Trikampis: plotas, kampų suma, aukštinė, pusiaukraštinė ir pusiaukampinė

Trikampio ploto formulės ir kada kurią taikyti

Kraštinės žymimos $a$, $b$, $c$, prieš jas esantys kampai – $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. Aukštinė $h_a$ nuleista į kraštinę $a$. Raide $p$ žymimas pusperimetris – pusė perimetro. Raidė $r$ žymi į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį: toks apskritimas liečia visas tris kraštines. Raidė $R$ žymi apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulį: toks apskritimas eina per visas tris viršūnes.

Ne visos lentelės formulės skirtos tavo klasei. Penktoje klasėje skaičiuojamas tik stačiojo trikampio plotas. Formulė $\frac{1}{2}ah$ pagrindžiama 7 klasėje. Formulės su sinusu, $r$ ir $R$ – 10 klasės turinys. Lentelėje taip pat pažymėta, kurios formulės yra PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) formulių lape, o kurias reikia išmokti mintinai.

Visos ploto formulės duoda tą patį plotą, tik iš skirtingų duomenų, todėl rinkis tą, kurios dydžius žinai (žr. lentelę). Jas taikyk ir atvirkščiai. Radęs plotą, gausi bet kurią aukštinę $h_a = \frac{2S}{a}$: kai $S = 24$ cm², o $a = 8$ cm, $h_a = \frac{2 \cdot 24}{8} = 6$ cm. Taip pat gausi $r = \frac{S}{p}$ ir $R = \frac{abc}{4S}$.

• Plotas, perimetras ir tūris Stačiakampio ir kvadrato plotas, ploto vienetai – nuo jų prasideda trikampio plotas.
• Visos formulės Visų temų formulės, surinktos vienoje vietoje.

Kaip apskaičiuojamas trikampio plotas?

Aukštinė – statmuo, nuleistas iš trikampio viršūnės į prieš ją esančią kraštinę arba jos tęsinį. Kiekviena kraštinė turi savo aukštinę, todėl trikampis turi tris aukštines.

Kodėl plotas lygus pusei kraštinės ir aukštinės sandaugos? Ant kraštinės $a$ pastatyk stačiakampį, kurio aukštis lygus $h_a$: trečioji trikampio viršūnė atsidurs ant priešingos stačiakampio kraštinės. Aukštinė padalija trikampį į du stačiuosius trikampius, o stačiakampį – į du mažesnius stačiakampius. Kiekvienas statusis trikampis yra pusė savo stačiakampio, todėl visas trikampis – pusė didžiojo: $S = \frac{1}{2}ah_a$. Kai kampas prie kraštinės bukas, aukštinė krinta ant kraštinės tęsinio. Tada trikampis yra dviejų stačiųjų trikampių skirtumas, o formulė lieka ta pati.

Trikampio plotas tas pats, kurią kraštinę beimtum, todėl $\frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$. Vadinasi, į ilgesnę kraštinę nuleista trumpesnė aukštinė. Aukštinę visada imk kartu su ta kraštine, į kurią ji nuleista.

Kaip apskaičiuojamas stačiojo trikampio plotas?

Stačiojo trikampio kraštinės prie stačiojo kampo vadinamos statiniais, o kraštinė prieš statųjį kampą – įžambine. Statiniai statmeni vienas kitam, todėl vienas statinis yra aukštinė, nuleista į kitą, ir $S = \frac{1}{2}ab$. Tai matyti ir be formulės: du vienodi statieji trikampiai, sudėti įžambinėmis, sudaro stačiakampį su kraštinėmis $a$ ir $b$. Taip stačiojo trikampio plotas skaičiuojamas 5 klasėje: jis lygus pusei stačiakampio ploto. Pavyzdžiui, kai statiniai 4 cm ir 6 cm, stačiakampio plotas yra 24 cm², o trikampio – 12 cm².

Aukštinę, nuleistą į įžambinę, rasi per plotą: $\frac{1}{2}ch_c = \frac{1}{2}ab$, todėl $h_c = \frac{ab}{c}$. Pavyzdžiui, kai statiniai 9 cm ir 12 cm, įžambinė pagal Pitagoro teoremą lygi 15 cm, plotas – 54 cm², o $h_c = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7{,}2$ cm.

Stačiajame trikampyje statinis, esantis prieš $30^\circ$ kampą, lygus pusei įžambinės. Pavyzdžiui, jei įžambinė lygi 10 cm, statinis prieš $30^\circ$ kampą lygus 5 cm. Kodėl? Nubrėžk trikampiui simetrišką trikampį ilgesniojo statinio atžvilgiu. Abu kartu jie sudaro naują trikampį. Jo kampas toje viršūnėje, kur buvo $30^\circ$, padvigubėja: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Kiti du jo kampai – po $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Todėl naujasis trikampis lygiakraštis: visos jo kraštinės lygios įžambinei $c$. Viena iš jų sudaryta iš trumpojo statinio ir jo atspindžio, todėl trumpasis statinis lygus pusei $c$. Galioja ir atvirkščiai: jei statinis lygus pusei įžambinės, prieš jį esantis kampas lygus $30^\circ$. Žinodamas įžambinę ir $30^\circ$ kampą, trumpąjį statinį randi be skaičiuotuvo, o ilgąjį – pagal Pitagoro teoremą.

Kaip skaičiuojamas lygiašonio trikampio plotas?

Lygiašonio trikampio dvi kraštinės lygios – jos vadinamos šoninėmis, o trečioji – pagrindu. Kampai prie pagrindo lygūs. Aukštinė, nuleista į pagrindą, dalija pusiau ir pagrindą, ir viršūnės kampą. Todėl ji kartu yra pusiaukraštinė ir pusiaukampinė (apie jas – žemiau).

Pažymėkime šoninę kraštinę $b$, o pagrindą $a$. Aukštinė į pagrindą randama iš stačiojo trikampio, kurio įžambinė yra šoninė kraštinė, o statinis – pusė pagrindo: $h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$. Tada $S = \frac{1}{2}ah$. Dažna klaida – Pitagoro teoremoje imti visą pagrindą, o ne jo pusę.

Lygiakraštis trikampis – atskiras lygiašonio atvejis, kai visos kraštinės lygios $a$. Jo aukštinė $h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, todėl plotas $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Pavyzdžiui, kai $a = 4$ cm, $S = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ cm². Jei žinomos šoninės kraštinės $b$ ir kampas $\alpha$ tarp jų, aukštinės nereikia: $S = \frac{1}{2}b^2 \sin \alpha$.

Trikampio plotas su sinusu, Herono formulė ir spinduliai

Kai žinomos dvi kraštinės $a$, $b$ ir kampas $C$ tarp jų, aukštinę gauni iš stačiojo trikampio: $h_a = b \sin C$. Įrašęs ją į $S = \frac{1}{2}ah_a$, gauni $S = \frac{1}{2}ab \sin C$. Formulė tinka ir bukam kampui, nes $\sin(180^\circ - C) = \sin C$. Kaip apskaičiuojamas kampo sinusas, aiškinama trigonometrijos puslapyje.

Herono formulė plotą duoda vien iš kraštinių. Pirma apskaičiuok pusperimetrį $p$, tada skirtumus $p - a$, $p - b$, $p - c$. Visi jie turi būti teigiami, kitaip tokio trikampio nėra. Prieš traukdamas šaknį, sandaugą išskaidyk dauginamaisiais. Taip lengviau pamatyti, ar šaknis ištraukiama tiksliai: pavyzdžiui, $\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12$.

Kodėl $S = rp$? Įbrėžto apskritimo centras $I$ vienodai nutolęs nuo visų kraštinių: atstumas iki kiekvienos lygus $r$. Sujungęs $I$ su viršūnėmis, trikampį padalysi į tris trikampius, kurių pagrindai $a$, $b$, $c$, o aukštinės lygios $r$: $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = rp$.

Formulė $S = \frac{abc}{4R}$ išplaukia iš sinusų teoremos: $c = 2R \sin C$, todėl $\sin C = \frac{c}{2R}$. Įrašę tai į $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, gauname $S = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{c}{2R} = \frac{abc}{4R}$. Pačios sinusų ir kosinusų teoremos aiškinamos atskirame puslapyje.

• Sinusų ir kosinusų teoremos Kaip rasti nežinomą trikampio kraštinę ar kampą ir apibrėžto apskritimo spindulį.
• Trigonometrija stačiajame trikampyje Sinusas, kosinusas ir tangentas, 30°, 45° ir 60° kampų reikšmės.

Trikampių rūšys, kampų suma ir lygiagrečios tiesės

Pagal kraštines trikampis būna įvairiakraštis, lygiašonis arba lygiakraštis. Įvairiakraščio trikampio visos kraštinės skirtingos, lygiašonio bent dvi lygios, lygiakraščio – visos trys lygios. Todėl lygiakraštis trikampis yra ir lygiašonis. Pagal kampus trikampis būna smailusis, statusis arba bukasis. Smailiojo trikampio visi kampai mažesni už $90^\circ$, stačiojo vienas kampas lygus $90^\circ$, bukojo vienas kampas didesnis už $90^\circ$.

Ne iš bet kokių trijų atkarpų galima sudaryti trikampį: kiekviena kraštinė turi būti trumpesnė už kitų dviejų sumą (trikampio nelygybė). Užtenka patikrinti ilgiausią kraštinę: iš 3 cm, 4 cm ir 8 cm atkarpų trikampio nesudarysi, nes $3 + 4 < 8$.

Tiesė, kertanti dvi lygiagrečias tieses, vadinama kirstine. Prie kirstinės susidaro kelių rūšių kampų poros. Atitinkamieji kampai (toje pačioje vietoje prie abiejų tiesių) lygūs. Vidaus priešiniai kampai (tarp lygiagrečiųjų, skirtingose kirstinės pusėse) irgi lygūs. Vidaus vienašalių kampų (tarp lygiagrečiųjų, toje pačioje kirstinės pusėje) suma lygi $180^\circ$: jei vienas lygus $70^\circ$, kitas lygus $110^\circ$. Galioja ir atvirkščiai: jei atitinkamieji arba vidaus priešiniai kampai lygūs, tiesės lygiagrečios.

Iš to išplaukia, kad bet kurio trikampio kampų suma lygi $180^\circ$. Per viršūnę $C$ nubrėžk tiesę, lygiagrečią $AB$. Prie taško $C$ susidaro trys kampai, kurie kartu sudaro ištiestinį kampą – $180^\circ$. Kampas tarp naujosios tiesės ir kraštinės $CA$ lygus $\angle A$, o kampas tarp jos ir kraštinės $CB$ lygus $\angle B$, nes jie yra vidaus priešiniai. Vidurinis kampas yra pats $\angle C$. Todėl $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ – tai matyti ir pavyzdyje.

Iš to išplaukia kelios išvados. Trikampyje gali būti tik vienas statusis arba bukas kampas. Stačiojo trikampio du smailieji kampai kartu sudaro $90^\circ$. Lygiakraščio trikampio kiekvienas kampas lygus $180^\circ : 3 = 60^\circ$. Priekampis – tai kampas, gretutinis trikampio kampui. Jis lygus kitų dviejų trikampio kampų sumai. Pavyzdžiui, jei trikampio kampai $50^\circ$, $60^\circ$ ir $70^\circ$, priekampis prie $70^\circ$ kampo lygus $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$, o tai yra $50^\circ + 60^\circ$.

• Keturkampiai Lygiagretainis, rombas, trapecija ir daugiakampio kampų suma.

Aukštinė, pusiaukraštinė, pusiaukampinė ir vidurio linija

Iš viršūnės į prieš ją esančią kraštinę brėžiamos trys svarbios atkarpos. Aukštinė yra statmena tai kraštinei. Pusiaukraštinė eina į tos kraštinės vidurio tašką. Pusiaukampinė dalija viršūnės kampą pusiau. Įvairiakraščiame trikampyje tai trys skirtingos atkarpos (žr. brėžinį). Lygiašoniame trikampyje į pagrindą nuleista aukštinė sutampa ir su pusiaukraštine, ir su pusiaukampine.

Pusiaukraštinė dalija trikampį į du trikampius, kurių plotai lygūs (įrodymas – antrajame pavyzdyje). Visos trys pusiaukraštinės susikerta viename taške. Tas taškas kiekvieną pusiaukraštinę dalija santykiu $2 : 1$, skaičiuojant nuo viršūnės. Pavyzdžiui, jei pusiaukraštinė lygi 9 cm, nuo viršūnės iki susikirtimo taško yra 6 cm, o toliau – 3 cm.

Pusiaukampinė dalija prieš kampą esančią kraštinę į dvi dalis. Jų santykis lygus gretimų kraštinių santykiui: jei $AD$ – kampo $A$ pusiaukampinė, tai $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Pavyzdžiui, jei $AB$ dvigubai ilgesnė už $AC$, tai ir $BD$ dvigubai ilgesnė už $DC$. Visos trys pusiaukampinės susikerta viename taške – į trikampį įbrėžto apskritimo centre. Apie trikampį apibrėžto apskritimo centras – taškas, kuriame susikerta kraštinių vidurio statmenys: tiesės, statmenos kraštinėms ir einančios per jų vidurio taškus.

Vidurio linija jungia dviejų kraštinių vidurio taškus. Ji lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei: jei trečioji kraštinė lygi 10 cm, vidurio linija lygi 5 cm. Trys vidurio linijos padalija trikampį į keturis lygius trikampius: kiekvieno plotas – ketvirtadalis viso ploto, o perimetras – pusė viso perimetro.

• Trikampių panašumas Lygumo ir panašumo požymiai, panašumo koeficientas, panašiųjų trikampių plotų santykis.
• Apskritimo kampai Centrinis ir įbrėžtinis kampas, liestinė, įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai keturkampiai.

Dažnos klaidos skaičiuojant trikampio plotą

Šios klaidos duoda teisingai atrodantį, bet neteisingą atsakymą, todėl baigęs uždavinį patikrink:

• Vietoj aukštinės paimama pasvirusi kraštinė. Aukštinė statmena kraštinei, o pasvirusi kraštinė už ją ilgesnė, todėl plotas išeina per didelis.
• Pamirštama pusė: $ah$ yra lygiagretainio, o ne trikampio plotas. Tas pats nutinka ir formulėje su sinusu.
• Kraštinė ir aukštinė paimamos iš skirtingų porų. Į $\frac{1}{2}ah_a$ dedama kraštinė ir būtent į ją nuleista aukštinė.
• Formulėje su sinusu imamas ne tas kampas. Reikia kampo tarp dauginamų kraštinių, o ne kampo prieš vieną iš jų.
• Herono formulėje vietoj pusperimetrio įrašomas visas perimetras.
• Painiojami plotas ir perimetras arba vienetai: perimetras matuojamas cm, plotas – cm². Skirtingais vienetais duotus ilgius pirma suvienodink.

Trikampis NMPP 8 ir PUPP užduotyse

Trikampio žinios kaupiasi nuo 5 iki 10 klasės, todėl NMPP (nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas) 8 klasėje ir PUPP jas apima skirtingai. Čia nurodytos 2027 m. patikrinimų datos. 2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė naujų NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Kol jie nepatvirtinti, turinys ir priemonės nurodyti pagal 2026 m. tvarką.

• NMPP 8: kas gali būti. Matematikos NMPP aštuntokams vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Plokštumos figūrų šiame sąraše nėra. Vadinasi, gali būti uždavinių apie trikampio kampus, plotą $\frac{1}{2}ah$, lygiašonio trikampio savybes, vidurio liniją ir $30^\circ$ savybę.
• NMPP 8: priemonės. Pagal 2026 m. aprašą: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, skaičiuosi be skaičiuotuvo, todėl daugink patogia tvarka: $\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168$. Plačiau – puslapyje matematikos NMPP 8 klasei.
• PUPP: kas gali būti. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Trikampio geometrija – ne ši sritis. Vadinasi, gali būti ir 10 klasės trikampio temų: ploto su sinusu, $S = rp$, $S = \frac{abc}{4R}$, pusiaukraštinių ir pusiaukampinių savybių. Reikės ir 5–8 klasių žinių apie trikampį.
• PUPP: formulių rinkinys. 2026 m. tvarka: oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jame yra penkios ploto formulės (lentelėje jos pažymėtos „Yra PUPP formulių lape“) ir pusperimetris. Nėra trikampio kampų sumos (yra tik daugiakampio), Pitagoro teoremos, lygiakraščio trikampio ploto ir trikampio elementų savybių – jas išmok mintinai. Plačiau – puslapyje PUPP formulių rinkinys.
• PUPP: priemonės. Pagal 2026 m. tvarką: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Jei sąlyga prašo tikslaus atsakymo, palik šaknį: $10\sqrt{3}$, o ne $17{,}32$.

• Matematikos NMPP 8 klasei Data, užduoties sandara, temos ir uždaviniai be skaičiuotuvo.
• PUPP formulių rinkinys Kas yra rinkinyje ir ką reikia mokėti mintinai.
• Matematikos PUPP Data, vertinimas ir pasiruošimo planas.

Trikampio plotas ir kampai: uždaviniai su atsakymais

Lengvesnius uždavinius spręsk be skaičiuotuvo. Kiekvienam nusibraižyk trikampį ir pažymėk, kas duota: brėžinys parodo, kuri aukštinė priklauso kuriai kraštinei ir kuris kampas yra tarp duotų kraštinių.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni

• PUPP užduotys pagal temas Savos PUPP formato užduotys su sprendimais, tarp jų ir geometrijos.
• Užduotys 8 klasei Kampai, plotai, vidurio linijos ir Pitagoro teorema kartu su kitomis 8 klasės temomis.