Pitagoro teorema: formulė, atvirkštinė teorema ir atstumas tarp taškų

Kas yra įžambinė?

Įžambinė – stačiojo trikampio kraštinė, esanti prieš statųjį (90°) kampą. Ji visada ilgiausia iš trijų kraštinių. Kitos dvi kraštinės sudaro statųjį kampą ir vadinamos statiniais. Kad įžambinė ilgiausia, matyti ir iš pačios teoremos: kadangi $c^2 = a^2 + b^2$, tai $c^2$ didesnis ir už $a^2$, ir už $b^2$, todėl $c$ ilgesnė ir už $a$, ir už $b$.

Teoremą lengva įsivaizduoti per plotus: jei ant kiekvienos trikampio kraštinės nubraižysi kvadratą, didžiojo kvadrato plotas bus lygus dviejų mažesniųjų plotų sumai (žr. brėžinį).

Teorema svarbi, nes statieji trikampiai slypi beveik kiekvienoje figūroje. Stačiakampio įstrižainė padalija jį į du stačiuosius trikampius, lygiašonio trikampio aukštinė – taip pat. O atstumas tarp dviejų taškų koordinačių plokštumoje yra stačiojo trikampio įžambinė. Todėl Pitagoro teoremą taikysi ne tik geometrijoje, bet ir funkcijų, trigonometrijos bei fizikos uždaviniuose.

Pitagoro teoremos formulė ir kada ją taikyti

Lentelėje $a$ ir $b$ yra statiniai, o $c$ – įžambinė. Kai ieškai įžambinės, kvadratus sudedi. Kai ieškai statinio, iš įžambinės kvadrato atimi kito statinio kvadratą. Stačiakampio įstrižainė jį padalija į du stačiuosius trikampius, todėl ji randama ta pačia formule.

Tikslus kvadratas – tai sveikojo skaičiaus kvadratas: 4, 9, 16, 25, 36… Jei skaičius po šaknimi nėra tikslus kvadratas, šaknį suprastink. Užrašyk tą skaičių kaip sandaugą, kurioje vienas daugiklis yra kuo didesnis tikslus kvadratas, ir iš jo ištrauk šaknį. Pavyzdžiui, $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$. Taip atsakymas būna trumpesnis ir jį lengviau palyginti su atsakymų variantais. Palik tikslų atsakymą su šaknimi, nebent sąlyga prašo apvalinti.

Kvadrato įstrižainė jį dalija į du stačiuosius trikampius, kurių abu statiniai lygūs kraštinei $a$. Todėl įstrižainė lygi $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 \cdot 2} = a\sqrt{2}$. Pavyzdžiui, kai kraštinė 5 cm, įstrižainė $\sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm.

Atvirkštinė Pitagoro teorema padeda patikrinti, ar trikampis statusis, kai žinomi tik kraštinių ilgiai. Ji sako: jei ilgiausios kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, trikampis yra statusis, o statusis kampas yra prieš ilgiausią kraštinę. Pavyzdžiui, trikampis su kraštinėmis 5, 12 ir 13 yra statusis, nes $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Vėliau, kai mokysiesi spręsti kvadratines lygtis, sutiksi uždavinių, kur abu statiniai išreikšti tuo pačiu nežinomuoju, pavyzdžiui, $x$ ir $x + 7$. Tada Pitagoro teorema virsta kvadratine lygtimi, o neigiamą jos sprendinį atmeti, nes ilgis negali būti neigiamas.

Kaip apskaičiuoti trikampio įžambinę?

Pirmiausia rask statųjį kampą: prieš jį esanti kraštinė yra įžambinė $c$. Tada pakelk abu statinius kvadratu, kvadratus sudėk ir iš sumos ištrauk šaknį: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Pavyzdžiui, jei statiniai 6 cm ir 8 cm, tai $c^2 = 36 + 64 = 100$, todėl $c = 10$ cm. Jei šaknis netraukiama tiksliai, suprastink ją. Pabaigoje patikrink, ar atsakymas pagrįstas: įžambinė turi būti ilgesnė už ilgesnįjį statinį, bet trumpesnė už abiejų statinių sumą (čia $8 < 10 < 14$).

Statinį randi beveik taip pat, tik kvadratus atimi: iš įžambinės kvadrato atimk žinomo statinio kvadratą, $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Jei po šaknimi gavai neigiamą skaičių, vadinasi, įžambine palaikei ne tą kraštinę.

Pradėk nuo brėžinio, net jei sąlygoje jo nėra: pažymėk statųjį kampą, įžambinę ir tai, ką reikia rasti. Toliau – trys sunkesni pavyzdžiai.

Kaip rasti atstumą tarp taškų?

Atstumas tarp taškų $A(x_1; y_1)$ ir $B(x_2; y_2)$ randamas pagal Pitagoro teoremą. Iš taško $A$ nubrėžk horizontalią atkarpą, o iš taško $B$ – vertikalią: jos susikerta stačiu kampu. Gauto stačiojo trikampio statiniai yra koordinačių skirtumai $x_2 - x_1$ ir $y_2 - y_1$, o įžambinė – atkarpa $AB$. Todėl $$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$ Pavyzdžiui, tarp taškų $(1; 2)$ ir $(4; 6)$ atstumas lygus $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Atimties tvarka nesvarbi. Skirtumai $x_2 - x_1$ ir $x_1 - x_2$ skiriasi tik ženklu, o pakėlus kvadratu ženklas dingsta: $(-5)^2 = 5^2 = 25$. Svarbu tik atimti $x$ iš $x$, o $y$ iš $y$. Po šaknimi visada gaunama kvadratų suma, todėl ji niekada nebūna neigiama ir šaknį visada galima ištraukti.

Atskiras atvejis – atstumas nuo koordinačių pradžios $O(0; 0)$ iki taško $(x; y)$. Vieno taško koordinatės lygios nuliui, todėl formulė sutrumpėja iki $\sqrt{x^2 + y^2}$: statiniai yra pačios taško koordinatės. Pavyzdžiui, iki taško $(6; 8)$ atstumas lygus $\sqrt{36 + 64} = 10$.

Kai abu taškai yra vienoje horizontalioje tiesėje (jų $y$ vienodi) arba vienoje vertikalioje tiesėje (vienodi $x$), šaknies nereikia. Atstumas lygus kitų koordinačių skirtumui: iš didesnės koordinatės atimk mažesnę. Pavyzdžiui, tarp taškų $(-2; 5)$ ir $(7; 5)$ yra $7 - (-2) = 9$ vienetai.

Pavojingiausia vieta – ženklai, kai koordinatė neigiama. Atimant neigiamą skaičių, jis pridedamas: $4 - (-3) = 4 + 3 = 7$, o ne 1. Todėl neigiamą koordinatę skirtume visada rašyk skliaustuose ir tik tada skaičiuok. Patikrinimui pažiūrėk į brėžinį: atstumas negali būti trumpesnis už horizontalų ar vertikalų taškų poslinkį. Toliau pavyzdyje ši klaida parodyta žingsnis po žingsnio.

Atkarpos vidurio taškas

Atkarpos vidurio taškas yra lygiai pusiaukelėje tarp jos galų – ir horizontaliai, ir vertikaliai. Todėl jo koordinatės yra galų koordinačių vidurkiai: sudėk abiejų galų $x$ ir padalyk iš 2, tada tą patį padaryk su $y$. Formulė užrašyta žemiau; joje taško koordinates skiria kabliataškis.

Pavyzdžiui, atkarpos su galais $P(-6; 1)$ ir $R(2; 9)$ vidurio taškas yra $M\left(\frac{-6 + 2}{2}; \frac{1 + 9}{2}\right) = M(-2; 5)$. Pasitikrink: ir nuo taško $P$ iki $M$, ir nuo $M$ iki $R$ koordinatė $x$ padidėja 4, o koordinatė $y$ – irgi 4.

Vidurio tašką galima rasti ir brėžiant, liniuote ar skriestuvu, bet kai galų koordinatės žinomos, greičiau jį apskaičiuoti. Vidurio taškas dalija atkarpą į dvi lygias dalis, todėl atstumas nuo jo iki kiekvieno galo lygus pusei atkarpos ilgio. Formulė veikia ir atvirkščiai. Jei žinai vidurio tašką ir vieną galą, kito galo koordinatę rasi taip: padvigubink vidurio taško koordinatę ir atimk žinomo galo koordinatę. Pavyzdžiui, kai $P(-6; 1)$ ir $M(-2; 5)$: $x = 2 \cdot (-2) - (-6) = 2$, $y = 2 \cdot 5 - 1 = 9$, taigi $R(2; 9)$.

Dažnos klaidos taikant Pitagoro teoremą

Šias klaidas lengva padaryti skubant. Prieš rašydamas atsakymą, patikrink, ar nepadarei nė vienos iš jų:

• Kvadratai sudedami, kai ieškoma statinio. Jei žinoma įžambinė, statinys randamas atimant: $a^2 = c^2 - b^2$.
• Teorema taikoma trikampiui, kuris nėra statusis. Pitagoro teorema galioja tik stačiajam trikampiui.
• Įžambine palaikoma ne ta kraštinė. Įžambinė visada yra prieš statųjį kampą ir visada ilgiausia.
• Klystama traukiant šaknį. Radus $c^2 = 25$, pamirštama ištraukti šaknį ir atsakymu parašoma 25, o ne 5. Arba šaknis „išskaidoma“ per sumą: $\sqrt{a^2 + b^2}$ nėra lygi $a + b$, nes $\sqrt{9 + 16} = 5$, o $3 + 4 = 7$.
• Tikrinant atvirkštine teorema, ilgiausia kraštinė įrašoma ne į tą lygybės pusę. Su kitų dviejų kraštinių kvadratų suma lyginamas būtent ilgiausios kraštinės kvadratas.
• Kraštinės duotos skirtingais matavimo vienetais, pavyzdžiui, viena metrais, kita centimetrais. Prieš keliant kvadratu vienetus reikia suvienodinti, kitaip atsakymas bus visiškai neteisingas.

Pitagoro teorema NMPP ir PUPP užduotyse

Pitagoro teoremos ir jai atvirkštinės teoremos mokomasi 8 klasėje, kai nagrinėjamos plokštumos figūros. Vėliau Pitagoro teorema tampa įrankiu daugelyje kitų geometrijos temų. Žemiau – ką apie ją sako NMPP (nacionalinio mokinių pasiekimų patikrinimo) ir PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) aprašai. Datos nurodytos 2027 metams, o turinys ir priemonės – pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. aprašai dar nepatvirtinti.

• NMPP 8 – gali būti. Matematikos NMPP aštuntokams vyks 2027 m. kovo 12 d. Pitagoro teorema ir jai atvirkštinė teorema yra 8 klasės plokštumos figūrų turinys. Pagal 2026 m. NMPP 8 aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Plokštumos figūrų tarp neįtrauktų temų nėra, todėl abi teoremos gali būti per NMPP 8 – plokštumos uždaviniuose, bet ne erdvinių kūnų.
• NMPP 8 – be skaičiuotuvo. 2026 m. aprašo priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Todėl šaknį palik tikslią, pavyzdžiui, $\sqrt{117} = 3\sqrt{13}$, arba įvertink ją tarp dviejų sveikųjų skaičių: $10^2 = 100 < 117 < 121 = 11^2$, taigi $10 < \sqrt{117} < 11$. Daugiau apie šį patikrinimą – puslapyje matematikos NMPP 8 klasei.
• PUPP – naudojama. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Pitagoro teorema yra 8 klasės turinys, bet ji naudojama ir 9–10 klasių uždaviniuose: trigonometrijoje, taikant sinusų ir kosinusų teoremas, skaičiuojant apskritimo stygas ir liestines.
• PUPP priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Skaičiuotuvu šaknį gali apskaičiuoti apytiksliai, bet atsakymą apvalink tik taip, kaip prašo sąlyga.
• PUPP formulių rinkinys (2026 m. tvarka): Pitagoro teoremos jame nėra, todėl ją reikia mokėti mintinai. Kas rinkinyje yra, aprašyta puslapyje PUPP formulių rinkinys.

• Matematikos NMPP 8 klasei Data, užduoties sandara, temos ir uždaviniai be skaičiuotuvo.
• PUPP formulių rinkinys Kas yra rinkinyje ir ką reikia mokėti mintinai.
• Matematikos PUPP Data, vertinimas ir pasiruošimo planas.

Pitagoro teorema: uždaviniai su atsakymais

Spręsk be skaičiuotuvo: kur šaknis netraukiama tiksliai, palik ją suprastintą arba nurodyk, tarp kurių dviejų sveikųjų skaičių ji yra. Kiekvieną uždavinį pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Jei užstrigsi, nusibraižyk trikampį arba pažymėk taškus koordinačių plokštumoje: brėžinys iš karto parodo, kurios kraštinės yra statiniai, o kuri – įžambinė.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni