Exacta

Sinusas, kosinusas ir tangentas stačiajame trikampyje

Sinusas, kosinusas ir tangentas – tai stačiojo trikampio kraštinių santykiai, kurie priklauso tik nuo smailiojo kampo didumo. Įžambinė yra ilgiausia kraštinė, o statiniai – kitos dvi. Sinusas – tai statinis prieš kampą, padalytas iš įžambinės. Kosinusas – statinis prie kampo, padalytas iš įžambinės. Tangentas – statinis prieš kampą, padalytas iš statinio prie kampo. Su jais randama stačiojo trikampio kraštinė, kai žinoma kita kraštinė ir kampas, arba kampas, kai žinomos dvi kraštinės.

Kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas?

Stačiajame trikampyje kraštinė prieš statųjį kampą vadinama įžambine – ji visada ilgiausia. Kitos dvi kraštinės vadinamos statiniais. Kuris statinis yra „prieš kampą“, o kuris „prie kampo“, priklauso nuo to, kurį smailųjį kampą nagrinėji. Brėžinyje kampo α\alpha viršūnė yra taške AA. Statinis a=BCa = BC yra prieš šį kampą. Statinis b=ACb = AC yra prie jo: jis yra viena kampo kraštinių. O c=ABc = AB – įžambinė.

Smailiojo kampo α\alpha sinusas yra sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}, kosinusas – cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}, tangentas – tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}. Pavyzdžiui, kai a=3a = 3, b=4b = 4 ir c=5c = 5, gauname sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}, cos⁡α=45\cos\alpha = \frac{4}{5} ir tg⁡α=34\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}. Trumpiniai sin, cos ir tg skaitomi „sinusas“, „kosinusas“ ir „tangentas“. Skaičiuotuve tangento mygtukas paprastai pažymėtas tan.

Kodėl santykiai priklauso tik nuo kampo? Paimk du stačiuosius trikampius su tuo pačiu smailiuoju kampu α\alpha. Tada ir jų tretieji kampai lygūs: abu lygūs 90∘−α90^\circ - \alpha. Vadinasi, trikampiai panašūs, o panašiųjų trikampių atitinkamos kraštinės proporcingos. Jei viename trikampyje statinis prieš α\alpha yra 3 cm, o įžambinė 5 cm, tai dvigubai didesniame jie bus 6 cm ir 10 cm, bet santykis abiem atvejais tas pats: 0,60{,}6. Taigi sin⁡α\sin\alpha yra kampo savybė, o ne konkretaus trikampio.

Statinis visada trumpesnis už įžambinę, todėl smailiojo kampo sinusas ir kosinusas yra tarp 0 ir 1, o tangentas gali būti bet koks teigiamas skaičius. Kampui didėjant, sinusas ir tangentas didėja, o kosinusas mažėja. Pavyzdžiui, sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0{,}5, o sin⁡60∘≈0,87\sin 60^\circ \approx 0{,}87. Tai pravers lyginant reikšmes be skaičiuotuvo.

9 klasėje šie santykiai apibrėžiami tik smailiesiems kampams. 10 klasėje per vienetinį apskritimą jie apibrėžiami ir bukiesiems kampams, o 11–12 klasės trigonometrijoje – bet kokiam kampui.

αACBa (prieš α)b (prie α)c (įžambinė)
Statinis aa yra prieš kampą α\alpha, statinis bb – prie jo, cc – įžambinė.

Sinuso, kosinuso ir tangento formulės ir tapatybių įrodymas

Pirmosios trys lentelės formulės – apibrėžimai, todėl jas reikia mokėti mintinai. Iš jų gaunamos kraštinių radimo taisyklės: a=c⋅sin⁡αa = c \cdot \sin\alpha, b=c⋅cos⁡αb = c \cdot \cos\alpha, a=b⋅tg⁡αa = b \cdot \operatorname{tg}\alpha. Pavyzdžiui, lygybės sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c} abi puses padauginę iš cc, gauname a=c⋅sin⁡αa = c \cdot \sin\alpha. Užrašas sin⁡2α\sin^2\alpha reiškia (sin⁡α)2(\sin\alpha)^2, t. y. sinuso reikšmę, pakeltą kvadratu: jei sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}, tai sin⁡2α=925\sin^2\alpha = \frac{9}{25}.

Paskutinė lentelės eilutė gaunama iš to, kad stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma lygi 90∘90^\circ. Statinis prieš kampą α\alpha yra prie kito smailiojo kampo, kuris lygus 90∘−α90^\circ - \alpha. Todėl vieno kampo sinusas lygus kito kosinusui, pavyzdžiui, sin⁡30∘=cos⁡60∘\sin 30^\circ = \cos 60^\circ.

FormulėKada taikyti
sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}Kai žinoma įžambinė ir reikia statinio prieš kampą arba atvirkščiai: a=c⋅sin⁡αa = c \cdot \sin\alpha.Išmok mintinai
cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}Kai žinoma įžambinė ir reikia statinio prie kampo arba atvirkščiai: b=c⋅cos⁡αb = c \cdot \cos\alpha.Išmok mintinai
tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}Kai žinomas vienas statinis ir reikia kito, o įžambinė nedalyvauja: a=b⋅tg⁡αa = b \cdot \operatorname{tg}\alpha.Išmok mintinai
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1Kai žinomas kampo sinusas ir reikia kosinuso arba atvirkščiai.Yra PUPP formulių lape
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}Kai žinomi kampo sinusas ir kosinusas, o reikia tangento.Yra PUPP formulių lape
sin⁡(90∘−α)=cos⁡αcos⁡(90∘−α)=sin⁡α\begin{gathered} \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha \\ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha \end{gathered}Kai reikia antrojo smailiojo kampo reikšmių arba norima palyginti sinusą su kosinusu.Išmok mintinai

Įrodymas: pagrindinė tapatybė ir tangento formulė

Trikampio ABCABC kampas CC statusis, ∠A=α\angle A = \alpha. Įrodyk, kad sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 ir tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.

αACBabc
  1. Pažymime kraštines: BC=aBC = a (prieš kampą α\alpha), AC=bAC = b (prie kampo α\alpha), AB=cAB = c (įžambinė). Pagal apibrėžimus sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}.
  2. Keliame kvadratu ir sudedame: sin⁡2α+cos⁡2α=a2c2+b2c2=a2+b2c2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}
  3. Pagal Pitagoro teoremą a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, todėl trupmena lygi c2c2=1\frac{c^2}{c^2} = 1. Pirmoji lygybė įrodyta.
  4. Dalijame sinusą iš kosinuso: sin⁡αcos⁡α=ac:bc=ac⋅cb=ab\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} O ab\frac{a}{b} ir yra tg⁡α\operatorname{tg}\alpha. Antroji lygybė įrodyta.

Atsakymas: Abi lygybės įrodytos. Jos galioja bet kuriam smailiajam kampui, nes įrodyme naudoti tik apibrėžimai ir Pitagoro teorema, o ne konkretūs kraštinių ilgiai.

Sin, cos ir tg lentelė 30°, 45° ir 60° kampams

Šių trijų kampų reikšmes galima užrašyti tiksliai, su šaknimis, todėl atsakymuose jų neapvalink. Jas galima ne tik išmokti, bet ir bet kada atkurti iš dviejų trikampių, pavaizduotų brėžinyje.

Lygiašonio stačiojo trikampio statiniai lygūs, tarkime, po 1, o abu smailieji kampai lygūs po 45∘45^\circ. Įžambinė pagal Pitagoro teoremą lygi 12+12=2\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. Todėl sin⁡45∘=cos⁡45∘=12=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, o tg⁡45∘=11=1\operatorname{tg} 45^\circ = \frac{1}{1} = 1.

Lygiakraštį trikampį, kurio kraštinė 2, aukštinė dalija į du stačiuosius trikampius. Kiekvieno jų įžambinė lygi 2, trumpasis statinis – 1 (pusė kraštinės). Kitas statinis yra aukštinė, ir pagal Pitagoro teoremą ji lygi 22−12=3\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}. Kampas prie trumpojo statinio lygus 60∘60^\circ, nes tai lygiakraščio trikampio kampas. Viršuje kampas lygus 30∘30^\circ, nes aukštinė viršūnės kampą dalija pusiau. Kampui 30∘30^\circ statinis 1 yra prieš jį, o 3\sqrt{3} – prie jo, todėl sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, tg⁡30∘=13=33\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}. Kampui 60∘60^\circ – atvirkščiai: prieš jį yra statinis 3\sqrt{3}, todėl sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}.

Lentelę lengva įsiminti: sinusai iš eilės lygūs 12\frac{\sqrt{1}}{2}, 22\frac{\sqrt{2}}{2} ir 32\frac{\sqrt{3}}{2}, o kosinusai – tie patys skaičiai atvirkštine tvarka. Užrašai 13\frac{1}{\sqrt{3}} ir 33\frac{\sqrt{3}}{3} reiškia tą patį skaičių: antrąjį gausi skaitiklį ir vardiklį padauginęs iš 3\sqrt{3}.

45°45°11√260°30°1√32
Kairėje – lygiašonis statusis trikampis, dešinėje – pusė lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė 2 (kita jo pusė nubrėžta punktyru).
α30∘45∘60∘sin⁡α122232cos⁡α322212tg⁡α3313\begin{array}{c|c|c|c} \alpha & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\ \hline \sin\alpha & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline \cos\alpha & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \hline \operatorname{tg}\alpha & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \end{array}

Statiniai iš įžambinės ir 60° kampo

Trikampio KLMKLM kampas MM statusis, įžambinė KL=18KL = 18 cm, o ∠K=60∘\angle K = 60^\circ. Rask statinius KMKM ir LMLM. Atsakymus užrašyk tiksliai.

60°KML18 cm??
  1. Kampo KK atžvilgiu statinis KMKM yra prie kampo, o LMLM – prieš kampą. Įžambinė žinoma, todėl KMKM randame kosinusu, o LMLM – sinusu.
  2. KM=KL⋅cos⁡60∘=18⋅12=9KM = KL \cdot \cos 60^\circ = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 (cm).
  3. LM=KL⋅sin⁡60∘=18⋅32=93LM = KL \cdot \sin 60^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} (cm).
  4. Patikriname Pitagoro teorema: 92+(93)2=81+243=324=1829^2 + (9\sqrt{3})^2 = 81 + 243 = 324 = 18^2. Tinka.

Atsakymas: KM=9KM = 9 cm, LM=93LM = 9\sqrt{3} cm.

Kaip rasti trikampio kraštinę?

Kai žinomos dvi stačiojo trikampio kraštinės, trečiąją greičiau rasi pagal Pitagoro teoremą. Nestačiajame trikampyje taikomos sinusų ir kosinusų teoremos, jų mokomasi 10 klasėje. O kai stačiajame trikampyje žinomas smailusis kampas ir viena kraštinė, bet kurią kitą kraštinę rasi keturiais žingsniais:

  • Pažymėk žinomą kampą ir pavadink kraštines jo atžvilgiu: įžambinė, statinis prieš kampą, statinis prie kampo.
  • Išsirink santykį, kuriame yra ir žinoma, ir ieškoma kraštinė. Įžambinė ir statinis prieš kampą – sinusas; įžambinė ir statinis prie kampo – kosinusas; du statiniai – tangentas.
  • Užrašyk lygybę ir išspręsk ją. Jei ieškoma kraštinė yra skaitiklyje, daugink: a=c⋅sin⁡αa = c \cdot \sin\alpha. Jei vardiklyje – dalyk: c=asin⁡αc = \frac{a}{\sin\alpha}. Pavyzdžiui, kai a=5a = 5 ir sin⁡α=12\sin\alpha = \frac{1}{2}, įžambinė c=5:12=10c = 5 : \frac{1}{2} = 10.
  • Patikrink atsakymą: įžambinė turi būti ilgesnė už kiekvieną statinį.

Keltuvo aukštis: sinusas, o ne kosinusas

Slidinėjimo kalno keltuvo lynas nuo apatinės iki viršutinės stoties yra 850 m ilgio ir su horizontale sudaro 24∘24^\circ kampą. Laikyk, kad lynas – tiesi atkarpa. Keliais metrais viršutinė stotis aukštesnė už apatinę? Atsakymą suapvalink iki metro.

24°850 mh = ?horizontalė
Lynas – įžambinė, aukščių skirtumas hh – statinis prieš 24∘24^\circ kampą.
  1. Lynas yra stačiojo trikampio įžambinė (850 m), o aukščių skirtumas hh – statinis prieš 24∘24^\circ kampą. Horizontalus atstumas tarp stočių yra statinis prie šio kampo.
  2. Įžambinę ir statinį prieš kampą sieja sinusas: sin⁡24∘=h850\sin 24^\circ = \frac{h}{850}, todėl h=850⋅sin⁡24∘h = 850 \cdot \sin 24^\circ.
  3. Skaičiuotuvu, nustatytu laipsniais: sin⁡24∘≈0,4067\sin 24^\circ \approx 0{,}4067, todėl h≈850⋅0,4067≈345,7h \approx 850 \cdot 0{,}4067 \approx 345{,}7 m.
  4. Dažna klaida – paimti kosinusą: 850⋅cos⁡24∘≈776,5850 \cdot \cos 24^\circ \approx 776{,}5 m. Tai horizontalus atstumas tarp stočių, o ne aukščių skirtumas. Kita klaida – skaičiuotuvas, nustatytas radianais (radianai – kitas kampų matavimo vienetas, jo mokysiesi vyresnėse klasėse). Tada gautum 850⋅sin⁡24≈−769,7850 \cdot \sin 24 \approx -769{,}7. Neigiamas aukštis iškart parodo, kad režimas netinkamas.

Atsakymas: Apie 346 m.

Stačiojo trikampio kampas pagal kraštines

Kai žinomos dvi kraštinės, išsirink santykį, kuriame yra abi, ir apskaičiuok jį. Tada kampą rask skaičiuotuvu atvirkštiniu veiksmu – mygtukais sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} arba tan⁡−1\tan^{-1} (dažnai jie pasiekiami per SHIFT arba 2nd). Užrašas sin⁡−1\sin^{-1} ant mygtuko reiškia „kampas, kurio sinusas lygus …“, o ne 1sin⁡\frac{1}{\sin}. Pavyzdžiui, jei tg⁡α=0,75\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75, tai α=tan⁡−10,75≈36,9∘\alpha = \tan^{-1} 0{,}75 \approx 36{,}9^\circ.

Jei santykis lygus vienai iš lentelės reikšmių, pavyzdžiui, 12\frac{1}{2} ar 3\sqrt{3}, kampą atpažinsi be skaičiuotuvo. Prieš skaičiuodamas patikrink, ar skaičiuotuvas nustatytas laipsniais: ekrane paprastai matyti raidė D arba užrašas DEG.

Kelio nuolydis procentais ir kampas

Kelio ženklas įspėja, kad nuokalnės nuolydis 8 %. Tai reiškia, kad kiekvieniems 100 m horizontalaus atstumo kelias nusileidžia 8 m. Kokį kampą kelias sudaro su horizontale? Atsakymą suapvalink iki dešimtųjų laipsnio dalių.

α100 m8 mkelias
Brėžinys ne mastelio: aukštis padidintas, kad būtų matomas.
  1. Abu duoti dydžiai yra statiniai: 8 m – prieš ieškomą kampą α\alpha, 100 m – prie jo. Du statinius sieja tangentas: tg⁡α=8100=0,08\operatorname{tg}\alpha = \frac{8}{100} = 0{,}08.
  2. Kampą randame skaičiuotuvu: α=tan⁡−10,08≈4,57∘≈4,6∘\alpha = \tan^{-1} 0{,}08 \approx 4{,}57^\circ \approx 4{,}6^\circ.
  3. Atkreipk dėmesį: 8 % nuolydis nėra 8∘8^\circ kampas. Procentai čia rodo statinių santykį, o kampą iš jo gauni tik per tangentą.

Atsakymas: Apie 4,6∘4{,}6^\circ.

Tangentas matuojant aukštį: pilnas sprendimas

Kai aukščio neįmanoma išmatuoti tiesiogiai ir nežinomas atstumas iki objekto, matuojama iš dviejų vietų. Tada gaunami du statieji trikampiai su bendru statiniu, o uždavinys sprendžiamas sudarant lygtį. Pilname sprendime užrašyk, ką žymi raidėmis, kurį trikampį nagrinėji ir kurį santykį taikai.

Ryšio bokšto aukštis iš dviejų matavimų

Iš taško AA kryptis į mobiliojo ryšio bokšto viršūnę su horizontale sudaro 32∘32^\circ kampą. Priėjus 40 m arčiau bokšto, į tašką BB, kryptis į viršūnę su horizontale sudaro 47∘47^\circ kampą. Taškai AA, BB ir bokšto pagrindas PP yra vienoje horizontalioje tiesėje, bokštas vertikalus, o matuojančiojo akių aukščio nepaisyk. Apskaičiuok bokšto aukštį ir atsakymą suapvalink iki metro. Užrašyk visą sprendimą.

32°47°ABPV40 mxh
  1. Pažymime bokšto viršūnę VV, aukštį VP=hVP = h ir atstumą BP=xBP = x (metrais). Trikampiai VPBVPB ir VPAVPA statieji, statusis kampas – prie PP.
  2. Trikampyje VPBVPB: tg⁡47∘=hx\operatorname{tg} 47^\circ = \frac{h}{x}, todėl x=htg⁡47∘x = \frac{h}{\operatorname{tg} 47^\circ}.
  3. Trikampyje VPAVPA: AP=x+40AP = x + 40, todėl tg⁡32∘=hx+40\operatorname{tg} 32^\circ = \frac{h}{x + 40}, t. y. h=(x+40)⋅tg⁡32∘h = (x + 40) \cdot \operatorname{tg} 32^\circ.
  4. Atskliaudžiame paskutinę lygybę: h=x⋅tg⁡32∘+40⋅tg⁡32∘h = x \cdot \operatorname{tg} 32^\circ + 40 \cdot \operatorname{tg} 32^\circ. Vietoj xx įstatome htg⁡47∘\frac{h}{\operatorname{tg} 47^\circ}: h=h⋅tg⁡32∘tg⁡47∘+40⋅tg⁡32∘h = \frac{h \cdot \operatorname{tg} 32^\circ}{\operatorname{tg} 47^\circ} + 40 \cdot \operatorname{tg} 32^\circ
  5. Narius su hh perkeliame į kairę ir iškeliame hh prieš skliaustus: h(1−tg⁡32∘tg⁡47∘)=40⋅tg⁡32∘h\left(1 - \frac{\operatorname{tg} 32^\circ}{\operatorname{tg} 47^\circ}\right) = 40 \cdot \operatorname{tg} 32^\circ Abi puses padauginę iš tg⁡47∘\operatorname{tg} 47^\circ, gauname h(tg⁡47∘−tg⁡32∘)=40⋅tg⁡32∘⋅tg⁡47∘h\left(\operatorname{tg} 47^\circ - \operatorname{tg} 32^\circ\right) = 40 \cdot \operatorname{tg} 32^\circ \cdot \operatorname{tg} 47^\circ. Padaliję abi puses iš skirtumo tg⁡47∘−tg⁡32∘\operatorname{tg} 47^\circ - \operatorname{tg} 32^\circ: h=40⋅tg⁡32∘⋅tg⁡47∘tg⁡47∘−tg⁡32∘h = \frac{40 \cdot \operatorname{tg} 32^\circ \cdot \operatorname{tg} 47^\circ}{\operatorname{tg} 47^\circ - \operatorname{tg} 32^\circ}
  6. Skaičiuotuvu: tg⁡32∘≈0,6249\operatorname{tg} 32^\circ \approx 0{,}6249, tg⁡47∘≈1,0724\operatorname{tg} 47^\circ \approx 1{,}0724, vardiklis 1,0724−0,6249=0,44751{,}0724 - 0{,}6249 = 0{,}4475, todėl h≈40⋅0,6249⋅1,07240,4475≈59,9 (m)h \approx \frac{40 \cdot 0{,}6249 \cdot 1{,}0724}{0{,}4475} \approx 59{,}9 \text{ (m)}
  7. Patikrinimas: x≈59,9:1,0724≈55,9x \approx 59{,}9 : 1{,}0724 \approx 55{,}9 m, o (55,9+40)⋅0,6249≈59,9(55{,}9 + 40) \cdot 0{,}6249 \approx 59{,}9 m. Abu trikampiai duoda tą patį aukštį.

Atsakymas: Bokšto aukštis apie 60 m.

Dažnos klaidos su sinusu, kosinusu ir tangentu

Prieš baigdamas uždavinį, peržvelk šį sąrašą.

  • Sukeičiami statiniai. „Prieš“ ir „prie“ priklauso nuo nagrinėjamo kampo: tas pats statinis vienam smailiajam kampui yra „prieš“, kitam – „prie“. Prieš rinkdamasis santykį, pažymėk kampą brėžinyje.
  • Skaičiuotuvas nustatytas radianais. Tada, įvedus sin⁡30\sin 30, skaičiuotuvas rodo maždaug −0,99-0{,}99, o ne 0,50{,}5. Smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas visada teigiami, todėl neigiamas rezultatas reiškia, kad reikia pakeisti režimą. Bet ir teigiamas rezultatas gali būti klaidingas: radianais sin⁡45≈0,85\sin 45 \approx 0{,}85, o iš tikrųjų sin⁡45∘≈0,71\sin 45^\circ \approx 0{,}71. Todėl prieš skaičiuodamas pažiūrėk, ar ekrane yra D arba DEG.
  • Dauginama vietoj dalybos. Iš sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c} įžambinė lygi c=asin⁡αc = \frac{a}{\sin\alpha}, o ne a⋅sin⁡αa \cdot \sin\alpha. Greitas patikrinimas: įžambinė turi išeiti ilgiausia.
  • Per anksti apvalinama. Tarpines reikšmes laikyk skaičiuotuvo atmintyje arba rašyk bent keturis skaitmenis po kablelio, o apvalink tik galutinį atsakymą. Pavyzdyje su ryšio bokštu, paėmęs 0,620{,}62 ir 1,071{,}07 vietoj tikslesnių tangentų, gautum 59 m vietoj 60 m.
  • Painiojami užrašai. sin⁡2α\sin^2\alpha yra (sin⁡α)2(\sin\alpha)^2, o sin⁡2α\sin 2\alpha nėra 2sin⁡α2\sin\alpha: sin⁡60∘=32≈0,87\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87, o 2sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = 1.
  • Apibrėžimai taikomi nestačiajam trikampiui. Santykiai ac\frac{a}{c}, bc\frac{b}{c} ir ab\frac{a}{b} galioja tik stačiajame trikampyje. Kitame trikampyje pirmiausia nubrėžk aukštinę – ji sudarys stačiuosius trikampius.

Sinusas, kosinusas ir tangentas PUPP: kas tikrinama ir kas yra formulių lape

Žemiau – ką apie šią temą sako PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) dokumentai. Data nurodyta 2027 m., o kiti punktai – pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. užduoties aprašas dar nepatvirtintas.

  • Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d., patikrinimo būdas – elektroninis.
  • Turinys (2026 m. tvarka): smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas per PUPP gali būti. Tai 9 klasės srities „Geometrija ir matavimai“ turinys. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Smailiojo kampo funkcijų ši išimtis neliečia. Be to, jų reikia 10 klasės sinusų ir kosinusų teoremose.
  • Formulių lapas (2026 m. tvarka): oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Tapatybės sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 ir tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} yra formulių lape, kaip ir reikšmių lentelė, kurioje yra 30∘30^\circ, 45∘45^\circ ir 60∘60^\circ kampai. Apibrėžimų lape nėra. Kuris kraštinių santykis yra sinusas, kuris kosinusas, o kuris tangentas, reikia mokėti mintinai. Visas rinkinys su paaiškinimais – puslapyje PUPP formulių rinkinys.
  • Priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Vadinasi, skaičiuotuvu buvo galima apskaičiuoti apytiksles reikšmes ir kampą pagal kraštinių santykį. Prieš pirmą uždavinį įsitikink, kad jis nustatytas laipsniais.
  • Vertinimas (2026 m. tvarka): pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Pilnojo sprendimo uždavinyje vertinamas visas sprendimas. Todėl užrašyk, kurį trikampį nagrinėji, ką žymi raidėmis ir kurį santykį taikai, kaip pavyzdyje su ryšio bokštu.
  • NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 1 d. paskelbė, kad 2027 m. PUPP užduoties aprašo projektas teikiamas viešam derinimui.

Sinusas, kosinusas ir tangentas: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti į tris lygius. Skaičiuotuvu naudokis tik ten, kur prašoma suapvalinti. Kitur atsakymą rašyk tiksliai, su šaknimis. Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą.

Lengvesni

1. Stačiojo trikampio statiniai lygūs 39 cm ir 80 cm, o įžambinė – 89 cm. Rask kampo, esančio prieš 39 cm statinį, sinusą, kosinusą ir tangentą. Atsakymus užrašyk trupmenomis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: sin⁡α=3989\sin\alpha = \frac{39}{89}, cos⁡α=8089\cos\alpha = \frac{80}{89}, tg⁡α=3980\operatorname{tg}\alpha = \frac{39}{80}.

Statinis 39 cm yra prieš kampą, 80 cm – prie kampo, 89 cm – įžambinė. Sinusas – statinis prieš kampą, padalytas iš įžambinės; kosinusas – statinis prie kampo, padalytas iš įžambinės; tangentas – statinis prieš kampą, padalytas iš statinio prie kampo.

2. Sugretink reiškinius 1–4 su reikšmėmis A–E. Viena reikšmė lieka nepanaudota. 1) sin⁡30∘\sin 30^\circ; 2) cos⁡30∘\cos 30^\circ; 3) tg⁡45∘\operatorname{tg} 45^\circ; 4) tg⁡60∘\operatorname{tg} 60^\circ. A) 32\frac{\sqrt{3}}{2}; B) 12\frac{1}{2}; C) 3\sqrt{3}; D) 11; E) 22\frac{\sqrt{2}}{2}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – B, 2 – A, 3 – D, 4 – C; reikšmė E lieka nepanaudota.

3. Skaičiuotuvu apskaičiuok sin⁡17∘\sin 17^\circ ir cos⁡73∘\cos 73^\circ, suapvalink iki tūkstantųjų. Paaiškink, kodėl gavai tą patį skaičių.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Abu lygūs maždaug 0,2920{,}292, nes 17∘+73∘=90∘17^\circ + 73^\circ = 90^\circ.

Stačiajame trikampyje su 17∘17^\circ kampu kitas smailusis kampas lygus 73∘73^\circ. Statinis prieš 17∘17^\circ kampą yra prie 73∘73^\circ kampo, todėl sin⁡17∘=cos⁡(90∘−17∘)=cos⁡73∘\sin 17^\circ = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \cos 73^\circ.

Vidutiniai

4. Stačiojo trikampio statinis, esantis prie 30∘30^\circ kampo, lygus 15 cm. Rask kitą statinį ir įžambinę. Atsakymus užrašyk tiksliai.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Kitas statinis 535\sqrt{3} cm, įžambinė 10310\sqrt{3} cm.

Statinis prieš kampą: a=15⋅tg⁡30∘=15⋅33=53a = 15 \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} (cm). Lygybėje cos⁡30∘=15c\cos 30^\circ = \frac{15}{c} įžambinė yra vardiklyje, todėl dalijame: c=15cos⁡30∘=15:32=303=3033=103c = \frac{15}{\cos 30^\circ} = 15 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} (cm). Patikrinimas: (53)2+152=75+225=300=(103)2(5\sqrt{3})^2 + 15^2 = 75 + 225 = 300 = (10\sqrt{3})^2.

5. Nesinaudodamas skaičiuotuvu, išdėstyk skaičius didėjimo tvarka: cos⁡20∘\cos 20^\circ, sin⁡20∘\sin 20^\circ, tg⁡50∘\operatorname{tg} 50^\circ, sin⁡50∘\sin 50^\circ.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: sin⁡20∘<sin⁡50∘<cos⁡20∘<tg⁡50∘\sin 20^\circ < \sin 50^\circ < \cos 20^\circ < \operatorname{tg} 50^\circ.

Kampui didėjant sinusas didėja, todėl sin⁡20∘<sin⁡50∘\sin 20^\circ < \sin 50^\circ. Be to, cos⁡20∘=sin⁡70∘\cos 20^\circ = \sin 70^\circ, o tai daugiau už sin⁡50∘\sin 50^\circ. Galiausiai tg⁡50∘>tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 50^\circ > \operatorname{tg} 45^\circ = 1, o smailiojo kampo sinusas ir kosinusas mažesni už 1.

6. Ant plokščio stogo pastatyta 1,7 m ilgio saulės modulio plokštė. Jos viršutinis kraštas yra 0,6 m aukščiau už apatinį. Kokį kampą plokštė sudaro su horizontale? Atsakymą suapvalink iki laipsnio.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Apie 21∘21^\circ.

Plokštė – įžambinė, 0,6 m – statinis prieš ieškomą kampą. Todėl sin⁡α=0,61,7≈0,3529\sin\alpha = \frac{0{,}6}{1{,}7} \approx 0{,}3529 ir α=sin⁡−10,3529≈20,7∘≈21∘\alpha = \sin^{-1} 0{,}3529 \approx 20{,}7^\circ \approx 21^\circ.

7. Smailiojo kampo α\alpha kosinusas cos⁡α=23\cos\alpha = \frac{2}{3}. Rask sin⁡α\sin\alpha ir tg⁡α\operatorname{tg}\alpha. Atsakymus užrašyk tiksliai.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: sin⁡α=53\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}, tg⁡α=52\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}.

Iš pagrindinės tapatybės sin⁡2α=1−(23)2=1−49=59\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}. Kampas smailusis, todėl sinusas teigiamas: sin⁡α=53\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}. Tada tg⁡α=53:23=52\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} : \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{2}.

Sunkesni

8. Upės plotis matuojamas taip. Ant vieno kranto pažymėtas taškas AA, esantis tiesiai priešais medį MM kitame krante, todėl atkarpa AMAM statmena krantui. Nuo AA palei tiesų krantą nueita 35 m iki taško KK. Iš taško KK kampas tarp krypčių į AA ir į MM lygus 56∘56^\circ. Rask upės plotį AMAM. Atsakymą suapvalink iki 0,1 m.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Apie 51,9 m.

Trikampio AKMAKM kampas AA statusis. Kampo KK atžvilgiu AMAM yra statinis prieš kampą, AK=35AK = 35 m – statinis prie kampo. Todėl AM=35⋅tg⁡56∘≈35⋅1,4826≈51,9AM = 35 \cdot \operatorname{tg} 56^\circ \approx 35 \cdot 1{,}4826 \approx 51{,}9 (m).

9. Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė lygi 10 cm, o kampas prie pagrindo – 30∘30^\circ. Rask trikampio pagrindą ir plotą. Atsakymus užrašyk tiksliai.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Pagrindas 10310\sqrt{3} cm, plotas 25325\sqrt{3} cm².

Nubrėžiame aukštinę į pagrindą. Ji dalija trikampį į du lygius stačiuosius trikampius, kurių įžambinė lygi 10 cm. Aukštinė yra prieš 30∘30^\circ kampą: h=10⋅sin⁡30∘=5h = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5 (cm). Pusė pagrindo yra prie kampo: 10⋅cos⁡30∘=5310 \cdot \cos 30^\circ = 5\sqrt{3} (cm), todėl pagrindas lygus 10310\sqrt{3} cm. Plotas S=12⋅103⋅5=253S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} (cm²).

10. Trikampio ABCABC kampas CC statusis, tg⁡A=512\operatorname{tg} A = \frac{5}{12}, o trikampio perimetras lygus 60 cm. Rask visas trikampio kraštines.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: BC=10BC = 10 cm, AC=24AC = 24 cm, AB=26AB = 26 cm.

tg⁡A=BCAC=512\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}, todėl statinius galima užrašyti BC=5kBC = 5k ir AC=12kAC = 12k su kokiu nors k>0k > 0. Pagal Pitagoro teoremą AB=25k2+144k2=169k2=13kAB = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k. Perimetras 5k+12k+13k=30k=605k + 12k + 13k = 30k = 60, taigi k=2k = 2. Tada BC=10BC = 10, AC=24AC = 24, AB=26AB = 26.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo posūkio kampo sinusas skiriasi nuo smailiojo kampo sinuso?

Smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas 9 klasėje apibrėžiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykiai. Posūkio kampas nagrinėjamas 10 klasėje, vienetiniame apskritime – apskritime, kurio centras yra koordinačių pradžioje, o spindulys lygus 1. Pasukus spindulį tam tikru kampu, jo galo x koordinatė yra to kampo kosinusas, o y koordinatė – sinusas. Taip apibrėžiamas ir bukojo kampo sinusas bei kosinusas; pavyzdžiui, 120 laipsnių kampo kosinusas yra neigiamas. Smailiesiems kampams abu apibrėžimai duoda tas pačias reikšmes, todėl tai, ką išmokai stačiajame trikampyje, galioja ir toliau.

Kodėl sin, cos ir tg lentelėje tik 30, 45 ir 60 laipsnių kampai?

Šių kampų reikšmes galima tiksliai gauti iš dviejų paprastų trikampių: lygiašonio stačiojo trikampio ir pusės lygiakraščio trikampio. Todėl jos užrašomos su šaknimis, pavyzdžiui, 60 laipsnių kampo sinusas lygus šakniai iš 3, padalytai iš 2. Daugumos kitų kampų, pavyzdžiui, 17 ar 52 laipsnių, reikšmių paprastu reiškiniu neužrašysi, todėl jos randamos skaičiuotuvu ir apvalinamos.

Kodėl tangentas gali būti didesnis už vienetą, o sinusas – ne?

Sinusas ir kosinusas yra statinio ir įžambinės santykiai, o statinis visada trumpesnis už įžambinę, todėl smailiojo kampo sinusas ir kosinusas visada mažesni už 1. Tangentas yra dviejų statinių santykis, o statiniai gali būti bet kokio ilgio. Kai kampas mažesnis už 45 laipsnius, statinis prieš jį trumpesnis už statinį prie jo, todėl tangentas mažesnis už 1. Kai kampas lygus 45 laipsniams, statiniai lygūs ir tangentas lygus 1. Kai kampas didesnis už 45 laipsnius, tangentas didesnis už 1, o kampui artėjant prie 90 laipsnių, didėja neribotai.

Kurias sinuso, kosinuso ir tangento formules reikia mokėti mintinai?

Mintinai reikia mokėti tris apibrėžimus: sinusas – statinis prieš kampą, padalytas iš įžambinės; kosinusas – statinis prie kampo, padalytas iš įžambinės; tangentas – statinis prieš kampą, padalytas iš statinio prie kampo. 2026 m. PUPP formulių rinkinyje jų nebuvo. Jame buvo dvi tapatybės (sinuso ir kosinuso kvadratų suma lygi 1, o tangentas lygus sinusui, padalytam iš kosinuso) ir reikšmių lentelė. Lentelę vis tiek verta mokėti: su ja tikslias reikšmes atpažinsi greičiau ir be skaičiuotuvo.

Taip pat: Pitagoro teorema · Trikampis · Sinusų ir kosinusų teoremos · Vienetinis apskritimas · Stereometrija · Matematikos PUPP

Šaltiniai

  1. ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
  2. NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 3 p., 10.8 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
  3. NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta:

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt