašis – arkos simetrijos ašimi, arka aprašoma lygtimi $y = 12 - x^2$ (ilgiai metrais). Sienoje daromi stačiakampiai vartai: apatiniai jų kampai yra ant žemės, viršutiniai – ant arkos. Kokio pločio ir aukščio turi būti vartai, kad jų plotas būtų didžiausias? Koks tas plotas? Užrašyk pilną sprendimą.

Vartų plotis

2x

, aukštis

12 - x^2

Kintamasis. Tegu viršutinis dešinysis vartų kampas yra taške $(x; 12 - x^2)$ , $x$ – metrais. Arka simetriška $y$ ašies atžvilgiu, todėl kairysis viršutinis kampas yra taške $(-x; 12 - x^2)$ .
Kiti dydžiai per $x$ : vartų plotis $2x$ , aukštis $12 - x^2$ .
Galimos reikšmės. Plotis teigiamas: $x > 0$ . Aukštis teigiamas: $12 - x^2 > 0$ , t. y. $x < \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Taigi $0 < x < 2\sqrt{3}$ .
Tikslo funkcija: $S(x) = 2x(12 - x^2) = 24x - 2x^3$ Išvestinė $S'(x) = 24 - 6x^2 = 6(2 - x)(2 + x)$ . Lygties $S'(x) = 0$ sprendiniai yra $x = 2$ ir $x = -2$ , bet intervalui priklauso tik $x = 2$ .
Pagrindimas. Kai $0 < x < 2$ , $S'(x) > 0$ ir plotas didėja; kai $2 < x < 2\sqrt{3}$ , $S'(x) < 0$ ir plotas mažėja. Vadinasi, $x = 2$ yra maksimumo taškas, o kito kritinio taško intervale nėra, todėl čia plotas didžiausias.
Atsakymas į klausimą. Plotis $2 \cdot 2 = 4$ m, aukštis $12 - 2^2 = 8$ m, plotas $S(2) = 48 - 16 = 32\ \text{m}^2$ . Patikrinimas: kai $x = 1$ , $S = 22$ , o kai $x = 3$ , $S = 18$ – abu mažesni už 32.

Atsakymas: vartai turi būti 4 m pločio ir 8 m aukščio; didžiausias plotas $32\ \text{m}^2$ .

A kursas: optimizavimo uždaviniai su šaknimi ir sudėtine funkcija

A kurse tikslo funkcijoje gali būti šaknis, $e^x$ , $\ln x$ ar trigonometrinės funkcijos, todėl prireikia sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinių. Atstumas tarp dviejų taškų dažnai užrašomas šaknimi iš kvadratų sumos (žr. Pitagoro teorema). Tokios šaknies išvestinė randama pagal sudėtinės funkcijos taisyklę.

Formulė	Kada taikyti
$\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	A kursas: sudėtinės funkcijos išvestinė – išorinės funkcijos išvestinė, padauginta iš vidinės funkcijos išvestinės.Yra VBE A kurso formulių lape
$\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$	A kursas: šaknies išvestinė, pavyzdžiui, $\left(\sqrt{x^2 + 9}\right)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ . Gaunama iš laipsnio formulės ( $\sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ ) ir sudėtinės funkcijos taisyklės.Išmok mintinai

Kur pasukti nuo kelio, kad kelionė truktų trumpiausiai

Žygeivis stovi tiesaus miško kelio taške $A$ . Stovyklavietė $S$ yra miške, 3 km nuo kelio, o arčiausiai jos esantis kelio taškas $B$ nutolęs nuo $A$ 6 km. Keliu žygeivis eina 5 km/h greičiu, o mišku tiesia linija – 3 km/h greičiu. Į mišką jis gali pasukti bet kuriame atkarpos $AB$ taške $P$ . Kiek kilometrų nuo $A$ jam reikia pasukti, kad iki stovyklavietės nueitų greičiausiai? Kiek laiko truks kelionė?

PB = x

AP = 6 - x

, o mišku einamas atstumas

PS = \sqrt{x^2 + 9}

Kintamasis $x = PB$ (km), $0 \le x \le 6$ . Keliu einama $6 - x$ km, mišku – $PS = \sqrt{x^2 + 3^2} = \sqrt{x^2 + 9}$ km (Pitagoro teorema stačiajame trikampyje $PBS$ ).
Kelionės laikas valandomis: $T(x) = \frac{6 - x}{5} + \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3}$
Išvestinė: $\begin{aligned} T'(x) &= -\frac{1}{5} + \frac{2x}{3 \cdot 2\sqrt{x^2 + 9}} \\ &= -\frac{1}{5} + \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 9}} \end{aligned}$
$T'(x) = 0$ , kai $\frac{x}{3\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{5}$ , t. y. $5x = 3\sqrt{x^2 + 9}$ . Abi pusės neneigiamos, todėl keliame kvadratu: $25x^2 = 9x^2 + 81$ , $16x^2 = 81$ , $x^2 = \frac{81}{16}$ , $x = \frac{9}{4} = 2{,}25$ (neigiamas sprendinys netinka).
Atkarpa uždara, todėl palyginame reikšmes. Kai $x = 2{,}25$ , $PS = \sqrt{5{,}0625 + 9} = 3{,}75$ ir $T = \frac{6 - 2{,}25}{5} + \frac{3{,}75}{3} = 0{,}75 + 1{,}25 = 2$ h. Galuose $T(0) = 1{,}2 + 1 = 2{,}2$ h ir $T(6) = \frac{\sqrt{45}}{3} \approx 2{,}24$ h. Mažiausia reikšmė – 2 h.
Klausiama atstumo nuo $A$ : $AP = 6 - 2{,}25 = 3{,}75$ km.

Atsakymas: pasukti reikia 3,75 km nuo $A$ (2,25 km iki $B$ ); kelionė truks 2 valandas.

Dažnos klaidos optimizavimo uždaviniuose

Pamirštami atkarpos galai. Kritiniame taške gali būti tik vietinis maksimumas, o didžiausia reikšmė – gale, kaip pirmajame pavyzdyje.
Neužrašoma, kokias reikšmes gali įgyti kintamasis. Tada atsakyme lieka netinkamas lygties $f'(x) = 0$ sprendinys, pavyzdžiui, $x = -2$ vartų uždavinyje, nors plotis negali būti neigiamas.
Tikslo funkcijoje paliekami du kintamieji. Jei reiškinį $\pi R^2 + 2\pi R H$ diferencijuosi pagal $R$ , laikydamas $H$ pastoviu, gausi neteisingą atsakymą, nes $H$ kinta kartu su $R$ . Pirmiausia iš sąlygos išreikšk $H$ per $R$ .
Kritinis taškas paskelbiamas atsakymu be pagrindimo. Lygybė $f'(x_0) = 0$ dar nesako, ar tai maksimumas, ar minimumas, ar nė vienas iš jų: funkcijos $y = x^3$ išvestinė taške 0 lygi nuliui, bet ekstremumo ten nėra. Patikrink ženklus arba palygink reikšmes.
Atsakoma ne į klausimą. Rastas kintamasis dažnai dar nėra atsakymas: gali būti klausiama matmenų, pačios didžiausios reikšmės ar atstumo nuo kito taško, kaip žygeivio uždavinyje.

Optimizavimo uždaviniai ir VBE: priemonės ir formulių lapas

Optimizavimo uždavinių mokomasi 12 (IV gimnazijos) klasėje ir B, ir A kurse. B kurse išvestinė skaičiuojama laipsninėms funkcijoms su sveikuoju rodikliu (pavyzdžiui, $x^3$ ar $\frac{1}{x} = x^{-1}$ ) ir jų sumoms; tokios yra ir talpos pavyzdžio, 7 ir 8 uždavinių funkcijos. B kurse tiriamos tik daugianarių iki trečiojo laipsnio savybės ir braižomi jų grafikų eskizai. A kurse prisideda sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės, taip pat funkcijos $e^x$ , $\ln x$ ir trigonometrinės funkcijos. Kaip sudaryta antroji egzamino dalis, rasi puslapyje matematikos VBE 2 dalis.

Egzamino dalys. 2026 m. tvarka: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje.
Kurioje dalyje gali būti optimizavimo uždavinių. Matematikos bendrojoje programoje nurodyta: pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Optimizavimo uždaviniai, sprendžiami išvestine, yra 12 klasės turinys, todėl tokių uždavinių gali būti tik antrojoje dalyje.
Antroji dalis. 2026 m. tvarka jos vykdymo būdas – tradicinis. Užduotį sudarė du skyriai: pirmajame (apraše – „I dalis“) 10 trumpojo atsakymo uždavinių po 1 tašką, iš viso 10 taškų; antrajame (apraše – „II dalis“) 7–10 pilnojo sprendimo uždavinių, iš viso 50 taškų; iš viso 60 taškų; trukmė 240 min.; užduotis pateikiama sąsiuviniu, atsakymai rašomi atsakymų lape. Vadinasi, antrąją dalį sprendi popieriuje.
Leidžiamos priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
Formulių rinkinys, 2026 m. tvarka: oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). I skyriuje (B) yra laipsnio, pastovaus daugiklio, sumos ir skirtumo išvestinės, ritinio ir kūgio formulės. II skyriuje (A) yra sudėtinės funkcijos išvestinė, o ritinio ir kūgio formulės – ir ten. Nė viename skyriuje nėra kritinio taško sąlygos ir taisyklės „palygink reikšmes galuose ir kritiniuose taškuose“, todėl jas išmok. Šio puslapio žymos „Yra VBE … formulių lape“ rodo būtent šį rinkinį. Plačiau – VBE formulių rinkiniai.
2027 m. tvarka. Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai viešai derinami nuo 2026 m. spalio 7 d. Kol jie nepatvirtinti, čia aprašyta 2026 m. tvarka.

NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF)
ŠMSM: Atmintinė abiturientams 2025–2026 (PDF)
Matematikos VBE Egzamino sandara ir pasiruošimas.
VBE: A ir B kursas Kuo skiriasi kursų turinys.

Optimizavimo uždaviniai su atsakymais

Uždaviniams, pažymėtiems „A kursas“, reikia A kurso išvestinių: sandaugos, sudėtinės funkcijos, rodiklinių ar trigonometrinių funkcijų. Tekstiniuose uždaviniuose pirmiausia sudaryk tikslo funkciją ir užrašyk, kokias reikšmes gali įgyti kintamasis.

Lengvesni

1. Rask funkcijos $f(x) = x^3 - 27x + 10$ didžiausią ir mažiausią reikšmes atkarpoje $[0; 4]$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: didžiausia $10$ (kai $x = 0$ ), mažiausia $-44$ (kai $x = 3$ ).

$f'(x) = 3x^2 - 27 = 3(x - 3)(x + 3)$ . Atkarpai priklauso tik $x = 3$ . Reikšmės: $f(0) = 10$ , $f(3) = 27 - 81 + 10 = -44$ , $f(4) = 64 - 108 + 10 = -34$ . Didžiausia iš jų 10, mažiausia $-44$ .

2. Rask funkcijos $f(x) = 6x - x^2$ didžiausią ir mažiausią reikšmes atkarpoje $[4; 7]$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: didžiausia $8$ (kai $x = 4$ ), mažiausia $-7$ (kai $x = 7$ ).

$f'(x) = 6 - 2x = 0$ , kai $x = 3$ , bet šis taškas atkarpai nepriklauso. Atkarpoje $f'(x) < 0$ , funkcija mažėja, todėl lieka galai: $f(4) = 8$ , $f(7) = -7$ .

3. Sugretink funkcijas su jų didžiausiomis reikšmėmis atkarpoje $[0; 2]$ . Funkcijos: 1) $y = 3x - x^3$ ; 2) $y = x^3 - 3x^2 + 4$ ; 3) $y = 6x - 2x^2$ ; 4) $y = x^2 + 1$ . Reikšmės: A) $4{,}5$ ; B) $5$ ; C) $2$ ; D) $6$ ; E) $4$ . Viena reikšmė lieka nepanaudota.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – C, 2 – E, 3 – A, 4 – B.

1) Kritinis taškas $x = 1$ , $y(1) = 2$ . 2) Kritiniai taškai $0$ ir $2$ sutampa su galais: $y(0) = 4$ , $y(2) = 0$ . 3) Kritinis taškas $x = 1{,}5$ , $y = 4{,}5$ . 4) Funkcija atkarpoje didėja, $y(2) = 5$ .

Vidutiniai

4. Iš stačiakampio skardos lakšto, kurio matmenys 18 cm ir 48 cm, daroma atvira dėžutė varžtams: kampuose iškerpami vienodi kvadratai, o kraštai užlenkiami į viršų. Kokio ilgio turi būti iškerpamo kvadrato kraštinė, kad dėžutės tūris būtų didžiausias? Koks tas tūris?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 4 cm; tūris $1600\ \text{cm}^3$ .

Tegu kvadrato kraštinė $x$ cm. Trumpesnė dugno kraštinė $18 - 2x$ turi būti teigiama, todėl $0 < x < 9$ . Dugno matmenys $18 - 2x$ ir $48 - 2x$ , aukštis $x$ : $\begin{aligned} V(x) &= x(18 - 2x)(48 - 2x) \\ &= 4x^3 - 132x^2 + 864x \end{aligned}$ $V'(x) = 12x^2 - 264x + 864 = 12(x - 4)(x - 18)$ . Intervalui priklauso tik $x = 4$ ; prieš jį $V' > 0$ , po jo $V' < 0$ . $V(4) = 4 \cdot 10 \cdot 40 = 1600$ .

5. Stačiojo trikampio statinių ilgių suma lygi 15 cm. Trikampį sukant apie vieną statinį, gaunamas kūgis. Kokio ilgio turi būti statiniai, kad kūgio tūris būtų didžiausias? Apskaičiuok tą tūrį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: statinis, apie kurį sukama, – 5 cm, kitas – 10 cm; $V = \frac{500\pi}{3} \approx 523{,}6\ \text{cm}^3$ .

Statinis, apie kurį sukama, tampa kūgio aukštine $h$ , o kitas – pagrindo spinduliu $r$ : $h = 15 - r$ , $0 < r < 15$ . $V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 (15 - r) = \frac{\pi}{3}(15r^2 - r^3)$ $V'(r) = \frac{\pi}{3}(30r - 3r^2) = \pi r(10 - r)$ . Intervale $V'(r) = 0$ tik kai $r = 10$ , ir ženklas ten keičiasi iš pliuso į minusą. Tada $h = 5$ , $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 100 \cdot 5 = \frac{500\pi}{3}$ .

6. (A kursas) Rask funkcijos $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ didžiausią ir mažiausią reikšmes atkarpoje $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: didžiausia $1{,}5$ (kai $x = \frac{\pi}{6}$ ), mažiausia $1$ (kai $x = 0$ ir kai $x = \frac{\pi}{2}$ ).

$f'(x) = 2\cos x - 2\sin 2x$ . Kadangi $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ , $f'(x) = 2\cos x - 4\sin x\cos x = 2\cos x\,(1 - 2\sin x)$ . Atkarpoje $f'(x) = 0$ , kai $\sin x = \frac{1}{2}$ , t. y. $x = \frac{\pi}{6}$ , ir kai $\cos x = 0$ , t. y. $x = \frac{\pi}{2}$ . $f(0) = 1$ , $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 + \frac{1}{2} = 1{,}5$ , $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - 1 = 1$ .

Sunkesni

7. Parodos stendui spausdinamas stačiakampis plakatas. Spausdinamo teksto plotas turi būti $600\ \text{cm}^2$ , viršuje ir apačioje paliekamos 6 cm paraštės, kairėje ir dešinėje – 4 cm. Kokių matmenų turi būti plakatas, kad popieriaus reikėtų mažiausiai?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 28 cm pločio ir 42 cm aukščio (popieriaus plotas $1176\ \text{cm}^2$ ).

Tegu teksto plotis $x$ cm, tada jo aukštis $\frac{600}{x}$ cm, $x > 0$ . Prie pločio pridedame dvi paraštes po 4 cm, prie aukščio – dvi po 6 cm. Plakato plotas $\begin{aligned} P(x) &= (x + 8)\left(\frac{600}{x} + 12\right) \\ &= 696 + 12x + \frac{4800}{x} \end{aligned}$ $P'(x) = 12 - \frac{4800}{x^2} = 0$ , kai $x^2 = 400$ , $x = 20$ . Kai $x < 20$ , $P'(x) < 0$ , kai $x > 20$ , $P'(x) > 0$ , todėl čia plotas mažiausias. Tekstas užima $20 \times 30$ cm, plakatas – $28 \times 42$ cm.

8. Turistinis laivas plaukia upe 120 km pastoviu greičiu. Kai jo greitis $v$ km/h, kuras kainuoja $0{,}01v^3$ eurų per valandą, o kitos išlaidos – 160 eurų per valandą. Kokiu greičiu plaukiant visa kelionė kainuos mažiausiai ir kiek ji kainuos? Upės tėkmės nepaisyk.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 20 km/h; 1440 eurų.

Kelionė truks $\frac{120}{v}$ h, todėl jos kaina $\begin{aligned} K(v) &= \frac{120}{v}\left(0{,}01v^3 + 160\right) \\ &= 1{,}2v^2 + \frac{19200}{v}, \quad v > 0 \end{aligned}$ $K'(v) = 2{,}4v - \frac{19200}{v^2} = 0$ , kai $v^3 = 8000$ , $v = 20$ . Iki 20 išvestinė neigiama, po to teigiama, todėl tai mažiausia kaina: $K(20) = 480 + 960 = 1440$ .

9. (A kursas) Išgėrus vaisto, jo koncentracija kraujyje po $t$ valandų lygi $c(t) = 20t \cdot e^{-\frac{t}{2}}$ mg/l, $t \ge 0$ . Po kiek valandų koncentracija didžiausia ir kokia ji? Koncentraciją suapvalink iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: po 2 valandų; $c(2) = \frac{40}{e} \approx 14{,}7$ mg/l.

Pagal sandaugos ir sudėtinės funkcijos taisykles $c'(t) = 20e^{-\frac{t}{2}} - 10t\,e^{-\frac{t}{2}} = 10e^{-\frac{t}{2}}(2 - t)$ Kadangi $e^{-\frac{t}{2}} > 0$ , išvestinė lygi nuliui tik kai $t = 2$ ; prieš tai ji teigiama, po to neigiama. $c(2) = 40e^{-1} \approx 14{,}7$ .

Ritinys, kūgis ir rutulys Tūrio ir paviršiaus formulės, kurių reikia modeliams.
VBE uždaviniai su atsakymais Daugiau egzamino formato užduočių.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kas yra optimizavimo uždavinys?

Tai uždavinys, kuriame iš daugybės galimų variantų reikia rasti geriausią pagal vieną aiškiai nurodytą dydį. Matematiškai jis virsta funkcijos didžiausios ar mažiausios reikšmės paieška tam tikrame intervale. Svarbiausias žingsnis – ne išvestinė, o pati funkcija: ją reikia sudaryti iš sąlygos ir palikti joje tik vieną kintamąjį.

Kodėl uždarame intervale reikia tikrinti ir jo galus?

Lygtis „išvestinė lygi nuliui“ randa tik intervalo vidaus taškus, kuriuose grafikas gali turėti kalnelį ar duobutę. Bet funkcija gali didėti iki pat intervalo galo, ir tada didžiausia reikšmė bus gale, kur išvestinė nebūtinai lygi nuliui. Todėl uždarame intervale visada palyginamos reikšmės ir kritiniuose taškuose, ir abiejuose galuose.

Ar kiekviena funkcija turi didžiausią ir mažiausią reikšmę?

Ne. Funkcija y lygu x kvadratu visoje skaičių tiesėje turi mažiausią reikšmę 0, bet didžiausios neturi. Atvirame intervale gali nebūti nė vienos: funkcija y lygu x intervale nuo 0 iki 1 be galų artėja prie 0 ir prie 1, bet jų nepasiekia. Jei funkcija apibrėžta visoje atkarpoje su galais ir jos grafikas nenutrūksta, ji visada turi ir didžiausią, ir mažiausią reikšmę.

Taip pat: Išvestinės · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE · Matematikos VBE 2 dalis

Šaltiniai

ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; 7 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 2 p., 7.2.1–7.2.4 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt