Kvadratinės nelygybės: grafinis būdas, algebrinis būdas ir intervalų metodas

Q: Kuo skiriasi grafinis ir algebrinis kvadratinių nelygybių sprendimo būdas?

Grafiniu būdu žiūri į parabolės eskizą: kur parabolė virš ašies Ox, ten trinaris teigiamas, kur po ja – neigiamas. Algebriniu būdu trinarį išskaidai dauginamaisiais ir sandaugos ženklą nustatai iš dviejų tiesinių nelygybių sistemų. Abu būdai duoda tą patį atsakymą, todėl vienu gali patikrinti kitą.

Q: Kas yra intervalų metodas?

Tai būdas nustatyti reiškinio ženklą. Skaičių tiesėje pažymi skaitiklio ir vardiklio nulius. Jie padalija tiesę į intervalus. Kiekviename intervale reiškinio ženklas nesikeičia, todėl užtenka jį sužinoti viename taške. Kai visi dauginamieji užrašyti pavidalu x minus r, dešiniausiame intervale reiškinys teigiamas, o einant į kairę ženklas keičiasi ties kiekvienu paprastu nuliu.

Q: Ką daryti, jei kvadratinio trinario diskriminantas neigiamas?

Tada parabolė ašies Ox nekerta, todėl trinaris visur to paties ženklo kaip koeficientas prie x kvadratu. Jei nelygybė prašo būtent to ženklo, sprendiniai yra visi realieji skaičiai. Jei prašo priešingo, sprendinių nėra.

Q: Ar intervalų metodu galima spręsti ne tik kvadratines nelygybes?

Taip. Jis tinka kiekvienai nelygybei, kurios reiškinį galima išskaidyti pirmojo laipsnio dauginamaisiais, ir trupmeninėms racionaliosioms nelygybėms. Svarbu, kad vienoje nelygybės pusėje būtų nulis, o vardiklio nuliai į atsakymą neįeina niekada.

Kvadratinė nelygybė – tai nelygybė $ax^2 + bx + c > 0$ ( $a \neq 0$ ) arba ta pati nelygybė su ženklu <, ≥, ≤. Ji klausia, su kuriomis $x$ reikšmėmis kairės pusės trinaris yra teigiamas, neigiamas ar lygus nuliui. Atsakymą lemia trinario šaknys ir koeficiento $a$ ženklas. 10 klasėje tokios nelygybės sprendžiamos grafiniu ir algebriniu būdu, 11 klasėje – intervalų metodu. Jis tinka ir paprastoms trupmeninėms nelygybėms.

Kvadratinė nelygybė ir jos sprendinių aibė

Kvadratinės nelygybės kairėje pusėje yra kvadratinis trinaris, o dešinėje – nulis. Ne visada ji iš karto taip užrašyta. Nelygybė $x^2 \ge 5x$ taip pat kvadratinė: perkėlus $5x$ į kairę, gaunama $x^2 - 5x \ge 0$ . O nelygybė $(x - 1)^2 > x^2$ kvadratinė nėra: atskliaudus gaunama $x^2 - 2x + 1 > x^2$ , nariai $x^2$ susiprastina ir lieka tiesinė nelygybė $-2x + 1 > 0$ .

Nelygybės sprendinys – skaičius, kurį įrašius vietoj $x$ gaunama teisinga skaitinė nelygybė. Skaičius 6 yra nelygybės $x^2 - 5x \ge 0$ sprendinys, nes $36 - 30 = 6 \ge 0$ , o skaičius 1 – ne, nes $1 - 5 = -4$ . Išspręsti nelygybę – rasti visus jos sprendinius. Kvadratinė nelygybė turi be galo daug sprendinių, vieną sprendinį arba nė vieno. Kai jų be galo daug, atsakymas užrašomas intervalais.

Ši tema remiasi dviem ankstesnėmis. Trinario šaknis randi kaip kvadratinės lygties sprendinius, o trinario ženklą nustatai pagal kvadratinės funkcijos grafiką – parabolę. Reikia ir tiesinių nelygybių taisyklės: dauginant ar dalijant abi puses iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas keičiamas priešingu.

Intervalo galą žymi skliaustas. Apvalus skliaustas reiškia, kad galas neįeina, laužtinis – kad įeina. Griežtoje nelygybėje (ženklai < ir >) trinario šaknys į atsakymą neįeina, negriežtoje (≤ ir ≥) – įeina. Prie −∞ ir +∞ visada rašomas apvalus skliaustas. Ženklas $\cup$ (sąjunga) sujungia du intervalus ir reiškia „arba“. Kvadratinės nelygybės atsakymas gali atrodyti taip:

intervalas tarp šaknų, pavyzdžiui, $x \in (-1; 4)$ ;
du spinduliai už šaknų, pavyzdžiui, $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$ ;
visi realieji skaičiai, $x \in \mathbb{R}$ , arba visi, išskyrus vieną;
vienas skaičius, pavyzdžiui, $x = 2$ ;
tuščioji aibė $\varnothing$ , t. y. sprendinių nėra.

Kvadratinių nelygybių formulės ir ženklo taisyklė

Visos temos pagrindas – viena taisyklė: kvadratinis trinaris gali pakeisti ženklą tik savo šaknyse. Kodėl taip yra, matyti iš skaidinio. Jei trinaris turi dvi šaknis $x_1 < x_2$ , tai $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Pavyzdžiui, $x^2 - 4x - 21 = (x + 3)(x - 7)$ , nes šio trinario šaknys yra −3 ir 7.

Kai $x$ yra tarp šaknų, dauginamasis $x - x_1$ teigiamas, o $x - x_2$ neigiamas. Jų sandauga neigiama, todėl trinaris yra priešingo ženklo nei $a$ . Kai $x < x_1$ , abu dauginamieji neigiami, o kai $x > x_2$ – abu teigiami. Abiem atvejais sandauga teigiama, todėl trinaris yra to paties ženklo kaip $a$ . Taigi kai $a > 0$ , trinaris neigiamas tarp šaknų ir teigiamas už jų, o kai $a < 0$ – atvirkščiai. Patikrink su skaičiais: kai $x = 0$ , $(0 + 3)(0 - 7) = -21 < 0$ , o kai $x = 8$ , $(8 + 3)(8 - 7) = 11 > 0$ .

Lentelėje pažymėta, kurios formulės yra PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) formulių lape, o kurias reikia išmokti mintinai.

Formulė	Kada taikyti
$D = b^2 - 4ac$	Pirmas žingsnis: diskriminanto ženklas parodo, ar trinaris turi šaknų ir kiek jų.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$\begin{gathered} x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \end{gathered}$	Trinario šaknys, kai $D \ge 0$ . Jos dalija skaičių tiesę į intervalus.Yra PUPP formulių lape
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$	Skaidinys, kai $D \ge 0$ . Juo remiasi algebrinis būdas ir intervalų metodas.Yra PUPP formulių lape
$\begin{gathered} a > 0, \ D > 0: \\ ax^2 + bx + c < 0 \iff x_1 < x < x_2 \end{gathered}$	Šakos aukštyn: trinaris neigiamas tarp šaknų ir teigiamas už jų. Kai $a < 0$ , ženklai priešingi.Išmok mintinai
$\begin{gathered} D = 0: \\ ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 \end{gathered}$	Parabolė tik liečia ašį Ox taške $x_0 = -\frac{b}{2a}$ : ten trinaris lygus 0, visur kitur jis to paties ženklo kaip $a$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} D < 0, \ a > 0: \\ ax^2 + bx + c > 0 \ \text{su visais } x \end{gathered}$	Parabolė ašies Ox nekerta, todėl trinaris visur to paties ženklo kaip $a$ . Kai $a < 0$ , jis visada neigiamas.Išmok mintinai
$\begin{gathered} AB < 0 \iff \\ \begin{cases} A > 0 \\ B < 0 \end{cases} \ \text{arba} \ \begin{cases} A < 0 \\ B > 0 \end{cases} \end{gathered}$	Algebrinis būdas: sandauga neigiama, kai dauginamieji skirtingų ženklų, ir teigiama, kai to paties ženklo.Išmok mintinai
$\frac{A}{B} \ge 0 \iff AB \ge 0, \ B \neq 0$	Trupmenos ženklas toks pat kaip sandaugos $AB$ , bet vardiklio nuliai į atsakymą neįeina niekada.Išmok mintinai

Kaip spręsti nelygybes?

Kvadratinę nelygybę galima spręsti trimis būdais: grafiniu, algebriniu ir intervalų metodu. Visi jie duoda tą patį atsakymą ir skiriasi tik tuo, kaip nustatomas trinario ženklas. Pradžia ir pabaiga visada tos pačios:

Perkelk visus narius į vieną pusę, kad kitoje liktų 0. Nedalyk abiejų pusių iš reiškinio su $x$ : jo ženklas nežinomas, todėl nežinai, ar nelygybės ženklą reikia keisti.
Rask kairės pusės nulius: trinario šaknis, o trupmenoje – ir skaitiklio, ir vardiklio nulius.
Nustatyk ženklą kiekviename intervale tarp nulių: pagal parabolės šakų kryptį, dviem nelygybių sistemomis arba intervalų metodu.
Išrink intervalus su reikiamu ženklu ir nuspręsk dėl galų: negriežtoje nelygybėje skaitiklio nuliai įeina, vardiklio nuliai neįeina niekada.
Pasitikrink: įrašyk į pradinę nelygybę vieną skaičių iš atsakymo ir vieną, kurio atsakyme nėra.

Kvadratinės nelygybės grafiniu būdu

Grafiniu būdu nelygybę $ax^2 + bx + c > 0$ skaitai kaip klausimą apie parabolę $y = ax^2 + bx + c$ : su kuriomis $x$ reikšmėmis ji yra virš ašies Ox? Nelygybė su ženklu < klausia, kur parabolė yra po ašimi. Tikslaus grafiko nereikia. Pakanka eskizo, kuriame matyti šakų kryptis ir taškai, kuriuose parabolė kerta ašį Ox arba ją liečia.

Kai parabolė kerta ašį dviejuose taškuose

Išspręsk nelygybę $x^2 - 4x - 21 \ge 0$ grafiniu būdu.

Paryškinti

x

, su kuriais

y \ge 0

Nagrinėjame funkciją $y = x^2 - 4x - 21$ . Kadangi $a = 1 > 0$ , parabolės šakos eina aukštyn.
Randame nulius: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$ , $\sqrt{D} = 10$ , todėl $\begin{gathered} x_1 = \frac{4 - 10}{2} = -3, \\ x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7 \end{gathered}$
Nubraižome eskizą: parabolė kerta ašį Ox taškuose −3 ir 7, o tarp jų nusileidžia žemiau ašies.
Reikia, kad $y \ge 0$ , t. y. parabolė būtų virš ašies arba ant jos. Taip yra kairėje nuo −3 ir dešinėje nuo 7. Nelygybė negriežta, todėl abu nuliai įeina į atsakymą.
Patikriname: kai $x = 8$ , $64 - 32 - 21 = 11 \ge 0$ – tinka; kai $x = 0$ , gauname $-21$ – netinka, kaip ir turi būti.

Atsakymas: $x \in (-\infty; -3] \cup [7; +\infty)$ .

Kai diskriminantas lygus nuliui arba neigiamas

Išspręsk nelygybes: a) $4x^2 - 12x + 9 > 0$ ; b) $-x^2 + 2x - 3 \ge 0$ .

a) parabolė liečia ašį taške 1,5; b) parabolė visa po ašimi.

a) $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$ . Trinaris turi vieną šaknį $x_0 = \frac{12}{2 \cdot 4} = 1{,}5$ , o $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$ .
Kadangi $a = 4 > 0$ , parabolės šakos eina aukštyn, o ji pati tik liečia ašį Ox taške 1,5. Visur kitur ji yra virš ašies. Reikia griežtai teigiamų reikšmių, todėl tinka visi skaičiai, išskyrus 1,5.
b) $D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 4 - 12 = -8 < 0$ , todėl parabolė ašies nekerta. Kadangi $a = -1 < 0$ , ji visa yra po ašimi: trinaris neigiamas su visomis $x$ reikšmėmis.
Reikia, kad trinaris būtų teigiamas arba lygus nuliui. Tokių $x$ nėra. Atkreipk dėmesį: neigiamas diskriminantas pats savaime nereiškia, kad sprendinių nėra. Nelygybės $-x^2 + 2x - 3 < 0$ sprendiniai būtų visi realieji skaičiai.

Atsakymas: a) $x \in (-\infty; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)$ ; b) sprendinių nėra.

Kvadratinės nelygybės algebriniu būdu

Algebriniu būdu trinarį išskaidai dauginamaisiais ir naudojiesi sandaugos ženklo taisykle. Sandauga $AB > 0$ , kai abu dauginamieji teigiami arba abu neigiami, o $AB < 0$ , kai jie skirtingų ženklų. Taip viena kvadratinė nelygybė pakeičiama dviem sistemomis. Kiekvieną sistemą sudaro dvi tiesinės nelygybės. Atsakymą sudaro abiejų sistemų sprendiniai kartu. Patogiausia, kai $a > 0$ , todėl neigiamą $a$ pirmiausia padaryk teigiamu: padaugink abi puses iš −1 ir pakeisk nelygybės ženklą.

Neigiamas koeficientas a ir ženklo keitimas

Išspręsk nelygybę $-2x^2 + 5x + 3 > 0$ algebriniu būdu.

Parabolė yra virš ašies tik tarp šaknų.

Padauginame abi puses iš −1 ir nelygybės ženklą keičiame priešingu: $2x^2 - 5x - 3 < 0$ . Čia lengva suklysti: palikus ženklą >, gautum priešingą atsakymą.
Šaknys: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$ , $\sqrt{D} = 7$ , $x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = -0{,}5$ , $x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = 3$ . Skaidome: $2x^2 - 5x - 3 = 2(x + 0{,}5)(x - 3) = (2x + 1)(x - 3)$ .
Sandauga $(2x + 1)(x - 3)$ neigiama, kai dauginamieji skirtingų ženklų: $\begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \ \text{arba} \ \begin{cases} 2x + 1 < 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$
Pirmoji sistema: $x > -0{,}5$ ir $x < 3$ , t. y. $-0{,}5 < x < 3$ . Antroji: $x < -0{,}5$ ir $x > 3$ – tokių skaičių nėra.
Patikriname pradinėje nelygybėje: kai $x = 0$ , $3 > 0$ – tinka; kai $x = 4$ , $-32 + 20 + 3 = -9$ – netinka.

Atsakymas: $x \in (-0{,}5; 3)$ .

Nelygybės Tiesinės nelygybės, ženklo keitimas ir dviejų nelygybių sistemos su sprendinių bendrąja dalimi.

Intervalų metodas: kodėl ženklas keičiasi tik nuliuose

Intervalų metodas apibendrina tą pačią mintį. Reiškinį užrašai kaip sandaugą arba trupmeną, kurioje kiekvienas dauginamasis yra pavidalo $x - r$ , pavyzdžiui, $\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 6}$ . Kiekvienas dauginamasis $x - r$ neigiamas, kai $x < r$ , ir teigiamas, kai $x > r$ : pavyzdžiui, $x - 6$ neigiamas, kai $x < 6$ . Todėl visas reiškinys gali pakeisti ženklą tik ten, kur kuris nors dauginamasis lygus nuliui. Tarp dviejų gretimų tokių taškų ženklas nesikeičia.

Užtenka pažymėti skaitiklio ir vardiklio nulius skaičių tiesėje ir nustatyti ženklą kiekviename intervale. Kai visi dauginamieji užrašyti pavidalu $x - r$ , dešiniausiame intervale jie visi teigiami, todėl ten reiškinys teigiamas. Einant į kairę, ženklas keičiasi ties kiekvienu nuliu. Jei abejoji, įrašyk po vieną skaičių iš kiekvieno intervalo.

Išimtis – kartotinis nulis. Taip vadinamas nulis, kurį duoda kvadratu pakeltas dauginamasis, pavyzdžiui, $(x - r)^2$ . Toks dauginamasis abipus taško $r$ teigiamas, todėl einant per $r$ ženklas nesikeičia. Pats taškas $r$ tinka tik negriežtai nelygybei. Tokį atvejį jau matei, kai $D = 0$ : trinaris $(2x - 3)^2$ taške 1,5 ženklo nekeičia. A kurse kartotinių nulių pasitaiko dažniau, nes intervalų metodu sprendžiamos ir aukštesnio negu antrojo laipsnio nelygybės.

11 klasėje abiejuose kursuose intervalų metodu sprendžiamos paprastos trupmeninės nelygybės. Taip pat sprendžiamos sistemos, kuriose viena nelygybė tiesinė, o kita kvadratinė arba trupmeninė. Kaip ir racionaliosiose lygtyse, pirmiausia pažiūrėk, kur vardiklis lygus nuliui: tie taškai į atsakymą neįeina. To paties ženklų tyrimo prireikia ir logaritminėse nelygybėse, kai ieškoma apibrėžimo srities.

Trupmeninė nelygybė: nedaugink iš vardiklio

Išspręsk nelygybę $\frac{2x - 1}{x + 4} \ge 1$ .

Trupmenos

\frac{x - 5}{x + 4}

ženklai. Taškas −4 neįeina, taškas 5 įeina.

Abiejų pusių dauginti iš $x + 4$ negalima: nežinome, ar šis reiškinys teigiamas, ar neigiamas. Padauginę gautume tik $x \ge 5$ ir prarastume sprendinius, mažesnius už −4. Todėl perkeliame 1 į kairę: $\begin{gathered} \frac{2x - 1}{x + 4} - 1 \ge 0, \\ \frac{2x - 1 - (x + 4)}{x + 4} \ge 0, \\ \frac{x - 5}{x + 4} \ge 0 \end{gathered}$
Nuliai: skaitiklis lygus nuliui, kai $x = 5$ , vardiklis – kai $x = -4$ . Taškas 5 įeina, nes nelygybė negriežta. Taškas −4 neįeina niekada: dalyti iš nulio negalima.
Ženklai: kai $x > 5$ , skaitiklis ir vardiklis teigiami, todėl trupmena teigiama. Einant per 5 ženklas pasikeičia: intervale $(-4; 5)$ trupmena neigiama. Einant per −4 jis vėl pasikeičia: kai $x < -4$ , trupmena teigiama.
Reikia, kad trupmena būtų teigiama arba lygi nuliui. Imame abu intervalus su pliusu ir tašką 5.
Patikriname pradinėje nelygybėje: kai $x = -5$ , $\frac{-11}{-1} = 11 \ge 1$ – tinka; kai $x = 0$ , $-\frac{1}{4} \ge 1$ – netinka.

Atsakymas: $x \in (-\infty; -4) \cup [5; +\infty)$ .

Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys Kaip išskaidyti aukštesnio laipsnio reiškinį, kurio ženklą tiriame intervalų metodu (A kursas).
Rodiklinė funkcija Rodiklinės lygtys ir nelygybės; po keitinio kai kurios virsta kvadratinėmis.

Kvadratinė nelygybė tekstiniame uždavinyje: pilnas sprendimas

Tekstiniame uždavinyje nelygybę pirmiausia reikia sudaryti, o gautą atsakymą suderinti su sąlyga: ilgis, laikas ar kiekis negali būti neigiamas. Kai prašoma pilno sprendimo, vien atsakymo neužtenka. Užrašyk, ką pažymėjai raide, kokią nelygybę sudarei, kaip ją išsprendei ir kodėl atsakymas tinka sąlygai.

Stačiakampė zona, kurios plotas ne mažesnis už nurodytą

Ant sporto salės grindų lipnia juosta pažymima stačiakampė zona, kurios perimetras lygus 26 m. Kokio ilgio gali būti zonos kraštinė, kad zonos plotas būtų ne mažesnis kaip 40 m²?

Plotas

S = x(13 - x)

yra ne mažesnis už 40, kai

5 \le x \le 8

Pažymime vienos kraštinės ilgį $x$ m. Pusperimetris lygus $26 : 2 = 13$ m, todėl kita kraštinė lygi $(13 - x)$ m. Abi kraštinės teigiamos, todėl $0 < x < 13$ .
Zonos plotas lygus $x(13 - x)$ m². Sudarome nelygybę: $x(13 - x) \ge 40$ .
Atskliaudžiame ir perkeliame 40 į kairę: $13x - x^2 - 40 \ge 0$ . Padauginame iš −1 ir keičiame ženklą: $x^2 - 13x + 40 \le 0$ .
Trinario šaknys: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$ , $x_1 = \frac{13 - 3}{2} = 5$ , $x_2 = \frac{13 + 3}{2} = 8$ . Kadangi $a = 1 > 0$ , trinaris neigiamas tarp šaknų ir lygus nuliui pačiose šaknyse: $5 \le x \le 8$ .
Visi šie skaičiai tenkina sąlygą $0 < x < 13$ . Patikriname galą: kai $x = 5$ , kita kraštinė lygi 8 m, o plotas $5 \cdot 8 = 40$ m² – tinka. Kai $x = 4$ , plotas $4 \cdot 9 = 36 < 40$ – netinka.

Atsakymas: kraštinė gali būti nuo 5 m iki 8 m imtinai; kita kraštinė lygi $(13 - x)$ m ir taip pat yra nuo 5 m iki 8 m.

Dažnos klaidos sprendžiant kvadratines nelygybes

Šias klaidas lengva padaryti net suprantant temą. Prieš rašydamas atsakymą, peržiūrėk, ar nepadarei kurios nors iš jų.

Sprendimas baigiamas ties šaknimis. Šaknys −3 ir 7 dar nėra atsakymas: reikia nuspręsti, ar tinka intervalas tarp jų, ar du spinduliai už jų.
Pamirštama pakeisti ženklą, kai nelygybė dauginama ar dalijama iš neigiamo skaičiaus, pavyzdžiui, iš −1, kad koeficientas $a$ taptų teigiamas.
Iš $x^2 > 16$ parašoma tik $x > 4$ . Iš tikrųjų $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) > 0$ , kai $x < -4$ arba $x > 4$ .
Neigiamas diskriminantas automatiškai paverčiamas atsakymu „sprendinių nėra“. Kai $D < 0$ , arba sprendinių nėra, arba tinka visi skaičiai – tai priklauso nuo $a$ ženklo ir nelygybės ženklo.
Trupmeninė nelygybė dauginama iš vardiklio, kurio ženklas nežinomas, arba vardiklio nulis įrašomas į atsakymą su laužtiniu skliaustu.
Painiojami skliaustai. Griežtos nelygybės šaknis į atsakymą neįeina, todėl prie jos rašomas apvalus skliaustas. Prie −∞ ir +∞ skliaustas visada apvalus.

Kvadratinės nelygybės PUPP ir VBE užduotyse

VBE – valstybinis brandos egzaminas. PUPP data nurodyta 2027 metams. Turinys ir priemonės aprašyti pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. užduočių aprašai dar derinami.

Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Kvadratinės nelygybės yra 10 klasės srities „Modeliai ir sąryšiai“ tema, todėl jų gali būti per PUPP. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Šios išimties ši tema neliečia.
PUPP priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jame yra diskriminanto ir kvadratinės lygties sprendinių formulės bei kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais. Taisyklės, kur trinaris teigiamas ir kur neigiamas, jame nėra, todėl ją reikia suprasti pačiam. Visas rinkinys su paaiškinimais – puslapyje PUPP formulės.
Matematikos VBE pagal 2026 m. tvarką laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Intervalų metodo ir trupmeninių nelygybių mokomasi 11 klasėje abiejuose kursuose. Bendroji programa nurodo, kad pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Todėl kvadratinių ir trupmeninių nelygybių uždavinių gali būti abiejose VBE dalyse.
VBE priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
VBE formulės (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Diskriminanto, kvadratinės lygties sprendinių formulių ir trinario skaidymo dauginamaisiais nėra nė viename skyriuje, todėl laikant VBE jas reikia mokėti mintinai.
NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 1 d. paskelbė, kad viešam derinimui teikiami atnaujinti PUPP užduočių aprašų projektai, o 2026 m. spalio 7 d. – kad teikiami atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai.

NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF) 2026 m. aprašas; formulių rinkinys yra jo priede.
NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniais (PDF) 2026 m. aprašas; matematikos formulių rinkiniai yra 1 priede.
PUPP užduotys Savos PUPP formato užduotys pagal temas.
VBE pirmoji dalis Ką kartoti pirmajai egzamino daliai.

Kvadratinės nelygybės: uždaviniai su atsakymais

Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Sunkesniuose uždaviniuose yra trupmeninė nelygybė, parametras ir aukštesnio laipsnio nelygybė A kursui.

Lengvesni

1. Sugretink kiekvieną nelygybę su jos sprendinių aibe. Nelygybės: A) $x^2 < 4$ ; B) $x^2 > 4$ ; C) $x^2 + 4 > 0$ ; D) $x^2 + 4 < 0$ . Aibės: 1) $\varnothing$ ; 2) $(-2; 2)$ ; 3) $\mathbb{R}$ ; 4) $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A – 2, B – 4, C – 3, D – 1.

Reiškinys $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ neigiamas tarp $-2$ ir $2$ ir teigiamas už jų. Reiškinys $x^2 + 4$ visada teigiamas, nes $x^2 \ge 0$ .

2. Išspręsk nelygybę $5x^2 + 15x \le 0$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x \in [-3; 0]$ .

Iškeliame bendrą daugiklį $5x$ prieš skliaustus: $5x(x + 3) \le 0$ . Šaknys −3 ir 0, $a = 5 > 0$ , todėl reiškinys neigiamas tarp šaknų ir lygus nuliui pačiose šaknyse.

3. Kuri aibė yra nelygybės $x^2 - 8x + 12 > 0$ sprendinių aibė? A) $(2; 6)$ ; B) $(-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$ ; C) $(-6; -2)$ ; D) $[2; 6]$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B.

Trinario šaknys 2 ir 6, šakos aukštyn, todėl jis teigiamas už šaknų. Galai neįeina, nes nelygybė griežta.

Vidutiniai

4. Kiek sveikųjų skaičių tenkina nelygybę $2x^2 + x - 15 \le 0$ ?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 6.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$ , $\sqrt{D} = 11$ , šaknys $\frac{-1 - 11}{4} = -3$ ir $\frac{-1 + 11}{4} = 2{,}5$ . Sprendiniai: $-3 \le x \le 2{,}5$ . Sveikieji: −3, −2, −1, 0, 1, 2.

5. Rask funkcijos $y = \sqrt{12 + x - x^2}$ apibrėžimo sritį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $[-3; 4]$ .

Apibrėžimo sritis – visos $x$ reikšmės, su kuriomis šaknį galima apskaičiuoti. Todėl pošaknio reiškinys turi būti teigiamas arba lygus nuliui: $12 + x - x^2 \ge 0$ . Padauginę iš −1 ir pakeitę ženklą, gauname $x^2 - x - 12 \le 0$ . Šaknys −3 ir 4, todėl $-3 \le x \le 4$ .

6. Išspręsk nelygybių sistemą $\begin{cases} x^2 - 3x - 18 < 0, \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases}$ ir nurodyk visus jos sveikuosius sprendinius.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x \in [2{,}5; 6)$ ; sveikieji sprendiniai: $3$ , $4$ , $5$ .

Pirmosios nelygybės trinario šaknys −3 ir 6, todėl $-3 < x < 6$ . Antroji nelygybė: $x \ge 2{,}5$ . Sistemos sprendiniai – bendroji dalis: $2{,}5 \le x < 6$ .

7. Vasaros dieną mieste oro temperatūra kito pagal formulę $T = -0{,}5t^2 + 6t + 10$ ; čia $T$ – temperatūra laipsniais Celsijaus, $t$ – valandos, praėjusios nuo 6 val. ryto, $0 \le t \le 12$ . Kiek valandų temperatūra buvo ne žemesnė kaip 26 laipsniai ir nuo kelintos iki kelintos valandos?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 4 valandas: nuo 10 iki 14 val.

Sprendžiame $-0{,}5t^2 + 6t + 10 \ge 26$ , t. y. $-0{,}5t^2 + 6t - 16 \ge 0$ . Padauginę iš −2 ir pakeitę ženklą, gauname $t^2 - 12t + 32 \le 0$ . Šaknys 4 ir 8, todėl $4 \le t \le 8$ : nuo 6 + 4 = 10 iki 6 + 8 = 14 val.

Sunkesni

8. Išspręsk nelygybę $\frac{x^2 - 9}{x + 5} \le 0$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x \in (-\infty; -5) \cup [-3; 3]$ .

Skaitiklio nuliai −3 ir 3 įeina, vardiklio nulis −5 neįeina. Kai $x > 3$ , trupmena teigiama. Einant į kairę ženklas keičiasi ties kiekvienu tašku: intervale $(-3; 3)$ minusas, $(-5; -3)$ pliusas, $(-\infty; -5)$ minusas.

9. Su kuriomis $m$ reikšmėmis lygtis $x^2 - 2mx + 3m + 4 = 0$ turi du skirtingus sprendinius?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $m \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$ .

Lygtis turi du skirtingus sprendinius, kai $D > 0$ : $D = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3m + 4) = 4m^2 - 4(3m + 4) = 4(m^2 - 3m - 4)$ . Padaliję nelygybę $4(m^2 - 3m - 4) > 0$ iš 4, gauname $m^2 - 3m - 4 > 0$ . Šio trinario šaknys −1 ir 4, šakos aukštyn, todėl jis teigiamas už šaknų.

10. (A kursas) Išspręsk nelygybę $(x - 2)^2(x + 5) \le 0$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x \in (-\infty; -5] \cup \{2\}$ .

Nuliai −5 ir 2. Dauginamasis $(x - 2)^2$ niekada nebūna neigiamas, todėl einant per 2 ženklas nesikeičia. Reiškinys neigiamas, kai $x < -5$ , lygus nuliui, kai $x = -5$ arba $x = 2$ , o visur kitur teigiamas. Pamiršus kartotinį nulį, lengva parašyti klaidingą atsakymą $[-5; 2]$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo skiriasi grafinis ir algebrinis kvadratinių nelygybių sprendimo būdas?

Grafiniu būdu žiūri į parabolės eskizą: kur parabolė virš ašies Ox, ten trinaris teigiamas, kur po ja – neigiamas. Algebriniu būdu trinarį išskaidai dauginamaisiais ir sandaugos ženklą nustatai iš dviejų tiesinių nelygybių sistemų. Abu būdai duoda tą patį atsakymą, todėl vienu gali patikrinti kitą.

Kas yra intervalų metodas?

Tai būdas nustatyti reiškinio ženklą. Skaičių tiesėje pažymi skaitiklio ir vardiklio nulius. Jie padalija tiesę į intervalus. Kiekviename intervale reiškinio ženklas nesikeičia, todėl užtenka jį sužinoti viename taške. Kai visi dauginamieji užrašyti pavidalu x minus r, dešiniausiame intervale reiškinys teigiamas, o einant į kairę ženklas keičiasi ties kiekvienu paprastu nuliu.

Ką daryti, jei kvadratinio trinario diskriminantas neigiamas?

Tada parabolė ašies Ox nekerta, todėl trinaris visur to paties ženklo kaip koeficientas prie x kvadratu. Jei nelygybė prašo būtent to ženklo, sprendiniai yra visi realieji skaičiai. Jei prašo priešingo, sprendinių nėra.

Ar intervalų metodu galima spręsti ne tik kvadratines nelygybes?

Taip. Jis tinka kiekvienai nelygybei, kurios reiškinį galima išskaidyti pirmojo laipsnio dauginamaisiais, ir trupmeninėms racionaliosioms nelygybėms. Svarbu, kad vienoje nelygybės pusėje būtų nulis, o vardiklio nuliai į atsakymą neįeina niekada.

Taip pat: Kvadratinė funkcija · Nelygybės · Matematikos PUPP · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE · Matematikos VBE 1 dalis

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt