Apskritimo ilgis, skritulio plotas, lanko ilgis ir išpjovos plotas

Apskritimo ilgis – tai apskritimo linijos ilgis: kelias, kurį nueitum, vieną kartą apėjęs apskritimą. Jis apskaičiuojamas pagal formulę $C = 2\pi R$ , kur $R$ – spindulys, arba $C = \pi d$ , kur $d$ – skersmuo. Skritulio plotas $S = \pi R^2$ . Iš šių dviejų formulių kyla ir skritulio dalių formulės. Pavyzdžiui, ketvirčio skritulio plotas lygus ketvirčiui viso skritulio ploto, o jo lankas – ketvirčiui apskritimo ilgio.

Kas yra apskritimo ilgis?

Apskritimas – tai visi plokštumos taškai, nutolę nuo vieno taško tuo pačiu atstumu. Tas taškas vadinamas centru $O$ , o atstumas – spinduliu $R$ . Atkarpa, kuri jungia du apskritimo taškus ir eina per centrą, yra skersmuo $d$ . Jis lygus dviem spinduliams: $d = 2R$ . Skritulys – tai apskritimas kartu su visa jo vidaus sritimi. Todėl apskritimas turi ilgį, o skritulys – plotą.

Apskritimo ilgis – tai pačios linijos ilgis. Jei apskritimą perkirptum ir ištiesintum, gautum $C$ ilgio atkarpą. Tai ir yra skritulio perimetras.

Bet kurio apskritimo ilgis šiek tiek daugiau nei tris kartus didesnis už jo skersmenį. Šis santykis visiems apskritimams vienodas ir žymimas graikiška raide $\pi$ (skaitoma „pi“): $\frac{C}{d} = \pi \approx 3{,}14$ . Vienodas jis todėl, kad visi apskritimai yra tos pačios formos. Padidinus apskritimą kelis kartus, tiek pat kartų padidėja ir jo ilgis, ir skersmuo, todėl jų santykis nepakinta. Skaičiaus $\pi = 3{,}14159\ldots$ skaitmenys po kablelio niekada nesibaigia ir nesudaro besikartojančio periodo. Tokio skaičiaus tiksliai užrašyti trupmena negalima, jis vadinamas iracionaliuoju. Todėl skaičiuojant imama $\pi \approx 3{,}14$ arba skaičiuotuvo mygtukas $\pi$ .

Iš $\frac{C}{d} = \pi$ gauname $C = \pi d$ , o kadangi $d = 2R$ , tai $C = 2\pi R$ . Pavyzdžiui, kai $R = 5$ cm, $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ cm. Jei sąlyga neprašo apvalinti, atsakymą taip ir palik – su $\pi$ . Toks atsakymas tikslus, o $10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4$ cm – jau apytikslis.

Apskritimas – linija, jos ilgis

C

. Skritulys – visa nuspalvinta sritis.

O

– centras,

R

– spindulys,

d = 2R

– skersmuo.

Plotas, perimetras ir tūris Stačiakampio ir kvadrato plotas, perimetras ir ploto vienetai – pagrindas prieš skritulį.

Apskritimo ilgio ir skritulio ploto formulės

Kodėl skritulio plotas lygus $\pi R^2$ ? Supjaustyk skritulį kaip pyragą į daug vienodų siaurų gabalėlių. Sudėliok juos pakaitomis: vieną smaigaliu žemyn, kitą smaigaliu aukštyn. Gausi figūrą, kuri tuo panašesnė į stačiakampį, kuo siauresni gabalėliai. Jos aukštis lygus spinduliui $R$ , o ilgis – pusei apskritimo ilgio, $\pi R$ , nes pusė lenktų kraštų atsiduria viršuje, o pusė – apačioje. Stačiakampio plotas $\pi R \cdot R = \pi R^2$ . Pavyzdžiui, kai $R = 3$ cm, $S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28{,}3$ cm².

Toks pyrago gabalas vadinamas skritulio išpjova: tai skritulio dalis tarp dviejų spindulių. Kampas tarp tų spindulių vadinamas centriniu kampu $\alpha$ . Visas skritulys atitinka $360^\circ$ , todėl išpjova yra $\frac{\alpha}{360}$ skritulio dalis, o jos lankas – tokia pat apskritimo ilgio dalis. Tai dalies radimas, kaip uždaviniuose su trupmenomis. Pavyzdžiui, kai $\alpha = 90^\circ$ , išpjova yra $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ skritulio. Įstatęs $\alpha = 360$ , gausi viso apskritimo ilgį ir viso skritulio plotą.

Lentelėje $R$ – spindulys, $d$ – skersmuo, $\alpha$ – išpjovos centrinis kampas laipsniais. Taip pat pažymėta, kurios formulės yra PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) formulių lape, o kurias reikia išmokti mintinai.

Formulė	Kada taikyti
$C = 2\pi R$	Apskritimo ilgis, kai žinomas spindulys: kai $R = 5$ , $C = 10\pi$ .Išmok mintinai
$C = \pi d$	Apskritimo ilgis, kai žinomas skersmuo: kai $d = 8$ , $C = 8\pi$ . Iš jos $d = \frac{C}{\pi}$ .Išmok mintinai
$S = \pi R^2$	Skritulio plotas, kai žinomas spindulys: kai $R = 3$ , $S = 9\pi$ .Išmok mintinai
$S = \frac{\pi d^2}{4}$	Skritulio plotas, kai žinomas tik skersmuo: kai $d = 10$ , $S = \frac{100\pi}{4} = 25\pi$ . Tai tas pats kaip $\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$ .Išmok mintinai
$C_{\text{išpj.}} = \frac{2\pi R}{360} \cdot \alpha$	Išpjovos lanko ilgis, kai žinomi spindulys ir centrinis kampas: kai $R = 6$ , $\alpha = 60^\circ$ , lankas $\frac{12\pi}{360} \cdot 60 = 2\pi$ .Yra PUPP formulių lape
$S_{\text{išpj.}} = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha$	Išpjovos plotas, kai žinomi spindulys ir centrinis kampas: kai $R = 6$ , $\alpha = 60^\circ$ , plotas $\frac{36\pi}{360} \cdot 60 = 6\pi$ .Yra PUPP formulių lape
$S_{\text{išpj.}} = \frac{1}{2} C_{\text{išpj.}} \cdot R$	Išpjovos plotas, kai žinomi lanko ilgis ir spindulys, o kampo nereikia (įrodyta toliau): kai lankas $2\pi$ , o $R = 6$ , plotas $\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot 6 = 6\pi$ .Išmok mintinai
$S_{\text{žiedo}} = \pi \left(R^2 - r^2\right)$	Žiedo tarp dviejų apskritimų su tuo pačiu centru plotas: $R$ – išorinio, $r$ – vidinio apskritimo spindulys. Kai $R = 5$ , $r = 3$ , plotas $\pi(25 - 9) = 16\pi$ .Išmok mintinai

Kaip apskaičiuojamas apskritimo ilgis?

Pirmiausia nustatyk, kas duota – spindulys ar skersmuo. Jei skersmuo, skaičiuok $C = \pi d$ arba pirma rask $R = \frac{d}{2}$ . Tada nuspręsk, kokio atsakymo prašoma: tikslaus, su $\pi$ , ar apytikslio.

Kartais duotas apskritimo ilgis, o ieškoma spindulio. Tada formulę spręsk kaip lygtį: iš $2\pi R = C$ gauni $R = \frac{C}{2\pi}$ . Pavyzdžiui, jei $C = 18\pi$ cm, tai $R = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ cm. Žinodamas spindulį, rasi ir skritulio plotą. Antrasis pavyzdys žemiau parodo, kur čia lengva suklysti.

Bokšto laikrodžio rodyklė

Bokšto laikrodžio minutinė rodyklė yra 1,5 m ilgio. a) Kokį kelią nueina rodyklės galas per valandą? b) O per 20 minučių? Skaičiuotuvu nesinaudok: užrašyk tikslų atsakymą su $\pi$ ir apytikslį, kai $\pi \approx 3{,}14$ .

Rodyklės galas juda apskritimu, kurio centras – rodyklės ašis, o spindulys lygus rodyklės ilgiui: $R = 1{,}5$ m.
Per valandą minutinė rodyklė apsisuka vieną kartą, todėl galas nueina visą apskritimo ilgį: $C = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}5 = 3\pi$ (m).
Apytiksliai: $3\pi \approx 3 \cdot 3{,}14 = 9{,}42$ (m).
20 minučių – tai $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ valandos, todėl galas nueina trečdalį apskritimo: $\frac{3\pi}{3} = \pi \approx 3{,}14$ (m).

Atsakymas: a) $3\pi \approx 9{,}42$ m; b) $\pi \approx 3{,}14$ m.

Ąžuolo kamienas: kai žinomas apskritimo ilgis

Seno ąžuolo kamieno apimtis, t. y. jį juosiančio apskritimo ilgis, yra 4,71 m. Laikyk, kad kamieno skerspjūvis – skritulys. Apskaičiuok kamieno skersmenį ir skerspjūvio plotą. Imk $\pi \approx 3{,}14$ , plotą suapvalink iki šimtųjų.

Iš $C = \pi d$ randame skersmenį: $d = \frac{C}{\pi} \approx \frac{4{,}71}{3{,}14} = 1{,}5$ (m).
Ploto formulėje reikia spindulio, ne skersmens: $R = \frac{d}{2} = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75$ (m).
Plotas: $S = \pi R^2 \approx 3{,}14 \cdot 0{,}75^2 = 3{,}14 \cdot 0{,}5625 = 1{,}76625 \approx 1{,}77$ (m²).
Klaidingas kelias: į ploto formulę įrašomas skersmuo, $3{,}14 \cdot 1{,}5^2 = 7{,}065$ m². Toks plotas keturis kartus per didelis: skersmuo dvigubai ilgesnis už spindulį, o formulėje jis keliamas kvadratu, $2^2 = 4$ .
Patikriname: $2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}75 = 4{,}71$ – gavome duotą apimtį.

Atsakymas: skersmuo 1,5 m, skerspjūvio plotas apie 1,77 m².

Apskritimo lanko ilgis ir skritulio išpjovos plotas

Du apskritimo taškai jį padalija į du lankus. Centrinio kampo kraštinės eina per lanko galus. Lankas matuojamas ne tik ilgiu, bet ir laipsniais: jo laipsninis matas lygus centrinio kampo didumui.

Styga – atkarpa, jungianti du apskritimo taškus. Skritulio nuopjova – skritulio dalis tarp stygos ir lanko; ją lengva supainioti su išpjova. Išpjovos kraštas visada eina per centrą, o nuopjovos – tik tada, kai styga yra skersmuo.

Kai žinomas lanko ilgis, o kampas ne, iš lanko ilgio formulės išreikšk $\alpha$ : $\alpha = \frac{360 \cdot C_{\text{išpj.}}}{2\pi R}$ . Pavyzdžiui, kai $R = 10$ , o lankas $5\pi$ , $\alpha = \frac{360 \cdot 5\pi}{20\pi} = 90^\circ$ .

Mažesniosios nuopjovos plotą rasi iš išpjovos ploto atėmęs trikampio plotą. Tą trikampį sudaro du spinduliai ir styga. Kai $\alpha = 90^\circ$ , tas trikampis statusis, o jo plotas $\frac{R^2}{2}$ . Kai kampas kitas, trikampio plotą randi pagal 10 klasės formulę $S = \frac{1}{2} ab \cdot \sin \angle C$ . Joje abi kraštinės lygios $R$ , o kampas tarp jų – $\alpha$ . Ši formulė yra 2026 m. PUPP formulių lapo skyriuje „Trikampio plotas“.

Pilname sprendime kiekviename žingsnyje rašyk formulę, įstatytas reikšmes ir matavimo vienetus – kaip kepurės pavyzdyje.

Išpjovą riboja du spinduliai ir lankas, nuopjovą – styga ir lankas.

Karnavalinė kepurė iš išpjovos (pilnas sprendimas)

Karnavalinė kepurė – kūgis, susuktas iš kartoninės skritulio išpjovos, kurios spindulys 24 cm, o centrinis kampas $120^\circ$ . Kraštai suklijuojami be užlaidos. a) Apskaičiuok išpjovos lanko ilgį – tai kepurės apačios krašto ilgis. b) Rask kepurės apačios spindulį. c) Kiek kartono sunaudota kepurei? Lanko ilgį ir plotą užrašyk tiksliai ir suapvalinęs iki dešimtųjų; apytiksles reikšmes skaičiuok su skaičiuotuvo mygtuku $\pi$ .

Susukus išpjovą, jos lankas tampa kepurės apačios apskritimu, o spindulys – kūgio sudaromąja (atkarpa nuo viršūnės iki apačios krašto).

a) Pagal išpjovos lanko ilgio formulę, kai $R = 24$ cm ir $\alpha = 120^\circ$ : $\begin{aligned} C_{\text{išpj.}} &= \frac{2\pi \cdot 24}{360} \cdot 120 \\ &= 16\pi \approx 50{,}3 \text{ (cm)}. \end{aligned}$
b) Susukus kepurę, lankas tampa jos apačios apskritimu, kurio spindulys $r$ . Todėl $2\pi r = 16\pi$ , iš čia $r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8$ (cm).
c) Kartono plotas lygus išpjovos plotui: $\begin{aligned} S_{\text{išpj.}} &= \frac{\pi \cdot 24^2}{360} \cdot 120 \\ &= 192\pi \approx 603{,}2 \text{ (cm}^2\text{)}. \end{aligned}$
Patikriname: $120^\circ$ yra trečdalis $360^\circ$ , todėl lankas turi būti trečdalis viso apskritimo ( $48\pi : 3 = 16\pi$ ), o plotas – trečdalis viso skritulio ( $576\pi : 3 = 192\pi$ ). Abu rezultatai sutampa.

Atsakymas: a) $16\pi \approx 50{,}3$ cm; b) 8 cm; c) $192\pi \approx 603{,}2$ cm².

Įrodyk: išpjovos plotas lygus pusei lanko ilgio ir spindulio sandaugos

Skritulio spindulys $R$ , išpjovos centrinis kampas $\alpha$ , jos lanko ilgis $C_{\text{išpj.}}$ , o plotas $S_{\text{išpj.}}$ . Įrodyk, kad $S_{\text{išpj.}} = \frac{1}{2} C_{\text{išpj.}} \cdot R$ .

Užrašome lanko ilgio formulę: $C_{\text{išpj.}} = \frac{2\pi R}{360} \cdot \alpha$ .
Padauginame abi jos puses iš $\frac{R}{2}$ : $\begin{aligned} \tfrac{1}{2} C_{\text{išpj.}} \cdot R &= \frac{2\pi R \cdot R}{2 \cdot 360} \cdot \alpha \\ &= \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha. \end{aligned}$
Dešinėje gavome išpjovos ploto formulę, todėl $\frac{1}{2} C_{\text{išpj.}} \cdot R = S_{\text{išpj.}}$ . Tai ir reikėjo įrodyti.
Pasitikriname su kepurės pavyzdžiu: $\frac{1}{2} \cdot 16\pi \cdot 24 = 192\pi$ – tiek pat, kiek gavome pagal ploto formulę. Lygybė primena trikampio plotą $\frac{1}{2} a h$ : išpjova elgiasi kaip trikampis, kurio pagrindas – lankas, o aukštinė – spindulys.

Atsakymas: $S_{\text{išpj.}} = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha = \frac{1}{2} C_{\text{išpj.}} \cdot R$ , ką ir reikėjo įrodyti.

Apskritimo kampai Centrinis ir įbrėžtinis kampas, liestinė ir styga.
Ritinys, kūgis ir rutulys Kūgio išklotinė, paviršiaus plotas ir tūris.

Dažnos klaidos skaičiuojant apskritimo ilgį ir skritulio plotą

Šias klaidas lengva padaryti net mokant formules. Prieš rašydamas atsakymą, peržvelk sąrašą:

Vietoj spindulio įrašomas skersmuo. Tada apskritimo ilgis gaunamas du kartus, o plotas – keturis kartus per didelis. Jei duotas skersmuo, pirmiausia užsirašyk $R = \frac{d}{2}$ .
Supainiojamos formulės $2\pi R$ ir $\pi R^2$ . Padeda vienetai. Ilgis matuojamas centimetrais ar metrais, todėl jo formulėje spindulys pirmuoju laipsniu. Plotas matuojamas kvadratiniais vienetais, todėl jo formulėje spindulys pakeltas kvadratu.
Kvadratu pakeliamas ne tas skaičius. Formulėje $\pi R^2$ kvadratu keliamas tik spindulys: kai $R = 3$ , $\pi R^2 = 9\pi$ , o ne $(3\pi)^2 = 9\pi^2$ .
Per anksti apvalinama. Jei prašoma tikslaus atsakymo, palik $\pi$ . Jei apytikslio, $\pi$ skaičiumi pakeisk tik paskutiniame žingsnyje ir apvalink vieną kartą.
Pusskritulio perimetre pamirštamas skersmuo. Pusskritulio kraštą sudaro pusė apskritimo ir skersmuo: $P = \pi R + 2R$ , o ne vien $\pi R$ .
Išpjovos uždavinyje paimamas ne tas kampas. Jei iš skritulio išpjauta $80^\circ$ išpjova, likusios dalies kampas yra $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$ . Kampas į formulę įrašomas laipsniais ir dalijamas iš 360, ne iš 180.

Apskritimo ilgis ir skritulio plotas NMPP 8 ir PUPP užduotyse

NMPP – nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas, PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. Apskritimo ilgio ir skritulio ploto mokomasi 7 klasėje. Tada skaičiuojamos ir paprastos skritulio dalys, pavyzdžiui, ketvirtis skritulio. Skritulio išpjova, nuopjova ir lanko laipsninis matas apibrėžiami 9 klasėje. Čia nurodytos 2027 m. patikrinimų datos. Kokių uždavinių gali būti ir kokias priemones galima naudoti, parašyta pagal 2026 m. aprašus, nes nauji aprašai dar nepatvirtinti.

Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Apskritimo ilgio ir skritulio ploto uždavinių per jį gali būti: tai 7 klasės turinys. Tas pats tinka paprastoms skritulio dalims, pavyzdžiui, ketvirčio skritulio plotui ar ketvirčio apskritimo ilgiui. Pagal 2026 m. NMPP 8 užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Šių temų tarp išimčių nėra. Išpjovos formulės su kampu $\alpha$ – jau 9 klasės turinys, todėl per NMPP 8 jų nereikės.
NMPP 8 priemonės pagal 2026 m. aprašą: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, atsakymą palik su $\pi$ arba skaičiuok ranka, imdamas $\pi \approx 3{,}14$ . Daugiau apie šį patikrinimą – puslapyje matematikos NMPP 8 klasei.
Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Jame apskritimo ilgis ir skritulio plotas naudojami 9–10 klasių uždaviniuose: skaičiuojant išpjovos lanką ir plotą, nuopjovos plotą, sudėtinių figūrų plotus.
PUPP formulių rinkinys pagal 2026 m. aprašą: oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jame yra išpjovos lanko ilgio ir išpjovos ploto formulės. Viso apskritimo ilgio ir viso skritulio ploto formulių jame nėra. Jas reikia mokėti mintinai arba gauti iš išpjovos formulių, įstačius $\alpha = 360$ . Kas dar yra rinkinyje, aprašyta puslapyje PUPP formulių rinkinys.
PUPP priemonės pagal 2026 m. aprašą: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Vadinasi, skaičiuotuvu naudotis galima. Jei sąlyga nenurodo imti $\pi \approx 3{,}14$ , naudok skaičiuotuvo mygtuką $\pi$ ir apvalink tik taip, kaip prašoma.
2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė, kad NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui. Kai nauji aprašai bus patvirtinti, verta pasitikrinti, ar kas nepasikeitė.

Matematikos NMPP 8 klasei Data, užduoties sandara ir uždaviniai be skaičiuotuvo.
PUPP formulių rinkinys Kas yra rinkinyje ir ką reikia mokėti mintinai.
Matematikos PUPP Data, vertinimas ir pasiruošimo planas.
NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF) Formulių rinkinys – aprašo priede.

Apskritimo ilgis ir skritulio plotas: uždaviniai su atsakymais

Dešimt uždavinių suskirstyta pagal sunkumą. Pirmiausia išspręsk pats, tik tada atsiversk atsakymą. Lengvesnius spręsk be skaičiuotuvo. Kiekvieną situaciją nusibraižyk ir pažymėk, kas duota: spindulys ar skersmuo.

Lengvesni

1. Cirko arenos kraštas yra apskritimas, kurio spindulys 6,5 m. Kokio ilgio arenos kraštas? Atsakymą užrašyk su $\pi$ ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $13\pi \approx 40{,}8$ m.

$C = 2\pi \cdot 6{,}5 = 13\pi$ ; ranka $13 \cdot 3{,}14 = 40{,}82 \approx 40{,}8$ (m).

2. Apskritimo skersmuo 7 cm. Kuris skaičius artimiausias jo ilgiui centimetrais? Skaičiuotuvu nesinaudok. A) 14; B) 22; C) 38; D) 44.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B) 22.

$C = \pi d \approx 3{,}14 \cdot 7 = 21{,}98$ . Variantas A – du skersmenys, C – skritulio plotas ( $\pi \cdot 3{,}5^2 \approx 38{,}5$ ), o D gaunamas, kai į $2\pi R$ vietoj spindulio įrašomas skersmuo.

3. Skritulio spindulys 6 cm. Kiekvienam dydžiui A–C parink jo reikšmę iš 1–4; viena reikšmė liks nepanaudota. A) apskritimo ilgis (cm); B) skritulio plotas (cm²); C) pusės skritulio plotas (cm²). 1) $6\pi$ ; 2) $12\pi$ ; 3) $18\pi$ ; 4) $36\pi$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A – 2, B – 4, C – 3; reikšmė 1 lieka nepanaudota.

$C = 2\pi \cdot 6 = 12\pi$ , $S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ , pusė ploto – $18\pi$ . Reikšmė $6\pi$ – pusė apskritimo ilgio.

Vidutiniai

4. Apvalaus batuto plotas $9\pi$ m². Kokio ilgio jo kraštas? Atsakymą užrašyk tiksliai ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $6\pi \approx 18{,}8$ m.

Iš $\pi R^2 = 9\pi$ gauname $R^2 = 9$ , $R = 3$ m (spindulys negali būti neigiamas). Krašto ilgis $C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \approx 18{,}8$ (m).

5. Automobilio stiklo valytuvo svirtis yra 54 cm ilgio ir vienu mostu pasisuka $100^\circ$ kampu. Kokio ilgio lanką nubrėžia svirties galas per vieną mostą? Atsakymą užrašyk tiksliai ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $30\pi \approx 94{,}2$ cm.

$C_{\text{išpj.}} = \frac{2\pi \cdot 54}{360} \cdot 100 = 30\pi \approx 94{,}2$ (cm).

6. Išdėstyk skritulio išpjovas nuo mažiausio iki didžiausio ploto. A) $R = 6$ cm, $\alpha = 120^\circ$ ; B) $R = 9$ cm, $\alpha = 40^\circ$ ; C) $R = 4$ cm, $\alpha = 225^\circ$ ; D) $R = 12$ cm, $\alpha = 20^\circ$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: D, B, C, A.

Plotai: A – $\frac{\pi \cdot 36}{360} \cdot 120 = 12\pi$ , B – $9\pi$ , C – $10\pi$ , D – $8\pi$ (cm²). Didžiausią kampą turi C, o didžiausią spindulį – D, tačiau nė vienos iš jų plotas nėra didžiausias: plotas priklauso ir nuo kampo, ir nuo spindulio kvadrato.

7. Skritulio spindulys 15 cm, o išpjovos lanko ilgis $5\pi$ cm. a) Rask išpjovos centrinį kampą. b) Rask išpjovos plotą tiksliai ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $60^\circ$ ; b) $37{,}5\pi \approx 117{,}8$ cm².

a) Viso apskritimo ilgis $2\pi \cdot 15 = 30\pi$ cm, o lankas $5\pi$ cm sudaro šeštadalį jo, todėl $\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ . b) Pagal įrodytą formulę $S = \frac{1}{2} \cdot 5\pi \cdot 15 = 37{,}5\pi \approx 117{,}8$ (cm²); tą patį duoda $\frac{\pi \cdot 15^2}{360} \cdot 60$ .

Sunkesni

8. Skritulio su centru $O$ spindulys 10 cm. Styga $AB$ atkerta nuopjovą, o centrinis kampas $AOB$ lygus $90^\circ$ . Rask mažesniosios nuopjovos plotą tiksliai ir suapvalinęs iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $25\pi - 50 \approx 28{,}5$ cm².

Išpjovos plotas $\frac{\pi \cdot 10^2}{360} \cdot 90 = 25\pi$ . Trikampis $AOB$ statusis, jo statiniai – spinduliai, todėl jo plotas $\frac{10 \cdot 10}{2} = 50$ . Nuopjovos plotas = išpjovos plotas − trikampio plotas $= 25\pi - 50 \approx 28{,}5$ (cm²).

9. Bėgimo tako posūkį sudaro du pusapskritimiai su tuo pačiu centru: vidinės linijos spindulys 36 m, išorinės – 44 m. a) Kiek metrų ilgesnė išorinė linija posūkyje? b) Ar skirtumas pasikeistų, jei abu spinduliai būtų 100 m didesni?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $8\pi \approx 25{,}1$ m; b) ne, skirtumas liktų $8\pi$ m.

Pusapskritimio ilgis lygus $\pi R$ . a) $44\pi - 36\pi = 8\pi \approx 25{,}1$ (m). b) $\pi(R + 8) - \pi R = 8\pi$ : skirtumas priklauso tik nuo atstumo tarp linijų, o ne nuo spindulių.

10. Kvadratinės plytelės kraštinė 20 cm. Joje nupieštas didžiausias telpantis skritulys. Kiek procentų plytelės ploto jis užima? Atsakymą suapvalink iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: apie 78,5 %.

Skritulio skersmuo lygus kvadrato kraštinei, todėl $R = 10$ cm, o skritulio plotas $100\pi \approx 314{,}16$ cm². Plytelės plotas $20^2 = 400$ cm². Dalis $\frac{100\pi}{400} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$ , o išreikšta procentais – 78,5 %. Kokio dydžio bebūtų plytelė, dalis ta pati – $\frac{\pi}{4}$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Kaip žymimas apskritimo ilgis?

Apskritimo ilgį įprasta žymėti raide C, spindulį – R (arba mažąja r), skersmenį – d. Panašiai žymima ir 2026 m. PUPP formulių lape: spindulys ten R, o išpjovos lanko ilgis – C su indeksu „išpj.“. Raidė nėra svarbiausia: sprendime užtenka parašyti, ką ji reiškia, pavyzdžiui, „C – apskritimo ilgis“.

Koks apskritimo ilgio ir skersmens santykis?

Bet kurio apskritimo ilgio ir skersmens (dar vadinamo diametru) santykis lygus skaičiui π, maždaug 3,14. Vadinasi, apskritimo ilgis šiek tiek daugiau nei tris kartus didesnis už skersmenį: C = π · d. Atvirkščiai, skersmuo d = C : π. Pavyzdžiui, jei apskritimo ilgis 31,4 cm, skersmuo apie 10 cm.

Kuo skiriasi skritulio plotas ir apskritimo ilgis?

Skritulio perimetras – tai jį ribojančio apskritimo ilgis, matuojamas ilgio vienetais (cm, m): P = 2πR. Plotas parodo, kiek vietos užima visas skritulys, ir matuojamas kvadratiniais vienetais (cm², m²): S = πR². Kai spindulys 2 cm, perimetras yra 4π cm, o plotas 4π cm²: skaičiai sutampa, bet dydžiai skirtingi. Kai spindulys didesnis nei 2 cm, ploto skaitinė reikšmė didesnė už perimetro, o kai mažesnis – mažesnė.

Kaip rasti skritulio nuopjovos plotą?

Nuopjova – skritulio dalis tarp stygos ir lanko. Mažesniosios nuopjovos plotas lygus išpjovos su tuo pačiu lanku plotui, iš kurio atimtas trikampio, sudaryto iš dviejų spindulių ir stygos, plotas. Pavyzdžiui, kai spindulys 6 cm, o centrinis kampas 60 laipsnių, išpjova sudaro šeštadalį skritulio, jos plotas 36π : 6 = 6π cm². Trikampio dvi kraštinės po 6 cm, o kampas tarp jų 60 laipsnių, todėl jis lygiakraštis ir jo plotas 9 · šaknis iš 3, apie 15,6 cm². Nuopjovos plotas (6π − 9 · šaknis iš 3) cm², apie 3,3 cm².

Taip pat: Plotas, perimetras ir tūris · Ritinys, kūgis, rutulys · Apskritimo kampai · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos PUPP

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt