Ritinys, kūgis ir rutulys: tūris ir paviršiaus plotas

Q: Ar cilindras ir ritinys yra tas pats kūnas?

Taip, tai tas pats kūnas. Mokykloje vartojamas žodis „ritinys“, o „cilindras“ labiau įprastas kasdienėje kalboje. Formulės tos pačios: tūris lygus pagrindo skritulio plotui, padaugintam iš aukštinės, o šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo apskritimo ilgiui, padaugintam iš aukštinės.

Q: Kaip apskaičiuoti cilindro tūrį litrais?

Vienas litras lygus vienam kubiniam decimetrui. Todėl paprasčiausia spindulį ir aukštį iš karto paversti decimetrais ir tūrį skaičiuoti kaip skaičių pi, padaugintą iš spindulio kvadrato ir aukščio: gautas skaičius ir bus litrai. Pavyzdžiui, kai spindulys 1 dm, o aukštis 3 dm, tūris lygus 3 pi kubinių decimetrų, t. y. apie 9,42 litro.

Q: Kaip apskaičiuoti kūgio paviršiaus plotą?

Šoninio paviršiaus plotas lygus skaičiui pi, padaugintam iš pagrindo spindulio ir sudaromosios. Sudaromoji – tai atstumas nuo viršūnės iki pagrindo krašto. Visam paviršiui pridedamas pagrindas, kurio plotas lygus pi, padaugintam iš spindulio kvadrato. Jei duota aukštinė, o ne sudaromoji, pirmiausia rask sudaromąją pagal Pitagoro teoremą: jos kvadratas lygus spindulio ir aukštinės kvadratų sumai. Pavyzdžiui, kai spindulys 20 cm, o aukštinė 21 cm, sudaromoji lygi 29 cm, šoninis paviršius – 580 pi kvadratinių centimetrų, o visas paviršius – 980 pi kvadratinių centimetrų.

Q: Kaip rasti rutulio paviršiaus plotą?

Rutulio paviršiaus (sferos) plotas lygus keturių skritulių, kurių spindulys toks pat kaip rutulio, plotų sumai. Taigi spindulį pakelk kvadratu, padaugink iš skaičiaus pi ir dar iš 4. Jei duotas skersmuo, pirmiausia jį padalyk iš 2. Pavyzdžiui, rutulio, kurio spindulys 5 cm, paviršiaus plotas lygus 100 pi kvadratinių centimetrų, t. y. apie 314 kvadratinių centimetrų.

Ritinio tūris apskaičiuojamas pagal formulę $V = \pi R^2 H$ : pagrindo plotas $\pi R^2$ dauginamas iš aukštinės $H$ , čia $R$ – pagrindo spindulys. Kasdienėje kalboje ritinys dažnai vadinamas cilindru – tai tas pats kūnas. Kūgio tūris yra trečdalis ritinio tūrio, kai pagrindas ir aukštinė tokie patys: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$ . Rutulio tūris $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ . Ritinio ir kūgio formulių mokomasi 7 klasėje, rutulio – 8 klasėje. 12 klasėje visi trys kūnai nagrinėjami kaip sukiniai, o išplėstiniame kurse prisideda nupjautinis kūgis ir rutulio nuopjova.

Ritinys, kūgis ir rutulys: elementai ir sukiniai

Ritinys turi du vienodus skritulius – pagrindus – ir lenktą šoninį paviršių. Atstumas tarp pagrindų yra ritinio aukštinė $H$ , o pagrindo spindulys žymimas $R$ .

Kūgis turi vieną pagrindą – skritulį – ir viršūnę. Kūgio aukštinė $H$ jungia viršūnę su pagrindo centru ir yra statmena pagrindui. Sudaromoji $l$ jungia viršūnę su bet kuriuo pagrindo apskritimo tašku, t. y. eina kūgio šlaitu. Aukštinė, spindulys ir sudaromoji sudaro statųjį trikampį, kurio įžambinė (ilgiausia kraštinė, esanti prieš statųjį kampą) yra sudaromoji. Todėl pagal Pitagoro teoremą $l^2 = R^2 + H^2$ , o sudaromoji visada ilgesnė už aukštinę. Pavyzdžiui, kai $R = 3$ , o $H = 4$ , sudaromoji $l = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Rutulį sudaro visi erdvės taškai, nutolę nuo centro ne didesniu kaip $R$ atstumu. Rutulio paviršius vadinamas sfera, todėl „sferos plotas“ ir „rutulio paviršiaus plotas“ reiškia tą patį.

12 klasėje šie kūnai vadinami sukiniais, nes juos galima gauti sukant plokščią figūrą apie tiesę – sukimosi ašį. Sukant stačiakampį apie jo kraštinę, gaunamas ritinys. Sukant statųjį trikampį apie statinį, gaunamas kūgis, o sukant pusskritulį apie skersmenį – rutulys. Sukinio pjūvis plokštuma, einančia per ašį, vadinamas ašiniu pjūviu. Ritinio ašinis pjūvis yra stačiakampis, kurio kraštinės $2R$ ir $H$ . Kūgio ašinis pjūvis – lygiašonis trikampis: jo pagrindas $2R$ , šoninės kraštinės $l$ , o aukštinė $H$ .

R

– pagrindo (rutulio) spindulys,

H

– aukštinė,

l

– kūgio sudaromoji.

Prizmė ir piramidė Briaunainių tūris ir paviršiaus plotas – tos pačios idėjos su daugiakampiu pagrindu.
Plotas, perimetras ir tūris Kubo ir stačiakampio gretasienio tūris – nuo jo prasideda tūrio skaičiavimai.

Ritinio, kūgio ir rutulio tūrio ir paviršiaus formulės

Ritinio tūris randamas taip pat kaip stačiosios prizmės: pagrindo plotas dauginamas iš aukštinės. Ritinio pagrindas – skritulys, kurio plotas $\pi R^2$ (žr. apskritimo ilgį ir skritulio plotą), todėl $V = \pi R^2 H$ .

Šoninį ritinio paviršių perkirpk išilgai aukštinės ir ištiesink – gausi stačiakampį. Viena jo kraštinė lygi aukštinei $H$ , kita – pagrindo apskritimo ilgiui $2\pi R$ . Taigi šoninio paviršiaus plotas $2\pi R H$ , o visam paviršiui pridedami dar du pagrindai po $\pi R^2$ .

Kūgio šoninis paviršius išklotinėje virsta skritulio, kurio spindulys $l$ , išpjova – skritulio dalimi tarp dviejų spindulių, panašia į pyrago gabalą. Jos lankas lygus pagrindo apskritimo ilgiui $2\pi R$ , o viso tokio skritulio apskritimas būtų $2\pi l$ . Vadinasi, išpjova sudaro $\frac{2\pi R}{2\pi l} = \frac{R}{l}$ skritulio, o jos plotas $\frac{R}{l} \cdot \pi l^2 = \pi R l$ .

Ritinio ir kūgio tūrio formulės 7 klasėje taikomos be įrodymo. Kūgio tūris yra trečdalis ritinio su tokiu pačiu pagrindu ir aukštine – lygiai kaip piramidės tūris yra trečdalis prizmės. Rutulio paviršiaus ploto formulėje spindulys pakeltas kvadratu, o tūrio – kubu. Todėl plotas matuojamas kvadratiniais vienetais (cm²), o tūris – kubiniais (cm³).

Lentelėje pažymėta, kurios formulės yra 2026 m. VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkinyje, o kurias reikia išmokti mintinai. Ši žyma svarbi 12 klasėje; ką gali naudoti per NMPP 8, rašoma skyriuje apie patikrinimus. Ritinio, kūgio ir rutulio formulės yra abiejuose VBE rinkinio skyriuose – ir bendrojo (B), ir išplėstinio (A) kurso.

Formulė	Kada taikyti
$V = \pi R^2 H$	Ritinio tūris: pagrindo plotas $\pi R^2$ , padaugintas iš aukštinės.Yra VBE B kurso formulių lape
$S_{\text{šon}} = 2\pi R H$	Ritinio šoninis paviršius; išklotinė – stačiakampis $2\pi R \times H$ .Yra VBE B kurso formulių lape
$S_{\text{pav}} = 2\pi R H + 2\pi R^2$	Visas ritinio paviršius: šonas ir du pagrindai. Atviram indui pridedamas tik vienas pagrindas.Išmok mintinai
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$	Kūgio tūris; čia $H$ – aukštinė, ne sudaromoji.Yra VBE B kurso formulių lape
$S_{\text{šon}} = \pi R l$	Kūgio šoninis paviršius; čia $l$ – sudaromoji.Yra VBE B kurso formulių lape
$S_{\text{pav}} = \pi R l + \pi R^2$	Visas kūgio paviršius: šonas ir pagrindas.Išmok mintinai
$l^2 = R^2 + H^2$	Kai žinomi du iš trijų kūgio dydžių $R$ , $H$ , $l$ , o reikia trečiojo.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$S = 4\pi R^2$	Rutulio paviršiaus (sferos) plotas.Yra VBE B kurso formulių lape
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$	Rutulio tūris.Yra VBE B kurso formulių lape

Cilindro tūris litrais

Indo talpa paprastai nurodoma litrais. Įsimink: $1 \text{ l} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ , o $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ l}$ . Patogiausia matmenis iš karto paversti decimetrais – tada kubiniai decimetrai ir bus litrai. Jei skaičiavai centimetrais, gautą skaičių padalyk iš 1000.

Šis pavyzdys parodo ir klaidą, kurią lengva padaryti: į formulę įrašyti skersmenį vietoj spindulio.

Akvariumas: kiek litrų vandens

Biologijos kabinete stovi ritinio formos akvariumas. Jo vidinis skersmuo 40 cm, o vanduo pripiltas iki 30 cm aukščio. Kiek litrų vandens yra akvariume? Atsakymą suapvalink iki dešimtųjų.

Spindulys – pusė skersmens: $R = 40 : 2 = 20$ cm. Aukščiu laikome vandens aukštį: $H = 30$ cm.
Vandens tūris: $V = \pi R^2 H = \pi \cdot 20^2 \cdot 30 = 12\,000\pi \approx 37\,699{,}1$ (cm³).
Kadangi $1 \text{ l} = 1000 \text{ cm}^3$ , gauname $37\,699{,}1 : 1000 \approx 37{,}7$ (l).
Patikriname decimetrais: $R = 2$ dm, $H = 3$ dm, $V = \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = 12\pi \approx 37{,}70$ (dm³), t. y. tiek pat litrų.
Klaidingas kelias: į formulę įrašomas skersmuo, $\pi \cdot 40^2 \cdot 30 = 48\,000\pi$ cm³, apie 150,8 l. Tai keturis kartus per daug, nes spindulys formulėje keliamas kvadratu, o $2^2 = 4$ .

Atsakymas: apie 37,7 l (tiksliai $12\pi$ l).

Matavimo vienetai Ilgio, ploto, tūrio ir talpos vienetai ir kaip juos keisti.

Kūgio tūris ir kūgio paviršiaus plotas

Prieš skaičiuodamas išsiaiškink, kuri atkarpa duota – aukštinė ar sudaromoji. Tūrio formulei reikia aukštinės $H$ , šoninio paviršiaus formulei – sudaromosios $l$ . Jei turi ne tą, kurios reikia, trečiąjį dydį rask iš $l^2 = R^2 + H^2$ .

Druskos krūva: aukštinė ar sudaromoji

Kelininkų aikštelėje supilta kūgio formos druskos krūva. Jos pagrindo skersmuo 16 m, o nuo viršūnės iki pagrindo krašto šlaitu išmatuota 17 m. a) Kiek kubinių metrų druskos yra krūvoje? b) Kiek kvadratinių metrų brezento reikia krūvos šonui uždengti? Atsakymus užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki vienetų.

Spindulys $R = 16 : 2 = 8$ m. Šlaitu išmatuoti 17 m – tai sudaromoji $l$ , ne aukštinė.
Aukštinę randame iš stačiojo trikampio, kurio įžambinė – sudaromoji: $H = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ (m).
a) $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 64 \cdot 15 = 320\pi \approx 1005$ (m³).
b) Šonui reikia sudaromosios: $S_{\text{šon}} = \pi R l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi \approx 427$ (m²).
Jei į tūrio formulę būtų įrašyta $l = 17$ , gautume $\frac{1088\pi}{3} \approx 1139$ m³ – per daug, nes aukštinė visada trumpesnė už sudaromąją.

Atsakymas: a) $320\pi \approx 1005$ m³; b) $136\pi \approx 427$ m².

Rutulio tūris ir rutulio paviršiaus plotas

Rutulio formulėse yra tik vienas dydis – spindulys. Jei duotas tūris ar paviršiaus plotas, spindulį rasi atvirkščiai: iš $\frac{4}{3}\pi R^3 = V$ gauni $R^3 = \frac{3V}{4\pi}$ ir ištrauki kubinę šaknį, o iš $4\pi R^2 = S$ gauni $R^2 = \frac{S}{4\pi}$ . Pavyzdžiui, jei $V = 36\pi$ , tai $R^3 = \frac{3 \cdot 36\pi}{4\pi} = 27$ ir $R = 3$ .

Formules padeda įsiminti ritinys, kuris rutulį apgaubia: jo spindulys $R$ , o aukštinė $2R$ . Tokio ritinio šoninis paviršius $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ – tiek pat, kiek rutulio paviršius. O rutulio tūris sudaro $\frac{4}{3}\pi R^3 : 2\pi R^3 = \frac{2}{3}$ šio ritinio tūrio.

Du gaubliai: kai spindulys padvigubėja

Geografijos kabinete yra du Žemės gaubliai: mažojo skersmuo 20 cm, didžiojo – 40 cm. a) Apskaičiuok mažojo gaublio paviršiaus plotą ir tūrį. b) Kiek kartų didžiojo gaublio paviršiaus plotas didesnis už mažojo? Kiek kartų didesnis tūris? Apytikslius atsakymus suapvalink iki dešimtųjų.

Mažojo gaublio spindulys $R = 10$ cm. Paviršiaus plotas $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi \approx 1256{,}6$ (cm²).
Tūris $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 = \frac{4000\pi}{3} \approx 4188{,}8$ (cm³).
Didžiojo spindulys 20 cm: $S = 4\pi \cdot 400 = 1600\pi$ , $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8000 = \frac{32\,000\pi}{3}$ .
Santykiai: $1600\pi : 400\pi = 4$ , o $\frac{32\,000\pi}{3} : \frac{4000\pi}{3} = 8$ .
Taip yra visada: padidinus spindulį $k$ kartų, paviršiaus plotas padidėja $k^2$ kartų, o tūris – $k^3$ kartų.

Atsakymas: a) $400\pi \approx 1256{,}6$ cm², $\frac{4000\pi}{3} \approx 4188{,}8$ cm³; b) plotas 4 kartus, tūris 8 kartus.

Sukiniai 12 klasėje: ašiniai pjūviai ir sudėtiniai kūnai

12 klasės uždaviniuose kūnas gali būti sudarytas iš kelių sukinių, o duomenys pateikti per ašinį pjūvį. Pirmiausia nusibraižyk ašinį pjūvį: jame visi reikalingi atstumai virsta plokščios figūros kraštinėmis, o jas randi Pitagoro teorema ir trigonometrija stačiajame trikampyje. Tada nuspręsk, kurie paviršiai iš tikrųjų skaičiuojami. Pagrindas, kuriuo du kūnai suglausti, ir pagrindas, kuris stovi ant žemės, į dažomą plotą neįeina.

Pavyzdys užrašytas kaip pilnas sprendimas: kiekviename žingsnyje – formulė, įstatytos reikšmės ir matavimo vienetai. Kai ritinio ar kūgio matmenys gali kisti, o reikia rasti didžiausią tūrį, uždavinys tampa optimizavimo uždaviniu ir sprendžiamas su išvestine.

Grūdų bokštas (pilnas sprendimas)

Grūdų bokštą sudaro ritinys ir ant jo uždėtas kūgio formos stogas (žr. ašinį pjūvį). Ritinio pagrindo spindulys 3 m, aukštinė 10 m, stogo aukštinė 4 m, stogo pagrindas sutampa su viršutiniu ritinio pagrindu. a) Apskaičiuok bokšto tūrį. b) Bokšto sienas (ritinio šoninį paviršių) ir stogą reikia nudažyti. Koks dažomas plotas? Atsakymus užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Ašiniame pjūvyje ritinys – stačiakampis $6 \times 10$ , stogas – lygiašonis trikampis, kurio pagrindas 6 m, o aukštinė 4 m. Abiejų kūnų spindulys $R = 3$ m.
Ritinio tūris: $V_1 = \pi R^2 H = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi$ (m³).
Stogo tūris: $V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi$ (m³).
a) $V = V_1 + V_2 = 90\pi + 12\pi = 102\pi \approx 320{,}4$ (m³).
Stogo sudaromoji – stačiojo trikampio su statiniais 3 m ir 4 m įžambinė: $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ (m).
Sienų plotas: $S_1 = 2\pi R H = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi$ (m²). Stogo plotas: $S_2 = \pi R l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ (m²).
b) $S = 60\pi + 15\pi = 75\pi \approx 235{,}6$ (m²). Ritinio pagrindų neskaičiuojame: viršutinį uždengia stogas, apatinis stovi ant žemės.

Atsakymas: a) $102\pi \approx 320{,}4$ m³; b) $75\pi \approx 235{,}6$ m².

Stereometrija Tiesės ir plokštumos erdvėje, kampai, atstumai ir pjūviai.
Optimizavimo uždaviniai Didžiausias tūris ir mažiausios sąnaudos – sprendimas su išvestine.

Nupjautinis kūgis, rutulio pjūvis ir nuopjova (A kursas)

Išplėstiniame kurse prie sukinių prisideda nupjautinis kūgis ir rutulio nuopjova. Nupjautinis kūgis lieka, kai kūgį perkerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, ir viršūnės dalis nuimama. Jis turi du pagrindus su spinduliais $R$ ir $r$ , aukštinę $H$ ir sudaromąją $l$ . Jo ašinis pjūvis – lygiašonė trapecija. Nuleidus aukštinę iš mažesniojo pagrindo krašto, gaunamas statusis trikampis su statiniais $H$ ir $R - r$ , todėl $l^2 = H^2 + (R - r)^2$ .

Plokštuma, nutolusi nuo rutulio centro atstumu $d$ (kai $d < R$ ), kerta rutulį, ir pjūvis yra skritulys. Jo spindulys $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ – tai vėl Pitagoro teorema, matoma brėžinyje. Plokštuma padalija rutulį į dvi nuopjovas: mažesniosios aukštinė $H = R - d$ , didesniosios – $R + d$ .

Nuopjovos tūrio formulę $V = \frac{1}{3}\pi H^2 (3R - H)$ ir lenkto paviršiaus formulę $S = 2\pi R H$ (abi yra lentelėje žemiau) patogu pasitikrinti kraštutiniais atvejais. Kai $H = 2R$ , nuopjova yra visas rutulys: $\frac{1}{3}\pi (2R)^2 (3R - 2R) = \frac{4}{3}\pi R^3$ , o lenktas paviršius $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ . Kai $H = R$ , gaunamas pusrutulis, kurio tūris $\frac{2}{3}\pi R^3$ .

Kitų sukinių tūriai A kurse randami integralu: kai kreivė $y = f(x)$ , $x \in [a; b]$ , sukama apie ašį $Ox$ , tūris $V = \pi \int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x$ . Ši formulė yra 2026 m. VBE formulių rinkinio II skyriuje.

Statusis trikampis su statiniais

d

r

bei įžambine

R

duoda

r = \sqrt{R^2 - d^2}

, o nuopjovos aukštinė

H = R - d

Formulė	Kada taikyti
$S_{\text{šon}} = \pi (R + r)\, l$	Nupjautinio kūgio šoninis paviršius; $R$ ir $r$ – pagrindų spinduliai, $l$ – sudaromoji.Yra VBE A kurso formulių lape
$V = \frac{1}{3}\pi H \left(R^2 + Rr + r^2\right)$	Nupjautinio kūgio tūris; $H$ – atstumas tarp pagrindų.Yra VBE A kurso formulių lape
$l^2 = H^2 + (R - r)^2$	Nupjautinio kūgio sudaromoji iš ašinio pjūvio trapecijos.Išmok mintinai
$r = \sqrt{R^2 - d^2}$	Rutulio pjūvio spindulys, kai plokštuma nutolusi nuo centro atstumu $d$ .Išmok mintinai
$S_{\text{šon}} = 2\pi R H$	Rutulio nuopjovos lenktas paviršius; $R$ – rutulio spindulys, $H$ – nuopjovos aukštinė.Yra VBE A kurso formulių lape
$V = \frac{1}{3}\pi H^2 (3R - H)$	Rutulio nuopjovos tūris.Yra VBE A kurso formulių lape

Šviestuvo gaubtas

(A kursas) Šviestuvo gaubtas – nupjautinio kūgio šoninis paviršius. Viršutinio krašto skersmuo 20 cm, apatinio – 32 cm, gaubto aukštis 8 cm. Kiek audinio reikia gaubtui, jei užlaidų nepaisome? Atsakymą užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Pagrindų spinduliai $r = 10$ cm ir $R = 16$ cm, aukštinė $H = 8$ cm.
Sudaromoji: $l = \sqrt{H^2 + (R - r)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ (cm).
$S_{\text{šon}} = \pi (R + r) l = \pi \cdot 26 \cdot 10 = 260\pi \approx 816{,}8$ (cm²).
Kodėl formulė tokia? Gaubtą papildykime iki viso kūgio. Iš trikampių panašumo nuimtojo kūgio sudaromoji $x$ tenkina $\frac{x}{10} = \frac{x + 10}{16}$ , todėl $x = \frac{50}{3}$ , o viso kūgio sudaromoji $\frac{80}{3}$ . Skirtumas $\pi \cdot 16 \cdot \frac{80}{3} - \pi \cdot 10 \cdot \frac{50}{3} = \frac{780\pi}{3} = 260\pi$ – sutampa.

Atsakymas: $260\pi \approx 816{,}8$ cm².

Trikampių panašumas Panašumo koeficientas – kaip susiję nupjautinio kūgio ir viso kūgio matmenys.

Dažnos klaidos su ritiniu, kūgiu ir rutuliu

Prieš rašydamas atsakymą, patikrink, ar nepadarei vienos iš šių klaidų:

Skersmuo įrašomas vietoj spindulio. Ritinio ir kūgio tūris tada išauga 4 kartus, rutulio – net 8 kartus, nes rutulio spindulys keliamas kubu.
Kūgio tūrio formulėje vietoj aukštinės imama sudaromoji. Sudaromoji eina šlaitu ir visada ilgesnė už aukštinę; ji reikalinga tik šoniniam paviršiui.
Pamirštamas daugiklis $\frac{1}{3}$ kūgio tūryje arba $\frac{4}{3}$ rutulio tūryje. Pasitikrink: kūgio tūris turi būti mažesnis už ritinio su tokiu pačiu pagrindu ir aukštine.
Supainiojamas šoninis ir visas paviršius. Perskaityk, ką reikia padengti: atviras indas turi vieną dugną, vamzdis – nė vieno, uždara dėžutė – abu pagrindus.
Supainiojami vienetai: kubiniai centimetrai į litrus verčiami dalijant iš 100, o ne iš 1000, arba metrai ir centimetrai įrašomi į tą pačią formulę. Prieš skaičiuodamas visus matmenis paversk tais pačiais vienetais.

Ritinys, kūgis ir rutulys: ką sako NMPP 8 ir VBE aprašai

NMPP 8 – nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas 8 klasėje, VBE – valstybinis brandos egzaminas. Žemiau – ką apie ritinį, kūgį ir rutulį sako jų aprašai.

NMPP 8 – tikrinama: ritinio ir kūgio formulės. Matematikos NMPP aštuntokams vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Ritinio ir kūgio formulės yra 7 klasės turinys, todėl jos gali būti per patikrinimą. Rutulys ir Pitagoro teorema erdvės figūrose priklauso 8 klasės temai „Erdvės figūros“, o ji pagal tą patį aprašą neįtraukiama.
NMPP 8 priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Todėl atsakymą palik su $\pi$ arba skaičiuok ranka. Formulių rinkinio tarp priemonių nebuvo, todėl ritinio ir kūgio formules reikia mokėti mintinai. Daugiau – puslapyje matematikos NMPP 8 klasei.
VBE: 2026 m. tvarka matematikos VBE buvo laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Bendrojoje programoje parašyta: antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Sukiniai – IV gimnazijos (12) klasės turinys, todėl jų gali būti antrojoje dalyje. Daugiau – puslapyje VBE matematikos antroji dalis.
VBE formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Abiejuose skyriuose yra ritinio ir kūgio tūrio ir šoninio paviršiaus formulės, taip pat rutulio tūrio ir paviršiaus ploto formulės. Nupjautinio kūgio ir rutulio nuopjovos formulės yra tik II skyriuje (A kursas). Ritinio ir kūgio viso paviršiaus formulių ir sąryšio $l^2 = R^2 + H^2$ rinkinyje nėra, todėl juos reikia mokėti mintinai. Abu skyriai palyginti puslapyje VBE formulės.
VBE priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
NMPP 8 data – 2027 m., o aprašų duomenys (kas neįtraukiama, formulių rinkinys, priemonės) – pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. aprašai dar nepatvirtinti. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) NMPP aprašų projektus viešam derinimui pateikė 2026 m. spalio 1 d., VBE – 2026 m. spalio 7 d.

NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Oficialus formulių rinkinys, B ir A kurso skyriai.
NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF) Kas iš 8 klasės turinio į patikrinimą neįtraukiama.
Matematikos VBE Egzamino dalys, vertinimas ir pasiruošimas.

Ritinio, kūgio ir rutulio uždaviniai su atsakymais

Dešimt uždavinių suskirstyta pagal sunkumą, paskutiniai du – A kurso. Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Atsakymą užrašyk su $\pi$ , o apvalink tik ten, kur prašoma.

Lengvesni

1. Ritinio formos rąsto skersmuo 40 cm, ilgis 3 m. Apskaičiuok rąsto tūrį kubiniais metrais. Atsakymą užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki šimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $0{,}12\pi \approx 0{,}38$ m³.

Gulintis rąstas – tas pats ritinys, jo aukštinė lygi ilgiui. Viską verčiame metrais: $R = 0{,}2$ m, $H = 3$ m. $V = \pi \cdot 0{,}2^2 \cdot 3 = 0{,}12\pi \approx 0{,}377$ (m³).

2. Ritinio ir kūgio pagrindų spinduliai lygūs po 3 cm, o aukštinės – po 4 cm. Kiekvienam dydžiui A–D parink jo reikšmę iš 1–5; viena reikšmė liks nepanaudota. A) ritinio tūris (cm³); B) kūgio tūris (cm³); C) kūgio šoninio paviršiaus plotas (cm²); D) ritinio šoninio paviršiaus plotas (cm²). 1) $12\pi$ ; 2) $15\pi$ ; 3) $24\pi$ ; 4) $36\pi$ ; 5) $48\pi$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A – 4, B – 1, C – 2, D – 3; reikšmė 5 lieka nepanaudota.

$V_{\text{rit}} = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi$ , $V_{\text{kūg}} = \frac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi$ . Kūgio sudaromoji $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , todėl jo šonas $\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ . Ritinio šonas $2\pi \cdot 3 \cdot 4 = 24\pi$ .

3. Termoso vidus – ritinys, kurio spindulys 4 cm, o aukštis 25 cm. Ar į jį telpa 1,5 l arbatos?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Ne: telpa $400\pi$ cm³, t. y. apie 1,26 l.

$V = \pi \cdot 4^2 \cdot 25 = 400\pi \approx 1256{,}6$ cm³. Padalijus iš 1000, gauname apie 1,26 l, o tai mažiau nei 1,5 l.

Vidutiniai

4. Kūgio pagrindo spindulys 5 cm, o šoninio paviršiaus plotas $65\pi$ cm². Rask kūgio aukštinę ir tūrį. Tūrį užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $H = 12$ cm, $V = 100\pi \approx 314{,}2$ cm³.

Iš $\pi \cdot 5 \cdot l = 65\pi$ gauname $l = 13$ cm. Aukštinė $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm. Tūris $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314{,}2$ cm³.

5. Rutulio tūris $972\pi$ cm³. Rask jo spindulį ir paviršiaus plotą. Plotą užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $R = 9$ cm, $S = 324\pi \approx 1017{,}9$ cm².

$\frac{4}{3}\pi R^3 = 972\pi$ , todėl $R^3 = 972 \cdot \frac{3}{4} = 729$ ir $R = \sqrt[3]{729} = 9$ cm. Paviršiaus plotas $S = 4\pi \cdot 81 = 324\pi \approx 1017{,}9$ cm².

6. Išdėstyk kūnus nuo mažiausio iki didžiausio tūrio (visi matmenys centimetrais). A) ritinys, $R = 2$ , $H = 8$ ; B) kūgis, $R = 3$ , $H = 9$ ; C) rutulys, $R = 3$ ; D) ritinys, $R = 1$ , $H = 30$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B, D, A, C.

Tūriai: A – $\pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi$ , B – $\frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 9 = 27\pi$ , C – $\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ , D – $\pi \cdot 1 \cdot 30 = 30\pi$ (cm³). Aukščiausias kūnas D nėra didžiausias: spindulys formulėje keliamas kvadratu.

7. Statusis trikampis, kurio statiniai 6 cm ir 8 cm, sukamas apie ilgesnįjį statinį. a) Koks kūnas gaunamas ir koks jo tūris? b) Koks būtų tūris, jei trikampį suktume apie trumpesnįjį statinį? Atsakymus užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) kūgis, $96\pi \approx 301{,}6$ cm³; b) $128\pi \approx 402{,}1$ cm³.

a) Statinis, apie kurį sukama, tampa aukštine $H = 8$ , kitas – pagrindo spinduliu $R = 6$ : $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$ . b) Dabar $H = 6$ , $R = 8$ : $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 6 = 128\pi$ . Tūris didesnis, kai spinduliu tampa ilgesnis statinys.

Sunkesni

8. Iš plastilino rutulio, kurio spindulys 3 cm, nulipdytas ritinys, kurio pagrindo spindulys 2 cm. Plastilino nei pridėta, nei nuimta. Koks ritinio aukštis?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 9 cm.

Tūris nepakinta. Rutulio tūris $\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ cm³. Iš $\pi \cdot 2^2 \cdot H = 36\pi$ gauname $H = 9$ cm.

9. (A kursas) Arbūzą, kurį laikome 13 cm spindulio rutuliu, perpjovė plokštuma, nutolusi nuo centro 5 cm. a) Rask pjūvio plotą. b) Rask mažesniosios dalies (rutulio nuopjovos) tūrį. Atsakymus užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $144\pi \approx 452{,}4$ cm²; b) $\frac{1984\pi}{3} \approx 2077{,}6$ cm³.

a) Pjūvio spindulys $r = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ cm, plotas $\pi \cdot 12^2 = 144\pi$ . b) Nuopjovos aukštinė $H = 13 - 5 = 8$ cm, $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot (3 \cdot 13 - 8) = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 31 = \frac{1984\pi}{3}$ .

10. (A kursas) Kibiras – nupjautinis kūgis: dugno skersmuo 24 cm, viršaus skersmuo 30 cm, aukštis 28 cm. Ar į kibirą telpa 16 l vandens?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Taip: kibiro tūris $5124\pi$ cm³, t. y. apie 16,1 l.

$r = 12$ cm, $R = 15$ cm. $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 28 \cdot (15^2 + 15 \cdot 12 + 12^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 28 \cdot 549 = 5124\pi \approx 16\,097{,}5$ cm³, t. y. apie 16,1 l – šiek tiek daugiau nei 16 l.

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar cilindras ir ritinys yra tas pats kūnas?

Taip, tai tas pats kūnas. Mokykloje vartojamas žodis „ritinys“, o „cilindras“ labiau įprastas kasdienėje kalboje. Formulės tos pačios: tūris lygus pagrindo skritulio plotui, padaugintam iš aukštinės, o šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo apskritimo ilgiui, padaugintam iš aukštinės.

Kaip apskaičiuoti cilindro tūrį litrais?

Vienas litras lygus vienam kubiniam decimetrui. Todėl paprasčiausia spindulį ir aukštį iš karto paversti decimetrais ir tūrį skaičiuoti kaip skaičių pi, padaugintą iš spindulio kvadrato ir aukščio: gautas skaičius ir bus litrai. Pavyzdžiui, kai spindulys 1 dm, o aukštis 3 dm, tūris lygus 3 pi kubinių decimetrų, t. y. apie 9,42 litro.

Kaip apskaičiuoti kūgio paviršiaus plotą?

Šoninio paviršiaus plotas lygus skaičiui pi, padaugintam iš pagrindo spindulio ir sudaromosios. Sudaromoji – tai atstumas nuo viršūnės iki pagrindo krašto. Visam paviršiui pridedamas pagrindas, kurio plotas lygus pi, padaugintam iš spindulio kvadrato. Jei duota aukštinė, o ne sudaromoji, pirmiausia rask sudaromąją pagal Pitagoro teoremą: jos kvadratas lygus spindulio ir aukštinės kvadratų sumai. Pavyzdžiui, kai spindulys 20 cm, o aukštinė 21 cm, sudaromoji lygi 29 cm, šoninis paviršius – 580 pi kvadratinių centimetrų, o visas paviršius – 980 pi kvadratinių centimetrų.

Kaip rasti rutulio paviršiaus plotą?

Rutulio paviršiaus (sferos) plotas lygus keturių skritulių, kurių spindulys toks pat kaip rutulio, plotų sumai. Taigi spindulį pakelk kvadratu, padaugink iš skaičiaus pi ir dar iš 4. Jei duotas skersmuo, pirmiausia jį padalyk iš 2. Pavyzdžiui, rutulio, kurio spindulys 5 cm, paviršiaus plotas lygus 100 pi kvadratinių centimetrų, t. y. apie 314 kvadratinių centimetrų.

Taip pat: Apskritimas ir skritulys · Prizmė ir piramidė · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt