Diagramos ir dažnių lentelė: stulpelinė, skritulinė ir stačiakampė diagrama

Q: Kaip atrodo stulpelinė diagrama?

Tai dvi statmenos ašys ir prie vienos iš jų nubraižyti vienodo pločio stulpeliai su vienodais tarpais. Prie kiekvieno stulpelio užrašyta, kokią reikšmę jis vaizduoja. Kitoje ašyje yra skaičių skalė nuo nulio su vienodomis padalomis, o stulpelio aukštis rodo dažnį arba kitą dydį. Diagrama turi pavadinimą, o abi ašys – pavadinimus. Stulpeliai gali būti vertikalūs arba horizontalūs.

Q: Kodėl naudinga nubraižyti stulpelinę diagramą?

Skaičių sąrašą ar lentelę tenka skaityti po vieną skaičių, o diagramą akis aprėpia iš karto. Iškart matyti, kuri reikšmė pasitaikė dažniausiai, kuri rečiausiai ir kiek jos skiriasi. Diagrama padeda pastebėti ir klaidą: keistai aukštas ar žemas stulpelis gali reikšti, kad duomenys suskaičiuoti neteisingai. Todėl tyrimo rezultatus patogu pristatyti diagrama, o ne vien lentele.

Q: Kuo skiriasi vertikali ir horizontali stulpelinė diagrama?

Tik stulpelių kryptimi. Vertikalioje diagramoje stulpeliai stovi, o skaičių skalė yra kairėje. Horizontalioje stulpeliai guli, o skaičių skalė yra apačioje. Abi skaitomos vienodai: stulpelio ilgis rodo skaičių. Horizontali diagrama patogesnė, kai reikšmių pavadinimai ilgi arba reikšmių daug, nes kiekvienas pavadinimas telpa vienoje eilutėje prie savo stulpelio.

Q: Kas yra stulpelinė dažnių diagrama?

Tai stulpelinė diagrama, kurioje stulpelio aukštis yra dažnis, tai yra kiek kartų reikšmė pasikartojo duomenyse. Ji braižoma tiesiai iš dažnių lentelės: kiekviena lentelės eilutė virsta vienu stulpeliu. Nuo jos verta skirti histogramą, kurios mokomasi 8 klasėje: joje stulpeliai vaizduoja ne atskiras reikšmes, o vienodo ilgio intervalus, ir stovi vienas prie kito be tarpų.

Stulpelinė diagrama – tai duomenys, pavaizduoti stulpeliais: kiekvienai reikšmei (pavyzdžiui, paukščio rūšiai) skirtas vienas stulpelis, o jo aukštis rodo, kiek kartų ta reikšmė pasikartojo arba koks jos dydis. Tuos pačius duomenis skaičiais galima surašyti į dažnių lentelę. Skritulinė diagrama parodo, kokią visumos dalį sudaro kiekviena reikšmė, o stačiakampė diagrama – kaip duomenys išsibarstę. Čia rasi, kaip sudaryti dažnių lentelę ir kaip nubraižyti bei perskaityti stulpelinę, dvigubą stulpelinę ir skritulinę diagramą. Rasi ir penkis pavyzdžius su brėžiniais bei dvylika uždavinių su atsakymais.

Kas yra stulpelinė diagrama?

Stulpelinė diagrama sudaryta iš vienodo pločio stulpelių, nubraižytų prie dviejų statmenų ašių. Prie vienos ašies surašytos reikšmės, kurias lyginame, pavyzdžiui, paukščių rūšys, klasės ar savaitės dienos. Kita ašis – skaičių skalė. Ji rodo dažnį, tai yra kiek kartų reikšmė pasikartojo, arba kitą dydį: kilogramus, minutes, eurus. Kuo stulpelis aukštesnis, tuo didesnis skaičius.

Kad diagrama būtų aiški, ji turi pavadinimą, o abi ašys – pavadinimus. Skaičių skalė prasideda nuo nulio, o atstumas tarp dviejų gretimų linijų visoje skalėje vienodas. Šis atstumas vadinamas padala. Padala nebūtinai lygi vienetui: ji gali reikšti 2, 5, 10 ar 100 vienetų. Todėl pirmas žingsnis skaitant bet kurią diagramą – išsiaiškinti, kiek reiškia viena padala.

Stulpeliai gali stovėti (vertikali diagrama) arba gulėti (horizontali diagrama), o skaitomi jie vienodai. Artima stulpelinės diagramos giminaitė yra piktograma: vietoj stulpelio eilutėje nupiešti vienodi simboliai, o prie piktogramos parašyta, kiek reiškia vienas simbolis.

Kada kokią diagramą rinktis? Stulpelinė diagrama tinka palyginti reikšmes tarpusavyje: kurios daugiau, kurios mažiau ir kiek. Skritulinė diagrama tinka, kai svarbu, kokią visumos dalį sudaro kiekviena reikšmė. Linijinė diagrama tinka parodyti, kaip dydis kito laikui bėgant, pavyzdžiui, oro temperatūra per savaitę. O kai reikia pamatyti, ar du dydžiai susiję, braižoma sklaidos diagrama. Jos mokomasi 9 klasėje, o daugiau apie ją rasi tiesinės funkcijos puslapyje.

Diagramų mokomasi palaipsniui, nuo pirmos iki aštuntos klasės:

1 klasė: piktograma ir stulpelinė diagrama, kai vienas simbolis ar viena padala reiškia 1.
2 klasė: dažnių lentelė, diagramos ir ašių pavadinimai, padala, lygi 2, 5 arba 10.
3 klasė: diagramos, kuriose stulpelis baigiasi tarp dviejų linijų, ir tinkamos padalos pasirinkimas.
4 klasė: informacijos skaitymas iš linijinės ir skritulinės diagramos.
5–6 klasės: dažnių lentelių ir diagramų aiškinimas, dviguba stulpelinė ir linijinė diagrama, vidurkis, moda ir mediana iš dažnių lentelės.
7 klasė: skritulinės diagramos braižymas ir uždaviniai su ja.
8 klasė: histograma ir stačiakampė diagrama su „ūsais“.

Kas yra dažnių lentelė?

Dažnių lentelė – tai lentelė, kurioje prie kiekvienos reikšmės užrašyta, kiek kartų ji pasikartojo duomenyse. Tas skaičius vadinamas dažniu. Pavyzdžiui, 25 mokiniai pasakė, kiek kartų per savaitę lankė baseiną. Tai, ko klausta (apsilankymų skaičius), vadinama požymiu, o galimi atsakymai 0, 1, 2, 3 – jo reikšmėmis. Dažnis prie reikšmės 2 rodo, kiek mokinių baseine buvo lygiai du kartus.

Kaip ją sudaryti? Pirmiausia surašyk visas reikšmes, kurios pasitaiko duomenyse. Tada eik per duomenis iš eilės ir prie atitinkamos reikšmės dėk brūkšnelį. Kas penktą brūkšnelį patogu brėžti skersai per keturis ankstesnius: vėliau brūkšnelius suskaičiuosi penketais. Pabaigoje brūkšnelius pakeisk skaičiumi – tai ir yra dažnis.

Visada patikrink sumą: visų dažnių suma turi būti lygi duomenų skaičiui. Jei apklausei 25 mokinius, o dažnių suma 24, vieno atsakymo nesuskaičiavai.

Duomenys, kuriuos surenki pats (apklausi, suskaičiuoji, išmatuoji), vadinami pirminiais. Duomenys, paimti iš kito šaltinio, pavyzdžiui, iš lentelės knygoje ar internete, vadinami antriniais.

Dažnių lentelė ir stulpelinė diagrama – du to paties dalyko užrašai. Lentelėje dažnis užrašytas skaičiumi, diagramoje – stulpelio aukščiu. Todėl iš lentelės visada galima nubraižyti diagramą, o iš tiksliai nubraižytos diagramos – atkurti lentelę.

Kartais svarbu ne tik kiek, bet ir kokia dalis. Dažnį padalijus iš visų duomenų skaičiaus, gaunama dalis, kuri dar vadinama santykiniu dažniu. Pavyzdžiui, jei iš 25 mokinių 5 baseine buvo du kartus, jų dalis yra $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ . Dalį galima užrašyti trupmena, dešimtainiu skaičiumi arba procentais. Visų dalių suma lygi 1, tai yra 100 %. Iš dalių braižoma skritulinė diagrama.

Diagramų ir dažnių lentelių formulės

Jei mokaisi 2–4 klasėje, iš šių formulių tau pakaks pirmosios (sudėk visus dažnius) ir paskutinės – apie padalą. Kitų prireiks 5–7 klasėse, kai skaičiuosi dalis ir braižysi skritulinę diagramą.

Formulėse $n$ yra visų duomenų skaičius, $n_i$ – vienos reikšmės dažnis, o $k$ – kiek skirtingų reikšmių yra duomenyse. Skritulinė diagrama padalyta į sektorius – dalis, kurių kiekviena vaizduoja vieną reikšmę. $\alpha_i$ (skaityk „alfa i“) – tos reikšmės sektoriaus kampas. Visos šios formulės išplaukia iš vienos minties: dalis lieka ta pati, kad ir kaip ją užrašytum – trupmena, procentais ar kampu.

Kaip randamas sektoriaus kampas? Visas skritulys vaizduoja visus duomenis, o pilnas kampas aplink centrą lygus $360^\circ$ . Jei reikšmė sudaro ketvirtadalį duomenų, jos sektorius turi būti ketvirtadalis skritulio, tai yra $\frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$ . Tas pats su bet kuria dalimi. Kadangi $1\,\%$ yra šimtoji visumos dalis, jam tenka $360^\circ : 100 = 3{,}6^\circ$ .

Atvirkščiai, iš kampo randama dalis: sektorius, kurio kampas $120^\circ$ , sudaro $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ visų duomenų. Jei apklausta 60 žmonių, tokį sektorių atitinka $60 : 3 = 20$ žmonių.

Formulė	Kada taikyti
$n = n_1 + n_2 + \ldots + n_k$	Kai reikia žinoti, kiek iš viso duomenų: sudėk visus dažnių lentelės dažnius.Išmok mintinai
$\text{dalis} = \frac{n_i}{n}$	Kai klausiama, kokią visų duomenų dalį sudaro viena reikšmė.Išmok mintinai
$\frac{n_i}{n} \cdot 100\,\%$	Kai tą dalį reikia užrašyti procentais.Išmok mintinai
$\alpha_i = \frac{n_i}{n} \cdot 360^\circ$	Kai braižai skritulinę diagramą: taip randamas kiekvieno sektoriaus kampas.Išmok mintinai
$n_i = \frac{\alpha_i}{360^\circ} \cdot n$	Kai iš sektoriaus kampo reikia rasti, kiek duomenų jį atitinka.Išmok mintinai
$p\,\% \;\to\; p \cdot 3{,}6^\circ$	Kai skritulinės diagramos dalys duotos procentais, o reikia sektoriaus kampo.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \text{reikšmė} = \\ \text{padalų skaičius} \cdot \text{padalos vertė} \end{gathered}$	Kai skaitai stulpelį diagramoje, kurios padala nelygi vienetui.Išmok mintinai

Kaip padaryti stulpelinę diagramą?

Stulpelinę diagramą braižyk penkiais žingsniais. Pirmajame pavyzdyje jie visi atlikti nuo pradžios iki galo, o antrajame parodyta, kaip perskaityti diagramą, kurios padala nelygi vienetui.

Sudaryk dažnių lentelę ir patikrink, ar dažnių suma lygi duomenų skaičiui.
Nubrėžk dvi statmenas ašis. Prie horizontalios ašies surašyk reikšmes, prie vertikalios – skaičius nuo nulio.
Pasirink padalą pagal didžiausią dažnį taip, kad aukščiausias stulpelis tilptų lape, bet nebūtų per žemas. Kai didžiausias dažnis 7, tinka padala 1, o kai 35 – padala 5.
Nubraižyk vienodo pločio stulpelius su vienodais tarpais. Kiekvieno stulpelio aukštis lygus jo dažniui.
Užrašyk diagramos pavadinimą ir abiejų ašių pavadinimus.

Nuo duomenų sąrašo iki stulpelinės diagramos

Per ilgąją pertrauką Rūta stebėjo lesyklėlę ir iš eilės užrašė kiekvieną atskridusį paukštį: zylė, žvirblis, zylė, zylė, sniegena, žvirblis, zylė, genys, žvirblis, zylė, sniegena, žvirblis, zylė, zylė, žvirblis, sniegena. Sudaryk dažnių lentelę ir nubraižyk stulpelinę diagramą. Kurių paukščių atskrido daugiausia ir keliais daugiau nei žvirblių?

Paukščiai prie lesyklėlės. Viena padala – vienas paukštis.

Požymis – paukščio rūšis. Sąraše yra keturios reikšmės: zylė, žvirblis, sniegena ir genys.
Einame per sąrašą iš eilės ir prie rūšies dedame brūkšnelį. Suskaičiavę gauname dažnius: zylė – 7, žvirblis – 5, sniegena – 3, genys – 1.
Tikriname sumą: $7 + 5 + 3 + 1 = 16$ , o sąraše iš tikrųjų 16 paukščių. Dažnių lentelė: $\begin{array}{l|c} \text{Rūšis} & \text{Dažnis} \\ \hline \text{zylė} & 7 \\ \text{žvirblis} & 5 \\ \text{sniegena} & 3 \\ \text{genys} & 1 \end{array}$
Didžiausias dažnis 7, todėl tinka padala 1: aukščiausias stulpelis siekia septintą liniją. Nubraižome keturis vienodo pločio stulpelius, užrašome pavadinimą „Paukščiai prie lesyklėlės“ ir ašių pavadinimus „Rūšis“ bei „Paukščių skaičius“.
Aukščiausias stulpelis – zylių. Zylių atskrido $7 - 5 = 2$ daugiau nei žvirblių.

Atsakymas: Dažnių lentelė: zylė – 7, žvirblis – 5, sniegena – 3, genys – 1. Daugiausia atskrido zylių, 2 daugiau nei žvirblių.

Padala, kuri nelygi vienetui

Keturios trečiosios klasės rinko makulatūrą. Stulpelinėje diagramoje parodyta, kiek kilogramų surinko kiekviena klasė. Kiekvieno stulpelio viršūnė yra ant linijos arba tiksliai per vidurį tarp dviejų gretimų linijų. Kiek kilogramų surinko visos keturios klasės kartu ir keliais kilogramais daugiau surinko 3C nei 3B?

Makulatūros akcija: kiek kilogramų surinko kiekviena klasė.

Pirmiausia randame padalą. Skaičiai ašyje parašyti kas 20, o tarp 0 ir 20 yra dvi padalos. Todėl viena padala lygi $20 : 2 = 10$ kg, o pusė padalos – $10 : 2 = 5$ kg.
Skaitome stulpelius. 3A baigiasi pusę padalos virš 40: $40 + 5 = 45$ kg. 3B siekia trečią liniją: $3 \cdot 10 = 30$ kg. 3C baigiasi pusę padalos virš 50: $50 + 5 = 55$ kg. 3D siekia liniją ties 40, tai yra $40$ kg.
Visos klasės kartu: $45 + 30 + 55 + 40 = 170$ kg.
3C surinko $55 - 30 = 25$ kg daugiau nei 3B. Pasitikrink kitu keliu: 3C stulpelis aukštesnis už 3B stulpelį dviem su puse padalos, o tai $10 + 10 + 5 = 25$ kg.
Kur čia lengva suklysti? Jei manytum, kad kiekviena linija reiškia 20 kg, nes skaičiai parašyti kas 20, 3A stulpelį perskaitytum kaip 90 kg. Jei linijas skaičiuotum po 1 kg, gautum vos 4 su puse kilogramo. Abu atsakymai klaidingi, todėl pirmiausia visada rask padalą.

Atsakymas: Iš viso 170 kg; 3C surinko 25 kg daugiau nei 3B.

Užduotys 3 klasei Daugiau trečiokų uždavinių, tarp jų ir su diagramomis.

Dviguba stulpelinė diagrama: dviejų grupių palyginimas

Dviguba stulpelinė diagrama rodo dviejų grupių duomenis vienoje diagramoje. Kadangi ji skirta palyginti, dar vadinama lyginamąja. Prie kiekvienos reikšmės stovi du stulpeliai, nuspalvinti skirtingai, o legenda paaiškina, kuri spalva kurią grupę reiškia. Taip vienu žvilgsniu matyti, kaip pasiskirsto kiekviena grupė ir kur grupės skiriasi labiausiai.

Skaitydamas tokią diagramą, pirmiausia perskaityk legendą. Tada nuspręsk, ką lygini: tos pačios spalvos stulpelius tarpusavyje (kaip pasiskirsto viena grupė) ar du gretimus stulpelius (kuri grupė pirmauja prie tos reikšmės). Jei klausiama „kiek iš viso“, sudėk abu stulpelius. Aukščiausias vienas stulpelis dar nereiškia didžiausios sumos.

Dviejų šeštųjų klasių būreliai

Kiekvienas 6A ir 6B klasės mokinys pasirinko lygiai vieną būrelį. Dviguboje stulpelinėje diagramoje parodyta, kiek kurios klasės mokinių pasirinko kiekvieną būrelį. Kiekvieno stulpelio viršūnė yra ant linijos. a) Kurį būrelį abiejose klasėse kartu pasirinko daugiausia mokinių? b) Prie kurio būrelio skirtumas tarp klasių didžiausias? c) Kiek mokinių mokosi 6B klasėje?

Kokį būrelį pasirinko 6A ir 6B klasių mokiniai. Tamsesni stulpeliai – 6A, šviesesni – 6B.

Pagal legendą tamsesni stulpeliai vaizduoja 6A, šviesesni – 6B. Skaičiai ašyje pažymėti kas 2, o linijos nubrėžtos kas 1, todėl viena padala lygi vienam mokiniui.
Surašome duomenis (pirmas skaičius – 6A, antras – 6B): šokiai 6 ir 8, robotika 9 ir 5, krepšinis 7 ir 10, choras 4 ir 3.
a) Sudedame poras: šokiai $6 + 8 = 14$ , robotika $9 + 5 = 14$ , krepšinis $7 + 10 = 17$ , choras $4 + 3 = 7$ . Daugiausia mokinių pasirinko krepšinį – 17.
b) Skirtumai: šokiai $8 - 6 = 2$ , robotika $9 - 5 = 4$ , krepšinis $10 - 7 = 3$ , choras $4 - 3 = 1$ . Didžiausias skirtumas – prie robotikos, 4 mokiniai.
c) Kadangi kiekvienas mokinys pasirinko vieną būrelį, 6B mokinių skaičius lygus visų šviesesnių stulpelių sumai: $8 + 5 + 10 + 3 = 26$ .

Atsakymas: a) Krepšinį, 17 mokinių; b) prie robotikos, skirtumas 4 mokiniai; c) 26 mokiniai.

Užduotys 6 klasei Šeštokų uždaviniai pagal temas, tarp jų dažnių lentelės ir diagramos.

Kaip padaryti skritulinę diagramą?

Skritulinė diagrama – tai skritulys, padalytas į dalis – sektorius. Visas skritulys vaizduoja visus duomenis, o kiekvienas sektorius – vieną reikšmę. Kuo didesnę duomenų dalį sudaro reikšmė, tuo didesnis jos sektorius: jei reikšmė sudaro pusę duomenų, jos sektorius yra pusė skritulio. Todėl skritulinė diagrama atsako į klausimą „kokia dalis?“, o ne „kiek?“. Kiek duomenų atitinka sektorių, gali apskaičiuoti tik tada, kai žinai visų duomenų skaičių.

Braižoma taip. Suskaičiuok visų duomenų skaičių $n$ . Kiekvienai reikšmei apskaičiuok sektoriaus kampą $\frac{n_i}{n} \cdot 360^\circ$ ir patikrink, ar visų kampų suma lygi $360^\circ$ . Nubrėžk apskritimą ir vieną spindulį. Matlankiu atidėk pirmą kampą nuo to spindulio, nuo naujo spindulio – antrą ir taip toliau. Paskutinis sektorius turi likti lygiai toks, kokį apskaičiavai: jei ne, kažkur suklydai matuodamas. Pabaigoje kiekvieną sektorių pažymėk pavadinimu ir dalimi.

Skaitant skritulinę diagramą, kurioje dalys pažymėtos procentais, skaičiuoti padeda patogios dalys: 50 % yra pusė, 25 % – ketvirtadalis, 20 % – penktadalis, 10 % – dešimtadalis. Taip be skaičiuotuvo skaičiuojama pavyzdyje apie sporto dienos rungtis.

Skritulinė diagrama iš balsavimo rezultatų

Klasė balsavo, kur vykti į išvyką. Už muziejų balsavo 3 mokiniai, už žygį – 8, už teatrą – 5, už planetariumą – 4. Apskaičiuok kiekvieno sektoriaus kampą ir kiekvienos reikšmės dalį procentais, tada nubraižyk skritulinę diagramą.

Balsavimas dėl išvykos: kiekvienas balsas – 18° skritulio.

Visų balsų: $n = 3 + 8 + 5 + 4 = 20$ .
Vienas balsas sudaro $\frac{1}{20}$ visų balsų, todėl jam tenka $360^\circ : 20 = 18^\circ$ ir $100\,\% : 20 = 5\,\%$ .
Kampai: muziejus $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$ , žygis $8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$ , teatras $5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$ , planetariumas $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$ .
Tikriname: $54^\circ + 144^\circ + 90^\circ + 72^\circ = 360^\circ$ .
Dalys procentais: muziejus $3 \cdot 5\,\% = 15\,\%$ , žygis $8 \cdot 5\,\% = 40\,\%$ , teatras $5 \cdot 5\,\% = 25\,\%$ , planetariumas $4 \cdot 5\,\% = 20\,\%$ . Jų suma $100\,\%$ .
Nubrėžiame apskritimą ir spindulį į viršų. Nuo jo pagal laikrodžio rodyklę matlankiu atidedame $54^\circ$ , nuo gauto spindulio – $144^\circ$ , tada $90^\circ$ . Likęs sektorius turi būti $72^\circ$ .

Atsakymas: Muziejus $54^\circ$ ( $15\,\%$ ), žygis $144^\circ$ ( $40\,\%$ ), teatras $90^\circ$ ( $25\,\%$ ), planetariumas $72^\circ$ ( $20\,\%$ ).

Skritulinė diagrama be skaičiuotuvo: sporto dienos rungtys

Sporto dienoje kiekvienas iš 120 mokinių pasirinko vieną rungtį. Skritulinėje diagramoje parodyta, kokia mokinių dalis pasirinko kiekvieną rungtį: bėgimą – 35 %, estafetę – 30 %, šuolius į tolį – 20 %, o virvės traukimo dalis neužrašyta. Skaičiuok be skaičiuotuvo. a) Kiek procentų mokinių pasirinko virvės traukimą? b) Kiek mokinių pasirinko šuolius į tolį? c) Kiek mokinių pasirinko bėgimą? d) Kokio didumo estafetės sektoriaus kampas?

Sporto dienos rungtys: kokia mokinių dalis pasirinko kiekvieną rungtį.

a) Visų dalių suma lygi $100\,\%$ : $100 - 35 - 30 - 20 = 15$ . Virvės traukimą pasirinko $15\,\%$ mokinių.
b) Be skaičiuotuvo patogu pradėti nuo $10\,\%$ : tai dešimtoji dalis, $120 : 10 = 12$ . Tada $20\,\%$ yra $2 \cdot 12 = 24$ mokiniai.
c) $35\,\% = 30\,\% + 5\,\%$ . $30\,\%$ – tai trys dešimtosios: $3 \cdot 12 = 36$ . $5\,\%$ – pusė iš $10\,\%$ : $12 : 2 = 6$ . Iš viso $36 + 6 = 42$ mokiniai.
d) Čia lengva atsakyti „ $30^\circ$ “, nes sektorius pažymėtas skaičiumi 30. Bet 30 yra procentai, o kampas skaičiuojamas nuo $360^\circ$ : $30 \cdot 3{,}6^\circ = 108^\circ$ .
Pasitikrink kitu keliu: $30\,\%$ yra $\frac{3}{10}$ , o $\frac{3}{10} \cdot 360^\circ = 108^\circ$ . Dar vienas patikrinimas: visų rungčių mokinių suma turi būti 120. Estafetę ( $30\,\%$ ) pasirinko $3 \cdot 12 = 36$ , virvės traukimą ( $15\,\% = 10\,\% + 5\,\%$ ) – $12 + 6 = 18$ mokinių, o $42 + 36 + 24 + 18 = 120$ .

Atsakymas: a) $15\,\%$ ; b) 24 mokiniai; c) 42 mokiniai; d) $108^\circ$ .

Užduotys 7 klasei Septintokų uždaviniai pagal temas, tarp jų ir skritulinės diagramos.

Stačiakampė diagrama: kaip ją perskaityti

Stačiakampės diagramos (su „ūsais“) mokomasi 8 klasėje. Jei esi jaunesnis, šį skyrių gali praleisti. Ši diagrama nerodo kiekvieno dažnio atskirai, o apibendrina visą duomenų rinkinį penkiais skaičiais: mažiausia reikšme, pirmuoju kvartiliu, mediana, trečiuoju kvartiliu ir didžiausia reikšme.

Mediana – tai surikiuotų duomenų vidurys: apytiksliai pusė reikšmių yra ne didesnės už ją, o kita pusė – ne mažesnės. Kvartiliai panašiai dalija duomenis ketvirtadaliais: apytiksliai ketvirtadalis reikšmių yra ne didesnės už pirmąjį kvartilį, o trys ketvirtadaliai – ne didesnės už trečiąjį. Stačiakampis eina nuo pirmojo iki trečiojo kvartilio, todėl jame telpa apytiksliai vidurinė duomenų pusė. Linija stačiakampio viduje – mediana. „Ūsai“ siekia mažiausią ir didžiausią reikšmę. Ilgas ūsas rodo, kad toje pusėje duomenys labiau išsibarstę. Ilgas stačiakampis rodo, kad plačiai išsibarsčiusi ir vidurinė duomenų pusė.

Brėžinyje pavaizduota, kiek minučių trunka aštuntokų kelias į mokyklą: mažiausia reikšmė 10 min., pirmasis kvartilis 15 min., mediana 20 min., trečiasis kvartilis 30 min., didžiausia reikšmė 45 min. Iš diagramos matyti, kad apytiksliai pusė mokinių keliauja ne ilgiau kaip 20 min., vidurinė pusė – nuo 15 iki 30 min. Dešinysis ūsas daug ilgesnis už kairįjį: ilgiausiai keliaujančiųjų laikai išsibarstę plačiai.

Skirtumas nuo stulpelinės diagramos: stulpelinė rodo, kiek kartų pasikartojo kiekviena reikšmė, o stačiakampė – kur yra duomenų vidurys ir kiek jie išsibarstę. Kaip apskaičiuoti medianą ir kvartilius, rasi vidurkio, medianos ir modos puslapyje.

Aštuntokų kelias į mokyklą minutėmis: penki skaičiai, kuriais remiasi stačiakampė diagrama.

Vidurkis, mediana ir moda Kaip rasti vidurkį iš dažnių lentelės, medianą ir kvartilius.

Dažnos klaidos skaitant ir braižant diagramas

Padala laikoma lygia vienetui. Prieš skaitydamas stulpelį, pažiūrėk į du gretimus pažymėtus skaičius ir suskaičiuok, kiek tarp jų padalų: jei tarp 0 ir 20 yra dvi padalos, viena padala lygi 10.
Dažnis supainiojamas su reikšme. Dažnių lentelėje eilutė „pažymys 8 – dažnis 5“ reiškia, kad aštuonetą gavo penki mokiniai. Klausimas „koks pažymys pasitaikė dažniausiai?“ klausia pažymio, ne jo dažnio.
Procentai supainiojami su laipsniais. Sektorius, pažymėtas 30 %, nėra $30^\circ$ kampas: jo kampas lygus $30 \cdot 3{,}6^\circ = 108^\circ$ .
Lyginamos dvi skritulinės diagramos apie skirtingo dydžio grupes. Didesnis sektorius rodo didesnę dalį, bet nebūtinai didesnį skaičių: 25 % iš 200 mokinių yra 50 mokinių, o 40 % iš 100 – tik 40.
Skaičių ašis pradedama ne nuo nulio arba padalos nevienodos. Tada stulpelių aukščiai klaidina: dvigubai aukštesnis stulpelis nebereiškia dvigubai didesnio skaičiaus. Braižydamas skalę pradėk nuo nulio, o skaitydamas kito nubraižytą diagramą pirmiausia pažiūrėk, nuo kur ji prasideda.
Pamirštama patikrinti sumą. Dažnių suma turi būti lygi duomenų skaičiui, procentų suma – $100\,\%$ , skritulinės diagramos kampų suma – $360^\circ$ . Tai greičiausias būdas pastebėti praleistą duomenį ar skaičiavimo klaidą.

Diagramos ir dažnių lentelės NMPP 4 ir NMPP 8 užduotyse

Diagramos ir dažnių lentelės priklauso programos sričiai „Duomenys ir tikimybės“. Už šią sritį skiriama dalis taškų per abu NMPP (nacionalinius mokinių pasiekimų patikrinimus): 4 ir 8 klasėse. Datos jau paskelbtos 2027 metams. Kas gali būti užduotyje ir kokios priemonės leidžiamos, nurodyta pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. tvarka dar nepatvirtinta: 2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė, kad atnaujinti NMPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui.

NMPP 4 vyks 2027 m. kovo 3 d., vykdymo būdas – elektroninis. Bendrojoje programoje ketvirtokų patikrinimo taškai tarp turinio sričių paskirstyti taip: skaičiai ir skaičiavimai – 50 %, modeliai ir sąryšiai – 20 %, geometrija ir matavimai – 20 %, duomenys ir tikimybės – 10 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida).
Pagal 2026 m. NMPP 4 aprašą gali būti uždavinių iš visų 1–3 klasių temų, o iš 4 klasės turinio neįtraukiama: erdvės figūros; duomenys ir jų interpretavimas; tikimybės ir jų interpretavimas. Vadinasi, 1–3 klasių piktogramos, stulpelinės diagramos ir dažnių lentelės gali būti tikrinamos, o 4 klasės linijinės ir skritulinės diagramos į užduotį neįtraukiamos.
Priemonės NMPP 4 (2026 m. tvarka): popieriaus lapai užrašams, rašymo priemonės, liniuotė, pieštukas, trintukas; skaičiuotuvo leidžiamų priemonių sąraše nėra. Vadinasi, skaičiuotuvu naudotis nebuvo galima. Daugiau apie ketvirtokų patikrinimą – puslapyje NMPP 4 klasei.
NMPP 8 vyks 2027 m. kovo 12 d., vykdymo būdas – elektroninis. Bendrojoje programoje aštuntokų patikrinimo taškai tarp turinio sričių paskirstyti taip: skaičiai ir skaičiavimai – 30 %, modeliai ir sąryšiai – 30 %, geometrija ir matavimai – 30 %, duomenys ir tikimybės – 10 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida).
Pagal 2026 m. NMPP 8 aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Vadinasi, 5–7 klasių dažnių lentelės, dvigubos stulpelinės ir skritulinės diagramos gali būti tikrinamos, o 8 klasės histogramos ir stačiakampė diagrama į užduotį neįtraukiamos.
Priemonės NMPP 8 (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Todėl sektorių kampus ir procentus skaičiuok ranka, kaip pavyzdyje apie sporto dienos rungtis: $10\,\%$ yra dešimtoji dalis, o $1\,\%$ skritulyje atitinka $3{,}6^\circ$ . Daugiau apie aštuntokų patikrinimą – puslapyje NMPP 8 klasei.

NŠA: NMPP užduočių pradiniam ugdymui aprašas (PDF) 2026 m. aprašas: kas iš 4 klasės turinio į užduotį neįtraukiama.
NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF) 2026 m. aprašas: kas iš 8 klasės turinio neįtraukiama ir kokios priemonės leidžiamos.
Matematikos NMPP Kas laiko patikrinimus, kada jie vyksta ir ką reiškia rezultatas.

Diagramos ir dažnių lentelės: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti pagal sunkumą. Pirmiausia išspręsk pats, tik tada atsiversk atsakymą. Dviem uždaviniams apie medelių sodinimą reikia diagramos, kuri nubraižyta iškart po šia pastraipa: kiekvieno jos stulpelio galas yra ant linijos.

Miško sodinimo akcija: kiek medelių pasodino kiekviena klasė.

Lengvesni

1. Piktogramoje vienas simbolis reiškia 4 mokinius, o pusė simbolio – 2 mokinius. Eilutėje „Šachmatai“ nupiešti 3 sveiki simboliai ir pusė simbolio. Kiek mokinių lanko šachmatus?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 14 mokinių.

Trys sveiki simboliai – $3 \cdot 4 = 12$ mokinių, pusė simbolio – dar 2: $12 + 2 = 14$ .

2. Futbolo komanda sužaidė 12 rungtynių. Kiekvienose rungtynėse ji įmušė tiek įvarčių: 2, 0, 1, 3, 1, 2, 1, 0, 1, 4, 2, 1. Sudaryk dažnių lentelę. Keliose rungtynėse komanda įmušė lygiai 2 įvarčius? Koks įvarčių skaičius pasitaikė dažniausiai?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Dažnių lentelė: 0 įvarčių – 2 rungtynės, 1 – 5, 2 – 3, 3 – 1, 4 – 1. Lygiai 2 įvarčiai įmušti 3 rungtynėse; dažniausiai pasitaikė 1 įvartis.

Dažnių suma $2 + 5 + 3 + 1 + 1 = 12$ – tiek, kiek rungtynių. Dažniausias įvarčių skaičius yra reikšmė su didžiausiu dažniu, tai yra 1 įvartis. Jo dažnis 5, bet atsakymas – ne 5.

3. Diagramoje virš uždavinių parodyta, kiek medelių per miško sodinimo akciją pasodino keturios klasės. Keliais medeliais daugiau pasodino 6A nei 5B?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 30 medelių.

Skaičiai pažymėti kas 10, o linijos nubrėžtos kas 5, todėl viena padala lygi 5 medeliams. 6A pasodino 45, 5B – 15 medelių: $45 - 15 = 30$ .

4. Reikia nubraižyti stulpelinę diagramą, kurios didžiausias dažnis 48. Lape dažnių ašiai telpa 10 langelių, o viena padala – vienas langelis. Kuri iš padalų 1, 2, 5, 10 yra mažiausia, su kuria aukščiausias stulpelis tilps lape?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Padala 5.

Su padala 1 reikėtų 48 langelių, su padala 2 – 24 langelių: per daug. Su padala 5 dešimt langelių siekia $10 \cdot 5 = 50$ , o $48 < 50$ , todėl stulpelis tilps. Padala 10 irgi tiktų, bet stulpeliai būtų žemi ir sunkiau skaitomi.

Vidutiniai

5. Kiekvienam tyrimui 1–4 parink tinkamiausią diagramą A–D. Kiekvieną diagramą naudok vieną kartą. 1) Kaip per savaitę keitėsi oro temperatūra vidurdienį. 2) Kokią visų klasės mokinių dalį sudaro į mokyklą einantys pėsčiomis, važiuojantys autobusu ir atvežami automobiliu. 3) Kiek berniukų ir kiek mergaičių pasirinko kiekvieną iš keturių sporto šakų. 4) Kiek mokinių gavo kiekvieną pažymį nuo 4 iki 10. A) Skritulinė diagrama. B) Linijinė diagrama. C) Stulpelinė dažnių diagrama. D) Dviguba stulpelinė diagrama.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – B, 2 – A, 3 – D, 4 – C.

Kitimas laike – linijinė diagrama. Visumos dalys – skritulinė. Dvi grupės prie tų pačių reikšmių – dviguba stulpelinė. Kiek kartų pasikartojo kiekviena reikšmė – stulpelinė dažnių diagrama.

6. Kontrolinį darbą rašė 25 mokiniai. Dažnių lentelėje yra tik pažymiai nuo 6 iki 10: prie pažymio 6 užrašyta 3, prie 7 – dažnis neįskaitomas, prie 8 – 8, prie 9 – 6, prie 10 – 2. Kiek mokinių gavo septynetą? Kiek procentų mokinių gavo 9 arba 10?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 6 mokiniai; 32 %.

Septynetą gavo $25 - (3 + 8 + 6 + 2) = 6$ mokiniai. Devynetą arba dešimtuką gavo $6 + 2 = 8$ mokiniai: $\frac{8}{25} = \frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{32}{100} = 32\,\%$ .

7. Skritulinėje diagramoje sektoriaus „Plaukimas“ kampas lygus 72°. Iš viso apklausti 45 mokiniai. Kokią visų mokinių dalį procentais vaizduoja šis sektorius ir kiek mokinių jį atitinka?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 20 %; 9 mokiniai.

$\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ , nes $72 \cdot 5 = 360$ . Penktadalis – tai $20\,\%$ . Penktadalis iš 45 yra $45 : 5 = 9$ mokiniai.

8. Pagal diagramą virš uždavinių: kiek procentų visų pasodintų medelių pasodino 6A klasė?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 36 %.

Iš viso pasodinta $30 + 15 + 45 + 35 = 125$ medeliai. Suprastiname iš 5 ir padauginame iš 4: $\frac{45}{125} = \frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 36\,\%$ .

9. Skritulinė diagrama padalyta į keturis sektorius. Sektorius A vaizduoja 25 % visų duomenų, sektoriaus B kampas lygus 84°, sektorius C vaizduoja šeštadalį visų duomenų, o sektorius D – 7 duomenis iš 20. Surikiuok sektorius nuo mažiausio iki didžiausio.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: C, B, A, D.

Visus paverčiame kampais. A: $25 \cdot 3{,}6^\circ = 90^\circ$ . B: $84^\circ$ . C: $360^\circ : 6 = 60^\circ$ . D: $360^\circ : 20 = 18^\circ$ , o $7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$ . Patikrinimas: $90 + 84 + 60 + 126 = 360$ .

Sunkesni

10. Gyvūnų prieglaudoje gyvena 60 gyvūnų: šunys – 25, katės – 22, triušiai – 9, jūrų kiaulytės – 4. Kokio didumo kampas tenka kačių sektoriui skritulinėje diagramoje? Keliais laipsniais šunų sektorius didesnis už triušių sektorių?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 132°; 96°.

Vienam gyvūnui tenka $360^\circ : 60 = 6^\circ$ . Kačių sektorius $22 \cdot 6^\circ = 132^\circ$ . Šunų ir triušių skirtumas $25 - 9 = 16$ gyvūnų, todėl sektoriai skiriasi $16 \cdot 6^\circ = 96^\circ$ .

11. Skritulinėje diagramoje sektoriaus „Tinklinis“ kampas lygus 135°, o sektoriaus „Futbolas“ – 90°. Tinklinį pasirinko 12 mokinių daugiau nei futbolą. Kiek mokinių buvo apklausta?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 96 mokiniai.

Sektorių skirtumas $135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$ atitinka 12 mokinių. $45^\circ$ yra $\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$ skritulio, todėl iš viso apklausta $12 \cdot 8 = 96$ mokiniai.

12. Stačiakampėje diagramoje pavaizduota, kiek minučių per dieną aštuntokai skaito knygas: mažiausia reikšmė 5, pirmasis kvartilis 15, mediana 25, trečiasis kvartilis 40, didžiausia reikšmė 70. Apskaičiuok skirtumą tarp didžiausios ir mažiausios reikšmės ir stačiakampio ilgį, tai yra skirtumą tarp trečiojo ir pirmojo kvartilio. Kokia mokinių dalis apytiksliai skaito ilgiau nei 40 minučių?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 65 min.; 25 min.; apytiksliai ketvirtadalis mokinių.

$70 - 5 = 65$ min., $40 - 15 = 25$ min. Iki trečiojo kvartilio yra apytiksliai trys ketvirtadaliai duomenų, todėl ilgiau nei 40 minučių skaito apytiksliai ketvirtadalis mokinių.

Užduotys 4 klasei Ketvirtokų uždaviniai, tarp jų stulpelinės diagramos su padala, nelygia vienetui.
Užduotys 5 klasei Penktokų uždaviniai pagal temas.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kaip atrodo stulpelinė diagrama?

Tai dvi statmenos ašys ir prie vienos iš jų nubraižyti vienodo pločio stulpeliai su vienodais tarpais. Prie kiekvieno stulpelio užrašyta, kokią reikšmę jis vaizduoja. Kitoje ašyje yra skaičių skalė nuo nulio su vienodomis padalomis, o stulpelio aukštis rodo dažnį arba kitą dydį. Diagrama turi pavadinimą, o abi ašys – pavadinimus. Stulpeliai gali būti vertikalūs arba horizontalūs.

Kodėl naudinga nubraižyti stulpelinę diagramą?

Skaičių sąrašą ar lentelę tenka skaityti po vieną skaičių, o diagramą akis aprėpia iš karto. Iškart matyti, kuri reikšmė pasitaikė dažniausiai, kuri rečiausiai ir kiek jos skiriasi. Diagrama padeda pastebėti ir klaidą: keistai aukštas ar žemas stulpelis gali reikšti, kad duomenys suskaičiuoti neteisingai. Todėl tyrimo rezultatus patogu pristatyti diagrama, o ne vien lentele.

Kuo skiriasi vertikali ir horizontali stulpelinė diagrama?

Tik stulpelių kryptimi. Vertikalioje diagramoje stulpeliai stovi, o skaičių skalė yra kairėje. Horizontalioje stulpeliai guli, o skaičių skalė yra apačioje. Abi skaitomos vienodai: stulpelio ilgis rodo skaičių. Horizontali diagrama patogesnė, kai reikšmių pavadinimai ilgi arba reikšmių daug, nes kiekvienas pavadinimas telpa vienoje eilutėje prie savo stulpelio.

Kas yra stulpelinė dažnių diagrama?

Tai stulpelinė diagrama, kurioje stulpelio aukštis yra dažnis, tai yra kiek kartų reikšmė pasikartojo duomenyse. Ji braižoma tiesiai iš dažnių lentelės: kiekviena lentelės eilutė virsta vienu stulpeliu. Nuo jos verta skirti histogramą, kurios mokomasi 8 klasėje: joje stulpeliai vaizduoja ne atskiras reikšmes, o vienodo ilgio intervalus, ir stovi vienas prie kito be tarpų.

Taip pat: Procentai · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 4 klasei · Matematikos NMPP 8 klasei

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, NMPP 4 klasėje lentelė; NMPP 8 klasėje lentelė; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, NMPP užduočių pradiniam ugdymui aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 5 p., 12 punktas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 4 klasėje elektroninio vykdymo instrukcija (2025-12-02 įsakymas Nr. VK-1185), 1 p., 6 punktas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt