Įbrėžtinis ir centrinis kampas, liestinė ir įbrėžtinis keturkampis

Centrinis ir įbrėžtinis kampas

Centrinis kampas – kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre $O$, o kraštinės yra spinduliai, pavyzdžiui, $OA$ ir $OB$. Įbrėžtinio kampo viršūnė $C$ yra pačiame apskritime, o jo kraštinės $CA$ ir $CB$ yra stygos, t. y. atkarpos, jungiančios du apskritimo taškus. Sakoma, kad kampas remiasi į lanką $AB$: tai lankas, kurio galai yra kampo kraštinėse ir kuris yra kampo viduje.

Lankas matuojamas ne tik centimetrais, bet ir laipsniais. Lanko didumas laipsniais lygus centriniam kampui, kuris remiasi į tą lanką: jei $\angle AOB = 70^\circ$, tai ir lankas $AB$ yra $70^\circ$. Visas apskritimas yra $360^\circ$, pusapskritimis – $180^\circ$. Du taškai $A$ ir $B$ dalija apskritimą į mažesnįjį ir didesnįjį lanką, o jų didumų suma visada $360^\circ$. Lanko ilgis centimetrais skaičiuojamas temoje apskritimas ir skritulys.

Pagrindinė savybė: įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio kampo, kuris remiasi į tą patį lanką, t. y. $\beta = \frac{\alpha}{2}$ (žr. brėžinį).

Kodėl taip? Paprasčiausias atvejis – kai kraštinė $CA$ eina per centrą $O$ (nusibraižyk: tada $CA$ yra skersmuo). Tada $OB = OC$, nes abu yra spinduliai. Trikampis $OBC$ lygiašonis, todėl $\angle OBC = \angle OCB = \beta$ (kampas $OCB$ čia ir yra įbrėžtinis kampas $ACB$). Kampas $AOB$ yra šio trikampio priekampis: jis gretimas trikampio kampui $BOC$. Priekampis lygus dviejų su juo negretimų trikampio kampų sumai, todėl $\angle AOB = \beta + \beta = 2\beta$. Kai centras yra kampo viduje, kaip brėžinyje, per $C$ nubrėžk skersmenį. Jis padalija kampą į du kampus, kurių kraštinė eina per centrą, o kiekvienam iš jų tinka tas pats samprotavimas. Kai centras už kampo, kampas yra dviejų tokių kampų skirtumas.

Iš šios savybės išplaukia trys išvados, surašytos po brėžiniu.

• Visi įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į tą patį lanką, lygūs: kiekvienas lygus pusei to paties centrinio kampo. Jų viršūnės yra toje pačioje stygos $AB$ pusėje.
• Kampas, kuris remiasi į skersmenį, yra statusis: skersmuo atkerta pusapskritimį, o $180^\circ : 2 = 90^\circ$. Todėl stačiojo trikampio įžambinė yra apie jį apibrėžto apskritimo skersmuo. Apibrėžtas apskritimas eina per visas tris trikampio viršūnes.
• Jei viršūnės $C$ ir $D$ yra skirtinguose lankuose $AB$, tai $\angle ACB + \angle ADB = 180^\circ$. Abu kampai kartu remiasi į visą apskritimą, todėl jų suma lygi $360^\circ : 2 = 180^\circ$.

Apskritimo kampų formulės ir kada jas taikyti

Lentelėje surinktos visos šio puslapio savybės. Čia $O$ – apskritimo centras, $R$ – spindulys, $\alpha$ – centrinis kampas, $\beta$ – įbrėžtinis kampas. Daugumą savybių galima išvesti iš dviejų faktų: įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko, o visi spinduliai lygūs. Todėl pamirštą savybę gali atkurti per kelias eilutes.

Liestinė, kirstinė ir styga

Liestinė – tiesė, kuri su apskritimu turi tik vieną bendrą tašką, vadinamą lietimosi tašku. Kirstinė – tiesė, kuri kerta apskritimą dviejuose taškuose. Atkarpa tarp tų dviejų taškų yra styga. Ilgiausia styga yra skersmuo.

Liestinė statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką. Kodėl: visi kiti liestinės taškai yra už apskritimo, todėl toliau nuo centro. Vadinasi, spindulys yra trumpiausia atkarpa nuo centro iki liestinės, o trumpiausia atkarpa nuo taško iki tiesės yra statmuo. Šis statusis kampas duoda statųjį trikampį, kuriame taikoma Pitagoro teorema arba trigonometrija.

Iš taško $M$, esančio už apskritimo, galima išvesti dvi liestines. Jų atkarpos iki lietimosi taškų lygios: $MA = MB$. Kodėl: trikampiai $OAM$ ir $OBM$ statieji, $OA = OB$ kaip spinduliai, o įžambinė $OM$ bendra. Todėl trikampiai lygūs, $MA = MB$, o $MO$ dalija kampą $AMB$ pusiau.

Statmuo, nuleistas iš centro į stygą, dalija ją pusiau: trikampis $OAB$ lygiašonis, o jo aukštinė kartu yra pusiaukraštinė. Todėl spindulys, pusė stygos ir atstumas $d$ nuo centro iki stygos sudaro statųjį trikampį: $R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$. Pavyzdžiui, kai $R = 5$ cm, o $d = 3$ cm, pusė stygos lygi $\sqrt{25 - 9} = 4$ (cm), o visa styga – 8 cm.

Kai stygos $AB$ ir $CD$ kertasi taške $P$, galioja $AP \cdot PB = CP \cdot PD$. Pavyzdžiui, jei $AP = 4$, $PB = 3$ ir $CP = 2$, tai $PD = 4 \cdot 3 : 2 = 6$. Priežastis – vėl įbrėžtiniai kampai: $\angle CAB = \angle CDB$, nes abu remiasi į lanką $CB$, o kampai prie $P$ lygūs kaip kryžminiai. Taigi trikampiai $APC$ ir $DPB$ panašūs. Iš proporcijos $\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP}$, padauginę kryžmai, gauname tą pačią lygybę.

• Trikampių panašumas Panašumo požymiai, kuriais įrodoma stygų savybė.

Įbrėžtinis keturkampis ir apibrėžtinis keturkampis

Keturkampis yra įbrėžtinis, kai visos keturios jo viršūnės yra apskritime. Jis apibrėžtinis, kai visos keturios jo kraštinės liečia apskritimą.

Įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų suma lygi $180^\circ$. Kodėl: kampas $A$ remiasi į lanką $BCD$ (lanką nuo $B$ iki $D$, kuriame yra $C$), o kampas $C$ – į lanką $DAB$. Šie du lankai kartu sudaro visą apskritimą, todėl $\angle A + \angle C = 360^\circ : 2 = 180^\circ$. Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei keturkampio priešingų kampų suma $180^\circ$, jį galima įbrėžti į apskritimą. Todėl į apskritimą galima įbrėžti stačiakampį, kvadratą ir lygiašonę trapeciją, bet negalima įbrėžti lygiagretainio ar rombo, kurio kampai nestatūs.

Apibrėžtinio keturkampio priešingų kraštinių sumos lygios: $AB + CD = BC + AD$. Kodėl: lietimosi taškas dalija kiekvieną kraštinę į dvi atkarpas, o dvi liestinių atkarpos iš tos pačios viršūnės lygios. Pažymėkime jas $x$, $y$, $z$ ir $t$ (iš viršūnių $A$, $B$, $C$ ir $D$). Tada $AB = x + y$, $BC = y + z$, $CD = z + t$, $AD = t + x$. Abi sumos $AB + CD$ ir $BC + AD$ lygios $x + y + z + t$. Teisingas ir atvirkštinis teiginys, todėl apie apskritimą galima apibrėžti rombą ir kvadratą, bet ne stačiakampį, kuris nėra kvadratas.

Apie bet kurį trikampį galima apibrėžti apskritimą ir į bet kurį trikampį galima įbrėžti apskritimą. Jų spinduliai $R$ ir $r$ bei ploto formulės su jais aprašyti temoje trikampis.

• Trikampis Pusiaukampinės, vidurio statmenys ir ploto formulės su r ir R.
• Keturkampiai Lygiagretainio, rombo ir trapecijos savybės ir plotai.

Taisyklingasis šešiakampis ir apibrėžtas apskritimas

Taisyklingasis šešiakampis – šešiakampis, kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs. Daugiakampio, kuris turi $n$ kampų, kampų suma lygi $180^\circ \cdot (n - 2)$. Šešiakampiui $n = 6$, todėl jo kampų suma $180^\circ \cdot 4 = 720^\circ$, o kiekvienas kampas $720^\circ : 6 = 120^\circ$.

Apie taisyklingąjį šešiakampį galima apibrėžti apskritimą. Sujunk jo centrą $O$ su visomis viršūnėmis: gausi šešis lygius trikampius. Kiekvieno kampas prie centro $360^\circ : 6 = 60^\circ$, o dvi kraštinės yra spinduliai. Lygiašonis trikampis su $60^\circ$ kampu tarp šoninių kraštinių yra lygiakraštis, todėl šešiakampio kraštinė lygi apibrėžto apskritimo spinduliui: $a = R$.

Iš to išplaukia kitos formulės. Lygiakraščio trikampio aukštinė pagal Pitagoro teoremą lygi $\sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, o plotas $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$. Šešiakampio plotas – šeši tokie trikampiai: $S = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Į šešiakampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus tai aukštinei, $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Todėl atstumas tarp lygiagrečių kraštinių lygus $2r = a\sqrt{3}$. Ilgiausia įstrižainė eina per centrą ir lygi $2a$. Pavyzdžiui, kai $a = 4$ cm: $R = 4$ cm, $r = 2\sqrt{3}$ cm, o ilgiausia įstrižainė 8 cm. Tos pačios formulės praverčia, kai šešiakampis yra prizmės ar piramidės pagrindas.

• Prizmė ir piramidė Kūnai, kurių pagrindas gali būti taisyklingasis šešiakampis.

Dažnos klaidos su apskritimo kampais

Prieš rašydamas atsakymą, peržiūrėk sprendimą pagal šį sąrašą.

• Supainiojama, kada dalyti iš 2, o kada dauginti iš 2. Atsimink: kampas, kurio viršūnė centre, yra dvigubai didesnis, $\alpha = 2\beta$.
• Nežiūrima, kuriame lanke yra viršūnė. Jei įbrėžtinio kampo viršūnė yra mažesniajame lanke, kampas bukas ir lygus $180^\circ$ atėmus pusę centrinio, kaip pavyzdyje su taškais $C$ ir $D$.
• Lanko laipsninis didumas painiojamas su lanko ilgiu. $80^\circ$ lankas gali būti ir 3 cm, ir 30 cm ilgio: tai priklauso nuo spindulio.
• Pamirštamas statusis kampas tarp liestinės ir spindulio, todėl nepastebimas statusis trikampis.
• Sumaišomos keturkampių savybės. Įbrėžtinio keturkampio sudedami priešingi kampai, apibrėžtinio – priešingos kraštinės. Gretimų kampų suma įbrėžtiniame keturkampyje paprastai nėra $180^\circ$.
• Šešiakampio $R$ painiojamas su $r$: apibrėžto apskritimo spindulys $R = a$, o įbrėžto $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Apskritimo kampai PUPP užduotyse

PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. Centrinių ir įbrėžtinių kampų, liestinės ir stygų mokomasi 9 klasėje, o įbrėžtinių ir apibrėžtinių daugiakampių – 10 klasėje. Data ir turinio sričių svoriai žemiau nurodyti 2027 metams. Kas tikrinama, kaip vertinama ir kokias priemones galima naudoti, rašoma pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. aprašas dar nepatvirtintas. Apie patį patikrinimą plačiau – puslapyje matematikos PUPP.

• Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d.
• Turinio sričių svoriai 2027 m. PUPP: modeliai ir sąryšiai – 55 %, geometrija ir matavimai – 40 %, duomenys ir tikimybės – 5 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Apskritimo kampai priklauso geometrijai ir matavimams.
• Pagal 2026 m. aprašą apskritimo kampai, liestinės ir įbrėžtiniai keturkampiai per PUPP tikrinami. Aprašas sako: gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Geometrijos ši išimtis neliečia. 2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė, kad nacionalinio mokinių pasiekimų patikrinimo (NMPP) ir PUPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui.
• Vertinimas (2026 m. tvarka): pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Todėl įrodyme ir pilname sprendime kiekvieną teiginį pagrįsk, kaip pavyzdyje „Pilnas sprendimas: įbrėžtinio keturkampio kampai“.
• Priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Formulių rinkinyje yra sinusų teorema su $2R$, trikampio ploto formulės su $r$ ir $R$ bei daugiakampio kampų sumos formulė. Šio puslapio apskritimo kampų, liestinių ir įbrėžtinių keturkampių savybių ten nėra, todėl jas išmok mintinai. Daugiau – puslapyje PUPP formulių rinkinys.

• NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF)
• ŠMSM: 2026–2027 m. m. PUPP tvarkaraštis (PDF)
• PUPP užduotys pagal temas Savos PUPP formato užduotys su atsakymais.

Įbrėžtinis kampas: uždaviniai su atsakymais

Pirmiausia spręsk pats, tik tada atsiversk atsakymą. Brėžinių čia nėra, todėl kiekvieną situaciją nusibraižyk ir pažymėk, kuriame lanke yra kampo viršūnė.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni