Trigonometrija: nuo sinusoidės iki trigonometrinių nelygybių

Trigonometrija – matematikos šaka, kuri kampus susieja su skaičiais: kiekvienam posūkio kampui priskiria sinusą, kosinusą ir tangentą ir tiria, kaip šie skaičiai kinta. 11–12 klasėje iš jų kuriamos funkcijos ir lygtys. B kurse kampai matuojami laipsniais, A kurse – ir radianais. Čia rasi abiejų kursų dalis: sinusoidę ir kosinusoidę, lygtis sin x = a ir cos x = a, arksinusą ir arkkosinusą, o A kursui – radianus, arktangentą, sudėties ir dvigubo kampo formules bei trigonometrines nelygybes. Prie kiekvienos formulės pažymėta, ar ji yra 2026 m. VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių lape.

Kas yra trigonometrija?

Trigonometrijos pradžia – stačiasis trikampis: 9 klasėje smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas apibrėžiami kaip kraštinių santykiai. Ta dalis aprašyta puslapyje trigonometrija stačiajame trikampyje. 10 klasėje jie per vienetinį apskritimą apibrėžiami ir bukajam kampui, o 11–12 klasėje – bet kokiam posūkio kampui, taip pat neigiamam ar didesniam už 360°.

Vienetinis apskritimas – apskritimas, kurio spindulys lygus 1, o centras yra koordinačių pradžioje. Bet kokio kampo kosinusas ir sinusas yra šio apskritimo taško koordinatės: kosinusas – x, sinusas – y (žr. brėžinį). Kaip iš to randamos reikšmės ir ženklai kiekviename ketvirtyje, rašoma puslapyje vienetinis apskritimas. Čia prireiks trijų išvadų. Abu skaičiai visada yra nuo −1 iki 1. Jų reikšmės kartojasi kas 360°. O pagrindinė tapatybė $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ – tai Pitagoro teorema stačiajam trikampiui, kurio įžambinė yra tas spindulys.

Taško P abscisė (koordinatė x) yra cos α, ordinatė (koordinatė y) – sin α. Brėžinyje α = 130°, todėl kosinusas neigiamas, o sinusas teigiamas.

Trigonometrija stačiajame trikampyje Smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas, 9 klasė.
Vienetinis apskritimas Reikšmės visiems kampams, ženklai pagal ketvirčius, radianai.
Sinusų ir kosinusų teoremos Kaip rasti nežinomas trikampio kraštines ir kampus, 10 klasė.

Trigonometrija 11 ir 12 klasėje: B ir A kursai

Trigonometrija padeda aprašyti tai, kas sukasi ar kartojasi: rato taško aukštį, svyravimus, garso bangas. Ko mokomasi kiekviename kurse (visos šių klasių temos – puslapyje matematika 11–12 klasėje):

11 klasė, B kursas: sinusas ir kosinusas vienetiniame apskritime, kampai laipsniais, arksinusas ir arkkosinusas, sinusoidė ir kosinusoidė. Lygtys sin x = a ir cos x = a sprendžiamos pagal vienetinį apskritimą ar grafiką.
12 klasė, B kursas: reiškinių pertvarkymas pagal pagrindinę tapatybę, neigiamo kampo ir periodiškumo formules, lygčių sin x = a ir cos x = a sprendinių formulės, lygtys a sin x + b = 0, a cos x + b = 0 ir sprendiniai nurodytame intervale.
11 klasė, A kursas: tos pačios sąvokos, bet kampai matuojami ir radianais. Pridedami tangentas ir arktangentas, tangentoidė, funkcijų y = a · f(mx + b) + c savybės ir grafinis lygčių bei nelygybių sprendimas.
12 klasė, A kursas: sudėties ir dvigubo kampo formulės (jas mokomasi ir įrodyti), lygtys su tangentu, keitiniu ir sandauga, trigonometrinės nelygybės. Šių žinių prireikia ir išvestinių bei integralų uždaviniuose.

Matematikos VBE: A ir B kursas Kuo skiriasi kursų egzaminai.

Trigonometrijos formulės ir kada jas taikyti

Lentelėje – visos šios temos formulės. Žymė „Yra VBE B kurso formulių lape“ reiškia, kad formulė išspausdinta 2026 m. VBE formulių rinkinio I skyriuje (matematika B). Žymė „Yra VBE A kurso formulių lape“ reiškia II skyrių (matematika A). „Išmok mintinai“ – formulės nėra nė viename skyriuje. Formulės, pažymėtos „A kursas“, skirtos tik išplėstiniam kursui.

Formulė	Kada taikyti
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$	Kai žinomas sinusas, o reikia kosinuso (ar atvirkščiai); šaknies ženklą parink pagal ketvirtį.Yra VBE B kurso formulių lape
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	Kai reikia tangento arba kai lygtį su tangentu patogiau užrašyti sinusu ir kosinusu.Yra VBE B kurso formulių lape
$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$	Kai žinomas tangentas, o reikia kosinuso.Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \\ \cos(-\alpha) = \cos\alpha \\ \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \end{gathered}$	Kai kampas neigiamas: sin(−30°) = −sin 30°, o cos(−30°) = cos 30°. Eilutė su tg – tik A kursui.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin(\alpha + 360^\circ k) = \sin\alpha \\ \cos(\alpha + 360^\circ k) = \cos\alpha \\ \operatorname{tg}(\alpha + 180^\circ k) = \operatorname{tg}\alpha \end{gathered}$	Kai kampas didesnis už 360° ar neigiamas: atmesk pilnus apsisukimus. Čia k – bet kuris sveikasis skaičius (k ∈ Z). Eilutė su tg – tik A kursui; A kurse 360° = 2π, 180° = π.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \end{gathered}$	Kai ieškai antrojo lygties sprendinio arba bukojo kampo reikšmės.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin x = a,\ a \in [-1; 1]: \\ x = (-1)^k \arcsin a + 180^\circ \cdot k \\ \cos x = a,\ a \in [-1; 1]: \\ x = \pm \arccos a + 360^\circ \cdot k \\ \operatorname{tg} x = a,\ a \in \mathbb{R}: \\ x = \operatorname{arctg} a + 180^\circ \cdot k \end{gathered}$	Kai reikia visų lygties sprendinių; visur k ∈ Z. A kurse 180° keičiama π, 360° – 2π. Lygtis tg x = a – tik A kursui: B lape ji yra, bet B kurse tokios lygtys nesprendžiamos.Yra VBE B kurso formulių lape
$180^\circ = \pi\ \text{rad}, \qquad 1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}$	A kursas: kai kampą laipsniais reikia užrašyti radianais ar atvirkščiai: $135^\circ = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin(\alpha \pm \beta) \\ = \sin\alpha \cdot \cos\beta \pm \cos\alpha \cdot \sin\beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) \\ = \cos\alpha \cdot \cos\beta \mp \sin\alpha \cdot \sin\beta \end{gathered}$	A kursas: kai reikia sumos ar skirtumo reikšmės, pavyzdžiui, sin 75° = sin(45° + 30°), arba kai reiškinį reikia suprastinti.Yra VBE A kurso formulių lape
$\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$	A kursas: kai žinomi kampų tangentai, o reikia jų sumos ar skirtumo tangento.Yra VBE A kurso formulių lape
$\begin{gathered} \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha \\ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \\ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} \end{gathered}$	A kursas: kai lygtyje ar reiškinyje yra ir kampas, ir dvigubas kampas – viską užrašyk vienu kampu.Yra VBE A kurso formulių lape
$\begin{gathered} \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \\ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \end{gathered}$	A kursas: kai reiškinyje yra 1 − cos 2α ar 1 + cos 2α arba kai lygtį reikia užrašyti tik sinusu ar tik kosinusu. Lape yra tik pavidalas $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ .Išmok mintinai

Sinusoidė ir kosinusoidė: sinuso ir kosinuso grafikai

Kai kampas x kinta, kinta ir sin x bei cos x. Taip gaunamos funkcijos y = sin x ir y = cos x. Pirmosios grafikas vadinamas sinusoide, antrosios – kosinusoide. B kurse jų argumentas matuojamas laipsniais.

Sinusoidę lengva nubraižyti, žiūrint į vienetinį apskritimą. Sukant spindulį nuo 0° iki 360°, jo galo aukštis (sinusas) kyla nuo 0 iki 1 ties 90°, grįžta į 0 ties 180°, nusileidžia iki −1 ties 270° ir vėl grįžta į 0 ties 360°. Šie penki taškai vadinami charakteringaisiais: per juos nubrėžus lygią banguotą liniją, gaunamas vienas sinusoidės periodas. Kosinusoidės charakteringieji taškai: (0°; 1), (90°; 0), (180°; −1), (270°; 0) ir (360°; 1).

Iš grafiko perskaitomos visos funkcijų savybės:

Sinusoidė prasideda taške (0°; 0), kosinusoidė – taške (0°; 1). Abi kartojasi kas 360°.

Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai, reikšmių sritis – [−1; 1]. Didžiausia reikšmė 1, mažiausia −1.
Periodas 360°: grafikas kartojasi kas 360° į abi puses.
Nuliai (taškai, kuriuose grafikas kerta x ašį): sin x = 0, kai x = 180°k; cos x = 0, kai x = 90° + 180°k; čia k ∈ Z.
y = cos x – lyginė funkcija (grafikas simetriškas y ašies atžvilgiu), y = sin x – nelyginė (grafikas simetriškas koordinačių pradžios atžvilgiu). Kosinusoidė – ta pati sinusoidė, tik pastumta 90° į kairę.

Didžiausia ir mažiausia sinuso reikšmė intervale

Rask funkcijos y = sin x didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [30°; 240°].

Nubraižome sinusoidės eskizą ir paryškiname jos dalį nuo 30° iki 240°. Reikšmių ieškome tik šioje dalyje.
Intervale yra 90°, kur sinusas įgyja didžiausią savo reikšmę 1. Vadinasi, didžiausia reikšmė lygi 1.
Nuo 30° iki 90° sinusas didėja, o nuo 90° iki 240° mažėja (jis mažėja iki pat 270°). Todėl mažiausia reikšmė yra viename iš intervalo galų.
Apskaičiuojame galuose: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ . Kampo 240° = 180° + 60° taškas yra III ketvirtyje ir simetriškas 60° kampo taškui koordinačių pradžios atžvilgiu, todėl $\sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Mažesnė iš šių reikšmių – $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Klaida, kurią čia lengva padaryti: atsakyti, kad mažiausia reikšmė lygi −1. Sinusas lygus −1 tik kampuose 270° + 360°k, o nė vienas jų nepatenka į intervalą.

Atsakymas: Didžiausia reikšmė 1 (kai x = 90°), mažiausia $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (kai x = 240°).

Lygtys sin x = a ir cos x = a: arksinusas ir arkkosinusas

Lygtis $\sin x = \frac{1}{2}$ klausia: kurių kampų sinusas lygus $\frac{1}{2}$ ? Tokių kampų be galo daug: 30°, 150°, 390°, −210° ir t. t. Kad vieną iš jų būtų galima užrašyti trumpai, susitarta imti tą, kuris yra intervale [−90°; 90°].

Arksinusas: arcsin a – kampas iš intervalo [−90°; 90°], kurio sinusas lygus a. Arkkosinusas: arccos a – kampas iš intervalo [0°; 180°], kurio kosinusas lygus a. Abu apibrėžti tik tada, kai −1 ≤ a ≤ 1. Pavyzdžiui, $\arcsin\frac{1}{2} = 30^\circ$ , $\arccos\frac{1}{2} = 60^\circ$ , arccos 0 = 90°, arccos(−1) = 180°. Arkkosinusas niekada nebūna neigiamas, net kai a < 0.

Kaip gaunamos sprendinių formulės? Lygtis sin x = a (kai −1 < a < 1) per vieną apsisukimą turi du sprendinius, kurių taškai simetriški y ašies atžvilgiu: arcsin a ir 180° − arcsin a (nes sin(180° − x) = sin x). Lygčiai $\sin x = \frac{1}{2}$ tai 30° ir 150°. Pridėjus prie kiekvieno 360°k, gaunamos dvi sprendinių grupės (šeimos): 30° + 360°k ir 150° + 360°k. Formulių lape abi šeimos sujungtos į vieną: $x = (-1)^k \arcsin a + 180^\circ \cdot k$ . Kai k lyginis, ji duoda arcsin a + 360°m, kai nelyginis – 180° − arcsin a + 360°m (čia m – sveikasis skaičius). Pavyzdžiui, kai k = 1, gaunama −30° + 180° = 150°.

Kosinuso lygties sprendinių taškai simetriški x ašies atžvilgiu, todėl cos x = a sprendiniai yra x = ±arccos a + 360°k, k ∈ Z. Pavyzdžiui, $\cos x = \frac{1}{2}$ , kai x = ±60° + 360°k. Kai a lygus 1, −1 arba 0, sprendinius galima užrašyti trumpiau: sin x = 1, kai x = 90° + 360°k; sin x = 0, kai x = 180°k; cos x = 0, kai x = 90° + 180°k.

Lygtis, kai arksinusas skaičiuojamas skaičiuotuvu

Išspręsk lygtį 5 sin x + 4 = 1. Užrašyk visus sprendinius ir tuos, kurie priklauso intervalui [0°; 360°]. Kampus suapvalink iki dešimtųjų laipsnio dalių.

Atskiriame sinusą: 5 sin x = 1 − 4 = −3, todėl $\sin x = -\frac{3}{5} = -0{,}6$ . Kadangi −1 ≤ −0,6 ≤ 1, lygtis sprendinių turi.
Skaičiuotuvu (laipsnių režimu): arcsin(−0,6) ≈ −36,87°. Tai vienas sprendinys; jo taškas IV ketvirtyje.
Antrasis sprendinys per tą patį apsisukimą: 180° − (−36,87°) = 216,87°; jo taškas III ketvirtyje. Abiejuose ketvirčiuose sinusas neigiamas, kaip ir turi būti.
Visi sprendiniai: x ≈ −36,9° + 360°k arba x ≈ 216,9° + 360°k, k ∈ Z. Tą patį duoda lapo formulė $x = (-1)^k \arcsin(-0{,}6) + 180^\circ \cdot k$ .
Atrenkame intervalo [0°; 360°] sprendinius. Iš pirmosios šeimos tinka k = 1: −36,87° + 360° = 323,13°. Iš antrosios tinka k = 0: 216,87°. Kiti k duoda kampus už intervalo.
Patikriname: 5 sin 216,87° + 4 ≈ 5 · (−0,6) + 4 = 1. Apvaliname tik pačioje pabaigoje, kad paklaida nesikauptų.

Atsakymas: x ≈ −36,9° + 360°k arba x ≈ 216,9° + 360°k, k ∈ Z; intervale – 216,9° ir 323,1°.

Vėjo jėgainės mentė: uždavinys su visu sprendimu

Vėjo jėgainės rotoriaus ašis yra 60 m aukštyje, o mentė yra 40 m ilgio. Kai mentė nuo horizontalios padėties pasisuka kampu α prieš laikrodžio rodyklę, jos galo aukštis virš žemės yra h = 60 + 40 sin α metrų (žr. brėžinį). a) Kokiais kampais α ∈ [0°; 360°) mentės galas yra 80 m aukštyje? b) Kokiu kampu iš to paties intervalo jis yra 20 m aukštyje?

a) Sudarome lygtį: 60 + 40 sin α = 80.
Pertvarkome: 40 sin α = 20, todėl $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ .
$\arcsin\frac{1}{2} = 30^\circ$ , todėl α = 30° + 360°k arba α = 180° − 30° + 360°k = 150° + 360°k, k ∈ Z.
Intervalui [0°; 360°) priklauso tik sprendiniai su k = 0: α = 30° ir α = 150°. Prasmė: mentės galas yra 20 m virš ašies dviejose padėtyse – kai mentė pasvirusi aukštyn į dešinę ir kai aukštyn į kairę.
b) 60 + 40 sin α = 20, todėl 40 sin α = −40 ir sin α = −1. Ši reikšmė ypatinga: sinusas lygus −1 tik viename apskritimo taške, todėl α = 270° + 360°k, o intervale yra vienintelis sprendinys α = 270°.
Patikriname prasmę: ties 270° mentė nukreipta tiesiai žemyn, o 60 − 40 = 20 (m).

Atsakymas: a) 30° ir 150°; b) 270°.

Trigonometrija A kurse: radianai, tangentas ir arktangentas

Radianas – toks posūkio kampas, kurio lankas vienetiniame apskritime lygus spinduliui, t. y. 1. Viso apskritimo ilgis 2π, todėl 360° = 2π, o 180° = π. Kampą laipsniais paversi radianais, padauginęs iš π/180, o radianus laipsniais – padauginęs iš 180/π: 135° = 3π/4, 7π/6 = 210°. A kurse lygčių sprendiniai ir grafikai užrašomi radianais. Radianų reikės ir 12 klasėje išvestinėms bei integralams: tik su radianais sin x išvestinė lygi tiesiog cos x.

Tangentą vienetiniame apskritime rodo tiesė x = 1 (tangentų tiesė): posūkio spindulio tiesė ją kerta taške, kurio ordinatė lygi tg α. Kampų α ir α + 180° spinduliai guli vienoje tiesėje, todėl tangentas kartojasi kas 180° (π), o kai α = 90° + 180°k, jis neapibrėžtas.

Arktangentas: arctg a – kampas iš intervalo (−π/2; π/2), kurio tangentas lygus a. Jis apibrėžtas su bet kokiu a, nes tangentas įgyja visas reikšmes. Kadangi periodas lygus π, lygties tg x = a sprendiniai sudaro vieną šeimą: x = arctg a + πk, k ∈ Z. Radianais užrašomos ir arksinuso bei arkkosinuso reikšmių ribos: arcsin a ∈ [−π/2; π/2], arccos a ∈ [0; π].

Lygtis su tangentu ir sprendiniai intervale

Išspręsk lygtį $\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 3 = 0$ ir nurodyk sprendinius, priklausančius intervalui (−π; π).

Atskiriame tangentą: $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$ , nes $\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ .
Iš reikšmių lentelės (ji yra 2026 m. VBE formulių lape) $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ , o tangentas – nelyginė funkcija: $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ . Todėl $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ . Šis kampas tikrai yra intervale $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ .
Visi sprendiniai: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ , k ∈ Z.
Atrenkame: kai k = 0, $x = -\frac{\pi}{3}$ ; kai k = 1, $x = \frac{2\pi}{3}$ . Kai k = −1, gauname $-\frac{4\pi}{3} < -\pi$ , kai k = 2, gauname $\frac{5\pi}{3} > \pi$ – abu už intervalo.
Brėžinyje matyti, kodėl sprendiniai skiriasi lygiai π: abiejų kampų spinduliai guli vienoje tiesėje, kuri kerta tangentų tiesę taške $(1; -\sqrt{3})$ .

Atsakymas: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ , k ∈ Z; intervale (−π; π) – $-\frac{\pi}{3}$ ir $\frac{2\pi}{3}$ .

Funkcijos Lyginumas ir grafikų transformacijos.

Sudėties ir dvigubo kampo formulės: kodėl jos teisingos

Sudėties formulės leidžia rasti dviejų kampų sumos ar skirtumo sinusą ir kosinusą, kai žinomos atskirų kampų reikšmės. Jos priklauso 12 klasės A kursui, ir jas mokomasi ne tik taikyti, bet ir įrodyti.

Įrodymo idėja kosinuso skirtumui. Vienetiniame apskritime imkime taškus A(cos α; sin α) ir B(cos β; sin β). Pagal atstumo tarp taškų formulę AB² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)². Atskliaudę ir pasinaudoję tuo, kad cos²α + sin²α = 1 ir cos²β + sin²β = 1, gauname AB² = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β). Kita vertus, trikampyje OAB kraštinės OA = OB = 1, o kampas tarp jų lygus α − β (kosinusui nesvarbu, kuria kryptimi jį matuoti). Pagal kosinusų teoremą AB² = 1² + 1² − 2 · 1 · 1 · cos(α − β) = 2 − 2 cos(α − β). Sulyginę gauname cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Kitos sudėties formulės gaunamos įrašius −β vietoj β arba pasinaudojus tuo, kad sin α = cos(90° − α).

Tipinė klaida – manyti, kad sin(α + β) = sin α + sin β. Užtenka vieno pavyzdžio, kad tai paneigtum: kai α = β = 90°, kairėje sin 180° = 0, o dešinėje 1 + 1 = 2.

Įrašę β = α, gauname dvigubo kampo formules: sin 2α = 2 sin α cos α ir cos 2α = cos²α − sin²α. Pakeitęs sin²α = 1 − cos²α arba cos²α = 1 − sin²α, gausi dar du kosinuso pavidalus: cos 2α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α. Kurį rinktis, lemia tikslas: jei reiškinyje jau yra 1 − cos 2α, patogu jį pakeisti į 2sin²α.

Tapatybių taikymas reiškiniui

a) Suprastink reiškinį $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$ . b) Apskaičiuok jo reikšmę, kai $\sin\alpha = \frac{8}{17}$ ir $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ .

a) Skaitiklyje taikome dvigubo kampo formulę pavidalu $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ , todėl $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$ .
Vardiklyje $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ . Reiškinys apibrėžtas tik tada, kai sin 2α ≠ 0, t. y. kai sin α ≠ 0 ir cos α ≠ 0, todėl galime suprastinti iš 2 sin α: $\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$
b) Reikia rasti tg α, todėl pirmiausia randame kosinusą iš pagrindinės tapatybės: $\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$
Kampas yra antrajame ketvirtyje, kur kosinusas neigiamas (žr. brėžinį), todėl $\cos\alpha = -\frac{15}{17}$ .
Tada $\operatorname{tg}\alpha = \frac{8}{17} : \left(-\frac{15}{17}\right) = -\frac{8}{15}$

Atsakymas: a) tg α; b) $-\frac{8}{15}$ .

Trigonometrinės lygtys A kurse: keitinys, sandauga ir sprendiniai intervale

Lygtyje gali būti ir $\sin^2 x$ , ir cos x. Tada pagal pagrindinę tapatybę $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ ją užrašai vien kosinusu. Pažymėjęs t = cos x (toks naujas nežinomasis vadinamas keitiniu), gauni kvadratinę lygtį. Kai lygtyje yra $\cos^2 x$ ir sin x, daroma atvirkščiai: t = sin x. Radus t, būtina patikrinti, ar −1 ≤ t ≤ 1: kartais viena šaknis išeina už šio intervalo, ir tada ji atmetama.

Jei lygtį pavyksta užrašyti sandauga, lygia nuliui, pavyzdžiui, sin x · (2 cos x − 1) = 0, ji skyla į dvi paprastesnes lygtis: sin x = 0 arba cos x = 1/2. Atsakyme surašomos abiejų lygčių sprendinių šeimos: x = πk arba x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Lygtis ir sprendiniai intervale

Išspręsk lygtį $2\sin 2x = \sqrt{3}$ ir nurodyk sprendinius, priklausančius atkarpai [0; 2π].

Grafikas y = sin 2x per atkarpą [0; 2π] padaro du pilnus svyravimus, todėl su tiese

y = \frac{\sqrt{3}}{2}

susikerta keturis kartus.

Padaliję iš 2, gauname $\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Vienetiniame apskritime šią sinuso reikšmę turi du kampai: $\frac{\pi}{3}$ ir $\frac{2\pi}{3}$ .
Todėl $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ arba $2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ , kur k ∈ Z.
Dalijame iš 2 visą reiškinį, kartu ir periodą: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ arba $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ .
Perrenkame k: kai k = 0, gauname $\frac{\pi}{6}$ ir $\frac{\pi}{3}$ ; kai k = 1 – $\frac{7\pi}{6}$ ir $\frac{4\pi}{3}$ ; kai k = 2 arba k = −1, sprendiniai jau išeina už atkarpos ribų.
Patikriname vieną iš jų: kai $x = \frac{7\pi}{6}$ , gauname $2x = \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$ . Pilnas apsisukimas sinuso reikšmės nekeičia, todėl $\sin\frac{7\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Atsakymas: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ arba $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ , k ∈ Z; atkarpoje [0; 2π] – keturi sprendiniai: $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{7\pi}{6}$ , $\frac{4\pi}{3}$ .

Trigonometrinių nelygybių sprendimas

Trigonometrinė nelygybė klausia ne vieno kampo, o visų kampų, su kuriais sąlyga teisinga. Tokie kampai sudaro lankus, kurie kartojasi kas periodą. Pavyzdžiui, $\sin x > \frac{1}{2}$ , kai $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ , k ∈ Z.

12 klasės A kurse nelygybes m · f(x) + n > 0 (ar su ženklu <, ≥, ≤) patogu spręsti vienetiniame apskritime. Pirma atskirk funkciją (jei m neigiamas, dalijant iš jo nelygybės ženklas apsiverčia), pavyzdžiui, sin x > a, o tada:

Išspręsk lygtį sin x = a (ar cos x = a): jos sprendiniai – būsimo lanko galai.
Vienetiniame apskritime pažymėk taškus, kurių ordinatė (sinusas) didesnė ar mažesnė už a – jie yra virš ar po tiese y = a. Kosinusui (abscisei) žiūrėk į dešinę ar į kairę nuo tiesės x = a.
Lanką užrašyk eidamas prieš laikrodžio rodyklę: kairysis intervalo galas turi būti mažesnis už dešinįjį. Prie abiejų galų pridėk 2πk.
Griežtos nelygybės (<, >) atveju galai nepriklauso – rašyk lenktinius skliaustus; negriežtos (≤, ≥) – laužtinius.
Su tangentu periodas lygus π, o lankai baigiasi ties $\frac{\pi}{2} + \pi k$ : pavyzdžiui, tg x > 1, kai $\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$ .

Nelygybė ir lanko galų tvarka

Išspręsk nelygybę $2\sin x + \sqrt{3} < 0$ .

Atskiriame sinusą: $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Lanko galai – lygties $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ sprendiniai. Per vieną apsisukimą tai $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$ ir $\pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3}$ .
Vienetiniame apskritime taškai, kurių ordinatė mažesnė už $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , yra po tiese $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ – tai trumpas apatinis lankas (žr. brėžinį). Eidami juo prieš laikrodžio rodyklę, pradedame ties $\frac{4\pi}{3}$ ir baigiame ties $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ .
Klaida, kurią čia lengva padaryti: užrašyti $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$ . Tai ilgasis lankas virš tiesės, kur sinusas didesnis už $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , t. y. priešingos nelygybės sprendiniai. Tai parodo vienas taškas: x = 0 yra tame intervale, bet $2\sin 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3} > 0$ .
Nelygybė griežta, todėl galai nepriklauso. Pridedame periodą: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$ . Patikriname lanko viduriu $x = \frac{3\pi}{2}$ : $2 \cdot (-1) + \sqrt{3} \approx -0{,}27 < 0$ .

Atsakymas: $x \in \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right)$ , k ∈ Z.

Nelygybės Intervalų žymėjimas, griežtos ir negriežtos nelygybės.

Dažnos klaidos sprendžiant trigonometrijos uždavinius

Klaidos trigonometrijoje kyla ne tik iš nežinojimo, bet ir iš skubėjimo: atrodo, kad sprendinys rastas, nors trūksta pusės. Prieš užrašydamas atsakymą, patikrink šiuos punktus.

Prarandama dalis sprendinių. Lygtis sin x = a per vieną periodą paprastai turi du sprendinius, o ne vieną. Kai po funkcijos ženklu yra 2x, tame pačiame intervale sprendinių būna dvigubai daugiau.
Dalijant iš 2 nepadalijamas periodas. Iš 2x = π/3 + 2πk gaunama x = π/6 + πk, o ne π/6 + 2πk.
Neįvertinamas ženklas. Iš pagrindinės tapatybės gaunamas kosinuso kvadratas, o pats kosinusas gali būti ir teigiamas, ir neigiamas – ženklą lemia ketvirtis. Panaši klaida – neigiamo skaičiaus arkkosinusą užrašyti neigiamu kampu, nors arkkosinusas visada yra tarp 0° ir 180°.
Painiojami laipsniai ir radianai. Atsakyme x = 30° + πk vienetai sumaišyti: turi būti 30° + 180°k arba π/6 + πk. Skaičiuotuvas, nustatytas ne tuo režimu, duoda visai kitą skaičių, todėl prieš skaičiuodamas patikrink režimą.
Neatmetamos neįmanomos reikšmės. Jei sprendžiant gaunama cos x = 2 ar sin x = −1,5, tokia lygtis sprendinių neturi, nes sinusas ir kosinusas visada yra tarp −1 ir 1.
Dalijama iš reiškinio, kuris gali būti lygus nuliui. Padalijus lygties abi puses iš cos x, galima prarasti sprendinius, su kuriais cos x = 0. Saugiau iškelti bendrą daugiklį prieš skliaustus ir spręsti sandaugos lygtį.

Trigonometrija VBE: formulių lapas ir priemonės

Trigonometrijos formulių yra abiejuose 2026 m. VBE formulių rinkinio skyriuose. Nauji VBE užduočių aprašai dar derinami, todėl čia aprašyta 2026 m. tvarka.

Formulių rinkinys. 2026 m. tvarka: oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Abiejuose skyriuose yra skyrelis „Trigonometrija“. I skyriuje (B) – pagrindinė tapatybė, tg α ir $1 + \operatorname{tg}^2\alpha$ formulės, reikšmių lentelė nuo 0° iki 90° ir lygčių sprendinių formulės su periodu laipsniais. II skyriuje (A) – dvigubo kampo ir sudėties formulės, ta pati lentelė ir su radianais, lygčių formulės su periodu radianais. Formulės, kurių lape nėra, šio puslapio formulių lentelėje pažymėtos „Išmok mintinai“. Visas rinkinys aprašytas puslapyje VBE formulių rinkinys.
Priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Vadinasi, skaičiuotuvu gali naudotis abiejose dalyse. Juo apytiksliai apskaičiuosi arksinusą ar kampo sinusą, bet prieš tai patikrink, ar jis nustatytas laipsniais, ar radianais.
Egzamino dalys. 2026 m. tvarka: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Pagal bendrąją programą pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Vadinasi, 11 klasės trigonometrijos uždavinių gali būti abiejose dalyse, o 12 klasės – tik antrojoje.
Kas gali keistis. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 7 d. paskelbė, kad atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui.

Matematikos VBE Egzamino sandara, vertinimas ir pasiruošimas.
Matematikos VBE 1 dalis Pirmoji egzamino dalis.
Matematikos VBE 2 dalis Antroji egzamino dalis.
NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys – aprašo 1 priedas.

Trigonometrija: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti pagal sunkumą. Pažymėtieji „A kursas“ skirti išplėstiniam kursui, kiti tinka abiem kursams. Pirma išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą.

Lengvesni

1. A kursas. Kiekvienam kampui radianais A–C parink lygų kampą laipsniais iš 1–4 (vienas variantas liks nepanaudotas). A) $\frac{\pi}{4}$ ; B) $\frac{5\pi}{6}$ ; C) $\frac{3\pi}{2}$ . 1) 150°; 2) 270°; 3) 45°; 4) 120°.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A – 3, B – 1, C – 2.

Vietoj π įrašome 180°: 180° : 4 = 45°, 5 · 180° : 6 = 150°, 3 · 180° : 2 = 270°. Variantas 120° (tai 2π/3) lieka nepanaudotas.

2. Apskaičiuok laipsniais $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 90°.

$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (arkkosinusas yra tarp 0° ir 180°), $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -30^\circ$ . Suma 120° − 30° = 90°.

Vidutiniai

3. Kiek sprendinių intervale [0°; 720°] turi lygtis cos x = 0,3?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 4.

Kadangi −1 < 0,3 < 1, per kiekvieną 360° periodą lygtis turi du sprendinius: arccos 0,3 ≈ 72,5° ir 360° − 72,5° = 287,5°. Intervale telpa du pilni periodai, todėl sprendinių keturi: apie 72,5°, 287,5°, 432,5° ir 647,5°.

4. Išdėstyk skaičius didėjimo tvarka: sin 100°, sin 170°, sin 250°, cos 20°.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: sin 250° < sin 170° < cos 20° < sin 100°.

sin 250° < 0, nes kampo taškas yra III ketvirtyje; kiti trys skaičiai teigiami. sin 170° = sin 10°, sin 100° = sin 80°, o cos 20° = sin 70°. Smailiesiems kampams sinusas didėja kartu su kampu, todėl sin 10° < sin 70° < sin 80°.

5. A kursas. Duota funkcija f(x) = 3 sin 2x − 1. Užrašyk jos reikšmių sritį ir mažiausią teigiamą periodą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: [−4; 2]; T = π.

Kadangi −1 ≤ sin 2x ≤ 1, tai −3 ≤ 3 sin 2x ≤ 3 ir −4 ≤ 3 sin 2x − 1 ≤ 2. Abi ribos pasiekiamos (kai sin 2x = −1 ir kai sin 2x = 1). Periodas $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ .

6. A kursas. Apskaičiuok tiksliai sin 105°.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}97$ .

Kampą užrašome kaip sumą: 105° = 60° + 45°. Pagal sudėties formulę sin 105° = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°. Įstatome reikšmes: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ Patikrinimas skaičiuotuvu: abu reiškiniai lygūs maždaug 0,966.

Sunkesni

7. A kursas. Išspręsk lygtį $2\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2 = 0$ ir nurodyk sprendinius intervale [0; 4π].

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$ , k ∈ Z; intervale – $\frac{7\pi}{6}$ ir $\frac{19\pi}{6}$ .

$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -1$ . Kosinusas lygus −1 tik tada, kai argumentas lygus π + 2πk, todėl $x - \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k$ ir $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$ . Intervale [0; 4π]: kai k = 0, $x = \frac{7\pi}{6}$ ; kai k = 1, $x = \frac{19\pi}{6}$ ; kai k = 2, jau $\frac{31\pi}{6} > 4\pi$ .

8. A kursas. Išspręsk nelygybę 2 cos x ≥ 1 intervale [0; 2π].

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x \in \left[0; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3}; 2\pi\right]$ .

$\cos x \ge \frac{1}{2}$ . Lygtis $\cos x = \frac{1}{2}$ intervale turi sprendinius $\frac{\pi}{3}$ ir $\frac{5\pi}{3}$ . Abscisė ne mažesnė už $\frac{1}{2}$ dešiniajame apskritimo lanke tarp šių taškų, kuris eina per kampą 0. Atkarpoje [0; 2π] šis lankas skyla į dvi dalis: $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$ ir $\left[\frac{5\pi}{3}; 2\pi\right]$ . Nelygybė negriežta, todėl galai priklauso.

9. A kursas. Išspręsk lygtį $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$ ir nurodyk sprendinius, priklausančius atkarpai [0; 2π].

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ , k ∈ Z; atkarpoje – $\frac{2\pi}{3}$ ir $\frac{4\pi}{3}$ .

Pagal pagrindinę tapatybę $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ , todėl $2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0$ , t. y. $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$ . Pažymėkime t = cos x: $2t^2 - 3t - 2 = 0$ , D = 9 + 16 = 25, todėl t = 2 arba $t = -\frac{1}{2}$ . Lygtis cos x = 2 sprendinių neturi. Iš $\cos x = -\frac{1}{2}$ gauname $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ . Atkarpai [0; 2π] priklauso $\frac{2\pi}{3}$ (kai imame pliusą ir k = 0) ir $\frac{4\pi}{3}$ (kai imame minusą ir k = 1).

Dažniausiai užduodami klausimai

Ką trigonometrijoje reikia mokėti 12 klasėje?

B kurse 12 klasėje sprendžiamos trigonometrinės lygtys: reiškiniai pertvarkomi pagal pagrindinę tapatybę, neigiamo kampo ir periodiškumo formules, taikomos lygčių sin x = a ir cos x = a sprendinių formulės, sprendžiamos lygtys a · sin x + b = 0 ir a · cos x + b = 0, atrenkami sprendiniai nurodytame intervale. A kurse dar mokomasi įrodyti ir taikyti sudėties bei dvigubo kampo formules, spręsti lygtis su tangentu, sandaugos lygtis ir lygtis, kurios keitiniu suvedamos į kvadratines, taip pat trigonometrines nelygybes. Visa tai remiasi 11 klasės pagrindais: vienetiniu apskritimu, arksinusu ir arkkosinusu, o A kurse – ir radianais bei arktangentu.

Kurių trigonometrijos formulių nėra VBE formulių lape?

Nė viename 2026 m. VBE formulių rinkinio skyriuje nėra šių formulių: neigiamo kampo (sin(−α) = −sin α ir cos(−α) = cos α), periodiškumo, sąryšio sin(180° − α) = sin α, laipsnių ir radianų sąryšio bei kosinuso dvigubo kampo pavidalų 1 − 2 sin² α ir 2 cos² α − 1. A kurso reikšmių lentelėje kampai surašyti ir laipsniais, ir radianais, bet pati perskaičiavimo formulė 180° = π ten neišspausdinta. Sudėties ir dvigubo kampo formulės išspausdintos tik A kurso skyriuje, o dvigubo kampo kosinusas ten užrašytas tik kaip cos² α − sin² α. Visos šios formulės trumpos ir išvedamos iš vienetinio apskritimo, todėl jas verta mokėti mintinai.

Kaip įsiminti trigonometrijos reikšmių lentelę?

Sinuso reikšmes kampams 0°, 30°, 45°, 60° ir 90° lengva atkurti: tai šaknis iš 0, iš 1, iš 2, iš 3 ir iš 4, kiekviena padalyta iš 2. Gaunama 0, 1/2, šaknis iš 2 per 2, šaknis iš 3 per 2 ir 1. Kosinuso reikšmės tos pačios, tik atvirkštine tvarka, nes cos α = sin(90° − α). Tangentą gausi padalijęs sinusą iš kosinuso; ties 90° jis neapibrėžtas. Kitų kampų reikšmes rasi vienetiniame apskritime: nustatyk, kuriam smailiajam kampui simetriškas kampo taškas, ir ženklą parink pagal ketvirtį. Ši lentelė išspausdinta abiejuose 2026 m. VBE formulių rinkinio skyriuose, bet ją verta mokėti ir mintinai.

Taip pat: Pitagoro teorema · Išvestinės · Integralai · Pasiruošimas matematikos VBE · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE 1 dalis

Šaltiniai

NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt