Funkcijos: savybės, grafikai ir transformacijos

Q: Apibrėžimo sritis – tai x ar y reikšmės?

Apibrėžimo sritis – tai x reikšmės, t. y. argumentai, su kuriais funkcija turi reikšmę. Grafike ji matoma horizontalioje ašyje. Reikšmių sritis – tai y reikšmės, kurias funkcija įgyja, ir ji matoma vertikalioje ašyje. Pirmiausia nustatoma, ką galima įstatyti, o tik paskui žiūrima, kokios reikšmės gaunamos.

Q: Kas yra funkcijos argumentas?

Argumentas – tai nepriklausomas kintamasis, dažniausiai žymimas x: skaičius, kurį įstatai į funkcijos formulę. Funkcijos reikšmė nuo jo priklauso, todėl vadinama priklausomu kintamuoju. Pavyzdžiui, jei f(x) = 3x − 1, tai argumentą 4 atitinka reikšmė 11.

Q: Kaip užrašoma reikšmių sritis?

Reikšmių sritis žymima E(f) ir dažniausiai užrašoma intervalais. Laužtinis skliaustas reiškia, kad galas įeina, apvalusis – kad neįeina. Pavyzdžiui, įrašas E(f) = (0; 3] reiškia, kad funkcija įgyja visas reikšmes, didesnes už 0 ir ne didesnes už 3. Prie begalybės visada rašomas apvalusis skliaustas, o kelios atskiros dalys jungiamos sąjungos ženklu.

Funkcija – tai taisyklė, kuri kiekvienam skaičiui $x$ iš tam tikros aibės priskiria lygiai vieną skaičių $y$ . Rašoma $y = f(x)$ : $x$ vadinamas argumentu, o $f(x)$ – funkcijos reikšme. 9 klasėje mokomasi funkciją apibūdinti: rasti jos apibrėžimo ir reikšmių sritį, nulius, intervalus, kuriuose ji teigiama ar neigiama, didėja ar mažėja. 11 klasėje prisideda lyginumas ir grafikų transformacijos. Parabolės savybės aprašytos atskirai – kvadratinės funkcijos puslapyje.

Funkcija: argumentas, reikšmė ir grafikas

Funkciją patogu įsivaizduoti kaip automatą: įdedi skaičių $x$ , gauni vieną skaičių $f(x)$ . Užrašas $f(5)$ skaitomas „f nuo 5“ ir reiškia funkcijos reikšmę, kai $x = 5$ . Svarbiausia sąlyga: vienam argumentui negali tekti dviejų skirtingų reikšmių. O du skirtingi argumentai tą pačią reikšmę turėti gali: funkcijai $f(x) = x^2$ ir $f(2) = 4$ , ir $f(-2) = 4$ . Funkcija gali būti nusakyta žodžiais, lentele, grafiku arba formule, kaip tiesinė funkcija $y = kx + b$ .

Funkcijos grafikas – tai visi koordinačių plokštumos taškai $(x; f(x))$ . Pavyzdžiui, jei $f(2) = 5$ , grafikui priklauso taškas $(2; 5)$ . Iš to išplaukia paprastas patikrinimas: kreivė yra funkcijos grafikas tik tada, kai kiekviena vertikali tiesė ją kerta ne daugiau kaip viename taške. Apskritimas funkcijos grafikas nėra: vertikali tiesė per jo centrą kerta jį du kartus, taigi vienam $x$ tektų dvi $y$ reikšmės.

Tiesinė funkcija Funkcija y = kx + b: krypties koeficientas ir grafikas tiesė.
Kvadratinė funkcija Parabolė, jos viršūnė ir nuliai.

Kas yra funkcijos apibrėžimo sritis?

Funkcijos apibrėžimo sritis – tai visos argumento $x$ reikšmės, su kuriomis funkcija turi reikšmę. Ji žymima $D(f)$ ir dažniausiai užrašoma intervalais. Kai funkcija duota grafiku, apibrėžimo sritis matyti x ašyje: tai visi $x$ , ties kuriais yra grafiko taškas.

Kai duota tik formulė, apibrėžimo sritį sudaro visi skaičiai, su kuriais formulę galima apskaičiuoti. Pradėk nuo visų realiųjų skaičių ir išbrauk tai, kas draudžiama. Pagrindiniai draudimai yra trys: dalyti iš nulio, traukti kvadratinę šaknį iš neigiamo skaičiaus ir (11 klasėje) logaritmuoti neteigiamą skaičių. Apie pastarąjį plačiau – logaritmų puslapyje. Jei formulėje kelios kliūtys, visos sąlygos turi galioti kartu, todėl jos sprendžiamos kaip sistema.

Formulė	Kada taikyti
$y = \frac{A(x)}{B(x)}:\quad B(x) \neq 0$	Kai $x$ yra vardiklyje: vardiklis negali būti lygus nuliui.Išmok mintinai
$y = \sqrt{A(x)}:\quad A(x) \geq 0$	Kai $x$ yra po kvadratine šaknimi: pošaknis (reiškinys po šaknimi) turi būti neneigiamas, t. y. lygus nuliui arba teigiamas.Išmok mintinai

Apibrėžimo sritis, kai yra ir šaknis, ir vardiklis

Rask funkcijos $f(x) = \frac{\sqrt{10 - 2x}}{x + 3}$ apibrėžimo sritį.

Tuščias apskritimas – skaičius neįeina, pilnas skritulys – įeina.

Pošaknis turi būti neneigiamas: $10 - 2x \geq 0$ , todėl $-2x \geq -10$ ir $x \leq 5$ . Abi puses dalydami iš neigiamo skaičiaus −2, nelygybės ženklą pakeitėme priešingu.
Vardiklis negali būti lygus nuliui: $x + 3 \neq 0$ , todėl $x \neq -3$ .
Abi sąlygos turi galioti kartu. Iš intervalo $(-\infty; 5]$ išmetame tašką −3. Skaičius 5 lieka: $f(5) = \frac{0}{8} = 0$ , taigi reikšmė yra.

Atsakymas: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 5]$ .

Skaičių aibės ir modulis Intervalai, sąjunga ir sankirta: kaip užrašyti apibrėžimo sritį.
Racionaliosios lygtys Algebrinių trupmenų apibrėžimo sritis su pavyzdžiais.

Kaip rasti funkcijos reikšmių sritį?

Funkcijos reikšmių sritis – tai visos reikšmės $y$ , kurias funkcija įgyja, kai $x$ kinta apibrėžimo srityje. Ji žymima $E(f)$ . Iš grafiko ją rasi projektuodamas grafiką į y ašį: visus grafiko taškus perkelk horizontaliai ant y ašies ir pažiūrėk, kurią ašies dalį jie užpildo.

Iš formulės reikšmių sritį rasi, jei žinai, kokių reikšmių negali įgyti formulės dalys. Pavyzdžiui, $x^2 \geq 0$ ir $\sqrt{A} \geq 0$ . Kadangi $\sqrt{x - 1}$ įgyja visas neneigiamas reikšmes, o prie kiekvienos pridedame 4, funkcijos $\sqrt{x - 1} + 4$ reikšmių sritis yra $[4; +\infty)$ .

Didžiausia funkcijos reikšmė – didžiausias reikšmių srities skaičius, mažiausia – mažiausias, jei tokie yra. Kai klausiama didžiausios reikšmės, atsakymas yra vienas skaičius $y$ , o ne taškas. Didžiausią ir mažiausią reikšmę atkarpoje 12 klasėje rasi su išvestine.

Reikšmių sritis ir didžiausia reikšmė

Rask funkcijos $f(x) = \frac{6}{x^2 + 2}$ reikšmių sritį. Ar funkcija turi didžiausią ir mažiausią reikšmę?

Kreivė lieka tarp tiesių

y = 0

y = 3

ir liečia tik viršutinę.

Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai, nes $x^2 + 2 \geq 2$ ir vardiklis niekada nėra nulis.
Kuo mažesnis vardiklis, tuo didesnė trupmena. Vardiklis mažiausias (lygus 2), kai $x = 0$ , todėl $f(x) \leq f(0) = 6 : 2 = 3$ . Skaitiklis ir vardiklis teigiami, todėl $f(x) > 0$ : didėjant $|x|$ , trupmena artėja prie nulio, bet jo nepasiekia.
Ar įgyjama kiekviena reikšmė tarp 0 ir 3? Išsprendžiame $\frac{6}{x^2 + 2} = y$ : $x^2 + 2 = \frac{6}{y}$ , todėl $x^2 = \frac{6}{y} - 2$ . Kai $0 < y \leq 3$ , $\frac{6}{y} \geq 2$ , todėl dešinė pusė neneigiama ir sprendinys yra.
Taigi $E(f) = (0; 3]$ . Didžiausia reikšmė lygi 3 (kai $x = 0$ ), o mažiausios nėra: skaičius 0 į reikšmių sritį nepatenka.

Atsakymas: $E(f) = (0; 3]$ ; didžiausia reikšmė $3$ , mažiausios reikšmės nėra.

Kaip rasti funkcijos nulius?

Funkcijos nulis – tai argumento reikšmė, su kuria funkcijos reikšmė lygi nuliui. Grafike nuliai matyti ten, kur grafikas kerta arba liečia x ašį: nulis – tokio taško abscisė, t. y. jo x koordinatė. Atsakyme rašomi patys skaičiai $x$ , ne taškai.

Nuliai randami trimis žingsniais: rask apibrėžimo sritį, išspręsk lygtį $f(x) = 0$ ir palik tik tuos sprendinius, kurie priklauso apibrėžimo sričiai. Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne. Gauta lygtis neretai būna kvadratinė.

Grafiko sankirta su y ašimi – taškas $(0; f(0))$ . Jis yra tik tada, kai 0 priklauso apibrėžimo sričiai, ir toks taškas gali būti tik vienas. Bendrų taškų su x ašimi grafikas gali turėti bet kiek.

Ženklo intervalai parodo, kur $f(x) > 0$ (grafikas virš x ašies), o kur $f(x) < 0$ (grafikas po x ašimi). Nuliai ir taškai, kuriuose funkcija neapibrėžta, padalija apibrėžimo sritį į intervalus, o patys į juos neįeina. Jei kiekviename jų grafikas nenutrūksta, ženklas jame pastovus: užtenka apskaičiuoti vieną reikšmę kiekviename intervale.

Sprendinys, kuris nėra funkcijos nulis

Duota funkcija $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 15}{x - 5}$ . a) Rask funkcijos nulius. b) Rask grafiko sankirtos su $y$ ašimi tašką. c) Su kuriomis $x$ reikšmėmis $f(x) > 0$ ?

Taške

(5; 8)

grafikas turi „skylę“: su

x = 5

funkcija neapibrėžta.

Apibrėžimo sritis: $x - 5 \neq 0$ , todėl $D(f) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$ .
a) Skaitiklį išskaidome dauginamaisiais: $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$ , nes $(-5) \cdot 3 = -15$ ir $-5 + 3 = -2$ . Skaitiklis lygus nuliui, kai $x = 5$ arba $x = -3$ .
Čia ir slypi dažna klaida. Skaičius 5 apibrėžimo sričiai nepriklauso: jį įstačius gaunama $\frac{0}{0}$ , o tai nėra skaičius. Todėl vienintelis funkcijos nulis yra $x = -3$ .
b) $f(0) = \frac{-15}{-5} = 3$ , taigi grafikas kerta y ašį taške $(0; 3)$ .
c) Kai $x \neq 5$ , trupmeną galima suprastinti: $f(x) = \frac{(x - 5)(x + 3)}{x - 5} = x + 3.$ Grafikas – tiesė $y = x + 3$ su „skyle“ taške $(5; 8)$ .
Todėl $f(x) > 0$ , kai $x > -3$ , tik skaičių 5 iš šio intervalo išmetame: jis nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Atsakymas: a) vienintelis nulis $x = -3$ ; b) $(0; 3)$ ; c) $x \in (-3; 5) \cup (5; +\infty)$ .

Kvadratinės nelygybės Intervalų metodas: kur reiškinys teigiamas, kur neigiamas.

Funkcijos didėjimas ir mažėjimas: kaip skaityti grafiką

Funkcija didėja intervale, jei jame didesnį argumentą atitinka didesnė reikšmė: kai $x_1 < x_2$ , tai $f(x_1) < f(x_2)$ . Žiūrint iš kairės į dešinę, jos grafikas tame intervale kyla. Funkcija mažėja, jei didesnį argumentą atitinka mažesnė reikšmė, ir yra pastovi, jei reikšmė nesikeičia. Didėjimas ir mažėjimas vadinami funkcijos monotoniškumu.

Monotoniškumo intervalai rašomi $x$ reikšmėmis, ne $y$ . Atsakyme galai, kuriuose funkcija apibrėžta ir grafikas nenutrūksta, įtraukiami į intervalą.

Atskirų intervalų negalima jungti sąjungos ženklu. Funkcija $f(x) = \frac{1}{x}$ mažėja intervale $(-\infty; 0)$ ir intervale $(0; +\infty)$ , bet ne jų sąjungoje. Patikrink: $-1 < 1$ ir $f(-1) = -1 < f(1) = 1$ , t. y. didesniam argumentui tenka didesnė reikšmė.

Reikšmių sritis, nuliai ir monotoniškumas iš grafiko

Brėžinyje pavaizduotas funkcijos $y = f(x)$ , apibrėžtos atkarpoje $[-5; 6]$ , grafikas – laužtė, jungianti taškus $(-5; -2)$ , $(-3; 2)$ , $(0; 2)$ , $(3; -4)$ ir $(6; 2)$ . Nurodyk: a) reikšmių sritį; b) nulius; c) didėjimo, mažėjimo ir pastovumo intervalus.

a) Žemiausias grafiko taškas yra $(3; -4)$ , aukščiausi – visi taškai, kurių ordinatė (y koordinatė) lygi 2. Laužtė nenutrūksta, todėl įgyjama ir kiekviena tarpinė reikšmė: $E(f) = [-4; 2]$ .
b) Grafikas kerta x ašį tris kartus. Atkarpoje nuo $(-5; -2)$ iki $(-3; 2)$ ordinatė kyla po 2 vienetus kiekvienam vienetui į dešinę. Nuo −2 iki 0 ji pakyla pasislinkus $2 : 2 = 1$ vienetą į dešinę, todėl nulis yra $x = -5 + 1 = -4$ . Atkarpoje nuo $(0; 2)$ iki $(3; -4)$ ji krenta po 2: nuo 2 iki 0 ji nukrenta pasislinkus $2 : 2 = 1$ vienetą į dešinę, todėl $x = 0 + 1 = 1$ . Atkarpoje nuo $(3; -4)$ iki $(6; 2)$ ji vėl kyla po 2: nuo −4 iki 0 ji pakyla pasislinkus $4 : 2 = 2$ vienetus į dešinę, todėl $x = 3 + 2 = 5$ .
c) Funkcija didėja atkarpose $[-5; -3]$ ir $[3; 6]$ , yra pastovi atkarpoje $[-3; 0]$ ir mažėja atkarpoje $[0; 3]$ .

Atsakymas: a) $[-4; 2]$ ; b) $-4$ , $1$ , $5$ ; c) didėja $[-5; -3]$ ir $[3; 6]$ , pastovi $[-3; 0]$ , mažėja $[0; 3]$ .

Kaip nustatyti funkcijos lyginumą?

Lyginumo mokomasi 11 klasėje, abiejuose kursuose. Pirmiausia apibrėžimo sritis turi būti simetriška nulio atžvilgiu: kartu su kiekvienu skaičiumi $x$ joje yra ir $-x$ . Funkcija vadinama lygine, jei su kiekvienu $x$ iš tokios srities $f(-x) = f(x)$ , pavyzdžiui, $f(x) = x^2$ : $f(-3) = f(3) = 9$ . Lyginės funkcijos grafikas simetriškas y ašies atžvilgiu.

Funkcija vadinama nelygine, jei $f(-x) = -f(x)$ , pavyzdžiui, $f(x) = x^3$ : $f(-2) = -8$ , o $f(2) = 8$ . Nelyginės funkcijos grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško $(0; 0)$ atžvilgiu. Visos kitos funkcijos yra nei lyginės, nei nelyginės.

Tikrink taip. Pirmiausia pažiūrėk, ar apibrėžimo sritis simetriška. Jei ne, funkcija nei lyginė, nei nelyginė, ir skaičiuoti nebereikia. Jei taip, vietoje kiekvieno $x$ įrašyk $(-x)$ skliaustuose ir suprastink. Lyginis laipsnis minusą panaikina: $(-x)^4 = x^4$ , o nelyginis jį palieka: $(-x)^3 = -x^3$ .

Kad funkcija lyginė, įrodo tik lygybė su visais $x$ . Vieno skaitinio pavyzdžio neužtenka. O kad ji nėra lyginė, užtenka vieno kontrpavyzdžio, t. y. vieno skaičiaus, su kuriuo lygybė netinka. Funkcijai $h(x) = x^3 + 1$ turime $h(1) = 2$ ir $h(-1) = 0$ : reikšmės nei lygios, nei priešingos, todėl $h$ – nei lyginė, nei nelyginė.

Formulė	Kada taikyti
$f(-x) = f(x)$	Lyginė funkcija (kai apibrėžimo sritis simetriška): grafikas simetriškas y ašies atžvilgiu.Išmok mintinai
$f(-x) = -f(x)$	Nelyginė funkcija (kai apibrėžimo sritis simetriška): grafikas simetriškas taško $(0; 0)$ atžvilgiu.Išmok mintinai

Lyginė, nelyginė ar nei tokia, nei tokia

Nustatyk, ar funkcija lyginė, nelyginė, ar nei lyginė, nei nelyginė: a) $g(x) = x^3 - 5x$ ; b) $h(x) = \frac{x^2 + 4}{x - 2}$ .

Nelyginės funkcijos taškai

(2; -2)

(-2; 2)

simetriški taško

(0; 0)

atžvilgiu.

a) Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai, ji simetriška. $\begin{aligned} g(-x) &= (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x \\ &= -(x^3 - 5x) = -g(x), \end{aligned}$ todėl $g$ nelyginė. Pavyzdžiui, $g(2) = -2$ , o $g(-2) = 2$ .
b) Apibrėžimo sritis: $x \neq 2$ . Skaičius −2 jai priklauso, o 2 – ne, todėl sritis nesimetriška. Funkcija nei lyginė, nei nelyginė, ir $h(-x)$ skaičiuoti nereikia.

Atsakymas: a) nelyginė; b) nei lyginė, nei nelyginė.

Funkcijos grafiko transformacijos

Žinodamas funkcijos $y = f(x)$ grafiką, gali nubraižyti daug susijusių funkcijų grafikų be naujos reikšmių lentelės: grafiką tereikia pastumti, atspindėti, ištempti ar suspausti. 11 klasėje abiejuose kursuose mokomasi keturių transformacijų: $y = f(x) + a$ , $y = f(x + a)$ , $y = -f(x)$ ir $y = a \cdot f(x)$ .

Pirmoji slenka grafiką vertikaliai, antroji – horizontaliai. Antrosios kryptis klaidina: $f(x + 3)$ slenka grafiką į kairę. Pavyzdžiui, grafikas $y = \sqrt{x}$ prasideda ties $x = 0$ , o $y = \sqrt{x + 3}$ – ties $x = -3$ , nes tik ten po šaknimi gaunamas nulis. Taip yra visada: naujoji funkcija taške $x_0 - 3$ įgyja tą reikšmę, kurią senoji įgijo taške $x_0$ . Todėl kiekvienas taškas pasislenka 3 vienetus į kairę.

Daugiklis −1 atspindi grafiką x ašies atžvilgiu. Daugiklis $a > 0$ padaugina iš $a$ kiekvieno taško y koordinatę: funkcijos $y = 2f(x)$ grafike taškas $(1; 3)$ virsta tašku $(1; 6)$ . Nuliai abiem atvejais lieka vietoje.

A kurse prisideda dar trys transformacijos (lentelėje jos pažymėtos „A kursas“). Be to, mokomasi braižyti dviejų transformacijų kompoziciją, t. y. atlikti dvi transformacijas vieną po kitos. Kai viena transformacija keičia $x$ skliaustuose, o kita – reikšmę $f(x)$ , pirmiausia atlik tą, kuri skliaustuose, paskui – tą, kuri su $f(x)$ . Kai abi keičia reikšmę, kaip $|f(x) - 2|$ , atlik jas ta tvarka, kuria skaičiuotum reikšmę. Kai abi skliaustuose, pirmiausia iškelk daugiklį: $f(2x - 4) = f(2(x - 2))$ – suspaudimas 2 kartus prie y ašies, paskui poslinkis 2 vienetus į dešinę.

Patogiausia sekti kelis grafiko taškus. Jei taškas $(x_0; y_0)$ priklauso funkcijos $y = f(x)$ grafikui, lentelė rodo, kur jis atsiduria po kiekvienos transformacijos.

Formulė	Kada taikyti
$y = f(x) + a:\quad (x_0;\ y_0 + a)$	Poslinkis išilgai y ašies: aukštyn, kai $a > 0$ , žemyn, kai $a < 0$ .Išmok mintinai
$y = f(x + a):\quad (x_0 - a;\ y_0)$	Poslinkis išilgai x ašies: į kairę, kai $a > 0$ , į dešinę, kai $a < 0$ .Išmok mintinai
$y = -f(x):\quad (x_0;\ -y_0)$	Atspindys x ašies atžvilgiu.Išmok mintinai
$y = a \cdot f(x):\quad (x_0;\ a y_0)$	Kai $a > 0$ : ištempimas nuo x ašies ( $a > 1$ ) arba suspaudimas prie jos ( $0 < a < 1$ ).Išmok mintinai
$y = f(-x):\quad (-x_0;\ y_0)$	A kursas: atspindys y ašies atžvilgiu.Išmok mintinai
$y = f(ax):\quad (x_0 : a;\ y_0)$	A kursas, $a > 0$ : suspaudimas prie y ašies ( $a > 1$ ) arba ištempimas nuo jos ( $0 < a < 1$ ).Išmok mintinai
$y = \|f(x)\|:\quad (x_0;\ \|y_0\|)$	A kursas: grafiko dalys po x ašimi atspindimos aukštyn, kitos lieka vietoje.Išmok mintinai

A kursas: šaknies funkcijos grafikas po dviejų poslinkių

Iš funkcijos $y = \sqrt{x}$ grafiko gauk funkcijos $g(x) = \sqrt{x + 2} - 3$ grafiką. Nurodyk $g$ apibrėžimo sritį, reikšmių sritį ir nulį.

Kiekvienas taškas pasislenka 2 vienetus į kairę ir 3 vienetus žemyn.

Pažymime $f(x) = \sqrt{x}$ . Tada $g(x) = f(x + 2) - 3$ : tai du poslinkiai.
Pirmasis, $f(x + 2)$ , slenka grafiką 2 vienetus į kairę – ne į dešinę, nors parašytas pliusas. Antrasis, $-3$ , slenka jį 3 vienetus žemyn.
Sekame taškus. Grafiko $y = \sqrt{x}$ pradžia $(0; 0)$ atsiduria taške $(-2; -3)$ , taškas $(4; 2)$ – taške $(2; -1)$ , taškas $(9; 3)$ – taške $(7; 0)$ .
Funkcijos $y = \sqrt{x}$ apibrėžimo ir reikšmių sritis yra $[0; +\infty)$ . Poslinkis į kairę perkelia apibrėžimo sritį, poslinkis žemyn – reikšmių sritį: $D(g) = [-2; +\infty)$ , $E(g) = [-3; +\infty)$ .
Nulis: $\sqrt{x + 2} = 3$ , $x + 2 = 9$ , $x = 7$ – tai sektas taškas $(7; 0)$ .

Atsakymas: $D(g) = [-2; +\infty)$ , $E(g) = [-3; +\infty)$ , nulis $x = 7$ .

A kursas: dviejų transformacijų kompozicija

Funkcijos $y = f(x)$ , apibrėžtos atkarpoje $[-5; 4]$ , grafikas – laužtė, jungianti taškus $(-5; 1)$ , $(-2; 4)$ , $(1; -2)$ ir $(4; 2)$ . Nubraižyk funkcijos $g(x) = |f(x) - 2|$ grafiką ir rask $g$ nulius bei didžiausią reikšmę.

Funkcijos

g

grafikas niekur nenusileidžia žemiau x ašies.

Reikšmę $g(x)$ skaičiuotume taip: iš $f(x)$ atimtume 2, o tada imtume modulį. Ta pačia tvarka atliekame ir transformacijas.
Pirma – $y = f(x) - 2$ : grafikas pasislenka 2 vienetus žemyn. Laužtės viršūnės tampa $(-5; -1)$ , $(-2; 2)$ , $(1; -4)$ ir $(4; 0)$ .
Antra – modulis: dalys po x ašimi atspindimos aukštyn. Viršūnės tampa $(-5; 1)$ , $(-2; 2)$ , $(1; 4)$ ir $(4; 0)$ .
Kur laužtė $y = f(x) - 2$ kerta x ašį, atsiranda naujos viršūnės. Atkarpoje nuo $(-5; -1)$ iki $(-2; 2)$ ordinatė kyla po 1 kiekvienam vienetui į dešinę: nuo −1 iki 0 ji pakyla pasislinkus 1 vienetą į dešinę, todėl ji kerta ašį ties $x = -5 + 1 = -4$ . Atkarpoje nuo $(-2; 2)$ iki $(1; -4)$ ordinatė krenta po 2: nuo 2 iki 0 ji nukrenta pasislinkus $2 : 2 = 1$ vienetą į dešinę, todėl ties $x = -2 + 1 = -1$ . Paskutinė viršūnė $(4; 0)$ jau yra ant ašies.
Funkcijos $g$ nuliai: −4, −1 ir 4. Didžiausia reikšmė lygi 4, kai $x = 1$ , – ten, kur $f$ buvo mažiausia.

Atsakymas: nuliai $-4$ , $-1$ ir $4$ ; didžiausia reikšmė $4$ .

Rodiklinė funkcija Rodiklinės funkcijos grafikas, lygtys ir nelygybės.

Dažnos klaidos tiriant funkcijas

Prieš rašydamas atsakymą, paklausk savęs, kurios ašies skaičių klausiama: x ar y.

Sukeičiamos apibrėžimo ir reikšmių sritys. Apibrėžimo sritis – $x$ reikšmės (horizontali ašis), reikšmių sritis – $y$ reikšmės (vertikali ašis).
Nuliu paskelbiamas skaičius, kuris nepriklauso apibrėžimo sričiai, kaip $x = 5$ nulių pavyzdyje.
Į reikšmių sritį įrašomas skaičius, prie kurio funkcija tik artėja. Reikšmių srities pavyzdyje atsakymas yra $(0; 3]$ , o ne $[0; 3]$ .
Monotoniškumo intervalai sujungiami sąjungos ženklu. Funkcija, mažėjanti dviejuose atskiruose intervaluose, jų sąjungoje gali ir nemažėti, kaip funkcija $\frac{1}{x}$ .
Poslinkio kryptis skaitoma pagal ženklą: $y = f(x + 2)$ grafikas pasislenka į kairę, o ne į dešinę.
Lyginumas „įrodomas“ vienu skaitiniu pavyzdžiu arba nepatikrinus, ar apibrėžimo sritis simetriška.

Funkcijos PUPP ir VBE

PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas, VBE – valstybinis brandos egzaminas. Funkcijos priklauso turinio sričiai „Modeliai ir sąryšiai“. PUPP data nurodyta 2027 metams. Kas tikrinama, kokias priemones ir formules galima naudoti, rašoma pagal 2026 m. tvarką, nes nauji aprašai dar nepatvirtinti.

PUPP tikrina 9 klasės funkcijų dalį: apibrėžimo ir reikšmių sritį, nulius, ženklo ir monotoniškumo intervalus. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Funkcijų ši išimtis neliečia. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d.
Leidžiamos PUPP priemonės pagal 2026 m. tvarką: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas).
Pagal 2026 m. tvarką matematikos VBE laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Lyginumo ir keturių pagrindinių grafikų transformacijų mokomasi III gimnazijos (11) klasėje abiejuose kursuose, o kitų trijų transformacijų (lentelėje pažymėtų „A kursas“) ir dviejų transformacijų kompozicijų – tik A kurse.
Matematikos bendrojoje programoje parašyta: pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Funkcijų tema yra ir 11 klasės turinyje, todėl funkcijų savybių ir grafikų transformacijų prireiks abiejose VBE dalyse.
Leidžiamos VBE priemonės pagal 2026 m. tvarką: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
Formulių rinkiniai pagal 2026 m. tvarką. PUPP: oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. VBE: oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Trupmenos ir šaknies apibrėžimo srities sąlygų, lyginumo apibrėžimo ir transformacijų nėra nė viename iš jų, todėl lentelėse jos pažymėtos „Išmok mintinai“.
Naujų aprašų projektus viešam derinimui Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė: PUPP – 2026 m. spalio 1 d., VBE – 2026 m. spalio 7 d.

NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys yra aprašo priede.
NŠA: matematikos VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys yra aprašo 1 priede.
Matematikos PUPP Data, vertinimas ir pasiruošimas.
Matematikos VBE I dalis Pirmosios dalies formatas, temos ir pasiruošimo planas.
Matematikos VBE II dalis Kaip sudaryta antroji egzamino dalis.

Funkcijos: uždaviniai su atsakymais

Uždavinys, pažymėtas „A kursas“, remiasi išplėstinio kurso turiniu, todėl B kurso mokiniai jį gali praleisti. Kai nežinai, nuo ko pradėti, nubraižyk grafiko eskizą: daugelį funkcijos savybių jame pamatysi iš karto.

Lengvesni

1. Duota funkcija $g(x) = \frac{x + 7}{x - 1}$ . Apskaičiuok $g(3)$ ir rask $x$ , su kuriuo $g(x) = -1$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $g(3) = 5$ ; $x = -3$ .

$g(3) = \frac{10}{2} = 5$ . Lygtis $\frac{x + 7}{x - 1} = -1$ : $x + 7 = -x + 1$ , $2x = -6$ , $x = -3$ . Patikrinimas: $g(-3) = \frac{4}{-4} = -1$ .

Vidutiniai

2. Rask funkcijos $k(x) = \sqrt{x + 6} + \frac{5}{x^2 - 4}$ apibrėžimo sritį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $D(k) = [-6; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$ .

Pošaknis: $x + 6 \geq 0$ , todėl $x \geq -6$ . Vardiklis: $x^2 - 4 \neq 0$ , t. y. $x \neq -2$ ir $x \neq 2$ . Abu skaičiai −2 ir 2 didesni už −6, todėl juos išmetame iš intervalo $[-6; +\infty)$ .

3. Sugretink funkcijas 1–3 su savybėmis A–C. Funkcijos: 1) $p(x) = 5x - x^5$ ; 2) $q(x) = \frac{x^2 + 3}{x^4}$ ; 3) $r(x) = x^3 - x^2$ . Savybės: A) lyginė; B) nelyginė; C) nei lyginė, nei nelyginė.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – B, 2 – A, 3 – C.

$p(-x) = -5x + x^5 = -p(x)$ . Funkcijos $q$ apibrėžimo sritis ( $x \neq 0$ ) simetriška, o $q(-x) = q(x)$ , nes $x$ yra tik lyginiais laipsniais. $r(1) = 0$ , o $r(-1) = -2$ : reikšmės nei lygios, nei priešingos.

4. A kursas. Taškas $M(3; -2)$ priklauso funkcijos $y = f(x)$ grafikui. Per kurį tašką tikrai eina funkcijos $y = f(x - 4) + 5$ grafikas?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(7; 3)$ .

$f(x - 4)$ slenka grafiką 4 vienetus į dešinę, $+5$ – 5 vienetus aukštyn: $(3 + 4; -2 + 5) = (7; 3)$ . Patikrinimas: kai $x = 7$ , $f(7 - 4) + 5 = f(3) + 5 = -2 + 5 = 3$ .

5. Funkcija $f$ apibrėžta atkarpoje $[-6; 4]$ , o jos grafikas – laužtė, jungianti taškus $(-6; 3)$ , $(-2; -5)$ , $(1; -5)$ ir $(4; 1)$ . Nurodyk funkcijos reikšmių sritį, nulius ir atkarpą, kurioje ji didėja.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $E(f) = [-5; 3]$ ; nuliai $-4{,}5$ ir $3{,}5$ ; didėja atkarpoje $[1; 4]$ .

Pirmojoje atkarpoje ordinatė krenta po 2 vienetus kiekvienam vienetui į dešinę. Nuo 3 iki 0 ji nukrenta pasislinkus $3 : 2 = 1{,}5$ vieneto į dešinę, todėl nulis yra $-6 + 1{,}5 = -4{,}5$ . Paskutinėje atkarpoje ji kyla po 2: nuo −5 iki 0 ji pakyla pasislinkus $5 : 2 = 2{,}5$ vieneto į dešinę, todėl nulis yra $1 + 2{,}5 = 3{,}5$ . Atkarpoje $[-2; 1]$ funkcija pastovi, todėl didėja ji tik atkarpoje $[1; 4]$ .

6. Funkcija $f$ mažėja visoje skaičių tiesėje. Išdėstyk didėjimo tvarka: $f(-2)$ , $f(7)$ , $f(0)$ , $f(\sqrt{10})$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $f(7) < f(\sqrt{10}) < f(0) < f(-2)$ .

Argumentai didėjimo tvarka: $-2 < 0 < \sqrt{10} < 7$ , nes $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ . Mažėjanti funkcija didesniam argumentui priskiria mažesnę reikšmę, todėl reikšmių tvarka atvirkštinė.

Sunkesni

7. Duota funkcija $f(x) = 1 - \frac{4}{x^2 + 1}$ . a) Įrodyk, kad ji lyginė. b) Rask jos nulius. c) Rask jos reikšmių sritį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $f(-x) = f(x)$ ; b) $x = -\sqrt{3}$ ir $x = \sqrt{3}$ ; c) $E(f) = [-3; 1)$ .

a) Apibrėžimo sritis – visi skaičiai, o $(-x)^2 = x^2$ , todėl $f(-x) = f(x)$ . b) $1 - \frac{4}{x^2 + 1} = 0$ , todėl $\frac{4}{x^2 + 1} = 1$ , $x^2 + 1 = 4$ , $x^2 = 3$ . c) Kadangi $x^2 + 1 \geq 1$ , trupmena $\frac{4}{x^2 + 1}$ įgyja visas reikšmes iš intervalo $(0; 4]$ . Atėmę ją iš 1, gauname reikšmes nuo $1 - 4 = -3$ (imtinai) iki 1 (neimtinai): $f(x)$ įgyja reikšmes iš $[-3; 1)$ .

8. A kursas. Funkcijos $y = f(x)$ , apibrėžtos atkarpoje $[-3; 3]$ , grafikas – laužtė, jungianti taškus $(-3; -4)$ , $(0; 2)$ ir $(3; -1)$ . Kiek nulių turi funkcija $y = |f(x)| - 1$ ? Nurodyk juos.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: keturis: $-1{,}5$ , $-0{,}5$ , $1$ ir $3$ .

$|f(x)| - 1 = 0$ , kai $f(x) = 1$ arba $f(x) = -1$ . Atkarpoje nuo $(-3; -4)$ iki $(0; 2)$ ordinatė kyla po 2: $f(x) = -1$ , kai $x = -1{,}5$ , ir $f(x) = 1$ , kai $x = -0{,}5$ . Atkarpoje nuo $(0; 2)$ iki $(3; -1)$ ji krenta po 1: $f(x) = 1$ , kai $x = 1$ , ir $f(x) = -1$ , kai $x = 3$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Apibrėžimo sritis – tai x ar y reikšmės?

Apibrėžimo sritis – tai x reikšmės, t. y. argumentai, su kuriais funkcija turi reikšmę. Grafike ji matoma horizontalioje ašyje. Reikšmių sritis – tai y reikšmės, kurias funkcija įgyja, ir ji matoma vertikalioje ašyje. Pirmiausia nustatoma, ką galima įstatyti, o tik paskui žiūrima, kokios reikšmės gaunamos.

Kas yra funkcijos argumentas?

Argumentas – tai nepriklausomas kintamasis, dažniausiai žymimas x: skaičius, kurį įstatai į funkcijos formulę. Funkcijos reikšmė nuo jo priklauso, todėl vadinama priklausomu kintamuoju. Pavyzdžiui, jei f(x) = 3x − 1, tai argumentą 4 atitinka reikšmė 11.

Kaip užrašoma reikšmių sritis?

Reikšmių sritis žymima E(f) ir dažniausiai užrašoma intervalais. Laužtinis skliaustas reiškia, kad galas įeina, apvalusis – kad neįeina. Pavyzdžiui, įrašas E(f) = (0; 3] reiškia, kad funkcija įgyja visas reikšmes, didesnes už 0 ir ne didesnes už 3. Prie begalybės visada rašomas apvalusis skliaustas, o kelios atskiros dalys jungiamos sąjungos ženklu.

Taip pat: Tiesinė funkcija · Rodiklinė funkcija · Matematikos PUPP · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE · Matematikos VBE 1 dalis

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt