PUPP formulių rinkinys: kiekviena formulė ir kada ją taikyti

PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. Jo formulių rinkinys – tai oficialus NŠA (Nacionalinės švietimo agentūros) formulių lapas. 2026 m. jis buvo matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Leidžiamų priemonių sąraše buvo ir atspausdintas PUPP formulių rinkinys: per patikrinimą juo buvo galima naudotis. Lape surašytos formulės, bet neparašyta, kada kurią taikyti. Todėl čia prie kiekvienos lapo formulės paprastais žodžiais paaiškinta, kada ją taikyti. Taip pat išvardytos formulės, kurių lape nėra: jas teks mokėti mintinai.

PUPP formulių lapas

Užduoties aprašą NŠA skelbia savo svetainės puslapyje „PUPP užduočių aprašai“. Tiesioginė nuoroda į PDF – šio skyriaus pabaigoje.

Ką per patikrinimą galima turėti, nustato NŠA dokumentai. 2026 m. užduoties apraše priemonės buvo tokios: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). 2026 m. vykdymo instrukcijoje (dokumente apie tai, kaip patikrinimas vyksta) leidžiamos priemonės išvardytos tiksliau: atspausdintas PUPP formulių rinkinys, mokyklos spaudu pažymėti A4 lapai užrašams, skaičiuotuvas be tekstinės atminties, mėlynas ar juodas rašiklis, pieštukas, trintukas, liniuotė.

Duomenų ir tikimybių formulių lape nėra, bet šios srities uždavinių vis tiek gali būti. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. 9 klasės duomenų tema į šią išimtį nepatenka. Tai sklaidos diagrama – taškų grafikas, iš kurio sprendžiama, ar du dydžiai susiję ir ar ryšys teigiamas, ar neigiamas. Iš dviejų diagramos taškų dar užrašoma tiesės $y = kx + b$ lygtis, o tiesės per du taškus formulė lape yra.

Bendrojoje programoje PUPP užduoties taškai pagal sritis paskirstyti taip: modeliai ir sąryšiai – 55 %, geometrija ir matavimai – 40 %, duomenys ir tikimybės – 5 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Duomenims ir tikimybėms tenka maža taškų dalis, bet sklaidos diagramą verta pakartoti.

Pagal 2026–2027 mokslo metų tvarkaraštį matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d., o jo vykdymo būdas – elektroninis: užduotį atliksi kompiuteriu.

Kodėl data – 2027 m., o formulių lapas – 2026 m.? 2027 m. tvarkaraštis jau paskelbtas, o 2027 m. užduoties aprašas dar nepatvirtintas: 2026 m. spalio 1 d. NŠA paskelbė, kad jo projektas teikiamas viešam derinimui. Todėl prieš patikrinimą pasitikrink, kuri aprašo redakcija tuo metu galioja.

Jei lenteles žemiau nori turėti popieriuje, naršyklėje pasirink spausdinimą (Ctrl+P, „Mac“ kompiuteryje ⌘P).

NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF)

Matematikos PUPP formulių rinkinys

Rinkinio skyriai eina tokia tvarka. Pirmiausia – algebra ir funkcijos: „Greitoji daugyba“, „Laipsniai ir šaknys“, „Sudėtiniai procentai“, „Kvadratinės lygties $ax^2 + bx + c = 0 \; (a \neq 0)$ sprendiniai“, „Kvadratinio trinario $ax^2 + bx + c \; (a \neq 0)$ skaidymas dauginamaisiais“, „Tiesės, einančios per taškus $(x_1; y_1)$ ir $(x_2; y_2)$ $(x_1 \neq x_2)$ , lygtis“ ir „Parabolės $y = ax^2 + bx + c \; (a \neq 0)$ viršūnės abscisė“ (abscisė – taško $x$ koordinatė). Toliau – trigonometrija ir geometrija: „Trigonometrija“, „Sinusų teorema ir jos išvada“, „Kosinusų teorema“, „Trikampio plotas“, „Daugiakampio kampų didumų suma“, „Skritulio išpjovos lanko ilgis“ ir „Skritulio išpjovos plotas“.

Šioje lentelėje – pirmieji septyni skyriai: algebra ir funkcijos. Formulės užrašytos taip, kaip lape, o stulpelyje „Kada taikyti“ – paaiškinimas savais žodžiais.

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \end{gathered}$	Kai dvinarį reikia pakelti kvadratu be ilgo dauginimo, pavyzdžiui, $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . Arba kai reiškinyje atpažįsti dviejų kvadratų skirtumą ir nori jį išskaidyti: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ .Yra PUPP formulių lape
$\begin{gathered} a^{-n} = \frac{1}{a^n} \; (a \neq 0) \\ a^n \cdot a^m = a^{n+m} \\ a^n : a^m = a^{n-m} \\ (a^n)^m = a^{n \cdot m} \\ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \\ a^n : b^n = (a : b)^n \end{gathered}$	Kai reiškinyje yra laipsnių su tuo pačiu pagrindu arba tuo pačiu rodikliu ir juos reikia sudauginti, padalyti, pakelti laipsniu ar atsikratyti neigiamo rodiklio. Pavyzdžiui, $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , o $5^{-2} = \frac{1}{25}$ .Yra PUPP formulių lape
$\begin{gathered} \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \\ \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} \\ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b} \\ \sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a : b} \end{gathered}$	Kai šaknų sandaugą ar dalmenį nori sujungti po viena šaknimi arba, atvirkščiai, šaknį išskaidyti, pavyzdžiui, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .Yra PUPP formulių lape
$S_n = S_0 \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$	Kai tas pats procentinis pokytis kartojasi kelis kartus iš eilės: kasmet, kas mėnesį ar po kiekvieno etapo.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Procentai
$\begin{gathered} x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\ D = b^2 - 4ac \end{gathered}$	Kai reikia išspręsti pilnąją kvadratinę lygtį. Pirmiausia apskaičiuok diskriminantą $D$ : kai $D < 0$ , lygtis sprendinių neturi.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$	Kai trinarį reikia užrašyti sandauga, pavyzdžiui, norint suprastinti trupmeną. Čia $x_1$ ir $x_2$ – lygties $ax^2 + bx + c = 0$ sprendiniai. Lygties $x^2 - 5x + 6 = 0$ sprendiniai yra 2 ir 3, todėl $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$y = kx + b, \quad k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$	Kai žinomi du tiesės taškai ir reikia jos lygties arba krypties koeficiento $k$ .Yra PUPP formulių lape
$x_{\text{virš.}} = -\frac{b}{2a}$	Kai ieškai parabolės viršūnės, simetrijos ašies arba didžiausios ar mažiausios kvadratinės funkcijos reikšmės. Pačią reikšmę gausi, įstatęs rastą $x$ į funkcijos formulę. Pavyzdžiui, parabolei $y = x^2 - 6x + 5$ gauni $x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$ ir $y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinė funkcija

Šaknų taisyklės lape yra tik kvadratinei ir kubinei šakniai, ir užrašytos jos be sąlygos. Sąlygą žinok pats: kvadratinių šaknų taisyklės galioja tik tada, kai skaičiai po šaknimi neneigiami ( $a \geq 0$ , $b \geq 0$ ), o dalijant dar $b \neq 0$ . Kubinei šakniai ženklas netrukdo: $\sqrt[3]{-8} = -2$ .
Sudėtinių procentų formulėje $S_0$ – pradinė dydžio reikšmė, $p$ – procentai, $n$ – kiek kartų pokytis pasikartojo, o $S_n$ – reikšmė po $n$ pokyčių. Pliusą rinkis, kai dydis didėja, minusą – kai mažėja.
Tiesės lygtyje $k$ – krypties koeficientas: jis rodo, kiek pasikeičia $y$ , kai $x$ padidėja vienetu. $b$ – laisvasis narys (skaičius be $x$ ). Jį randi įstatęs į tiesės lygtį bet kurio iš dviejų taškų koordinates.

Trigonometrija ir geometrija PUPP formulių lape

Antrojoje lapo dalyje – trigonometrija, trikampiai, daugiakampiai ir skritulio išpjova. Skyriaus „Trigonometrija“ tapatybės (lygybės, teisingos su bet kuriuo kampu) yra pirmojo puslapio pabaigoje. Kampų reikšmių lentelė – antrojo puslapio viršuje, prieš sinusų teoremą. Žemiau ši lentelė padalyta į dvi dalis: pirmiausia smailieji ir statusis kampas, paskui bukieji kampai.

Lentelėje nėra $0^\circ$ stulpelio. Užtat joje yra bukieji kampai $120^\circ$ , $135^\circ$ ir $150^\circ$ . Jų sinuso ir kosinuso prireikia, kai trikampyje yra bukas kampas ir taikai sinusų ar kosinusų teoremą arba ploto formulę. Bukojo kampo sinusas teigiamas, o kosinusas ir tangentas neigiami. Brūkšnys po $90^\circ$ reiškia, kad $\operatorname{tg} 90^\circ$ neapibrėžtas: tokio skaičiaus nėra.

\begin{array}{c|c|c|c|c} \alpha = & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ \hline \sin \alpha = & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \cos \alpha = & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline \operatorname{tg} \alpha = & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{–} \end{array}

\begin{array}{c|c|c|c} \alpha = & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ \\ \hline \sin \alpha = & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \hline \cos \alpha = & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline \operatorname{tg} \alpha = & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \end{gathered}$	Kai žinai to paties kampo sinusą ar kosinusą ir reikia kito arba tangento. Pavyzdžiui, jei kampas smailus ir $\sin \alpha = 0{,}6$ , tai $\cos \alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$ . Bukajam kampui kosinusą imk su minusu.Yra PUPP formulių lape
$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} = 2R$	Kai žinai kraštinę ir prieš ją esantį kampą, o dar žinai vieną kampą ar kraštinę. Tada randi kraštinę prieš tą kampą arba kampą prieš tą kraštinę. Kadangi santykis lygus $2R$ , gali rasti ir apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulį $R$ .Yra PUPP formulių lape
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \angle A$	Kai žinai dvi kraštines ir kampą tarp jų (randi trečią kraštinę) arba visas tris kraštines (randi kampą).Yra PUPP formulių lape
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} ab \cdot \sin \angle C \\ &= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ &= rp = \frac{abc}{4R} \\ p &= \frac{a+b+c}{2} \end{aligned}$	Kai reikia trikampio ploto: rinkis tą lygybės dalį, kurios dydžius žinai – kraštinę ir aukštinę, dvi kraštines ir kampą tarp jų, visas tris kraštines arba įbrėžto ar apibrėžto apskritimo spindulį.Yra PUPP formulių lape
$180^\circ \cdot (n - 2)$	Kai reikia daugiakampio kampų sumos arba, žinant sumą, kampų skaičiaus. Taisyklingojo daugiakampio (visos kraštinės ir visi kampai lygūs) vieną kampą gausi sumą padalijęs iš $n$ . Pavyzdžiui, šešiakampio kampų suma $180^\circ \cdot 4 = 720^\circ$ , o taisyklingojo šešiakampio kampas $720^\circ : 6 = 120^\circ$ .Yra PUPP formulių lape
$C_{\text{išpj.}} = \frac{2\pi R}{360} \cdot \alpha$	Kai reikia rasti lanko ilgį, žinant jį atkertantį centrinį kampą $\alpha$ laipsniais.Yra PUPP formulių lape
$S_{\text{išpj.}} = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha$	Kai reikia rasti išpjovos – skritulio dalies tarp dviejų spindulių ir lanko – plotą.Yra PUPP formulių lape

Sinusų ir kosinusų teoremose $a$ , $b$ , $c$ – trikampio kraštinės, o $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ – prieš jas esantys kampai. $R$ – apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.
Ploto formulėje $h_a$ – aukštinė, nuleista į kraštinę $a$ ; $\angle C$ – kampas tarp kraštinių $a$ ir $b$ ; $p$ – pusė perimetro; $r$ – į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys.
Daugiakampio formulėje $n$ – kampų skaičius. Išpjovos formulėse $R$ – skritulio spindulys, o $\alpha$ – išpjovos centrinis kampas laipsniais.

Ko PUPP formulių lape nėra: išmok mintinai

Lape surašyta ne viskas, ko prireiks. Žemiau esančių formulių mokomasi 5–10 klasėse, bet PUPP formulių rinkinyje jų nėra, todėl jas reikia mokėti be lapo. Prie kai kurių parašyta, kaip jas greitai atkurti iš to, kas lape yra.

Daugiausia trūksta geometrijos pagrindų: Pitagoro teoremos, smailiojo kampo trigonometrijos stačiajame trikampyje, viso skritulio ir keturkampių plotų. Jais remiasi ir lapo formulės, todėl šiuos pagrindus verta kartoti pirmiausia.

Formulė	Kada taikyti
$c^2 = a^2 + b^2$	Stačiajame trikampyje, kai žinomos dvi kraštinės ir reikia trečios. Čia $c$ – įžambinė, $a$ ir $b$ – statiniai. Pavyzdžiui, kai statiniai 3 ir 4, įžambinė $c = \sqrt{9 + 16} = 5$ .Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$	Kai žinomos dviejų taškų koordinatės ir reikia atstumo tarp jų; tai ta pati Pitagoro teorema koordinačių plokštumoje.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$\begin{gathered} \sin \alpha = \frac{\text{statinis prieš kampą}}{\text{įžambinė}} \\ \cos \alpha = \frac{\text{statinis prie kampo}}{\text{įžambinė}} \\ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{statinis prieš kampą}}{\text{statinis prie kampo}} \end{gathered}$	Stačiajame trikampyje, kai žinoma kraštinė ir smailusis kampas $\alpha$ arba dvi kraštinės ir reikia kampo.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \end{gathered}$	Kai reikia bukojo kampo, kurio lentelėje nėra, sinuso ar kosinuso: pavyzdžiui, $\cos 110^\circ = -\cos 70^\circ$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} S_{\text{stačiakampio}} = ab \\ S_{\text{lygiagretainio}} = a h_a \\ S_{\text{trapecijos}} = \frac{a + b}{2} \cdot h \end{gathered}$	Keturkampio plotui; stačiakampio $a$ ir $b$ – gretimos kraštinės, lygiagretainio $h_a$ – aukštinė į kraštinę $a$ , trapecijos $a$ ir $b$ – pagrindai, o $h$ – aukštinė.Išmok mintinai
$\begin{gathered} C = 2\pi R \\ S = \pi R^2 \end{gathered}$	Viso apskritimo ilgiui ir viso skritulio plotui; pamiršęs įstatyk $\alpha = 360^\circ$ į lapo išpjovos formules – gausi būtent jas.Išmok mintinai
$\beta = \frac{\alpha}{2}$	Apskritimo uždaviniuose: įbrėžtinis kampas $\beta$ lygus pusei centrinio kampo $\alpha$ , kuris remiasi į tą patį lanką. Pavyzdžiui, kai centrinis kampas $80^\circ$ , įbrėžtinis – $40^\circ$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} \frac{P_1}{P_2} = k \\ \frac{S_1}{S_2} = k^2 \end{gathered}$	Kai figūra padidinama ar sumažinama. Panašiųjų figūrų perimetrai skiriasi $k$ kartų, o plotai – $k^2$ kartų; $k$ – panašumo koeficientas. Pavyzdžiui, padidinus visas kraštines 3 kartus, plotas padidėja 9 kartus.Išmok mintinai
$\text{dalis} = \text{visuma} \cdot \frac{p}{100}$	Kai reikia rasti dalį nuo visumos arba pritaikyti vieną procentinį pokytį; pasikartojantiems pokyčiams skirta lapo sudėtinių procentų formulė.Išmok mintinai · Plačiau: Procentai
$a^0 = 1 \; (a \neq 0)$	Kai laipsnio rodiklis lygus nuliui, pavyzdžiui, $7^0 = 1$ . Lape šio atvejo nėra, bet jis išplaukia iš dalybos taisyklės: $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$ , o skaičius, padalytas iš savęs, lygus 1.Išmok mintinai

Kaip naudotis formulių lapu per PUPP

Lapas padeda tik tada, kai juo naudojiesi greitai ir tiksliai. Tai išmokstama iš anksto, ne per patikrinimą. Keli patarimai:

Prieš patikrinimą išspręsk kelis uždavinius su atspausdintu lapu ir įsimink jo tvarką: algebra ir funkcijos – pirmame puslapyje, trikampiai ir skritulio išpjova – antrame. Tada per patikrinimą formulės neieškosi.
Skaityk raides, ne tik formulę. Kosinusų teoremoje kampas $\angle A$ yra tarp kraštinių $b$ ir $c$ , o $a$ – prieš jį esanti kraštinė. Jei žinomas kampas nėra tarp dviejų žinomų kraštinių, trečiosios kraštinės ši formulė iš karto neduos.
Formulę patikrink paprastu atveju. Daugiakampio kampų suma su $n = 3$ turi duoti $180^\circ$ (trikampis), o su $n = 4$ – $360^\circ$ (keturkampis). Jei gavai ką kita, formulę skaitai neteisingai.
Išpjovos formulėse kampas $\alpha$ įrašomas laipsniais: ketvirtadaliui skritulio $\alpha = 90^\circ$ , pusei – $180^\circ$ .
Bukiesiems kampams naudok antrąją lentelės dalį ir nepamiršk minuso: $\cos 120^\circ$ lygus $-\frac{1}{2}$ , ne $\frac{1}{2}$ .
Kai rašai visą sprendimą, neapsiribok formule. Parodyk, kokius skaičius į ją įstatai, ir tik tada skaičiuok: taip sprendimą lengviau sekti, o tau – pastebėti klaidą.
Tarpinius rezultatus palik tikslius arba su keliais skaitmenimis po kablelio, o apvalink tik galutinį atsakymą, kaip prašo sąlyga.

PUPP formulių taikymo pavyzdžiai

Abu pavyzdžiai sprendžiami lapo formulėmis. Kiekviename parodyta ir klaida, kurią lengva padaryti, kai lapą skaitai per greitai.

Kosinusų teorema su 120° kampu

Iš sankryžos $A$ dviem tiesiais keliais, tarp kurių kampas $120^\circ$ , išvažiavo du dviratininkai. Kai pirmasis buvo nuvažiavęs 16 km iki taško $B$ , antrasis buvo nuvažiavęs 5 km iki taško $C$ . Koks tuo metu tiesus atstumas $BC$ tarp jų?

Sankryža $A$ yra viršūnė su $120^\circ$ kampu. Jį sudaro kraštinės $AC = b = 5$ ir $AB = c = 16$ , o ieškoma kraštinė $BC = a$ yra prieš šį kampą. Tai kosinusų teoremos atvejis: lape kampas $\angle A$ yra būtent tarp kraštinių $b$ ir $c$ .
Kosinusą imame iš antrosios lentelės dalies: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ .
Pirmiausia apskaičiuojame sandaugą su kosinusu: $2 \cdot 5 \cdot 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -80$ . Ją atimame, o atimti $-80$ – tas pats, kas pridėti $80$ : $\begin{aligned} a^2 &= 5^2 + 16^2 - (-80) \\ &= 25 + 256 + 80 \\ &= 361 \end{aligned}$
Taigi $a = \sqrt{361} = 19$ km.
Klaida, kurią lengva padaryti: paimti $\cos 120^\circ = \frac{1}{2}$ , kaip $60^\circ$ kampui. Tada $a^2 = 25 + 256 - 80 = 201$ ir $a = \sqrt{201} \approx 14{,}2$ km. Toks atsakymas negalimas: prieš buką kampą yra ilgiausia trikampio kraštinė, o $14{,}2 < 16$ .
Patikriname: $19 > 16$ , be to, $19^2 = 361$ yra didesnis už $5^2 + 16^2 = 281$ , kaip ir turi būti, kai kampas bukas.

Atsakymas: 19 km.

Išpjovos lanko ilgis ir plotas, kai duotas skersmuo

Apvalus gėlynas, kurio skersmuo 12 m, padalytas į 9 vienodas išpjovas; kiekvienos išpjovos centrinis kampas $40^\circ$ . Rask vienos išpjovos lanko ilgį ir plotą. Atsakymus užrašyk per $\pi$ ir suapvalinęs iki šimtųjų.

Lapo išpjovos formulėse reikia spindulio $R$ , o sąlygoje duotas skersmuo. Spindulys – pusė skersmens: $R = 12 : 2 = 6$ m. Kampą patikriname: $9 \cdot 40^\circ = 360^\circ$ , taigi išpjovos tikrai dengia visą gėlyną.
Lanko ilgis (skyrius „Skritulio išpjovos lanko ilgis“): $\begin{aligned} C_{\text{išpj.}} &= \frac{2\pi \cdot 6}{360} \cdot 40 \\ &= \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19 \text{ m} \end{aligned}$
Plotas (skyrius „Skritulio išpjovos plotas“): $\begin{aligned} S_{\text{išpj.}} &= \frac{\pi \cdot 6^2}{360} \cdot 40 \\ &= 4\pi \approx 12{,}57 \text{ m}^2 \end{aligned}$
Klaida, kurią lengva padaryti: į formules įrašyti skersmenį 12 m vietoj spindulio. Tada lankas išeitų $\frac{8\pi}{3} \approx 8{,}38$ m, t. y. dvigubai per ilgas, o plotas $16\pi \approx 50{,}27$ m² – keturis kartus per didelis, nes ploto formulėje spindulys keliamas kvadratu.
Patikriname: viso gėlyno plotas $\pi \cdot 6^2 = 36\pi$ , o 9 išpjovos po $4\pi$ kartu duoda tiek pat.

Atsakymas: lanko ilgis $\frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19$ m, išpjovos plotas $4\pi \approx 12{,}57$ m².

PUPP formulių lapo užduotys

Spręsk turėdamas lapą prieš akis, kaip per patikrinimą. Prie kiekvieno uždavinio pirmiausia nuspręsk, kurį lapo skyrių naudosi, ir tik tada skaičiuok.

Lengvesni

1. Sugretink situacijas A–D su formulių lapo skyriais 1–6. Kiekvienai situacijai tinka vienas skyrius, o du skyriai lieka nepanaudoti. A) Žinomos dviejų tiesės taškų koordinatės, reikia tiesės krypties koeficiento. B) Trikampyje žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų, reikia trečiosios kraštinės. C) Reikia apskritimo lanko, kurį atkerta $72^\circ$ centrinis kampas, ilgio. D) Reikia atskliausti $(3x - 5)^2$ . Skyriai: 1 – „Greitoji daugyba“; 2 – „Sudėtiniai procentai“; 3 – „Tiesės, einančios per taškus $(x_1; y_1)$ ir $(x_2; y_2)$ $(x_1 \neq x_2)$ , lygtis“; 4 – „Kosinusų teorema“; 5 – „Trikampio plotas“; 6 – „Skritulio išpjovos lanko ilgis“.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A – 3 („Tiesės, einančios per taškus $(x_1; y_1)$ ir $(x_2; y_2)$ $(x_1 \neq x_2)$ , lygtis“), B – 4 („Kosinusų teorema“), C – 6 („Skritulio išpjovos lanko ilgis“), D – 1 („Greitoji daugyba“).

A: krypties koeficiento $k$ formulė yra skyriuje apie tiesę per du taškus. B: kampas yra tarp žinomų kraštinių, o būtent tokį atvejį aprašo kosinusų teorema; sinusų teoremai reikėtų kampo prieš žinomą kraštinę. C: klausiama lanko ilgio, ne ploto. D: tai dvinario skirtumo kvadratas, $(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25$ . Skyriai „Sudėtiniai procentai“ ir „Trikampio plotas“ lieka nepanaudoti.

2. Daugiakampio kampų suma lygi $2340^\circ$ . Kiek kampų turi šis daugiakampis? Kokio didumo būtų vienas jo kampas, jei daugiakampis būtų taisyklingasis?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 15 kampų; vienas kampas $156^\circ$ .

Pagal lapo skyrių „Daugiakampio kampų didumų suma“ suma lygi $180^\circ \cdot (n - 2)$ . Todėl $n - 2 = 2340 : 180 = 13$ ir $n = 15$ . Taisyklingojo daugiakampio visi kampai lygūs: $2340^\circ : 15 = 156^\circ$ .

Vidutiniai

3. Tiesė eina per taškus $M(-2; 7)$ ir $N(4; -5)$ . Rask jos krypties koeficientą $k$ , laisvąjį narį $b$ ir užrašyk tiesės lygtį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $k = -2$ , $b = 3$ ; tiesės lygtis $y = -2x + 3$ .

Krypties koeficientas: $k = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2$ . Įstatome taško $M$ koordinates: $7 = -2 \cdot (-2) + b$ , todėl $b = 7 - 4 = 3$ . Patikriname tašku $N$ : $-2 \cdot 4 + 3 = -5$ . Tinka.

4. Trikampio dvi kraštinės lygios 14 cm ir 9 cm, o kampas tarp jų – $150^\circ$ . Rask trikampio plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $31{,}5$ cm².

Skyriuje „Trikampio plotas“ yra dalis su dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų. Iš lentelės $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ , todėl $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 31{,}5$ (cm²). Ženklo spąstų čia nėra: bukojo kampo sinusas teigiamas.

5. Miestelyje gyvena 8400 gyventojų. Jei gyventojų skaičius kasmet mažėtų 4 %, kiek gyventojų liktų po 3 metų? Atsakymą suapvalink iki vienetų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 7432 gyventojai.

Pokytis kartojasi kasmet, todėl taikome sudėtinių procentų formulę su minusu: $\begin{aligned} S_3 &= 8400 \cdot \left(1 - \frac{4}{100}\right)^3 \\ &= 8400 \cdot 0{,}96^3 \approx 7431{,}78 \end{aligned}$ Suapvalinus gaunama 7432. Jei iš karto atimtum $3 \cdot 4 = 12$ %, gautum 7392, t. y. per mažai, nes kiekvienais metais 4 % skaičiuojami nuo vis mažesnio skaičiaus.

Sunkesni

6. Trikampio $ABC$ kampas $B$ lygus $105^\circ$ , kampas $C$ lygus $45^\circ$ , o kraštinė $BC = 7$ cm. Rask apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulį $R$ ir kraštinę $AB$ . Kraštinę $AB$ užrašyk tiksliai ir suapvalinęs iki šimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $R = 7$ cm, $AB = 7\sqrt{2} \approx 9{,}90$ cm.

Trečiasis kampas: $\angle A = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ$ . Kraštinė $BC$ yra prieš kampą $A$ , todėl pagal sinusų teoremos išvadą $2R = \frac{7}{\sin 30^\circ} = 7 : \frac{1}{2} = 14$ , taigi $R = 7$ cm. Kraštinė $AB$ yra prieš kampą $C$ : $AB = 2R \cdot \sin 45^\circ = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \approx 9{,}90$ cm. Kampo $105^\circ$ lentelėje nėra, bet jo ir nereikia: užtenka teisingai suporuoti kraštinę su prieš ją esančiu kampu.

Temos, kurias apima PUPP formulės

Lapas primena formulę, bet temos nepaaiškina. Žemiau – temų puslapiai su paaiškinimais, išspręstais pavyzdžiais ir uždaviniais. Sąrašo pabaigoje – puslapis „Matematikos PUPP“ apie tai, kaip ruoštis visam patikrinimui, ir VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkiniai, kurių prireiks 11–12 klasėje.

Procentai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Tekstiniai uždaviniai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Trikampis 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Keturkampiai 6–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Trikampių panašumas 6 ir 9–10 klasė, PUPP
Apskritimas ir skritulys 7–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Laipsniai 7 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Nelygybės 7–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Palūkanos 7, 10–11 klasė; NMPP 8, PUPP, VBE (B)
Daugianariai 8–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP; kubai – VBE A kursas
Kvadratinės lygtys 8–9 klasė, NMPP 8 (nepilnosios) ir PUPP
Lygčių sistemos 8–11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Pitagoro teorema 8 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Šaknys 8 ir 11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Apskritimo kampai 9–10 klasė, PUPP
Funkcijos 9–11 klasė, PUPP ir VBE
Kvadratinė funkcija 9–10 klasė, PUPP
Racionaliosios lygtys 9–10 klasė, PUPP
Sinusas, kosinusas, tangentas 9 klasė, PUPP
Tiesinė funkcija 9 klasė, PUPP
Kvadratinės nelygybės 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Sinusų ir kosinusų teoremos 10 klasė, PUPP
Vienetinis apskritimas 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Matematikos PUPP Kaip ruoštis visam patikrinimui.
VBE formulių rinkiniai (A ir B) 11–12 klasė.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kur rasti oficialų PUPP formulių rinkinį PDF formatu?

Pagal 2026 m. tvarką oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Aprašą NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) skelbia savo svetainės puslapyje „PUPP užduočių aprašai“. Tiesioginę nuorodą į PDF rasi šio puslapio pirmajame skyriuje.

Ar per PUPP egzaminą galima naudotis formulių rinkiniu?

2026 m. – taip. Tiksliau, PUPP yra ne egzaminas, o pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. 2026 m. leidžiamų priemonių sąraše buvo: atspausdintas PUPP formulių rinkinys, mokyklos spaudu pažymėti A4 lapai užrašams, skaičiuotuvas be tekstinės atminties, mėlynas ar juodas rašiklis, pieštukas, trintukas, liniuotė. 2026 m. spalio 1 d. NŠA paskelbė, kad atnaujinti PUPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui. Jie dar gali keistis, todėl prieš patikrinimą pasitikrink naujausią aprašą.

Kurių 9–10 klasės formulių PUPP rinkinyje nėra?

Rinkinyje nėra kelių formulių, kurių prireikia 9–10 klasėje. Tai Pitagoro teorema, smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimai stačiajame trikampyje, viso apskritimo ilgis ir skritulio plotas, keturkampių plotai ir panašiųjų figūrų perimetrų bei plotų santykiai. Visas jas, su paaiškinimu, kada kurią taikyti, rasi skyriuje „Ko PUPP formulių lape nėra: išmok mintinai“.

Taip pat: Matematikos PUPP

Šaltiniai

NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP elektroninio vykdymo instrukcija (2025-12-18 įsakymas Nr. VK-1248), 2 p., 7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, PUPP lentelė; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt