Kvadratinė šaknis, kubinė ir n-ojo laipsnio šaknis

Kas yra kvadratinė šaknis?

Kvadratinė šaknis iš skaičiaus $a$ žymima $\sqrt{a}$. Skaičius po šaknies ženklu vadinamas pošakniu, o šaknies reikšmės radimas – šaknies traukimu. Pavyzdžiui, $\sqrt{81} = 9$, nes $9 \ge 0$ ir $9^2 = 81$.

Kodėl tik neneigiamas skaičius? Kvadratu pakėlus ir $9$, ir $-9$, gaunama $81$. Kad ženklas $\sqrt{81}$ reikštų vieną skaičių, susitarta imti neneigiamąjį. Todėl $\sqrt{81} = 9$, o ne $\pm 9$. Du atsakymai atsiranda tik sprendžiant lygtį $x^2 = 81$: jos sprendiniai yra $x = 9$ ir $x = -9$. Tokias lygtis toliau nagrinėja tema kvadratinės lygtys.

Šaknis ištraukiama tiksliai, kai pošaknis yra kokio nors sveikojo skaičiaus ar trupmenos kvadratas. Kai šaknis iš dešimtainės trupmenos ištraukiama tiksliai, pošaknyje skaitmenų po kablelio yra dvigubai daugiau nei šaknyje: $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$. Paprastosios trupmenos šaknis lygi skaitiklio šakniai, padalytai iš vardiklio šaknies: $\sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{7}{8}$. Kaip mišrųjį skaičių paversti trupmena, primins tema trupmenos.

Kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus

Iš neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukti negalima. Bet kurio skaičiaus kvadratas yra teigiamas arba lygus nuliui, todėl nėra skaičiaus, kurio kvadratas būtų $-36$. Reiškinys $\sqrt{-36}$ neturi prasmės.

Nesupainiok jo su $-\sqrt{36}$. Čia minusas stovi prieš šaknį: pirmiausia traukiame šaknį, paskui keičiame ženklą, todėl $-\sqrt{36} = -6$. O $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6$, nes pošaknyje jau yra teigiamas skaičius.

Paskutinis pavyzdys rodo bendrą taisyklę $\sqrt{a^2} = |a|$: šaknis iš kvadrato lygi skaičiaus moduliui, o ne pačiam skaičiui. Kai $a \ge 0$, modulis lygus pačiam skaičiui. Kai $a < 0$, modulis lygus priešingam skaičiui: $\sqrt{(-2{,}5)^2} = 2{,}5$, o ne $-2{,}5$. Šios taisyklės vėl prireiks 11 klasėje, o A kurse – ir su raidiniais reiškiniais.

Kubinė šaknis

Kubinė šaknis iš skaičiaus $a$ – tai skaičius, kurį pakėlus kubu gaunamas $a$. Ji žymima $\sqrt[3]{a}$, o mažas trejetas vadinamas šaknies laipsniu. Pavyzdžiui, $\sqrt[3]{512} = 8$, nes $8^3 = 512$, o $\sqrt[3]{-64} = -4$, nes $(-4)^3 = -64$.

Kubinė šaknis apibrėžta bet kuriam skaičiui, o jos ženklas sutampa su pošaknio ženklu. Trupmenoms galioja ta pati taisyklė kaip kvadratinei šakniai: $\sqrt[3]{\frac{343}{1000}} = \frac{7}{10}$. Verta žinoti skaičių nuo 1 iki 10 kubus: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 ir 1000.

Kvadratinė šaknis iš 2

Kai natūralusis skaičius nėra jokio natūraliojo skaičiaus kvadratas, jo šaknis yra iracionalusis skaičius. Tokio skaičiaus negalima užrašyti trupmena $\frac{m}{n}$, kurios $m$ ir $n$ – sveikieji skaičiai. Jo skaitmenys po kablelio niekada nesibaigia ir nesudaro besikartojančio periodo. Žinomiausias pavyzdys yra $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

Tašką $\sqrt{2}$ skaičių tiesėje galima rasti brėžiant. Kvadrato, kurio kraštinė lygi 1, įstrižainė pagal Pitagoro teoremą lygi $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Skriestuvu perkėlus įstrižainę ant skaičių tiesės nuo nulio, gaunamas taškas $\sqrt{2}$.

Be skaičiuotuvo šaknį galima įvertinti. Rask du gretimus sveikuosius skaičius: vieno kvadratas mažesnis už pošaknį, kito – didesnis. Didesnio neneigiamo skaičiaus šaknis yra didesnė, todėl iš $1^2 < 2 < 2^2$ išplaukia $1 < \sqrt{2} < 2$. Tikslumą galima didinti: $1{,}4^2 = 1{,}96$, o $1{,}5^2 = 2{,}25$, todėl $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$.

• Skaičių aibės ir modulis Racionalieji, iracionalieji ir realieji skaičiai, skaičiaus modulis.

Šaknų savybės

Šaknis galima sudauginti ar padalyti po vienu šaknies ženklu, kai jų laipsnis vienodas. Pavyzdžiui, $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$ ir $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$. Kodėl $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, kai $a \ge 0$ ir $b \ge 0$? Pakelkime kairiąją pusę kvadratu: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = ab$. Be to, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus $ab$, pagal apibrėžimą ir yra $\sqrt{ab}$.

Sudėčiai tokios savybės nėra: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$, o $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$. Sutraukti į vieną narį galima tik panašiąsias šaknis – tas, kurių pošakniai vienodi: $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$, kaip $2x + 3x = 5x$.

Iš sandaugos savybės kyla du dažni veiksmai. Daugiklio iškėlimas prieš šaknies ženklą: pošaknį išskaidome taip, kad vienas daugiklis būtų tikslus kvadratas, pavyzdžiui, $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$. Įkėlimas po šaknimi yra atvirkštinis veiksmas: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Po šaknimi įkeliamas tik teigiamas daugiklis, o minusas lieka prieš šaknį: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$.

Sandaugos savybės sąlygos $a \ge 0$ ir $b \ge 0$ būtinos: be jų $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$ „virstų“ $\sqrt{36} = 6$, nors kairioji pusė neturi prasmės.

n-ojo laipsnio šaknis ir racionalusis rodiklis (11 klasė)

Tegul $n$ – natūralusis skaičius, didesnis už 1. $n$-ojo laipsnio šaknis iš skaičiaus $a$ – tai skaičius, kurį pakėlus $n$-uoju laipsniu gaunamas $a$. Pavyzdžiui, $\sqrt[4]{625} = 5$, nes $5^4 = 625$. Kai $n$ lyginis (2, 4, 6…), šaknis traukiama tik iš $a \ge 0$ ir pati yra neneigiama, kaip kvadratinė. Todėl $\sqrt[4]{-16}$ neturi prasmės. Kai $n$ nelyginis (3, 5…), šaknį galima traukti iš bet kurio skaičiaus, kaip kubinę: $\sqrt[5]{-32} = -2$, nes $(-2)^5 = -32$.

Laipsnis su trupmeniniu (racionaliuoju) rodikliu – tai šaknis, užrašyta laipsniu: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, kai $a > 0$. Rodiklio vardiklis $n$ tampa šaknies laipsniu, o skaitiklis $m$ – pošaknio laipsnio rodikliu. Pavyzdžiui, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$. Kodėl taip? Pagal taisyklę $(a^p)^q = a^{pq}$ gauname $\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n = a^{\frac{m}{n} \cdot n} = a^m$ (šią ir kitas taisykles primins tema laipsnių savybės). Vadinasi, $a^{\frac{m}{n}}$ yra $n$-ojo laipsnio šaknis iš $a^m$. Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį skaičių, kaip ir sveikųjų rodiklių atveju: $8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$.

Kodėl reikia $a > 0$? Tą pačią trupmeną galima užrašyti įvairiai: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Jei leistume neigiamą pagrindą, $(-64)^{\frac{1}{3}}$ ir $(-64)^{\frac{2}{6}}$ turėtų būti lygūs. Tačiau pirmasis būtų $\sqrt[3]{-64} = -4$, o antrasis $\sqrt[6]{(-64)^2} = \sqrt[6]{4096} = 4$. Todėl laipsnis su trupmeniniu rodikliu apibrėžiamas tik teigiamam pagrindui.

• Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys Lygtys, kuriose nežinomasis yra po šaknimi.

Šaknies naikinimas trupmenos vardiklyje (11 klasė)

Trupmeną su šaknimi vardiklyje, pavyzdžiui, $\frac{9}{\sqrt{3}}$, įprasta perrašyti taip, kad vardiklyje neliktų šaknies. Tai vadinama iracionalumo naikinimu vardiklyje. Skaitiklis ir vardiklis dauginami iš to paties reiškinio, todėl trupmenos reikšmė nepasikeičia.

Kai vardiklyje yra viena šaknis, dauginame iš jos: $$\frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$

Kai vardiklyje yra suma ar skirtumas, pavyzdžiui, $\sqrt{a} - b$, dauginame iš jungtinio reiškinio $\sqrt{a} + b$. Jungtinis reiškinys – tie patys du nariai su priešingu ženklu tarp jų. Kvadratų skirtumo formulė $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ (žr. temą daugianariai) panaikina šaknį: $(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2$. Pavyzdžiui, $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = 7 - 4 = 3$. A kurse taip pat naikinamos šaknys vardikliuose $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ ir $\sqrt[3]{a}$.

Dažnos klaidos su šaknimis

Daugumą šių klaidų galima pagauti pačiam: įstatyk paprastus skaičius ir palygink abi lygybės puses.

• Šaknis iš sumos ar skirtumo išskaidoma kaip iš sandaugos. $\sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$, o ne $10 - 6 = 4$.
• Pamirštamas modulis: $\sqrt{x^2} = x$ teisinga tik kai $x \ge 0$. Bendruoju atveju $\sqrt{x^2} = |x|$.
• Laipsnis su trupmeniniu rodikliu skaičiuojamas daugyba. $64^{\frac{2}{3}}$ nėra $64 \cdot \frac{2}{3}$; teisingai $\left(\sqrt[3]{64}\right)^2 = 4^2 = 16$.
• Naikinant šaknį vardiklyje, iš reiškinio dauginamas tik vardiklis. Tada pasikeičia trupmenos reikšmė: skaitiklį reikia dauginti iš to paties reiškinio.

Šaknys NMPP, PUPP ir VBE užduotyse

Datos – 2027 metų. Kas gali būti per patikrinimą, kokios priemonės ir formulių lapai leidžiami, aprašyta pagal 2026 m. tvarką, nes nauji užduočių aprašai dar tik derinami. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) jų projektus paskelbė: NMPP ir PUPP – 2026 m. spalio 1 d., VBE – 2026 m. spalio 7 d.

• NMPP 8 – šaknų gali būti. Matematikos NMPP (nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas) aštuntokams vyks 2027 m. kovo 12 d. Kvadratinė ir kubinė šaknis – 8 klasės tema. Pagal 2026 m. NMPP 8 aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Šaknų tarp neįtrauktų temų nėra, todėl jų gali būti per patikrinimą.
• NMPP 8 – be skaičiuotuvo. 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Todėl šaknį įvertink tarp gretimų sveikųjų skaičių arba palik tikslią, pavyzdžiui, $3\sqrt{6}$. Daugiau apie šį patikrinimą – puslapyje matematikos NMPP 8 klasei.
• PUPP – šaknų prireiks, jų savybės yra formulių lape. Matematikos PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas) vyks 2027 m. gegužės 12 d. Šaknų išmokstama 8 klasėje, o 9–10 klasėse jomis naudojamasi sprendžiant kvadratines lygtis, skaičiuojant trikampių kraštines ir trigonometrijoje. Pagal 2026 m. tvarką oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jame yra kvadratinių ir kubinių šaknų sandaugos ir dalmens savybės; plačiau – PUPP formulių rinkinys. 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas).
• VBE – šaknų gali būti abiejose dalyse. Matematikos VBE (valstybinis brandos egzaminas) pagal 2026 m. tvarką laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Matematikos bendrojoje programoje parašyta: pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Abiejų kursų mokiniai III gimnazijos (11) klasėje mokosi $n$-ojo laipsnio šaknies, laipsnio su trupmeniniu rodikliu ir šaknies naikinimo vardiklyje. Todėl šių uždavinių gali būti ir pirmojoje, ir antrojoje dalyje.
• VBE formulių lapas ir priemonės. Pagal 2026 m. tvarką oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Šaknų savybės ir formulė $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ yra I skyriuje (B). 2026 m. priemonės: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Plačiau – VBE formulių rinkiniai, VBE pirmoji dalis ir antroji dalis.

• NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF) 2026 m. aprašas: kas neįtraukiama ir kokios priemonės leidžiamos.
• NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF) 2026 m. aprašas su formulių rinkiniu priede.
• NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) 2026 m. aprašas; formulių rinkinys – 1 priede.
• Matematikos PUPP Data, vertinimas ir pasiruošimas.

Šaknys: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai be žymos – 8 klasės, juos spręsk be skaičiuotuvo. Uždaviniai su žyma „11 klasė“ skirti vyresniesiems. Daugiau 8 klasės uždavinių rasi puslapyje užduotys 8 klasei.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni