Matematikos užduotys 8 klasei: 5–8 klasės kartojimas be skaičiuotuvo

Atsakymas: $8\frac{1}{4}$ (arba $8{,}25$).

Neigiamas rodiklis apverčia trupmeną: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$, o $4^{-1} = \frac{1}{4}$. Bet kurio nelygaus nuliui skaičiaus nulinis laipsnis lygus 1. Taigi $9 - 1 + \frac{1}{4} = 8\frac{1}{4}$.

Atsakymas: 1–B, 2–C, 3–A.

Kadangi $25 < 30 < 36$, tai $5 < \sqrt{30} < 6$. Kadangi $49 < 60 < 64$, tai $7 < \sqrt{60} < 8$. Kubinei šakniai ieškok kubų: $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, o $64 < 100 < 125$, todėl $4 < \sqrt[3]{100} < 5$.

Atsakymas: $-7 < 6{,}6 < \frac{20}{3} < \sqrt{45}$.

Pirmiausia atskirk neigiamą skaičių: $-7$ eilėje bus pirmas. Likusius tris įvertink: $6{,}6$ ir $\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ yra tarp 6 ir 7, o $\sqrt{45}$ – taip pat, nes $36 < 45 < 49$. Kad nereikėtų traukti šaknies, lygink visų trijų kvadratus: $6{,}6^2 = 43{,}56$, $\left(\frac{20}{3}\right)^2 = \frac{400}{9} = 44\frac{4}{9}$, $(\sqrt{45})^2 = 45$. Teigiami skaičiai išsidėsto ta pačia tvarka kaip jų kvadratai.

Atsakymas: C) $4{,}88 \cdot 10^{6}$.

Daugiklius 4,5 ir 3,8 sudėti galima tik tada, kai dešimties laipsniai vienodi. $3{,}8 \cdot 10^{5} = 0{,}38 \cdot 10^{6}$, todėl $4{,}5 \cdot 10^{6} + 0{,}38 \cdot 10^{6} = 4{,}88 \cdot 10^{6}$. Patikrink paprastais skaičiais: $4\,500\,000 + 380\,000 = 4\,880\,000$. Variantuose A ir D sudėti tik daugikliai 4,5 ir 3,8, o B – dar ir sudėti laipsnių rodikliai.

Atsakymas: $4$.

Kvadratines šaknis galima sudauginti po vienu šaknies ženklu: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Todėl $\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12$ ir $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$. Taigi $12 - 8 = 4$.

Atsakymas: 51 euras; galutinė kaina 2 % didesnė už pradinę.

Po padidinimo bilietas kainavo $50 \cdot 1{,}2 = 60$ eurų. Antrasis pokytis skaičiuojamas nuo 60 eurų: $60 \cdot 0{,}85 = 51$ euras. Palygink su pradine kaina: $\frac{51}{50} = 1{,}02$, t. y. kaina padidėjo 2 %. Atimti procentų ($20 - 15 = 5$) negalima, nes jie skaičiuojami nuo skirtingų sumų. Tą patį gausi ir iš karto: $1{,}2 \cdot 0{,}85 = 1{,}02$.

Atsakymas: 10.

Kadangi $9 < 10 < 16$, tai $3 < \sqrt{10} < 4$, todėl $-4 < -\sqrt{10} < -3$. Kadangi $36 < 40 < 49$, tai $6 < \sqrt{40} < 7$. Tarp šių skaičių yra sveikieji skaičiai nuo $-3$ iki $6$: trys neigiami, nulis ir šeši teigiami, iš viso 10.

Atsakymas: $x = 7$.

Padaugink abi puses iš 12: tai mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš 4, ir iš 6. Kadangi $12 : 4 = 3$ ir $12 : 6 = 2$, gauni $3(x - 1) = 2(x + 2)$. Atskliausk: $3x - 3 = 2x + 4$, todėl $x = 7$. Patikrinimas: $\frac{7 - 1}{4} = 1{,}5$ ir $\frac{7 + 2}{6} = 1{,}5$.

Atsakymas: D) $6$.

Perkelk $-7$ į dešinę: $2x \le 10$, todėl $x \le 5$. Skaičius 5 tinka, nes nelygybė negriežta. Netinka tik 6: $2 \cdot 6 - 7 = 5 > 3$.

Atsakymas: $x = 2$, $y = -1$.

Pirmąją lygtį padaugink iš 2, antrąją – iš 3, kad prie $y$ būtų priešingi skaičiai: $4x + 6y = 2$ ir $15x - 6y = 36$. Sudėk lygtis, ir $y$ išnyks: $19x = 38$, $x = 2$. Įstatyk į pirmąją lygtį: $4 + 3y = 1$, $y = -1$. Patikrink antrojoje: $5 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 12$.

Atsakymas: a) $x_1 = 0$, $x_2 = 5$; b) $x_1 = -1{,}5$, $x_2 = 1{,}5$.

a) Iškelk $x$ prieš skliaustus: $x(x - 5) = 0$. Sandauga lygi nuliui, kai bent vienas dauginamasis lygus nuliui: $x = 0$ arba $x - 5 = 0$, t. y. $x = 5$. Abiejų pusių iš $x$ nedalyk: taip prarastum sprendinį $x = 0$. b) Prie abiejų pusių pridėk 9 ir padalyk iš 4: $x^2 = \frac{9}{4}$. Šią lygtį tenkina du skaičiai: $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$ ir $x = -\frac{3}{2} = -1{,}5$. Nepamiršk neigiamojo. Tą patį gausi pagal kvadratų skirtumo formulę: $(2x - 3)(2x + 3) = 0$.

Atsakymas: A) $(3m - 5n)^2$.

Čia $9m^2 = (3m)^2$, $25n^2 = (5n)^2$, o vidurinis narys $30mn = 2 \cdot 3m \cdot 5n$ yra su minusu. Tai skirtumo kvadrato formulė $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, kai $a = 3m$, $b = 5n$. Variantas C duotų $+30mn$, o D – kvadratų skirtumą $9m^2 - 25n^2$.

Atsakymas: $x \in (-4; 4]$; sistemą tenkina 8 sveikieji skaičiai.

Pirmoji nelygybė: $5x - 5 \le 2x + 7$, $3x \le 12$, $x \le 4$. Antroji: $\frac{x}{2} > -2$, $x > -4$. Sistemos sprendiniai – abiejų nelygybių sprendinių bendroji dalis: $-4 < x \le 4$, t. y. $(-4; 4]$. Skaičius 4 įeina, nes pirmoji nelygybė negriežta, o $-4$ neįeina, nes antroji griežta. Sveikieji sprendiniai: $-3, -2, \ldots, 4$, iš viso 8.

Atsakymas: Po 35 min.

Visas darbas – tai $4 \cdot 45 = 180$ vienos virėjos darbo minučių. Per pirmąsias 15 min keturios virėjos atliko $4 \cdot 15 = 60$ tokių minučių darbo, liko $120$. Šešios virėjos likusį darbą atliks per $120 : 6 = 20$ min. Iš viso $15 + 20 = 35$ min. Tai atvirkštinis proporcingumas: kuo daugiau virėjų, tuo mažiau laiko reikia tam pačiam darbui.

Atsakymas: Du kampai po $45^\circ$ ir du po $135^\circ$.

Lygiagretainio priešingi kampai lygūs, todėl skirtingo didumo kampai yra gretimi. Gretimų kampų suma lygi $180^\circ$: $x + 3x = 180^\circ$, $x = 45^\circ$, o $3x = 135^\circ$.

Atsakymas: 17 cm.

Kitą pagrindą pažymėk $b$. Trapecijos vidurio linija lygi pagrindų pusinei sumai: $\frac{9 + b}{2} = 13$. Tada $9 + b = 26$ ir $b = 17$ cm.

Atsakymas: C) 9, 40, 41.

Pagal teoremą, atvirkštinę Pitagoro teoremai, trikampis yra statusis, jei ilgiausios kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai. C: $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$. Kitur lygybė negalioja: A) $36 + 49 = 85 \ne 81$; B) $100 + 576 = 676 \ne 625$; D) $25 + 121 = 146 \ne 144$.

Atsakymas: 9 cm.

Stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma lygi $90^\circ$, todėl $\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Statinis $BC$ yra prieš kampą $A$. Statinis prieš $30^\circ$ kampą lygus pusei įžambinės: $BC = 18 : 2 = 9$ cm.

Atsakymas: B) $0{,}36\pi$ m².

Spindulys lygus pusei skersmens: $r = 0{,}6$ m. Skritulio plotas $S = \pi r^2 = \pi \cdot 0{,}6^2 = 0{,}36\pi$ (m²). Variantas C gaunamas į formulę įstačius skersmenį, o A – tai apskritimo ilgis $2\pi r = 1{,}2\pi$ m, ne plotas.

Atsakymas: 36 m².

Iš trumpesniojo pagrindo galų nuleisk aukštines į ilgesnįjį pagrindą. Jos atkerta du vienodus stačiuosius trikampius, kurių trumpesnysis statinis lygus $\frac{12 - 6}{2} = 3$ m, o įžambinė – šoninė kraštinė, 5 m. Pagal Pitagoro teoremą aukštinė $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ m. Plotas $S = \frac{12 + 6}{2} \cdot 4 = 36$ m².

Atsakymas: 192 cm².

Stačiakampio plotas $16 \cdot 9 = 144$ cm². Trikampio pagrindas $CE = AB = 16$ cm. Lygiašonio trikampio aukštinė, nuleista į pagrindą, dalija jį pusiau, todėl gaunamas statusis trikampis su įžambine 10 cm ir statiniu 8 cm. Aukštinė $h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$ cm. Trikampio plotas $\frac{16 \cdot 6}{2} = 48$ cm², o viso penkiakampio – $144 + 48 = 192$ cm².

Atsakymas: 1–C, 2–B, 3–A.

Vidurkis: $(14 + 9 + 17 + 9 + 11) : 5 = 60 : 5 = 12$. Surikiuok duomenis: 9, 9, 11, 14, 17. Viduryje yra 11, tai mediana. Dažniausiai pasikartoja 9, tai moda.

Atsakymas: B) 50.

Salotų sektoriaus kampas $75^\circ$, o viso skritulio – $360^\circ$. Salotų dalis $\frac{75}{360} = \frac{5}{24}$, todėl $240 \cdot \frac{5}{24} = 50$. Variantas A – tai kampo didumas, ne pietų skaičius.

Atsakymas: $\frac{2}{3}$.

Lentelėje $3 \cdot 4 = 12$ langelių, ir visos baigtys vienodai galimos. Sandauga nelyginė tik tada, kai abu skaičiai nelyginiai: pirmajame sukutyje tai 1 ir 3, antrajame – taip pat 1 ir 3, todėl tokių langelių $2 \cdot 2 = 4$. Lyginių sandaugų $12 - 4 = 8$. Tikimybė $P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.