Integralai: pirmykštė funkcija, plotas ir sukinio tūris

Q: Kuo skiriasi neapibrėžtinis ir apibrėžtinis integralas?

Neapibrėžtinis integralas yra visų pirmykščių funkcijų aibė, todėl atsakyme lieka kintamasis ir konstanta C. Apibrėžtinis integralas turi rėžius ir yra konkretus skaičius: pirmykštės reikšmė viršutiniame rėžyje minus jos reikšmė apatiniame. Konstanta C čia susiprastina, todėl jos rašyti nereikia.

Q: Ar apibrėžtinis integralas visada lygus plotui?

Ne. Jis lygus plotui tik tada, kai funkcija visame intervale neneigiama. Kai grafikas žemiau ašies Ox, integralas neigiamas, o kai funkcija keičia ženklą, teigiamos ir neigiamos dalys viena kitą iš dalies panaikina. Tokiu atveju intervalą reikia padalyti ties funkcijos nuliais ir sudėti kiekvienos dalies integralo modulius.

Q: Kaip integralas vadinamas angliškai?

Integralas angliškai – integral, integravimas – integration. Neapibrėžtinis integralas – indefinite integral, apibrėžtinis – definite integral, pirmykštė funkcija – antiderivative. Niutono ir Leibnico formulė angliškai vadinama Newton–Leibniz formula arba pateikiama kaip pagrindinės matematinės analizės teoremos (fundamental theorem of calculus) dalis.

Integravimas – veiksmas, atvirkštinis diferencijavimui: žinant funkcijos išvestinę, randama pati funkcija. Integralų mokomasi 12 klasėje, tik išplėstiniame (A) kurse. Integralu apskaičiuojamas plotas figūros, kurią riboja kreivė, ir tūris kūno, gauto tokią figūrą sukant apie ašį.

Kas yra integralai?

Funkcija $F$ vadinama funkcijos $f$ pirmykšte funkcija, jei $F'(x) = f(x)$ . Pavyzdžiui, $x^3$ yra funkcijos $3x^2$ pirmykštė, nes $(x^3)' = 3x^2$ . Tačiau tokią pat išvestinę turi ir $x^3 + 5$ , ir $x^3 - 2$ : konstantos išvestinė lygi nuliui. Todėl visos tos pačios funkcijos pirmykštės skiriasi tik konstanta, ir jų aibė užrašoma $F(x) + C$ . Ši aibė vadinama neapibrėžtiniu integralu ir žymima $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ , pavyzdžiui, $\int 3x^2\,\mathrm{d}x = x^3 + C$ .

Apibrėžtinis integralas jau yra ne funkcija, o skaičius. Įsivaizduok figūrą, kurią iš viršaus riboja neneigiamos funkcijos $y = f(x)$ grafikas, iš apačios – ašis Ox, o iš šonų – tiesės $x = a$ ir $x = b$ . Tokia figūra vadinama kreivine trapecija. Jos plotą galima apytiksliai rasti stačiakampiais. Atkarpą $[a; b]$ padalyk į daug lygių dalių ir virš kiekvienos pastatyk stačiakampį, kurio aukštis lygus funkcijos reikšmei dalies gale. Stačiakampių plotų suma vadinama integraline suma.

Kuo dalių daugiau, tuo stačiakampiai tiksliau užpildo kreivinę trapeciją, o integralinė suma artėja prie vieno skaičiaus. Tas skaičius ir yra funkcijos apibrėžtinis integralas atkarpoje $[a; b]$ , žymimas $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . Skaičiai $a$ ir $b$ vadinami integravimo rėžiais: $a$ – apatinis, $b$ – viršutinis. Integralinę sumą galima sudaryti ir funkcijai, kuri įgyja neigiamų reikšmių. Tada stačiakampiai po ašimi Ox įskaičiuojami su minuso ženklu ir sumą mažina. Todėl integralas lygus plotui tik tada, kai funkcija neneigiama.

Skaičiuoti integralą per sumas ilgai, bet to ir nereikia. Niutono ir Leibnico formulė sako, kad $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ , kur $F$ – bet kuri funkcijos $f$ pirmykštė. Pavyzdžiui, kadangi $(x^3)' = 3x^2$ , tai $\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x = 2^3 - 0^3 = 8$ . Taip plotas susiejamas su pirmykšte funkcija. Todėl integralai remiasi išvestinėmis: prieš imantis šios temos verta gerai mokėti diferencijuoti.

Integralai: formulės ir taisyklės

Kiekviena pirmykščių funkcijų formulė gaunama apvertus išvestinės formulę: jei $(\sin x)' = \cos x$ , tai $\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C$ . Užraše $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ funkcija $f(x)$ vadinama pointegraline funkcija, o $\mathrm{d}x$ rodo, kad integruojama pagal $x$ . Bet kurią formulę gali patikrinti: diferencijuok dešiniąją pusę ir turi gauti pointegralinę funkciją. Prie kiekvienos formulės pažymėta, ar ji yra 2026 m. valstybinio brandos egzamino (VBE) A kurso formulių lape, ar ją reikia išmokti mintinai.

Formulė	Kada taikyti
$\int x^n\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \; (n \neq -1)$	A kursas: laipsninei funkcijai, taip pat šaknims ir trupmenoms, kai jos užrašytos laipsniu, pavyzdžiui, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ .Yra VBE A kurso formulių lape
$\int k\,\mathrm{d}x = kx + C$	A kursas: kai pointegralinė funkcija yra pastovus skaičius, pavyzdžiui, $\int 5\,\mathrm{d}x = 5x + C$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} \int k f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x \\ \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,\mathrm{d}x \\ = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x \end{gathered}$	A kursas: sumą ir skirtumą integruok dėmuo po dėmens, o skaitinį daugiklį iškelk prieš integralo ženklą.Išmok mintinai
$\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln \lvert x \rvert + C$	A kursas: funkcijai $\frac{1}{x} = x^{-1}$ , kuriai laipsninės funkcijos formulė netinka; čia $x \neq 0$ .Yra VBE A kurso formulių lape
$\int a^x\,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C$	A kursas: rodiklinei funkcijai, kai $a > 0$ , $a \neq 1$ . Kai $a = e$ , $\ln e = 1$ , todėl $\int e^x\,\mathrm{d}x = e^x + C$ .Yra VBE A kurso formulių lape
$\begin{gathered} \int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C \\ \int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C \end{gathered}$	A kursas: sinusui ir kosinusui; kampas matuojamas radianais.Yra VBE A kurso formulių lape
$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} x + C$	A kursas: funkcija $\frac{1}{\cos^2 x}$ yra tangento išvestinė; čia $\cos x \neq 0$ .Yra VBE A kurso formulių lape
$\int f(kx + b)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{k} F(kx + b) + C$	A kursas: kai funkcijos argumentas yra ne $x$ , o $kx + b$ , pavyzdžiui, $\int \cos 3x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\sin 3x + C$ . Čia $k \neq 0$ , o $F$ – funkcijos $f$ pirmykštė.Išmok mintinai
$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$	A kursas: Niutono ir Leibnico formulė apibrėžtiniam integralui apskaičiuoti; $a$ – apatinis rėžis, $b$ – viršutinis.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0 \\ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x \end{gathered}$	A kursas: kai sukeiti rėžius arba atkarpą padaliji taške $c$ . Skaičiuojant plotą, atkarpa dažnai dalijama ties funkcijos nuliu.Išmok mintinai
$\begin{gathered} S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x, \\ \text{kai } f(x) \geq g(x),\ x \in [a; b] \end{gathered}$	A kursas: plotui tarp dviejų kreivių; kai $g(x) = 0$ , gaunamas kreivinės trapecijos plotas.Išmok mintinai
$V = \pi \int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x$	A kursas: kūno, gauto sukant kreivinę trapeciją apie ašį Ox, tūriui.Yra VBE A kurso formulių lape

Sandaugos integralas nėra integralų sandauga. Pavyzdžiui, $\int x \cdot x\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} + C$ , o ne $\frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^2}{2}$ . Pirma sudaugink, tada integruok.
Sinuso, kosinuso ir tangento formulės galioja, kai kampas matuojamas radianais. Todėl rėžius, pavyzdžiui, $\frac{\pi}{2}$ , įstatyk radianais ir skaičiuotuvą perjunk į radianų režimą. Apie radianus plačiau rasi trigonometrijos puslapyje.

Pirmykštės funkcijos radimas: pavyzdžiai

Visų tos pačios funkcijos pirmykščių grafikai yra ta pati kreivė, tik pastumta aukštyn arba žemyn. Pavyzdyje iš jų išrenkame tą, kurios grafikas eina per duotą tašką. Tam ir reikia rasti konstantą $C$ .

Pirmykštė funkcija, einanti per duotą tašką

Rask funkcijos $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ pirmykštę $F$ , kurios grafikas eina per tašką $(2; 7)$ .

Integruojame dėmuo po dėmens pagal laipsninės funkcijos formulę: $\begin{aligned} F(x) &= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C \\ &= 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \end{aligned}$
Grafikas eina per tašką $(2; 7)$ , todėl $F(2) = 7$ . Įstatome: $\begin{aligned} F(2) &= 2 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + C \\ &= 14 + C \end{aligned}$
Iš lygybės $14 + C = 7$ gauname $C = -7$ .
Patikriname diferencijuodami: $F'(x) = 6x^2 - 4x + 3$ , o tai lygu $f(x)$ . Be to, $F(2) = 14 - 7 = 7$ .

Atsakymas: $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 7$ .

Integralai ir plotas

Plotas visada teigiamas, o integralas gali būti ir neigiamas. Todėl prieš integruodamas išsiaiškink, kur grafikas yra virš ašies Ox, o kur po ja. Tam rask funkcijos nulius – $x$ reikšmes, su kuriomis $f(x) = 0$ . Dažnai tai kvadratinės lygties sprendiniai. Parabolės padėtį padės įsivaizduoti tai, ką žinai apie kvadratinę funkciją.

Jei $f(x) \geq 0$ atkarpoje $[a; b]$ , plotas $S = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Jei $f(x) \leq 0$ , integralas neigiamas, o plotas lygus jo moduliui: $S = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Jei funkcija atkarpoje keičia ženklą, atkarpą padalyk ties funkcijos nuliais, kiekvienos dalies plotą apskaičiuok atskirai ir sudėk.
Plotui tarp dviejų kreivių iš viršutinės funkcijos atimk apatinę. Jei rėžiai nenurodyti, jie yra kreivių susikirtimo taškų x koordinatės (abscisės).

Plotas tarp parabolės ir ašies Ox

Apskaičiuok figūros, kurią riboja parabolė $y = -x^2 + 5x - 4$ ir ašis $Ox$ , plotą.

Randame, kur parabolė kerta ašį Ox: $-x^2 + 5x - 4 = 0$ , t. y. $x^2 - 5x + 4 = 0$ . Sprendiniai $x = 1$ ir $x = 4$ – tai integravimo rėžiai.
Parabolės šakos nukreiptos žemyn, todėl intervale $[1; 4]$ ji yra virš ašies Ox (pavyzdžiui, $y(2) = 2 > 0$ ). Plotas lygus apibrėžtiniam integralui be jokio ženklo keitimo.
Pirmykštė $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x$ . Jos reikšmės: $F(4) = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = \frac{8}{3}$ , $F(1) = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = -\frac{11}{6}$ .
$S = F(4) - F(1) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5$ .

Atsakymas: $S = 4{,}5$ kvadratinio vieneto.

Kai funkcija keičia ženklą, integralas nelygus plotui

Apskaičiuok figūros, kurią riboja parabolė $y = x^2 - 2x - 3$ , ašis $Ox$ ir tiesės $x = 0$ bei $x = 4$ , plotą.

Sritis S₁ yra po ašimi Ox, sritis S₂ – virš jos.

Funkcijos nuliai: $x^2 - 2x - 3 = 0$ , todėl $x = -1$ arba $x = 3$ . Atkarpoje $[0; 4]$ yra nulis $x = 3$ . Intervale $(0; 3)$ parabolė yra po ašimi Ox (pavyzdžiui, $y(1) = -4$ ), o intervale $(3; 4)$ – virš jos (pavyzdžiui, $y(3{,}5) = 2{,}25$ ).
Pirmykštė: $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x$ . Jos reikšmės: $F(0) = 0$ , $F(3) = 9 - 9 - 9 = -9$ , $F(4) = \frac{64}{3} - 16 - 12 = -\frac{20}{3}$ .
Čia dažna klaida – integruoti iš karto nuo 0 iki 4: $\int_0^4 (x^2 - 2x - 3)\,\mathrm{d}x = F(4) - F(0) = -\frac{20}{3}$ . Neigiamas skaičius plotu būti negali. Paėmus jo modulį, gautume $\frac{20}{3}$ , bet ir tai neteisinga: dalis po ašimi ir dalis virš jos viena kitą iš dalies panaikino.
Plotas po ašimi: $S_1 = -\big(F(3) - F(0)\big) = -(-9 - 0) = 9$ .
Plotas virš ašies: $S_2 = F(4) - F(3) = -\frac{20}{3} + 9 = \frac{7}{3}$ .
Visas plotas: $S = S_1 + S_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} \approx 11{,}33$ .

Atsakymas: $S = \frac{34}{3} \approx 11{,}33$ kvadratinio vieneto.

Pilnas sprendimas: plotas tarp dviejų parabolių

Apskaičiuok figūros, kurią riboja parabolės $y = x^2 - 4x + 5$ ir $y = 5 + 2x - x^2$ , plotą.

Susikirtimo taškai. Sulyginame: $x^2 - 4x + 5 = 5 + 2x - x^2$ , iš čia $2x^2 - 6x = 0$ , $2x(x - 3) = 0$ . Todėl $x = 0$ arba $x = 3$ . Tai integravimo rėžiai.
Kuri kreivė viršuje. Tarp $x = 0$ ir $x = 3$ kreivės nesikerta, todėl užtenka vieno tarpinio taško. Kai $x = 1$ : $1 - 4 + 5 = 2$ ir $5 + 2 - 1 = 6$ . Vadinasi, intervale $(0; 3)$ parabolė $y = 5 + 2x - x^2$ yra virš parabolės $y = x^2 - 4x + 5$ .
Ploto integralas: $\begin{aligned} S &= \int_0^3 \big((5 + 2x - x^2) \\ &\qquad - (x^2 - 4x + 5)\big)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^3 (6x - 2x^2)\,\mathrm{d}x \end{aligned}$
Pirmykštė: $F(x) = 3x^2 - \frac{2x^3}{3}$ .
Pagal Niutono ir Leibnico formulę: $S = F(3) - F(0) = 27 - 18 - 0 = 9$ .
Abi parabolės šioje atkarpoje yra virš ašies Ox, bet tai nesvarbu: formulė „viršutinė minus apatinė“ tinka bet kurioje koordinačių plokštumos vietoje.

Atsakymas: $S = 9$ kvadratiniai vienetai.

Sukinio tūris integralu

Paimk kreivinę trapeciją: ją riboja kreivė $y = f(x)$ , ašis Ox ir tiesės $x = a$ , $x = b$ . Sukant ją apie ašį Ox, gaunamas kūnas, vadinamas sukiniu. Kiekvienas jo pjūvis, statmenas ašiai Ox, yra skritulys. Taške $x$ to skritulio spindulys lygus $f(x)$ , o plotas – $\pi f^2(x)$ ; čia $f^2(x)$ reiškia $\big(f(x)\big)^2$ . Kūną supjaustykime į labai plonus sluoksnius. Kiekvienas sluoksnis – beveik ritinys, kurio pagrindas yra toks skritulys. Sudėjus jų tūrius, gaunama formulė $V = \pi \int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x$ .

Dažna klaida – pakelti kvadratu jau apskaičiuotą integralą, o ne funkciją. Kita – pamiršti daugiklį $\pi$ . Formulę patogu patikrinti kūnu, kurio tūrį jau moki apskaičiuoti, pavyzdžiui, kūgiu.

Kūgis kaip sukinys

Trikampį riboja tiesė $y = 0{,}5x$ , ašis $Ox$ ir tiesė $x = 6$ . Jį sukant apie ašį $Ox$ , gaunamas kūgis. Apskaičiuok kūgio tūrį integralu ir patikrink atsakymą kūgio tūrio formule.

Čia $f(x) = 0{,}5x$ , rėžiai $a = 0$ ir $b = 6$ . Kvadratu keliame funkciją: $f^2(x) = 0{,}25x^2$ .
Funkcijos $f^2(x)$ pirmykštė: $F(x) = 0{,}25 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{12}$ .
Tūris: $\begin{aligned} V &= \pi\big(F(6) - F(0)\big) \\ &= \pi \cdot \frac{216}{12} = 18\pi \end{aligned}$
Patikriname. Kūgio aukštinė $H = 6$ , o pagrindo spindulys lygus $f(6) = 3$ . Kūgio tūris $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 6 = 18\pi$ . Sutampa.

Atsakymas: $V = 18\pi \approx 56{,}55$ kubinio vieneto.

Ritinys, kūgis ir rutulys Sukinių tūrio ir paviršiaus ploto formulės be integralų.

Dažnos integravimo klaidos

Dažniausiai klystama dėl dviejų dalykų: integravimo formulės painiojamos su išvestinių formulėmis, o įstatant rėžius pametamas ženklas. Todėl rastą pirmykštę patikrink diferencijuodamas, o $F(a)$ visada rašyk skliaustuose.

Neapibrėžtiniame integrale pamirštama konstanta $C$ . Be jos atsakymas nurodo tik vieną pirmykštę, o ne visas.
Laipsnio rodiklis padidinamas vienetu, bet dalijama iš senojo rodiklio. Turi būti $\int x^4\,\mathrm{d}x = \frac{x^5}{5} + C$ , o ne $\frac{x^5}{4} + C$ .
Integruojant $f(kx + b)$ , pamirštama padalyti iš $k$ arba iš jo padauginama. Teisingai $\int e^{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}e^{3x} + C$ , o ne $3e^{3x} + C$ ar $e^{3x} + C$ .
Įstatant apatinį rėžį, minusas pritaikomas tik pirmajam $F(a)$ dėmeniui. Pavyzdžiui, jei $F(a) = 1 - 3$ , tai reikia rašyti $F(b) - (1 - 3)$ , o ne $F(b) - 1 - 3$ . Visą $F(a)$ apskaičiuok atskirai ir tik tada atimk.
Integralas iš neigiamos funkcijos laikomas plotu. Kai grafikas yra žemiau ašies Ox, integralas neigiamas, o plotas lygus jo moduliui. Jei funkcija rėžių intervale keičia ženklą, plotą reikia skaičiuoti dalimis.
Skaičiuojant plotą tarp dviejų kreivių, iš apatinės funkcijos atimama viršutinė. Patikrink, kuri didesnė, įstatęs bet kurį tarpinį tašką.

Integralai 12 klasėje: A kursas ir VBE

Integralų mokomasi tik išplėstiniame (A) kurse, IV gimnazijos (12) klasėje. Bendrojo (B) kurso programoje pirmykštės funkcijos ir integralo nėra.

Kada laikomos matematikos VBE dalys (2026 m. tvarka): pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje.
Kurioje dalyje gali būti integralų: matematikos bendrojoje programoje nurodyta, kad pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Integralai yra 12 klasės A kurso turinys, todėl jų uždavinių gali būti tik antrojoje dalyje ir tik A kurso užduotyje.
Formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Šešios pirmykščių funkcijų formulės ir sukinio tūrio formulė yra II skyriuje (A kurso lape). I skyriuje (B kurso lape) integralų nėra. Lape nėra Niutono ir Leibnico formulės, integralo savybių, taisyklės su $f(kx + b)$ ir ploto tarp kreivių formulės, todėl jas išmok mintinai. Abu skyrius su paaiškinimais rasi puslapyje VBE formulės.
Leidžiamos priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
2026 m. spalio 7 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė, kad atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui. Kol jie nepatvirtinti, čia aprašyta 2026 m. tvarka.

NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys – aprašo 1 priedas.
Matematikos VBE Egzamino sandara, faktai ir pasiruošimas.
Matematikos VBE antroji dalis Ką reikia žinoti apie antrąją egzamino dalį.
A ir B kursas Kuo skiriasi išplėstinis ir bendrasis kursas.

Integralai: uždaviniai su atsakymais

Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Ploto uždaviniuose greitai nusibraižyk eskizą: jis iškart parodo, ar figūra viena, ar sudaryta iš kelių dalių, ir apsaugo nuo neigiamo ploto.

Lengvesni

1. Apskaičiuok $\int_{-1}^{2} (4x^3 - 6x + 1)\,\mathrm{d}x$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 9.

Pirmykštė funkcija: $F(x) = x^4 - 3x^2 + x$ . Viršutiniame rėžyje $F(2) = 16 - 12 + 2 = 6$ . Apatiniame rėžyje $\begin{aligned} F(-1) &= (-1)^4 - 3 \cdot (-1)^2 + (-1) \\ &= 1 - 3 - 1 \\ &= -3 \end{aligned}$ Integralas lygus $F(2) - F(-1) = 6 - (-3) = 9$ .

2. Kiekvienai funkcijai parink jos pirmykštę (čia $x > 0$ ). Funkcijos: 1) $f(x) = \cos 3x$ ; 2) $f(x) = 3x^2$ ; 3) $f(x) = \frac{3}{x}$ ; 4) $f(x) = 3\sin x$ . Pirmykštės: A) $F(x) = -3\cos x$ ; B) $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$ ; C) $F(x) = 3\ln x$ ; D) $F(x) = x^3 + 4$ ; E) $F(x) = 3\cos x$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – B, 2 – D, 3 – C, 4 – A.

Patikrink diferencijuodamas: $\left(\frac{1}{3}\sin 3x\right)' = \cos 3x$ , $(x^3 + 4)' = 3x^2$ , $(3\ln x)' = \frac{3}{x}$ , $(-3\cos x)' = 3\sin x$ . Pirmykštė E netinka nė vienai funkcijai, nes $(3\cos x)' = -3\sin x$ .

Vidutiniai

3. Apskaičiuok figūros, kurią riboja parabolė $y = x^2 - 2x$ ir tiesė $y = 2x + 5$ , plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 36 kvadratiniai vienetai.

Susikirtimo taškai: $x^2 - 2x = 2x + 5$ , t. y. $x^2 - 4x - 5 = 0$ , iš čia $x = -1$ ir $x = 5$ . Tarp jų tiesė yra virš parabolės (pavyzdžiui, kai $x = 0$ , tiesės reikšmė 5, o parabolės – 0). Todėl $\begin{aligned} S &= \int_{-1}^{5} \big((2x + 5) - (x^2 - 2x)\big)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{-1}^{5} (-x^2 + 4x + 5)\,\mathrm{d}x \end{aligned}$ Pirmykštė: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 5x$ . Tada $F(5) = -\frac{125}{3} + 75 = \frac{100}{3}$ ir $F(-1) = \frac{1}{3} + 2 - 5 = -\frac{8}{3}$ . Plotas $S = \frac{100}{3} + \frac{8}{3} = \frac{108}{3} = 36$

4. Rask funkcijos $f(x) = 4e^{2x} - 3$ pirmykštę $F$ , kurios $F(0) = 5$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $F(x) = 2e^{2x} - 3x + 3$ .

Pagal taisyklę su $f(kx + b)$ : $\int 4e^{2x}\,\mathrm{d}x = 4 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C = 2e^{2x} + C$ . Todėl $F(x) = 2e^{2x} - 3x + C$ . Kadangi $e^0 = 1$ , $F(0) = 2 + C$ . Iš sąlygos $2 + C = 5$ gauname $C = 3$ .

5. Rask teigiamą skaičių $b$ , su kuriuo $\int_0^b (2x + 1)\,\mathrm{d}x = 12$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $b = 3$ .

Pirmykštė $F(x) = x^2 + x$ , todėl $\int_0^b (2x + 1)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(0) = b^2 + b$ . Lygtis $b^2 + b - 12 = 0$ turi sprendinius $b = 3$ ir $b = -4$ . Teigiamas yra $b = 3$ .

6. Išdėstyk integralus didėjimo tvarka: $A = \int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x$ , $B = \int_{-1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x$ , $C = \int_0^4 \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$ , $D = \int_0^{\ln 5} e^x\,\mathrm{d}x$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $A$ , $B$ , $D$ , $C$ (nes $2 < 3 < 4 < \frac{16}{3}$ ).

$A$ : pirmykštė $-\cos x$ , todėl $A = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ . $B$ : pirmykštė $\frac{x^3}{3}$ , todėl $B = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = 3$ . $C$ : $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , pirmykštė $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ , todėl $C = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} = \frac{16}{3}$ . $D$ : pirmykštė $e^x$ , todėl $D = e^{\ln 5} - e^0 = 5 - 1 = 4$ .

7. Dronas kyla vertikaliai nuo žemės. Jo greitis po $t$ sekundžių nuo pakilimo yra $v(t) = 3t - 0{,}25t^2$ m/s, kai $0 \leq t \leq 12$ . Kokiame aukštyje dronas bus po 12 sekundžių?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 72 m.

Kai $0 \leq t \leq 12$ , $v(t) = t(3 - 0{,}25t) \geq 0$ , todėl dronas tik kyla ir jo aukštis lygus greičio integralui nuo 0 iki 12. Pirmykštė $H(t) = 1{,}5t^2 - \frac{t^3}{12}$ , todėl aukštis $H(12) - H(0) = 216 - 144 = 72$ m.

Sunkesni

8. Taurės vidaus forma gaunama sukant apie ašį $Ox$ figūrą, kurią riboja kreivė $y = \sqrt{x} + 1$ , ašis $Ox$ ir tiesės $x = 0$ bei $x = 9$ (ilgiai – centimetrais). Kiek kubinių centimetrų skysčio telpa į taurę? Atsakymą užrašyk su $\pi$ ir apytiksliai vienetų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $85{,}5\pi \approx 269$ cm³.

Kvadratu keliame funkciją: $(\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1$ . Kadangi $2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$ , šio dėmens pirmykštė $2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}x\sqrt{x}$ . Visos funkcijos pirmykštė $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}x\sqrt{x} + x$ . Tūris $V = \pi\big(F(9) - F(0)\big) = \pi(40{,}5 + 36 + 9) = 85{,}5\pi \approx 268{,}6$ , t. y. apie 269 cm³.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo skiriasi neapibrėžtinis ir apibrėžtinis integralas?

Neapibrėžtinis integralas yra visų pirmykščių funkcijų aibė, todėl atsakyme lieka kintamasis ir konstanta C. Apibrėžtinis integralas turi rėžius ir yra konkretus skaičius: pirmykštės reikšmė viršutiniame rėžyje minus jos reikšmė apatiniame. Konstanta C čia susiprastina, todėl jos rašyti nereikia.

Ar apibrėžtinis integralas visada lygus plotui?

Ne. Jis lygus plotui tik tada, kai funkcija visame intervale neneigiama. Kai grafikas žemiau ašies Ox, integralas neigiamas, o kai funkcija keičia ženklą, teigiamos ir neigiamos dalys viena kitą iš dalies panaikina. Tokiu atveju intervalą reikia padalyti ties funkcijos nuliais ir sudėti kiekvienos dalies integralo modulius.

Kaip integralas vadinamas angliškai?

Integralas angliškai – integral, integravimas – integration. Neapibrėžtinis integralas – indefinite integral, apibrėžtinis – definite integral, pirmykštė funkcija – antiderivative. Niutono ir Leibnico formulė angliškai vadinama Newton–Leibniz formula arba pateikiama kaip pagrindinės matematinės analizės teoremos (fundamental theorem of calculus) dalis.

Taip pat: Išvestinės · Kvadratinė funkcija · Pasiruošimas matematikos VBE · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE 2 dalis

Šaltiniai

ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt