Procentai: kaip skaičiuoti dalį, padidėjimą ir sumažėjimą

Procentas – tai šimtoji visumos dalis: 1 % yra $\frac{1}{100}$ visumos, o 35 % reiškia 35 dalis iš kiekvieno šimto. Procentais skaičiuojamos nuolaidos, kainų pokyčiai, apklausų rezultatai, druskos ar cukraus dalis tirpale. Procentų reikia ir daugybėje tekstinių uždavinių. Išmoksi rasti dalį, procentą ir visumą, apskaičiuoti pokytį, versti trupmenas procentais ir spręsti 10 klasės džiovinimo bei mišinių uždavinius.

Kas yra procentas: visuma, dalis ir pokytis

Beveik visuose procentų uždaviniuose yra trys dydžiai: visuma (tai, kas laikoma 100 %), dalis ir procentų skaičius. Pavyzdžiui, klasėje yra 20 mokinių (visuma), 5 iš jų lanko šachmatus (dalis), ir tai sudaro 25 % (procentų skaičius). Jei žinai bet kuriuos du, trečią visada gali rasti. Svarbiausia kiekviename uždavinyje teisingai nustatyti, kas yra visuma: nuo jos priklauso, ką iš ko dalysi.

Kai sakome „30 % klasės mokinių“, turime omenyje 30 iš kiekvieno šimto, t. y. $\frac{30}{100} = 0{,}3$ visos klasės. Todėl bet kurį procentų skaičių galima paversti dešimtaine trupmena: padalyti iš 100. Pavyzdžiui, 7 % yra 0,07, o 125 % yra 1,25.

Antroji svarbi idėja – pokytis. Padidinti kainą 20 % reiškia padauginti ją iš 1,2, nes nauja kaina sudaro $100\,\% + 20\,\% = 120\,\%$ senosios. Sumažinti 20 % reiškia padauginti iš 0,8, nes lieka 80 %. Kai pokyčiai vyksta vienas po kito, šie daugikliai dauginami tarpusavyje. Tai paaiškina ir akcijų „triukus“, ir sudėtinius procentus.

Procentų formulės ir kada jas taikyti

Visos pagrindinės procentų formulės kyla iš vienos lygybės: dalis lygi visumai, padaugintai iš $\frac{p}{100}$ . Pavyzdžiui, 30 % nuo 50 yra $50 \cdot \frac{30}{100} = 15$ . Kai ieškai dalies, daugini iš $\frac{p}{100}$ , o kai ieškai visumos – daliji iš šios trupmenos. Todėl čia praverčia trupmenų daugyba ir dalyba.

Formulė	Kada taikyti
$p\,\% = \frac{p}{100}$	Kai procentus reikia paversti dešimtainiu skaičiumi ar trupmena: 6 % yra 0,06.Išmok mintinai
$\text{dalis} = \text{visuma} \cdot \frac{p}{100}$	Kai žinai visumą ir procentą, o klausiama, kiek tai sudaro.Išmok mintinai
$p = \frac{\text{dalis}}{\text{visuma}} \cdot 100\,\%$	Kai klausiama, kiek procentų viena reikšmė sudaro nuo kitos.Išmok mintinai
$\text{visuma} = \text{dalis} : \frac{p}{100}$	Kai žinai dalį ir kiek procentų ji sudaro, o nežinoma visuma.Išmok mintinai
$\begin{gathered}\text{nauja reikšmė} = \\ \text{pradinė reikšmė} \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\end{gathered}$	Kai reikšmė vieną kartą padidėja arba sumažėja $p$ procentų.Išmok mintinai
$S_n = S_0 \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$	Kai tas pats procentinis pokytis kartojasi $n$ kartų iš eilės ir kaskart skaičiuojamas nuo naujos reikšmės.Yra PUPP formulių lape

Čia $p$ yra procentų skaičius. Visuma – dydis, kuris laikomas 100 %: visa kaina, visas mokinių skaičius, visa atminties talpa. Dalis – ta visumos dalis, apie kurią klausiama.
Ženklas $\pm$ reiškia „pliusas arba minusas“. Pokyčio formulėje pliusas rašomas, kai reikšmė didėja, minusas – kai mažėja. Daugiklis $1 \pm \frac{p}{100}$ vadinamas pokyčio daugikliu: padidėjimui 15 % jis lygus 1,15, sumažėjimui 15 % – 0,85.
Sudėtinių procentų formulėje $S_0$ yra pradinė reikšmė, $p$ – procentas, kuriuo ji kaskart pakinta, $n$ – kiek kartų pokytis pakartojamas, o $S_n$ – reikšmė po $n$ pokyčių. Pavyzdžiui, 100 eurų du kartus iš eilės padidinus po 10 %, gaunama $S_2 = 100 \cdot 1{,}1^2 = 121$ euras.

Kaip apskaičiuoti procentus?

Prieš skaičiuodamas atsakyk sau į du klausimus: kas čia yra visuma (100 %) ir ko klausiama? Procentų uždavinys klausia vieno iš trijų dalykų, ir kiekvienam tinka viena formulė. Gautą atsakymą įvertink apytiksliai: jei procentų mažiau nei 100, dalis turi būti mažesnė už visumą.

Kiek sudaro $p\,\%$ nuo skaičiaus? Ieškoma dalies: visumą padaugink iš $\frac{p}{100}$ . Pavyzdžiui, 35 % nuo 80 yra $80 \cdot 0{,}35 = 28$ . Tokį klausimą atpažinsi iš žodžių „… % nuo …“.
Kiek procentų vienas skaičius sudaro nuo kito? Ieškoma procento: dalį padalyk iš visumos ir padaugink iš 100 %. Pavyzdžiui, 27 nuo 90 sudaro $27 : 90 = 0{,}3$ , t. y. 30 %. Visuma yra skaičius, einantis po žodžio „nuo“.
Koks skaičius, jei žinoma jo dalis ir jos procentas? Ieškoma visumos: dalį padalyk iš $\frac{p}{100}$ . Pavyzdžiui, jei 12 sudaro 40 % skaičiaus, tas skaičius lygus $12 : 0{,}4 = 30$ .

Kiek procentų sudaro dalis ir kaip rasti visumą

a) Ugnės telefono atmintis yra 128 GB, iš jų nuotraukos užima 48 GB. Kiek procentų atminties užima nuotraukos? b) Jos brolio telefone nuotraukos užima 32 GB, ir tai sudaro 12,5 % visos atminties. Kokia brolio telefono atminties talpa?

a) Visuma – visa atmintis, 128 GB. Dalis – 48 GB. Dalijame dalį iš visumos: $48 : 128 = 0{,}375$ .
Paverčiame procentais, dauginame iš 100 %: $0{,}375 \cdot 100\,\% = 37{,}5\,\%$ .
b) Dabar žinome dalį (32 GB) ir jos procentą (12,5 %), o nežinoma visuma. Kadangi 12,5 % yra 0,125, galioja lygybė $\text{visuma} \cdot 0{,}125 = 32$ .
Randame visumą, padaliję dalį iš 0,125: $32 : 0{,}125 = 256$ (GB).
Patikriname: $256 \cdot 0{,}125 = 32$ . Sutampa.

Atsakymas: a) 37,5 %; b) 256 GB.

Kaip apskaičiuoti pokytį procentais?

Pokytis procentais rodo, kiek reikšmė pasikeitė, palyginti su pradine. Skirtumą tarp naujos ir senos reikšmės padalyk iš senos reikšmės ir padaugink iš 100 %: $\frac{\text{nauja} - \text{sena}}{\text{sena}} \cdot 100\,\%$ Teigiamas rezultatas reiškia padidėjimą, neigiamas – sumažėjimą.

Lyginama visada su tuo, kas buvo pradžioje. Kai kaina pakyla nuo 25 iki 32 eurų, skirtumas yra $32 - 25 = 7$ eurai. Kaina padidėja $7 : 25 = 0{,}28$ , t. y. 28 %. Kai kaina grįžta nuo 32 iki 25 eurų, skirtumas tas pats, bet dalijama jau iš 32: $7 : 32 \approx 0{,}219$ . Todėl sumažėjimas yra tik apie 21,9 %.

Pokyčio daugiklis sutrumpina skaičiavimą: padidėjimas 28 % reiškia daugiklį 1,28, o sumažėjimas 35 % – daugiklį 0,65. Ir atvirkščiai: jei reikšmė padauginta iš 0,92, ji sumažėjo 8 %, nes liko 92 %.

Kai pokyčiai vyksta vienas po kito, kiekvienas skaičiuojamas nuo jau pakitusios reikšmės. Todėl daugikliai dauginami, o procentai nesudedami. Jei tas pats pokytis kartojasi $n$ kartų, pradinė reikšmė $n$ kartų dauginama iš to paties daugiklio. Tai ir yra sudėtinių procentų formulė iš lentelės aukščiau.

Atskiras atvejis – kai pats dydis jau yra procentas. Tada skiriami procentiniai punktai ir procentai. Procentiniai punktai – tai paprastas dviejų procentų skirtumas. Procentai rodo pokytį, palyginti su pradine reikšme. Pavyzdžiui, tirpale buvo 15 % druskos, o tapo 21 %. Druskos dalis išaugo 6 procentiniais punktais ( $21 - 15 = 6$ ), bet 40 procentų ( $6 : 15 = 0{,}4$ ).

Kaina pakelta 25 %, paskui sumažinta 25 %

Belaidės ausinės kainavo 80 eurų. Rugsėjį parduotuvė jų kainą padidino 25 %, o lapkritį, per akciją, naująją kainą sumažino 25 %. Kokia galutinė kaina? Ar ji sutampa su pradine?

Padidinus 25 %, nauja kaina sudaro 125 % senosios, todėl dauginame iš 1,25: $80 \cdot 1{,}25 = 100$ (eurų).
Akcija skaičiuojama nuo tuo metu galiojusios kainos, t. y. nuo 100 eurų, o ne nuo 80. Sumažinus 25 %, lieka 75 %: $100 \cdot 0{,}75 = 75$ (eurų).
Abu pokyčius galima sujungti į vieną daugiklį: $1{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}9375$ . Vadinasi, galutinė kaina sudaro 93,75 % pradinės: $80 \cdot 0{,}9375 = 75$ .
Pokytis, palyginti su pradine kaina: $\frac{75 - 80}{80} \cdot 100\,\% = -6{,}25\,\%$

Atsakymas: galutinė kaina 75 eurai. Ji 6,25 % mažesnė už pradinę, nes antrasis pokytis skaičiuojamas nuo didesnės sumos.

Kaip trupmeną paversti procentais?

Trupmeną paversti procentais lengviausia per dešimtainį skaičių: padalyk skaitiklį iš vardiklio ir rezultatą padaugink iš 100 %. Pavyzdžiui, $\frac{7}{40} = 7 : 40 = 0{,}175 = 17{,}5\,\%$ . Atvirkščiai, kad procentus paverstum trupmena, procentų skaičių užrašyk skaitikliu, o 100 – vardikliu, ir trupmeną suprastink: $35\,\% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ .

Kelias poras verta mokėti mintinai: $\frac{1}{2} = 50\,\%$ , $\frac{1}{4} = 25\,\%$ , $\frac{3}{4} = 75\,\%$ , $\frac{1}{5} = 20\,\%$ , $\frac{1}{10} = 10\,\%$ ir $\frac{1}{8} = 12{,}5\,\%$ . Iš jų gaunamos ir kitos: $\frac{5}{8}$ yra penkios aštuntosios, t. y. $5 \cdot 12{,}5\,\% = 62{,}5\,\%$ .

Trupmena gali būti ir didesnė už 1: $\frac{5}{4} = 1{,}25 = 125\,\%$ . Tai daugiau nei visa visuma, pavyzdžiui, kai dienos tikslas viršytas. Kai dalyba nesibaigia, procentus suapvalink: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \approx 33{,}3\,\%$ , o $\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%$ . Jei sąlygoje nurodytas tikslumas, apvalink būtent iki jo.

Kai vardiklis yra skaičiaus 100 daliklis (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50), dalyti nereikia. Išplėsk trupmeną taip, kad vardiklis taptų 100, ir skaitiklis bus atsakymas. Pavyzdžiui, krepšinio treniruotėje Rokas iš 25 baudų metimų pataikė 19. Kadangi $25 \cdot 4 = 100$ , gauname $\frac{19}{25} = \frac{76}{100} = 76\,\%$ .

Jei veiksmai su trupmenomis dar kelia abejonių, pirmiausia pakartok trupmenas.

Džiovinimo ir mišinių uždaviniai su procentais

Dešimtoje klasėje procentai susijungia su lygtimis. Džiovinant vaisius, grybus ar žoleles išgaruoja tik vanduo, o sausųjų medžiagų masė nesikeičia. Drėkinant vanduo pridedamas, bet sausoji dalis vėl lieka ta pati. Į tirpalą įpylus vandens, nekinta grynos medžiagos (druskos, cukraus) masė. Sumaišius du tirpalus ar sulydžius du lydinius (metalų mišinius), grynos medžiagos masės sudedamos. Todėl pirmiausia rask, kas uždavinyje nekinta, apskaičiuok jo masę ir lygtį sudaryk pagal ją.

Atsargiai: vandens procentai prieš džiovinimą ir po jo skaičiuojami nuo skirtingų masių, todėl jų skirtumas nepasako, kiek sumažėjo masė. Pavyzdžio pabaigoje matyti, kodėl.

Kiek sveria išdžiovinti mėtų lapai

Šviežiuose mėtų lapuose yra 84 % vandens. Arbatai lapai džiovinami tol, kol vandens juose lieka 12 %. Kiek gramų džiovintų lapų gaunama iš 550 g šviežių lapų? Užrašyk visą sprendimą.

Kas nekinta? Džiovinant išgaruoja tik vanduo, o sausųjų medžiagų masė lieka ta pati. Šviežiuose lapuose sausųjų medžiagų yra $100\,\% - 84\,\% = 16\,\%$ , t. y. $550 \cdot 0{,}16 = 88$ (g).
Džiovintuose lapuose vandens yra 12 %, todėl sausųjų medžiagų – 88 %. Tegu džiovintų lapų masė yra $x$ g. Sausųjų medžiagų masė abiem atvejais ta pati, todėl $0{,}88x = 88$ .
Sprendžiame lygtį: $x = 88 : 0{,}88 = 100$ (g).
Patikriname pagal sąlygą. Džiovintuose lapuose (100 g) yra 88 g sausųjų medžiagų ir 12 g vandens, t. y. 12 % vandens. Šviežiuose lapuose vandens buvo $550 - 88 = 462$ g, taigi išgaravo $462 - 12 = 450$ g, ir masė sumažėjo nuo 550 g iki 100 g.
Klaidingas kelias. Vandens dalis sumažėjo nuo 84 % iki 12 %, t. y. 72 procentiniais punktais. Gali kilti noras ir masę sumažinti 72 %: $550 \cdot 0{,}28 = 154$ (g). Bet tada 154 g lapuose būtų $154 - 88 = 66$ g vandens, o $66 : 154 \approx 0{,}43$ , t. y. apie 43 % jų masės, ne 12 %. Abu vandens procentai skaičiuojami nuo skirtingų visumų, todėl jų skirtumas masės pokyčio neparodo.

Atsakymas: iš 550 g šviežių lapų gaunama 100 g džiovintų lapų.

Dažnos klaidos skaičiuojant procentus

Procentų uždavinyje galima suklysti ir be jokios skaičiavimo klaidos, jei neteisingai suprasta sąlyga. Prieš užrašydamas atsakymą, patikrink šiuos dalykus:

Neteisingai pasirinkta visuma. Klausimas „kiek procentų sudaro A nuo B“ reiškia, kad B yra 100 % ir dalijama iš B, o ne iš A.
Tikima, kad padidinus p % ir paskui sumažinus tais pačiais p %, grįžtama į pradžią. Taip nėra: antrasis procentas skaičiuojamas nuo kitos sumos, todėl galutinė reikšmė visada mažesnė už pradinę.
Keli pokyčiai sudedami: „+10 %, paskui +10 % – iš viso +20 %“. Iš tikrųjų daugikliai dauginami: $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$ , t. y. +21 %.
Painiojami procentai ir procentiniai punktai. Kai dalis padidėja nuo 30 % iki 36 %, ji išauga 6 procentiniais punktais, bet 20 procentų.
Procentai neteisingai paverčiami dešimtaine trupmena: 6 % yra 0,06, o ne 0,6. Patogu pasitikrinti apytiksliai: 6 % nuo 200 turi būti visai nedaug – 12.
Ieškant visumos dalis dauginama iš procento, užuot ją dalijus. Jei 30 yra 20 % visumos, visuma lygi $30 : 0{,}2 = 150$ , o ne 6.

Procentai NMPP ir PUPP užduotyse

Procentų reikia ir per NMPP (nacionalinį mokinių pasiekimų patikrinimą) 8 klasėje, ir per PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą), bet ne vienodai.

Datos nurodytos 2027 metams. Kas gali būti per patikrinimą ir kokios priemonės leidžiamos, nurodo Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) užduočių aprašai. 2027 m. aprašai dar nepatvirtinti: jų projektus NŠA viešam aptarimui paskelbė 2026 m. spalio 1 d. Todėl turinys ir priemonės čia nurodyti pagal 2026 m. aprašus.

Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Procentų mokomasi 5–7 klasėse, todėl jų uždavinių gali būti. Gali būti ir 7 klasės uždavinių, kai dydis kelis kartus iš eilės padidėja arba sumažėja tam tikru procentu.
2026 m. per NMPP 8 leistos priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Todėl verta išmokti procentus skaičiuoti mintinai: 10 % yra dešimtadalis, 5 % – pusė jo, 1 % – šimtadalis.
Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Džiovinimo ir drėkinimo, sudėtinių procentų, lydinių, mišinių ir tirpalų uždaviniai – 10 klasės programos turinys. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Procentų uždaviniai šiai sričiai nepriklauso, todėl tokių uždavinių per PUPP gali būti. Paprastų 5–7 klasių procentų skaičiavimų gali prireikti ir sprendžiant kitus uždavinius.
2026 m. per PUPP leistos priemonės: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Sudėtinių procentų formulė yra 2026 m. PUPP formulių rinkinyje, o kitas šio puslapio formules reikia mokėti mintinai. Visas rinkinys su paaiškinimais – puslapyje PUPP formulių rinkinys.

Procentų uždaviniai su atsakymais

Pirmiausia išspręsk pats, tik tada atsiversk atsakymą. Jei atsakymas nesutampa, palygink savo žingsnius su sprendimu ir rask, kuriame žingsnyje išsiskyrė.

Lengvesni

1. Sporto parduotuvėje teniso raketė kainuoja 140 eurų. Per išpardavimą jai taikoma 15 % nuolaida. Kiek eurų sutaupysi, jei pirksi raketę per išpardavimą? Apskaičiuok mintinai.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 21 eurą.

Išskaidyk 15 % į 10 % ir 5 %. 10 % nuo 140 yra dešimtadalis, 14 eurų, o 5 % – pusė to, 7 eurai. Iš viso $14 + 7 = 21$ , t. y. sutaupysi 21 eurą. Raketė per išpardavimą kainuos $140 - 21 = 119$ eurų.

2. Sugretink kiekvieną trupmeną su jai lygiu procentų skaičiumi. Trupmenos: 1) $\frac{3}{8}$ ; 2) $\frac{9}{20}$ ; 3) $\frac{3}{5}$ ; 4) $\frac{6}{25}$ . Procentai: A) 24 %; B) 45 %; C) 37,5 %; D) 60 %. Atsakymą užrašyk skaičiaus ir raidės poromis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1–C, 2–B, 3–D, 4–A.

$\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$ (arba $3 \cdot 12{,}5\,\%$ ). $\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 45\,\%$ , nes $20 \cdot 5 = 100$ . $\frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 60\,\%$ . $\frac{6}{25} = \frac{24}{100} = 24\,\%$ , nes $25 \cdot 4 = 100$ .

3. Gabijos apyrankė skaičiuoja žingsnius. Jos dienos tikslas – 8000 žingsnių. Iki vakaro Gabija nuėjo 6800 žingsnių. Kiek procentų dienos tikslo ji įvykdė?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 85 %.

Visuma – dienos tikslas, 8000 žingsnių, nes klausiama, kiek procentų tikslo įvykdyta. Dalijame dalį iš visumos: $6800 : 8000 = 0{,}85$ . Padauginę iš 100 % gauname 85 %.

Vidutiniai

4. Iki pietų Matas nuėjo 4500 žingsnių. Jo apyrankė rodo, kad tai sudaro 36 % dienos tikslo. Kiek žingsnių sudaro visas Mato dienos tikslas?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 12 500 žingsnių.

Žinoma dalis (4500) ir jos procentas (36 %), o ieškoma visuma. Tegu tikslas yra $x$ žingsnių. Kadangi 36 % yra 0,36, $0{,}36x = 4500$ , todėl $x = 4500 : 0{,}36 = 12\,500$ . Patikrinimas: $12\,500 \cdot 0{,}36 = 4500$ . Jei 4500 padaugintum iš 0,36, gautum 1620 – mažiau, nei Matas jau nuėjo, todėl toks atsakymas negali būti teisingas.

5. Kino teatre įprastas bilietas kainuoja 8,50 euro. a) Antradieniais visiems bilietams taikoma 20 % nuolaida. Kiek antradienį kainuoja įprastas bilietas? b) Moksleivio bilietas kainuoja 5,95 euro. Kiek procentų jis pigesnis už įprastą bilietą be nuolaidos?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) 6,80 euro; b) 30 %.

a) Nuolaida 20 %, todėl lieka 80 % kainos: $8{,}50 \cdot 0{,}8 = 6{,}80$ (euro). b) Kainų skirtumas yra $8{,}50 - 5{,}95 = 2{,}55$ euro. Lyginame su įprasta kaina, nes klausiama, kiek pigesnis už ją: $2{,}55 : 8{,}50 = 0{,}3$ , t. y. 30 %.

6. Mokyklos apklausa parodė, kad per metus dviračiu į mokyklą važiuojančių mokinių dalis padidėjo nuo 20 % iki 25 %. Kiek procentinių punktų ir kiek procentų padidėjo ši dalis?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 5 procentiniais punktais ir 25 %.

Procentiniai punktai – tai paprastas skirtumas tarp dviejų procentų: 25 − 20 = 5. Procentais pokytį skaičiuojame lygindami su pradine reikšme: $\frac{25 - 20}{20} \cdot 100\,\% = 25\,\%$ . Abu atsakymai teisingi, bet jie atsako į skirtingus klausimus, todėl uždavinyje svarbu atidžiai perskaityti, ko klausiama.

7. Marius į taupomąją sąskaitą padėjo 2000 eurų. Bankas moka 3 % metinių palūkanų, kurios kiekvienų metų pabaigoje pridedamos prie sumos. Kiek pinigų sąskaitoje bus po 2 metų, jei Marius nei įneš, nei išsiims pinigų?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 2121,80 euro.

Po pirmųjų metų suma padidėja 3 %: $2000 \cdot 1{,}03 = 2060$ . Antrųjų metų palūkanos skaičiuojamos jau nuo 2060 eurų: $2060 \cdot 1{,}03 = 2121{,}8$ . Tą patį duoda formulė $\begin{aligned} S_2 &= 2000 \cdot 1{,}03^2 \\ &= 2000 \cdot 1{,}0609 = 2121{,}8 \end{aligned}$ Atkreipk dėmesį: jei palūkanos būtų skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos, gautum 2120 eurų – 1,80 euro mažiau.

Sunkesni

8. Sporto parduotuvė sportbačių kainą pavasarį padidino 20 %, o rudenį naująją kainą sumažino 30 %. Kokiu vienu pokyčiu, palyginti su pradine kaina, galima pakeisti šiuos du pokyčius? Nurodyk, ar kaina padidėjo, ar sumažėjo, ir kiek procentų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: kaina sumažėjo 16 %.

Pokyčių daugikliai yra 1,2 ir 0,7. Antrasis pokytis skaičiuojamas nuo jau padidintos kainos, todėl daugikliai dauginami: $1{,}2 \cdot 0{,}7 = 0{,}84$ . Galutinė kaina sudaro 84 % pradinės, vadinasi, ji sumažėjo $100\,\% - 84\,\% = 16\,\%$ . Patikrink su patogia kaina: 100 eurų → 120 eurų → 84 eurai. Jei procentus sudėtum ( $20 - 30 = -10$ ), gautum klaidingą atsakymą – sumažėjimą 10 %.

9. Laboratorijoje paruošta 250 g druskos tirpalo, kuriame druskos yra 12 %. a) Į šį tirpalą įpylus 150 g vandens, kokia bus druskos koncentracija? b) Kiek gramų vandens reikėtų įpilti į pradinį 250 g tirpalą, kad druskos jame būtų 5 %?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) 7,5 %; b) 350 g.

Pilant vandenį, druskos masė nesikeičia: $250 \cdot 0{,}12 = 30$ (g). a) Įpylus 150 g vandens, tirpalas sveria $250 + 150 = 400$ g, o druska sudaro $30 : 400 = 0{,}075$ , t. y. 7,5 %. b) Kai druska sudaro 5 % tirpalo, visas tirpalas sveria $30 : 0{,}05 = 600$ g. Vandens reikia įpilti $600 - 250 = 350$ (g). Patikrinimas: $30 : 600 = 0{,}05$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Kaip greitai apskaičiuoti procentus mintinai?

Pravartu žinoti kelis atskaitos taškus: 10 % yra visumos dešimtadalis, 1 % – šimtadalis, 50 % – pusė, 25 % – ketvirtadalis. Pavyzdžiui, 15 % nuo 60 = 10 % (6) plius 5 % (3), iš viso 9.

Kuo skiriasi procentas ir procentinis punktas?

Procentinis punktas yra dviejų procentų skirtumas: nuo 40 % iki 46 % yra 6 procentiniai punktai. Procentais išreikštas pokytis lyginamas su pradine reikšme: 6 iš 40 yra 15 %. Skaitydamas naujienas ar apklausų rezultatus, visada pasižiūrėk, kuri sąvoka pavartota.

Kaip apskaičiuoti nuolaidą procentais?

Iš senos kainos atimk naują kainą, gautą skirtumą padalyk iš senos kainos ir padaugink iš šimto. Pavyzdžiui, striukė kainavo 50 eurų, o dabar kainuoja 42 eurus. Kaina sumažėjo 8 eurais; 8 padalijus iš 50 gaunama 0,16, todėl nuolaida yra 16 procentų. Dalyk visada iš senos kainos, nes nuolaida skaičiuojama nuo jos.

Kiek procentų vienas skaičius sudaro nuo kito?

Padalyk pirmąjį skaičių (dalį) iš antrojo (visumos) ir padaugink iš šimto. Visuma yra tas skaičius, kuris eina po žodžio „nuo“. Pavyzdžiui, 18 nuo 24 sudaro 75 procentus, nes 18 padalijus iš 24 gaunama 0,75. O 24 nuo 18 sudaro jau apie 133 procentus, nes dabar visuma yra 18.

Taip pat: Kvadratinės lygtys · Pasiruošimas matematikos PUPP · Visos matematikos temos · Trupmenos · Trupmenų daugyba ir dalyba · Diagramos ir dažnių lentelės

Šaltiniai

NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt