Prizmė ir piramidė: tūris, paviršiaus plotas ir pjūviai

Q: Kaip rasti taisyklingosios piramidės tūrį, kai aukštinė nežinoma?

Aukštinę rask stačiajame trikampyje piramidės viduje. Jei žinoma apotema, kitas statinis yra atstumas nuo pagrindo centro iki kraštinės, o kvadratinio pagrindo atveju – pusė kraštinės. Jei žinoma šoninė briauna, kitas statinis yra atstumas nuo centro iki pagrindo viršūnės, kvadratui – pusė įstrižainės. Radęs aukštinę pagal Pitagoro teoremą, padaugink ją iš pagrindo ploto ir padalyk iš trijų.

Q: Kodėl prizmės tūrio formulę reikia mokėti mintinai?

2026 m. VBE formulių rinkinyje yra piramidės, ritinio, kūgio ir rutulio tūrio formulės, bet prizmės tūrio formulės nėra nė viename skyriuje. Ji paprasta: pagrindo plotas, padaugintas iš aukštinės. Ta pati mintis slypi ir ritinio tūrio formulėje, tik ritinio pagrindas yra skritulys.

Q: Kaip apskaičiuoti nupjautinės piramidės tūrį?

Yra du keliai. Pirmasis – A kurso formulių lape esanti formulė: trečdalis aukštinės, padaugintas iš sumos, kurią sudaro abiejų pagrindų plotai ir šaknis iš jų sandaugos. Antrasis – papildyti nupjautinę piramidę iki visos piramidės ir iš didžiosios piramidės tūrio atimti mažosios tūrį. Mažosios piramidės aukštinė randama iš panašumo: pagrindų kraštinių santykis lygus piramidžių aukštinių santykiui.

Q: Kuo skiriasi piramidės šoninio ir viso paviršiaus plotas?

Šoninis paviršius – tai tik šoninės sienos, t. y. trikampiai, susieinantys viršūnėje. Visas paviršius – šoninės sienos ir pagrindas. Taisyklingosios piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo perimetro, padaugintai iš apotemos. Pridėjęs pagrindo plotą, gausi viso paviršiaus plotą. Uždavinyje atidžiai perskaityk, kurio ploto klausiama.

Piramidės tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto ir aukštinės sandaugos: $V = \frac{1}{3} S H$ . Prizmės tūris lygus pagrindo plotui, padaugintam iš aukštinės: $V = S H$ . Taigi piramidė, kurios pagrindas ir aukštinė tokie pat kaip prizmės, užima lygiai trečdalį prizmės tūrio. Pavyzdžiui, kai pagrindo plotas 12 cm², o aukštinė 5 cm, prizmės tūris $12 \cdot 5 = 60$ cm³, o piramidės – $60 : 3 = 20$ cm³. Toliau – abiejų kūnų elementai, paviršiaus plotas, 12 klasės pjūviai, A (išplėstinio) kurso nupjautinė piramidė ir uždaviniai su atsakymais.

Prizmės ir piramidės elementai: pagrindas, briaunos, aukštinė

Prizmė ir piramidė yra briaunainiai – erdvės kūnai, kurių paviršius sudarytas iš daugiakampių. Tie daugiakampiai vadinami sienomis, jų kraštinės – briaunomis, o kampų viršūnės – kūno viršūnėmis. Stačiosios prizmės ir piramidės tūrio formules taikyti mokomasi 7 klasėje (stačiakampio gretasienio – jau 5 klasėje). 8 klasėje pagal Pitagoro teoremą skaičiuojamas paviršiaus plotas ir trūkstami ilgiai, pavyzdžiui, aukštinė. 12 klasėje pridedami pjūviai.

Prizmė turi du lygius pagrindus, esančius lygiagrečiose plokštumose, o jos šoninės sienos yra lygiagretainiai. Pavadinimas priklauso nuo pagrindo: trikampės prizmės pagrindai – trikampiai, šešiakampės – šešiakampiai. Prizmės aukštinė – atstumas tarp jos pagrindų. Stačiosios prizmės šoninės briaunos statmenos pagrindams, todėl šoninės sienos yra stačiakampiai, o aukštinė lygi šoninei briaunai. Taisyklingoji prizmė – stačioji prizmė, kurios pagrindas yra taisyklingasis daugiakampis (visos kraštinės ir visi kampai lygūs), pavyzdžiui, kvadratas. Stačiakampis gretasienis ir kubas – taip pat keturkampės prizmės. Toliau visos prizmės – stačiosios.

Piramidės pagrindas – daugiakampis, o šoninės sienos – trikampiai su bendra viršūne $S$ . Piramidės aukštinė $H$ – statmuo, nuleistas iš viršūnės $S$ į pagrindo plokštumą. Taisyklingosios piramidės pagrindas yra taisyklingasis daugiakampis, o aukštinė krinta į jo centrą. Todėl jos šoninės briaunos lygios, o šoninės sienos – vienodi lygiašoniai trikampiai. Šoninės sienos aukštinė, nuleista iš viršūnės $S$ , vadinama apotema; žymėsime ją $h$ .

Kiek kūnas turi viršūnių, briaunų ir sienų, priklauso nuo pagrindo kampų skaičiaus $n$ . Prizmė turi $2n$ viršūnių, $3n$ briaunų ir $n + 2$ sienas. Piramidė turi $n + 1$ viršūnę, $2n$ briaunų ir $n + 1$ sieną. Pavyzdžiui, trikampė prizmė ( $n = 3$ ) turi 6 viršūnes, 9 briaunas ir 5 sienas, o keturkampė piramidė ( $n = 4$ ) – 5 viršūnes, 8 briaunas ir 5 sienas.

Kairėje – stačioji trikampė prizmė, jos aukštinė

H

lygi šoninei briaunai. Dešinėje – taisyklingoji keturkampė piramidė: aukštinė

H

krinta į pagrindo centrą, o apotema

h

eina šonine siena. Nematomos briaunos brūkšninės.

Plotas, perimetras ir tūris Kubas ir stačiakampis gretasienis: tūris ir paviršiaus plotas.

Prizmės ir piramidės formulės

Žymenys: $S$ – pagrindo plotas, $P$ – pagrindo perimetras, $H$ – kūno aukštinė, $h$ – taisyklingosios piramidės apotema, $l$ – šoninė briauna, $a$ – pagrindo kraštinė. Taisyklingojoje piramidėje $r$ – atstumas nuo pagrindo centro iki pagrindo kraštinės, $R$ – iki pagrindo viršūnės. Pažymėta, kurios formulės yra 2026 m. VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkinyje. Kitas reikia mokėti mintinai.

Formulė	Kada taikyti
$V = S H$	Bet kurios prizmės tūris. Stačiojoje prizmėje aukštinė lygi šoninei briaunai.Išmok mintinai
$S_{\text{šon}} = P \cdot H$	Stačiosios prizmės šoninis paviršius: išklotinėje šoninės sienos sudaro vieną stačiakampį, kurio kraštinės $P$ ir $H$ .Išmok mintinai
$S_{\text{pav}} = S_{\text{šon}} + 2S$	Visas prizmės paviršius: šoninis paviršius ir du pagrindai.Išmok mintinai
$V = \frac{1}{3} S H$	Bet kurios piramidės tūris. Ši formulė yra ir A kurso formulių lape.Yra VBE B kurso formulių lape
$S_{\text{šon}} = \frac{1}{2} P h$	Taisyklingosios piramidės šoninis paviršius: $n$ vienodų trikampių, kurių kiekvieno plotas $\frac{1}{2} a h$ .Išmok mintinai
$S_{\text{pav}} = S_{\text{šon}} + S$	Visas piramidės paviršius: piramidė turi tik vieną pagrindą.Išmok mintinai
$\begin{gathered} h^2 = H^2 + r^2 \\ l^2 = H^2 + R^2 \\ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \end{gathered}$	Trys statieji trikampiai taisyklingojoje piramidėje: kai žinomi du kurio nors iš jų dydžiai, trečiasis randamas pagal Pitagoro teoremą.Išmok mintinai
$\begin{gathered} S_{\text{prizmės}} = a\sqrt{2} \cdot H \\ S_{\text{piramidės}} = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot H \end{gathered}$	Taisyklingosios keturkampės prizmės ir piramidės įstrižinio pjūvio plotas; $a\sqrt{2}$ – pagrindo įstrižainė.Išmok mintinai
$S_x = S \cdot \left(\frac{x}{H}\right)^2$	Piramidės pjūvis, lygiagretus pagrindui ir nutolęs nuo viršūnės atstumu $x$ (A kursas).Išmok mintinai
$V = \frac{1}{3} H \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)$	Nupjautinės piramidės tūris: $S_1$ ir $S_2$ – pagrindų plotai, $H$ – atstumas tarp pagrindų (A kursas).Yra VBE A kurso formulių lape

Prizmės tūris ir paviršiaus plotas

Kodėl prizmės tūris lygus $S \cdot H$ ? Supjaustyk prizmę į 1 cm storio sluoksnius, lygiagrečius pagrindui. Jei pagrindo plotas 12 cm², kiekviename sluoksnyje telpa 12 kubelių po 1 cm³. Jei aukštinė 5 cm, tokių sluoksnių yra 5, todėl $V = 12 \cdot 5 = 60$ cm³.

Todėl pirma rask pagrindo plotą, o tada padaugink jį iš aukštinės. Pagrindo plotą skaičiuok kaip plokštumoje: trikampio, trapecijos ar rombo formulėmis. Stačiakampio gretasienio formulė $V = abc$ – tas pats atvejis: pagrindo plotas $ab$ , aukštinė $c$ .

Paviršiaus plotas – visų sienų plotų suma. Jį patogu matyti išklotinėje – tai kūno paviršius, perkirptas ir ištiestas plokštumoje. Stačiosios prizmės šoninės sienos išklotinėje susijungia į vieną stačiakampį: jo ilgis lygus pagrindo perimetrui $P$ , o plotis – aukštinei $H$ . Todėl $S_{\text{šon}} = P \cdot H$ , o visas paviršius $S_{\text{pav}} = P \cdot H + 2S$ .

Stačiosios trikampės prizmės tūris: palapinė

Palapinė yra stačiosios trikampės prizmės formos (žr. brėžinį). Jos priekinė siena – lygiašonis trikampis, kurio pagrindas 1,8 m, o aukštinė 1,2 m. Palapinės ilgis 2,5 m. a) Koks palapinės tūris? b) Kiek kvadratinių metrų audinio reikia dviem stogo šlaitams, priekinei ir galinei sienoms? Dugno ir siūlių neskaičiuok.

Prizmės pagrindai – priekinė ir galinė sienos, nors palapinė „guli“ ant šoninės sienos. Pagrindo plotas $S = \frac{1}{2} \cdot 1{,}8 \cdot 1{,}2 = 1{,}08$ (m²), o aukštinė – atstumas tarp pagrindų, t. y. ilgis $H = 2{,}5$ m.
$V = S H = 1{,}08 \cdot 2{,}5 = 2{,}7$ (m³).
Stogo šlaito plotis lygus trikampio šoninei kraštinei. Aukštinė dalija lygiašonio trikampio pagrindą pusiau, todėl gaunamas statusis trikampis su statiniais $0{,}9$ m ir $1{,}2$ m. Pagal Pitagoro teoremą šoninė kraštinė $\sqrt{0{,}9^2 + 1{,}2^2} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$ (m).
Du šlaitai – du stačiakampiai: $2 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}5 = 7{,}5$ (m²). Dvi trikampės sienos: $2 \cdot 1{,}08 = 2{,}16$ (m²). Iš viso $7{,}5 + 2{,}16 = 9{,}66$ (m²).

Atsakymas: a) 2,7 m³; b) 9,66 m².

Piramidės tūris: formulė ir kodėl trečdalis

Piramidės tūris $V = \frac{1}{3} S H$ ; čia $S$ – pagrindo plotas, $H$ – aukštinė. Formulė tinka bet kuriai piramidei: trikampei, keturkampei, taisyklingajai ar ne. Svarbūs tik du dydžiai – pagrindo plotas ir aukštinė.

Iš kur trečdalis? Paimk kubą $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , kurio briauna $a$ , ir iš viršūnės $D_1$ išvesk atkarpas į visas kitas viršūnes. Kubas pasidalija į tris piramides su bendra viršūne $D_1$ . Jų pagrindai – trys kubo sienos, kuriose taško $D_1$ nėra: $ABCD$ , $ABB_1A_1$ ir $BCC_1B_1$ . Visos trys piramidės vienodos: kiekvienos pagrindas yra kvadratas, kurio plotas $a^2$ , o aukštinė lygi $a$ , nes viršūnė $D_1$ yra priešingoje kubo sienoje. Kubo tūris $a^3$ padalytas į tris vienodas dalis, todėl kiekvienos piramidės tūris $\frac{a^3}{3} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a$ . Tai ir yra $\frac{1}{3} S H$ .

Tai, kad piramidžių su vienodo ploto pagrindais ir vienodomis aukštinėmis tūriai lygūs, mokykloje priimama be įrodymo. Kubo pavyzdys parodo, iš kur atsiranda daugiklis $\frac{1}{3}$ .

Atkarpos iš viršūnės

D_1

padalija kubą į tris vienodas piramides. Nuspalvinta piramidė

D_1ABCD

: jos pagrindas

ABCD

, aukštinė – briauna

DD_1

Dažna klaida: apotema nėra aukštinė

Žvakių liejimo forma yra taisyklingosios keturkampės piramidės formos. Jos pagrindo kraštinė lygi 10 cm, o kiekvienos šoninės sienos aukštinė, nuleista iš piramidės viršūnės, – 13 cm. Kiek kubinių centimetrų vaško reikia formai pripildyti?

Klaidingas kelias: $V = \frac{1}{3} \cdot 10^2 \cdot 13 \approx 433{,}3$ (cm³). Čia 13 cm yra apotema, ji eina šonine siena. Tūriui reikia aukštinės, statmenos pagrindui.
Piramidė taisyklingoji, todėl aukštinė $SO$ krinta į kvadrato centrą $O$ . Taškas $M$ – pagrindo kraštinės vidurio taškas (žr. brėžinį), todėl $OM$ lygi pusei kraštinės: $OM = 5$ cm.
Trikampis $SOM$ statusis ( $SO$ statmena pagrindui), jo įžambinė – apotema $SM$ . Pagal Pitagoro teoremą $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ (cm).
$V = \frac{1}{3} \cdot 10^2 \cdot 12 = 400$ (cm³).
Patikra: aukštinė trumpesnė už apotemą ( $12 < 13$ ), nes apotema yra įžambinė. Klaidingas atsakymas buvo didesnis būtent todėl.

Atsakymas: 400 cm³.

Piramidės paviršiaus plotas ir trys statieji trikampiai

Piramidės paviršiaus plotas lygus pagrindo ir visų šoninių sienų plotų sumai. Taisyklingosios $n$ -kampės piramidės šoninės sienos – $n$ vienodų lygiašonių trikampių. Kiekvieno pagrindas lygus pagrindo kraštinei $a$ , o aukštinė – apotemai $h$ . Todėl $S_{\text{šon}} = n \cdot \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} P h$ , o visas paviršius $S_{\text{pav}} = S_{\text{šon}} + S$ .

Taisyklingosios piramidės aukštinė krinta į pagrindo centrą. Atstumą nuo jo iki pagrindo kraštinės žymime $r$ , iki pagrindo viršūnės – $R$ . Kvadratui $r = \frac{a}{2}$ , o $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ – pusė įstrižainės. Pavyzdžiui, kai kvadrato kraštinė 10 cm, $r = 5$ cm, o $R = 5\sqrt{2}$ cm. Lygiakraščio trikampio centras dalija kiekvieną pusiaukraštinę santykiu $2 : 1$ nuo viršūnės, todėl $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ , $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ . Taisyklingajam šešiakampiui $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , $R = a$ .

Taisyklingojoje piramidėje yra trys statieji trikampiai. Kai žinomi du kurio nors iš jų dydžiai, trečiąjį rasi pagal Pitagoro teoremą:

Aukštinė $H$ , atstumas $r$ ir apotema $h$ . Įžambinė – apotema: $h^2 = H^2 + r^2$ .
Aukštinė $H$ , atstumas $R$ ir šoninė briauna $l$ . Įžambinė – briauna: $l^2 = H^2 + R^2$ .
Šoninėje sienoje: apotema $h$ , pusė pagrindo kraštinės ir šoninė briauna $l$ . Įžambinė – vėl briauna: $l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ .

Taisyklingosios trikampės piramidės paviršius ir tūris

Arbatos pakelis yra taisyklingosios trikampės piramidės formos. Jo pagrindo kraštinės lygios po 6 cm, o kiekviena šoninė briauna – 5 cm. Apskaičiuok pakelio viso paviršiaus plotą ir tūrį. Atsakymus suapvalink iki dešimtųjų.

Šoninė siena – lygiašonis trikampis su kraštinėmis 5, 5 ir 6 cm. Apotema $SM$ dalija šios sienos pagrindą – 6 cm kraštinę – pusiau, todėl $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ (cm).
$S_{\text{šon}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 36$ (cm²).
Pagrindas – lygiakraštis trikampis. Jo aukštinė $\sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$ cm, plotas $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59$ (cm²).
$S_{\text{pav}} = 36 + 9\sqrt{3} \approx 51{,}6$ (cm²).
Piramidės aukštinė krinta į pagrindo centrą $O$ . Atstumas nuo jo iki kraštinės $r = OM = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ cm, todėl stačiajame trikampyje $SOM$ : $H = \sqrt{4^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{13}$ (cm).
$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{39} \approx 18{,}7$ (cm³).

Atsakymas: $S_{\text{pav}} \approx 51{,}6$ cm², $V = 3\sqrt{39} \approx 18{,}7$ cm³.

Prizmės ir piramidės įstrižinis pjūvis (12 klasė)

Pjūvis – daugiakampis, kurį kūne išpjauna plokštuma. Įstrižinis pjūvis eina per dvi priešingas šonines briaunas. 12 klasėje abiejuose kursuose nagrinėjami taisyklingosios keturkampės prizmės ir piramidės įstrižiniai pjūviai.

Prizmės $ABCDA_1B_1C_1D_1$ įstrižinis pjūvis $AA_1C_1C$ yra stačiakampis: viena jo kraštinė – pagrindo įstrižainė $a\sqrt{2}$ , kita – aukštinė $H$ . Piramidės $SABCD$ įstrižinis pjūvis $ASC$ yra lygiašonis trikampis. Jo pagrindas – įstrižainė $AC = a\sqrt{2}$ , o šoninės kraštinės – piramidės šoninės briaunos. Šio trikampio aukštinė sutampa su piramidės aukštine $SO$ , nes $O$ yra įstrižainės vidurio taškas.

Tame pačiame pjūvyje matyti kampas tarp šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos. Tai kampas $SAO$ , nes $AO$ yra briaunos $SA$ projekcija pagrinde – tarsi jos šešėlis, kai šviesa krinta statmenai pagrindui. Kampas tarp šoninės sienos ir pagrindo yra kampas $SMO$ , kur $M$ – pagrindo kraštinės vidurio taškas. Abu kampai skaičiuojami stačiuosiuose trikampiuose, taikant sinusą, kosinusą ir tangentą.

Egzamino formato uždavinį spręsk pilnu sprendimu: paaiškink, kodėl trikampis statusis ir kuris kampas yra kampas su plokštuma, o tada užrašyk kiekvieną skaičiavimą.

Pilnas sprendimas: įstrižinis pjūvis ir tūris

Taisyklingosios keturkampės piramidės $SABCD$ pagrindo kraštinė lygi 8 cm, o šoninė briauna su pagrindo plokštuma sudaro $60^\circ$ kampą. Apskaičiuok: a) piramidės aukštinę; b) įstrižinio pjūvio $ASC$ plotą; c) piramidės tūrį. Atsakymus pateik tiksliai.

Tegu $O$ – pagrindo įstrižainių susikirtimo taškas. Piramidė taisyklingoji, todėl jos aukštinė $SO$ krinta į tašką $O$ ir $SO \perp AO$ .
Pagrindo įstrižainė $AC = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}$ cm, o $AO = \frac{AC}{2} = 4\sqrt{2}$ cm.
$AO$ yra briaunos $SA$ projekcija pagrindo plokštumoje, todėl kampas tarp $SA$ ir pagrindo yra $\angle SAO = 60^\circ$ .
a) Stačiajame trikampyje $SOA$ : $SO = AO \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ (cm).
b) Pjūvis $ASC$ – trikampis, kurio pagrindas $AC = 8\sqrt{2}$ , o aukštinė $SO = 4\sqrt{6}$ : $S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{12} = 32\sqrt{3}$ (cm²).
Patikra kitu keliu: $SA = \frac{AO}{\cos 60^\circ} = 8\sqrt{2} = AC$ . Trikampis $ASC$ lygiakraštis, jo plotas $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (8\sqrt{2})^2 = 32\sqrt{3}$ . Sutampa.
c) $V = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{256\sqrt{6}}{3} \approx 209{,}0$ (cm³).

Atsakymas: a) $4\sqrt{6}$ cm; b) $32\sqrt{3}$ cm²; c) $\frac{256\sqrt{6}}{3}$ cm³.

Stereometrija Kampas tarp tiesės ir plokštumos, dvisienis kampas, atstumai erdvėje.

Nupjautinės piramidės tūris ir pjūviai, lygiagretūs pagrindui (A kursas)

Plokštuma, lygiagreti piramidės pagrindui, piramidę padalija į dvi dalis. Viršuje lieka mažesnė piramidė, panaši į pradinę, o apačioje – nupjautinė piramidė. Jos pagrindai – du panašūs daugiakampiai lygiagrečiose plokštumose, šoninės sienos – trapecijos, o aukštinė – atstumas tarp pagrindų.

Jei pjūvis nutolęs nuo viršūnės atstumu $x$ , mažosios ir pradinės piramidžių panašumo koeficientas $k = \frac{x}{H}$ . Mažosios piramidės ilgiai lygūs pradinės ilgiams, padaugintiems iš $k$ , plotai – iš $k^2$ , tūris – iš $k^3$ (plg. trikampių panašumą). Pavyzdžiui, plokštuma per aukštinės vidurį atkerta piramidę, kurios pagrindo plotas 4 kartus, o tūris 8 kartus mažesnis už pradinės piramidės.

Nupjautinės piramidės tūris lygus didžiosios ir mažosios piramidžių tūrių skirtumui. Iš šio skirtumo išvedama formulė $V = \frac{1}{3} H \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)$ , kuri yra A kurso formulių lape. Taisyklingosios nupjautinės piramidės šoninės sienos – vienodos lygiašonės trapecijos, o jų aukštinė vadinama nupjautinės piramidės apotema.

Nupjautinės piramidės tūris: vazonas

Vazono vidus yra taisyklingosios keturkampės nupjautinės piramidės formos. Dugnas – kvadratas, kurio kraštinė 30 cm, viršutinė anga – kvadratas, kurio kraštinė 50 cm, o atstumas tarp dugno ir angos plokštumų – 30 cm. Kiek litrų žemių reikia vazonui pripildyti iki viršaus?

Pagrindų plotai: $S_1 = 30^2 = 900$ (cm²), $S_2 = 50^2 = 2500$ (cm²), $\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{900 \cdot 2500} = 30 \cdot 50 = 1500$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot (900 + 1500 + 2500) = 10 \cdot 4900 = 49\,000$ (cm³).
Vienas litras yra $1000\ \text{cm}^3$ , todėl $V = 49$ l.
Patikra kitu keliu. Papildyk vazoną iki visos piramidės su viršūne apačioje. Kraštinių santykis $30 : 50 = 3 : 5$ , todėl mažosios piramidės aukštinė $x$ tenkina $\frac{x}{x + 30} = \frac{3}{5}$ . Iš čia $5x = 3x + 90$ , $x = 45$ cm, o didžiosios aukštinė $75$ cm.
$V = \frac{1}{3} \cdot 2500 \cdot 75 - \frac{1}{3} \cdot 900 \cdot 45 = 62\,500 - 13\,500 = 49\,000$ (cm³). Sutampa.

Atsakymas: 49 l.

Ritinys, kūgis ir rutulys Sukiniai: tūris, paviršiaus plotas, nupjautinis kūgis ir rutulio nuopjova.

Dažnos klaidos skaičiuojant prizmės ir piramidės tūrį

Pamirštamas daugiklis $\frac{1}{3}$ piramidės tūryje arba, atvirkščiai, pridedamas prizmei. Patikrink: piramidė telpa į prizmę su tuo pačiu pagrindu ir aukštine, todėl jos tūris turi būti mažesnis.
Apotema ar šoninė briauna paimama vietoj aukštinės. Tūriui reikia aukštinės $H$ , statmenos pagrindui. Apotema ir šoninė briauna yra įžambinės, todėl visada ilgesnės už $H$ (žr. žvakių formos pavyzdį).
Supainiojami atstumai nuo pagrindo centro iki kraštinės ( $r$ ) ir iki viršūnės ( $R$ ). Su apotema eina $r$ , su šonine briauna – $R$ . Kvadrate $r$ lygus pusei kraštinės, o $R$ – pusei įstrižainės.
Sumaišomi vienetai. Plotas matuojamas $\text{cm}^2$ , tūris – $\text{cm}^3$ . Atsakant litrais, 1 litras yra $1000\ \text{cm}^3$ , o ne 100.
Pjūvio, lygiagretaus pagrindui, plotas klaidingai dauginamas iš $k$ , nors reikia dauginti iš $k^2$ . Pjūvio per aukštinės vidurį plotas lygus ketvirtadaliui pagrindo ploto, o ne pusei.

Prizmė ir piramidė egzaminuose: NMPP 8 ir VBE

Datos nurodytos 2027 metams. Turinys ir leidžiamos priemonės aprašyti pagal 2026 m. tvarką, nes nauji aprašai dar nepatvirtinti (jų projektų būklė – sąrašo pabaigoje).

NMPP 8 (nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas 8 klasėje) vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Stačiosios prizmės ir piramidės tūrio formulės taikomos jau 7 klasėje, todėl paprastų tūrio uždavinių per NMPP 8 gali būti. 8 klasės prizmės ir piramidės uždavinių (paviršiaus plotas, Pitagoro teorema kūnuose) nebus: jie priklauso neįtrauktoms temoms. 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Plačiau – NMPP 8 klasei.
VBE (valstybinis brandos egzaminas). Prizmė ir piramidė, jų įstrižiniai pjūviai, paviršiaus plotai ir tūriai – IV gimnazijos (12) klasės stereometrijos dalis abiem kursams. Nupjautinė piramidė ir pjūviai, lygiagretūs pagrindui, – tik A (išplėstinio) kurso turinys. Matematikos VBE pagal 2026 m. tvarką laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Bendrojoje programoje parašyta, kad antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Todėl 12 klasės prizmės ir piramidės uždaviniai gali būti antrojoje dalyje. Antrosios dalies vykdymo būdas 2026 m. – tradicinis. Daugiau apie ją – VBE antrosios dalies puslapyje.
VBE priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Piramidės tūrio formulė yra abiejuose skyriuose, nupjautinės piramidės – tik II skyriuje (A). Prizmės tūrio, prizmės ir piramidės paviršiaus ploto bei pjūvių formulių rinkinyje nėra, todėl jas reikia mokėti mintinai. Visas rinkinio turinys – VBE formulių puslapyje.
NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) paskelbė, kad viešam derinimui teikiami atnaujinti užduočių aprašų projektai: NMPP ir PUPP – 2026 m. spalio 1 d., VBE – 2026 m. spalio 7 d.

NŠA: matematikos VBE užduočių aprašas (PDF) 2026 m. aprašas: priemonės ir formulių rinkinys (1 priedas).

Prizmės ir piramidės uždaviniai su atsakymais

Prie kiekvieno uždavinio nusibraižyk kūną ir pažymėk, kuris stačiasis trikampis padės rasti trūkstamą dydį. Atsakymą atsiversk tik išsprendęs.

Lengvesni

1. Stačiosios prizmės pagrindas – statusis trikampis, kurio statiniai 5 cm ir 12 cm. Prizmės aukštinė lygi 7 cm. Apskaičiuok prizmės tūrį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 210 cm³.

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ (cm²), $V = 30 \cdot 7 = 210$ (cm³).

2. Sugretink kiekvieną kūną A–C su jo briaunų skaičiumi 1–4. A) šešiakampė prizmė; B) septynkampė piramidė; C) keturkampė prizmė. 1) 12; 2) 14; 3) 16; 4) 18.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A–4, B–2, C–1.

Prizmė turi $3n$ briaunų, piramidė – $2n$ : $3 \cdot 6 = 18$ , $2 \cdot 7 = 14$ , $3 \cdot 4 = 12$ . Skaičius 16 tiktų aštuonkampei piramidei.

3. Piramidės pagrindas – stačiakampis, kurio kraštinės 9 cm ir 4 cm, o piramidės aukštinė lygi 10 cm. Apskaičiuok piramidės tūrį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 120 cm³.

4. Išdėstyk kūnus nuo mažiausio iki didžiausio tūrio. A) Prizmė, kurios pagrindo plotas 12 cm², o aukštinė 5 cm. B) Piramidė, kurios pagrindo plotas 30 cm², o aukštinė 5 cm. C) Piramidė, kurios pagrindo plotas 12 cm², o aukštinė 16 cm.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B, A, C.

$V_A = 12 \cdot 5 = 60$ , $V_B = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 5 = 50$ , $V_C = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 16 = 64$ (cm³).

Vidutiniai

5. Taisyklingosios šešiakampės prizmės pagrindo kraštinė lygi 4 cm, o aukštinė – 10 cm. Apskaičiuok prizmės šoninio paviršiaus plotą ir tūrį. Tūrį suapvalink iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $S_{\text{šon}} = 240$ cm², $V = 240\sqrt{3} \approx 415{,}7$ cm³.

$S_{\text{šon}} = 6 \cdot 4 \cdot 10 = 240$ (cm²). Taisyklingasis šešiakampis – šeši lygiakraščiai trikampiai, todėl $S = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = 24\sqrt{3}$ (cm²), o $V = 24\sqrt{3} \cdot 10 = 240\sqrt{3} \approx 415{,}7$ (cm³).

6. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė lygi 16 cm, o aukštinė – 15 cm. Apskaičiuok piramidės apotemą ir viso paviršiaus plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Apotema 17 cm, viso paviršiaus plotas 800 cm².

$r = 16 : 2 = 8$ cm, $h = \sqrt{15^2 + 8^2} = 17$ cm. $S_{\text{šon}} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 17 = 544$ (cm²), $S_{\text{pav}} = 544 + 16^2 = 800$ (cm²).

7. Girdyklos lovio skerspjūvis – lygiašonė trapecija, kurios pagrindai 40 cm ir 20 cm, o aukštinė 15 cm. Lovio ilgis 2 m. Kiek litrų vandens telpa į lovį?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 90 l.

Lovys – stačioji prizmė, kurios pagrindas yra trapecija: $S = \frac{40 + 20}{2} \cdot 15 = 450$ (cm²). Aukštinė – lovio ilgis, $200$ cm. $V = 450 \cdot 200 = 90\,000\ \text{cm}^3 = 90$ l.

8. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo įstrižainė lygi 12 cm, o šoninė briauna – 10 cm. Apskaičiuok piramidės tūrį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 192 cm³.

Su šonine briauna susijęs atstumas nuo centro iki pagrindo viršūnės: $R = 12 : 2 = 6$ cm, $H = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ cm. Kvadrato plotas lygus pusei įstrižainės kvadrato: $S = 12^2 : 2 = 72$ (cm²). $V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 8 = 192$ (cm³).

Sunkesni

9. Taisyklingosios keturkampės prizmės pagrindo kraštinė lygi 6 cm, o prizmės įstrižainė su pagrindo plokštuma sudaro $45^\circ$ kampą. Apskaičiuok prizmės įstrižinio pjūvio plotą ir tūrį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Pjūvio plotas 72 cm², $V = 216\sqrt{2} \approx 305{,}5$ cm³.

Prizmės įstrižainės $AC_1$ projekcija pagrinde – pagrindo įstrižainė $AC = 6\sqrt{2}$ cm. Trikampis $ACC_1$ statusis ir $\angle C_1AC = 45^\circ$ , todėl $H = CC_1 = AC = 6\sqrt{2}$ cm. Pjūvis $AA_1C_1C$ – stačiakampis: $6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 72$ (cm²). $V = 6^2 \cdot 6\sqrt{2} = 216\sqrt{2} \approx 305{,}5$ (cm³).

10. Taisyklingosios keturkampės piramidės aukštinė lygi $6\sqrt{3}$ cm, o šoninė siena su pagrindo plokštuma sudaro $60^\circ$ kampą. Apskaičiuok piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 288 cm².

Tegu $S$ – piramidės viršūnė, $O$ – pagrindo centras, $M$ – pagrindo kraštinės vidurio taškas. Kampas tarp šoninės sienos ir pagrindo yra $\angle SMO$ . $OM = \frac{6\sqrt{3}}{\operatorname{tg} 60^\circ} = 6$ cm, todėl pagrindo kraštinė $12$ cm. Apotema $SM = \frac{OM}{\cos 60^\circ} = 12$ cm. $S_{\text{šon}} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 12 = 288$ (cm²).

11. Piramidės aukštinė lygi 12 cm, o pagrindo plotas – 90 cm². Per aukštinės tašką, esantį 4 cm atstumu nuo viršūnės, išvesta plokštuma, lygiagreti pagrindui. Apskaičiuok pjūvio plotą ir gautos nupjautinės piramidės tūrį. Tūrį suapvalink iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Pjūvio plotas 10 cm², tūris $\frac{1040}{3} \approx 346{,}7$ cm³.

$k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ , todėl pjūvio plotas $90 \cdot \frac{1}{9} = 10$ (cm²). Visos piramidės tūris $\frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 12 = 360$ , mažosios – $360 \cdot \frac{1}{27} = \frac{40}{3}$ , nupjautinės – $360 - \frac{40}{3} = \frac{1040}{3} \approx 346{,}7$ (cm³).

12. Taisyklingosios keturkampės nupjautinės piramidės pagrindų kraštinės lygios 4 cm ir 10 cm, o šoninė briauna – 5 cm. Apskaičiuok nupjautinės piramidės aukštinę ir tūrį. Tūrį suapvalink iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $H = \sqrt{7}$ cm, $V = 52\sqrt{7} \approx 137{,}6$ cm³.

Įstrižinis pjūvis – lygiašonė trapecija su pagrindais $4\sqrt{2}$ ir $10\sqrt{2}$ , šoninės kraštinės – po 5 cm. Iš mažesniojo pagrindo galo nuleidus aukštinę, atkertamas statusis trikampis su statiniu $\frac{10\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ , todėl $H = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}$ cm. $V = \frac{1}{3}\sqrt{7}\,(16 + \sqrt{16 \cdot 100} + 100) = \frac{156\sqrt{7}}{3} = 52\sqrt{7} \approx 137{,}6$ (cm³).

Dažniausiai užduodami klausimai

Kaip rasti taisyklingosios piramidės tūrį, kai aukštinė nežinoma?

Aukštinę rask stačiajame trikampyje piramidės viduje. Jei žinoma apotema, kitas statinis yra atstumas nuo pagrindo centro iki kraštinės, o kvadratinio pagrindo atveju – pusė kraštinės. Jei žinoma šoninė briauna, kitas statinis yra atstumas nuo centro iki pagrindo viršūnės, kvadratui – pusė įstrižainės. Radęs aukštinę pagal Pitagoro teoremą, padaugink ją iš pagrindo ploto ir padalyk iš trijų.

Kodėl prizmės tūrio formulę reikia mokėti mintinai?

2026 m. VBE formulių rinkinyje yra piramidės, ritinio, kūgio ir rutulio tūrio formulės, bet prizmės tūrio formulės nėra nė viename skyriuje. Ji paprasta: pagrindo plotas, padaugintas iš aukštinės. Ta pati mintis slypi ir ritinio tūrio formulėje, tik ritinio pagrindas yra skritulys.

Kaip apskaičiuoti nupjautinės piramidės tūrį?

Yra du keliai. Pirmasis – A kurso formulių lape esanti formulė: trečdalis aukštinės, padaugintas iš sumos, kurią sudaro abiejų pagrindų plotai ir šaknis iš jų sandaugos. Antrasis – papildyti nupjautinę piramidę iki visos piramidės ir iš didžiosios piramidės tūrio atimti mažosios tūrį. Mažosios piramidės aukštinė randama iš panašumo: pagrindų kraštinių santykis lygus piramidžių aukštinių santykiui.

Kuo skiriasi piramidės šoninio ir viso paviršiaus plotas?

Šoninis paviršius – tai tik šoninės sienos, t. y. trikampiai, susieinantys viršūnėje. Visas paviršius – šoninės sienos ir pagrindas. Taisyklingosios piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo perimetro, padaugintai iš apotemos. Pridėjęs pagrindo plotą, gausi viso paviršiaus plotą. Uždavinyje atidžiai perskaityk, kurio ploto klausiama.

Taip pat: Keturkampiai · Plotas, perimetras ir tūris · Ritinys, kūgis, rutulys · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos A ir B kursas

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; 7 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt