Kvadratinės lygtys: nepilnosios lygtys, diskriminantas ir Vieto teorema

Kvadratinė lygtis: apibrėžimas ir koeficientai

Lygtyje $ax^2 + bx + c = 0$ raidės $a$, $b$ ir $c$ žymi duotus skaičius, o $x$ – nežinomąjį. Skaičius $a$ vadinamas vyresniuoju koeficientu, $b$ – antruoju koeficientu, $c$ – laisvuoju nariu. Pavyzdžiui, lygties $x^2 - 7x + 10 = 0$ koeficientai yra $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$. Sąlyga $a \neq 0$ būtina: jei $a = 0$, narys su $x^2$ išnyksta ir lieka tiesinė lygtis $bx + c = 0$.

Lygties sprendinys – tai skaičius, kurį įrašius vietoj $x$ gaunama teisinga lygybė. Pavyzdžiui, 2 yra lygties $x^2 - 7x + 10 = 0$ sprendinys, nes $2^2 - 7 \cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0$. Kvadratinė lygtis gali turėti du sprendinius, vieną arba nė vieno, bet niekada ne daugiau kaip du.

Lygtis vadinama pilnąja, kai visi trys koeficientai nelygūs nuliui, ir nepilnąja, kai $b = 0$ arba $c = 0$, pavyzdžiui, $x^2 - 9 = 0$ ar $x^2 + 5x = 0$. Nepilnąją lygtį dažnai greičiau išspręsti be diskriminanto, o pilnajai patogiausia diskriminanto formulė.

Prieš nustatydamas koeficientus, suvesk lygtį į standartinį pavidalą: atskliausk, perkelk visus narius į vieną pusę, kad kitoje liktų nulis, ir sutrauk panašiuosius narius. Pavyzdžiui, lygtis $3x^2 = 5 - 2x$ virsta $3x^2 + 2x - 5 = 0$, todėl $a = 3$, $b = 2$, $c = -5$. Lygtis $x(x - 4) = 12$ virsta $x^2 - 4x - 12 = 0$, todėl $a = 1$, $b = -4$, $c = -12$.

Kvadratinės lygtys atsiranda ten, kur sudauginami du nežinomi ar vienas su kitu susiję dydžiai: stačiakampio plotas, kai ilgis ir plotis susiję, aukštyn mesto daikto aukštis po tam tikro laiko, kaina, du kartus iš eilės padidinta tiek pat procentų.

• Lygtys Tiesinės lygtys ir lygties sudarymas pagal sąlygą – pagrindas kvadratinėms lygtims.
• Daugianariai ir greitosios daugybos formulės Iškėlimas prieš skliaustus ir kvadratų skirtumas – nepilnųjų lygčių įrankiai.
• Kvadratinė šaknis Kaip ištraukti kvadratinę šaknį ir ją įvertinti be skaičiuotuvo.

Nepilnosios kvadratinės lygtys

Nepilnosioms lygtims išspręsti diskriminanto nereikia – pakanka dviejų įrankių: skaidymo dauginamaisiais ir kvadratinės šaknies.

Kai nėra laisvojo nario ($c = 0$), lygtis turi pavidalą $ax^2 + bx = 0$. Abu nariai turi bendrą dauginamąjį $x$, todėl $x(ax + b) = 0$. Sandauga lygi nuliui tik tada, kai bent vienas dauginamasis lygus nuliui. Taigi $x = 0$ arba $ax + b = 0$, iš kur $x = -\frac{b}{a}$. Pavyzdžiui, $x^2 - 6x = 0$ virsta $x(x - 6) = 0$, todėl $x = 0$ arba $x = 6$. Tokia lygtis (kai $b \neq 0$) visada turi du sprendinius, ir vienas jų yra nulis. Todėl abiejų pusių niekada nedalyk iš $x$: taip prarastum sprendinį $x = 0$.

Kai nėra nario su $x$ ($b = 0$), lygtis turi pavidalą $ax^2 + c = 0$. Perkėlę laisvąjį narį ir padaliję iš $a$, gauname $x^2 = d$, kur $d = -\frac{c}{a}$. Bet kurio skaičiaus kvadratas nėra neigiamas, todėl viską lemia $d$ ženklas: kai $d > 0$, sprendiniai du, $x = \sqrt{d}$ ir $x = -\sqrt{d}$; kai $d = 0$, sprendinys vienas, $x = 0$; kai $d < 0$, sprendinių nėra (pavyzdžiui, $x^2 = -4$).

Antrąjį sprendinį lengva pamiršti, nes $\sqrt{d}$ žymi tik neneigiamą skaičių. Tačiau ir $(-5)^2 = 25$, todėl lygtis $x^2 = 25$ turi du sprendinius: 5 ir −5. Kai $d$ yra tikslus kvadratas, tą pačią lygtį galima išspręsti ir skaidant kvadratų skirtumą: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) = 0$. Jei $b = 0$ ir $c = 0$, lieka $ax^2 = 0$, o vienintelis sprendinys yra $x = 0$.

Kvadratinės lygties formulės ir kada jas taikyti

Žyma prie formulės rodo, ar ji yra PUPP formulių lape, ar ją reikia mokėti mintinai. Lape sprendiniai užrašyti dviem atskiromis formulėmis. Abu juos galima užrašyti ir viena formule su ženklu $\pm$: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Ženklas $\pm$ reiškia, kad skaičiuojama du kartus: kartą su minusu, kartą su pliusu.

Diskriminantas: kodėl jo ženklas lemia sprendinių skaičių

Sprendinių formulė gaunama išskiriant dvinario kvadratą. Padalykime lygtį $ax^2 + bx + c = 0$ iš $a$ ir perkelkime laisvąjį narį į dešinę: $$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$ Prie abiejų pusių pridėkime $\frac{b^2}{4a^2}$. Kairėje gausime dvinario kvadratą, o dešinėje sudėsime trupmenas, suvedę jas į bendrą vardiklį $4a^2$: $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{D}{4a^2}$$ Skaitiklis $D = b^2 - 4ac$ vadinamas diskriminantu.

Vardiklis $4a^2$ visada teigiamas, o kairėje yra kvadratas, kuris negali būti neigiamas. Todėl viską lemia diskriminanto $D$ ženklas. Kai $D > 0$, dvinaris $x + \frac{b}{2a}$ lygus $\frac{\sqrt{D}}{2a}$ arba $-\frac{\sqrt{D}}{2a}$, ir gaunami du skirtingi sprendiniai $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Kai $D = 0$, abu sutampa: $x = -\frac{b}{2a}$. Kai $D < 0$, realiųjų sprendinių nėra, nes jokio realiojo skaičiaus kvadratas nėra neigiamas.

Tą patį rodo ir grafikas. Lygties sprendiniai – tai $x$ koordinatės tų taškų, kuriuose parabolė $y = ax^2 + bx + c$ kerta arba liečia $x$ ašį. Kai $D < 0$, parabolė su $x$ ašimi neturi nė vieno bendro taško. Plačiau apie parabolę – puslapyje kvadratinė funkcija.

Iš tų pačių formulių išplaukia Vieto teorema (kai $D \ge 0$). Sudėjus abu sprendinius, dėmenys $-\sqrt{D}$ ir $+\sqrt{D}$ vienas kitą panaikina: $\frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$. Sudauginus pagal kvadratų skirtumo formulę gaunama $\frac{b^2 - D}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$, nes $b^2 - D = 4ac$. Taigi sprendinių suma lygi $-\frac{b}{a}$, o sandauga lygi $\frac{c}{a}$.

Teoremą patogu naudoti dviem tikslais. Pirma, pagal ją per kelias sekundes patikrinsi rastus sprendinius. Antra, kai $a = 1$, pagal ją kartais atspėsi sveikuosius sprendinius be diskriminanto. Pavyzdžiui, lygties $x^2 - 9x + 20 = 0$ sprendinių suma lygi 9, o sandauga 20: tai skaičiai 4 ir 5.

Kaip spręsti kvadratines lygtis?

Bet kurią kvadratinę lygtį patogu spręsti ta pačia tvarka. Pirmieji žingsniai užtrunka kelias sekundes, bet praleidus juos lengviausia suklysti. Kai reikia pateikti visą sprendimą, svarbu ne tik atsakymas: užrašyk, ką pažymėjai raide, kaip sudarei lygtį, kaip ją išsprendei ir kodėl atmetei netinkamą sprendinį.

• Suvesk lygtį į pavidalą $ax^2 + bx + c = 0$ ir užsirašyk $a$, $b$, $c$ su ženklais.
• Supaprastink: jei visi koeficientai dalijasi iš to paties skaičiaus, padalyk iš jo; jei $a < 0$, padaugink abi puses iš $-1$; jei yra trupmenų, padaugink iš bendrojo vardiklio.
• Jei lygtis nepilnoji, spręsk be diskriminanto: iškelk $x$ prieš skliaustus arba suvesk lygtį į pavidalą $x^2 = d$.
• Jei $a = 1$, o koeficientai nedideli sveikieji skaičiai, pabandyk sprendinius atspėti pagal Vieto teoremą.
• Kitu atveju apskaičiuok $D = b^2 - 4ac$. Jei $D < 0$, atsakymas – sprendinių nėra. Jei $D \ge 0$, taikyk sprendinių formulę.
• Patikrink: įrašyk sprendinį į pradinę lygtį arba palygink sprendinių sumą ir sandaugą su $-\frac{b}{a}$ ir $\frac{c}{a}$.

• Lygčių sistemos Sistemos, kuriose viena lygtis tiesinė, o kita kvadratinė.
• Racionaliosios lygtys Lygtys su nežinomuoju vardiklyje, kurios dažnai virsta kvadratinėmis.
• Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys Bikvadratinės lygtys ir keitinys, kuris jas paverčia kvadratinėmis.

Kvadratinės lygtys su parametru

Parametras – tai raidė, žyminti skaičių, kurio reikšmė iš anksto nežinoma, pavyzdžiui, $m$ lygtyje $5x^2 + 10x + m = 0$. Gali būti klausiama, su kuriomis parametro reikšmėmis lygtis turi du sprendinius, vieną ar nė vieno. Arba duotas vienas sprendinys, o reikia rasti parametrą ir kitą sprendinį.

Pirmojo tipo uždaviniai sprendžiami per diskriminantą: užrašyk $a$, $b$, $c$, išreikšk $D$ parametru ir spręsk sąlygą $D > 0$, $D = 0$ arba $D < 0$. Kai parametras yra prie $x^2$, pirmiausia atskirai išnagrinėk atvejį, kai vyresnysis koeficientas lygus nuliui: tada lygtis ne kvadratinė, o tiesinė, ir diskriminanto formulė jai netinka. Kai parametras yra koeficiente $b$, diskriminante jis pakeliamas kvadratu, ir sąlyga $D > 0$ virsta kvadratine nelygybe. Kaip tokias spręsti, aiškinama puslapyje apie kvadratines nelygybes (nuoroda žemiau).

Antrojo tipo uždaviniuose įrašyk duotą sprendinį į lygtį ir rask parametrą. Kitą sprendinį rasi išsprendęs gautą lygtį, o greičiausiai – pagal Vieto teoremą.

• Kvadratinės nelygybės Kai sąlyga D > 0 virsta nelygybe: grafinis būdas ir intervalų metodas.

Dažnos klaidos sprendžiant kvadratines lygtis

Šios klaidos smulkios, bet dėl kiekvienos atsakymas tampa neteisingas. Prieš rašydamas atsakymą, peržvelk sąrašą.

• Nepilnosios lygties, pavyzdžiui, $6x^2 = 15x$, abi pusės padalijamos iš $x$, ir prarandamas sprendinys $x = 0$. Iš nežinomojo dalyti negalima, nes jis gali būti lygus nuliui. Reikia perkelti visus narius į vieną pusę ir iškelti bendrą dauginamąjį: $6x^2 - 15x = 3x(2x - 5) = 0$.
• Iš $x^2 = d$ užrašomas tik teigiamas sprendinys. Kai $d > 0$, sprendiniai du: $\sqrt{d}$ ir $-\sqrt{d}$.
• Klaidingai nustatomas koeficiento ženklas arba neigiamas skaičius keliamas kvadratu be skliaustų. Lygtyje $x^2 - 3x - 28 = 0$ koeficientas $b = -3$, todėl $-b = 3$, o $b^2 = (-3)^2 = 9$, ne $-9$.
• Iš $2a$ padalijama tik šaknis, o $-b$ paliekamas nepadalytas. Vardiklis $2a$ dalija visą skaitiklį $-b \pm \sqrt{D}$.
• Formulė taikoma, nors ne visi nariai perkelti į vieną pusę. Lygtyje $x^2 = 4x + 5$ koeficientai yra ne $b = 4$ ir $c = 5$: perkėlus gaunama $x^2 - 4x - 5 = 0$, todėl $b = -4$, $c = -5$.
• Gavus $D < 0$, rašoma, kad sprendinys lygus nuliui. Teisingas atsakymas – realiųjų sprendinių nėra.

Kvadratinės lygtys NMPP 8 ir PUPP užduotyse

NMPP 8 – nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas 8 klasėje, PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. Žemiau – ką apie kvadratines lygtis sako bendroji programa ir šių patikrinimų aprašai.

• NMPP 8 – tikrinama: nepilnosios kvadratinės lygtys (8 klasės turinys). Matematikos NMPP aštuntokams vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Kvadratinių lygčių šiame sąraše nėra, todėl nepilnosios lygtys gali būti per patikrinimą. Diskriminanto ir sprendinių formulių mokomasi tik 9 klasėje, todėl per NMPP 8 jų neprireiks.
• NMPP 8 priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Formulių rinkinio tarp jų nebuvo, todėl nepilnųjų lygčių sprendimo būdus reikia mokėti mintinai. Daugiau – puslapyje matematikos NMPP 8 klasei.
• PUPP – tikrinama. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d.; patikrinimo būdas – elektroninis. Sprendinių formulė, diskriminantas ir uždaviniai, kuriuose reikia sudaryti kvadratinę lygtį, yra 9 klasės srities „Modeliai ir sąryšiai“ turinys. Pagal bendrąją programą 2027 m. PUPP sričių dalys tokios: modeliai ir sąryšiai – 55 %, geometrija ir matavimai – 40 %, duomenys ir tikimybės – 5 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. 9 klasės turinio šis apribojimas neliečia, todėl kvadratinės lygtys gali būti per PUPP.
• PUPP – naudojama: nepilnosios kvadratinės lygtys (8 klasės turinys). Jų prireikia sprendžiant 9 klasės uždavinius, pavyzdžiui, ieškant funkcijos $y = ax^2 + bx$ nulių – $x$ reikšmių, su kuriomis $y = 0$.
• Formulių lapas (2026 m. tvarka): oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jame yra diskriminanto, sprendinių ir kvadratinio trinario skaidymo formulės. Nepilnąsias lygtis galima išspręsti ir rinkinio formule, bet greičiau – iškėlus $x$ prieš skliaustus arba ištraukus šaknį. Vieto teoremos bendrojoje programoje nėra, todėl per PUPP jos mokėti nebūtina: bet kurią lygtį išsprendžia rinkinio formulė. Vieto teorema tik padeda greitai pasitikrinti sprendinius, o kai $a = 1$, kartais ir juos atspėti. Visas rinkinys su paaiškinimais – puslapyje „PUPP formulių rinkinys“ (nuoroda žemiau).
• PUPP priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Skaičiuotuvu patogu apskaičiuoti diskriminantą ir jo šaknį, kai skaičiai dideli. Jei šaknis netraukiama tiksliai, atsakymą apvalink tik taip, kaip nurodyta sąlygoje.
• Patikrinimų datos čia – 2027 m., o aprašų duomenys (kas neįtraukiama, formulių lapas, priemonės) – pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. aprašai dar nepatvirtinti: 2026 m. spalio 1 d. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) jų projektus pateikė viešam derinimui.

• PUPP formulių rinkinys Visos rinkinio formulės su paaiškinimais.
• Matematikos PUPP Kada vyksta, kaip vertinama ir kaip pasiruošti.
• PUPP užduotys Uždaviniai pasiruošti patikrinimui.
• NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF) 2026 m. tvarka; formulių rinkinys yra aprašo priede.

Kvadratinės lygtys: uždaviniai su atsakymais

Dvylika uždavinių suskirstyta pagal sunkumą. Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Tekstiniuose uždaviniuose patikrink, ar sprendinys tinka pagal prasmę: ilgis, laikas ar kainos daugiklis negali būti neigiamas.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni