Kosinusų ir sinusų teoremos: formulės, įrodymai ir uždaviniai

Kosinusų ir sinusų teoremų formulės

Kraštinės žymimos mažosiomis raidėmis pagal priešais esančią viršūnę: $a = BC$ yra prieš kampą $A$, $b = AC$ – prieš kampą $B$, $c = AB$ – prieš kampą $C$. Taip raidės parašytos ir formulių rinkiniuose, todėl šį susitarimą verta įsiminti iš karto.

Kosinusų teorema galioja kiekvienai kraštinei: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos \angle B$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \angle C$. Kairėje visada yra kraštinės kvadratas, o dešinėje – dvi kitos kraštinės ir kampas tarp jų, esantis prieš tą kraštinę. Pavyzdžiui, jei $b = 3$, $c = 5$ ir $\angle A = 60^\circ$, tai $a^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 25 - 15 = 19$.

Sinusų teoremoje $R$ yra apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys. Tai apskritimas, einantis per visas tris trikampio viršūnes. Teoremos pabaiga „$= 2R$“ dar vadinama jos išvada. Pavyzdžiui, jei $a = 6$ ir $\angle A = 30^\circ$, tai $2R = \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{0{,}5} = 12$, todėl $R = 6$.

Lentelėje pažymėta, kurios formulės yra PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) formulių lape, o kurias reikia išmokti mintinai.

Kaip rasti trečiąją trikampio kraštinę?

Jei žinai dvi trikampio kraštines ir kampą tarp jų, trečiąją kraštinę randi kosinusų teorema. Įstatai skaičius, apskaičiuoji $a^2$ ir ištrauki kvadratinę šaknį. Kampas turi būti būtent tarp žinomų kraštinių.

Kodėl formulė teisinga? Toliau kampą $\angle A$ trumpai žymime $A$. Padėk trikampį koordinačių plokštumoje: viršūnė $A$ – koordinačių pradžioje, kraštinė $AB$ – teigiamoje $x$ ašyje, taigi $B(c; 0)$. Taškas $C$ nutolęs nuo $A$ atstumu $b$, o atkarpa $AC$ su teigiamąja $x$ pusašimi sudaro kampą $A$. Iš sinuso ir kosinuso apibrėžimo vienetiniame apskritime gauname $C(b\cos A;\, b\sin A)$. Pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę $$\begin{aligned} a^2 &= (b\cos A - c)^2 + (b\sin A)^2 \\ &= b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A \\ &\quad - 2bc\cos A + c^2 \\ &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A. \end{aligned}$$ Paskutiniame žingsnyje panaudota tapatybė $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Įrodymas tinka ir smailiajam, ir bukajam kampui.

Kai $A = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$, ir formulė virsta Pitagoro teorema $a^2 = b^2 + c^2$. Todėl kosinusų teorema vadinama apibendrinta Pitagoro teorema: narys $-2bc\cos A$ yra pataisa kampui, kuris nėra statusis.

Kosinusų teorema: kampas iš trijų kraštinių

Kai žinomos visos trys kraštinės, iš kosinusų teoremos išreiški kampo kosinusą: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Gautą kosinusą paverti kampu skaičiuotuvo klavišu $\cos^{-1}$ arba pagal reikšmių lentelę.

Vardiklis visada teigiamas, todėl kampo rūšį lemia skaitiklis. Jei $a^2 < b^2 + c^2$, kosinusas teigiamas ir kampas $A$ smailusis. Jei $a^2 = b^2 + c^2$, kampas statusis. Jei $a^2 > b^2 + c^2$, kosinusas neigiamas ir kampas bukasis. Taip trikampio rūšį nustatai neskaičiuodamas kampų: užtenka patikrinti kampą prieš ilgiausią kraštinę, nes jis didžiausias.

Intervale nuo $0^\circ$ iki $180^\circ$ kosinusas kiekvieną reikšmę įgyja tik vieną kartą. Todėl kampas iš kosinuso randamas vienareikšmiškai, kitaip nei iš sinuso.

Trikampio sinusų teorema ir apibrėžto apskritimo spindulys

Sinusų teorema sieja kiekvieną kraštinę su prieš ją esančiu kampu. Ji tinka, kai žinai porą „kraštinė ir priešingas kampas“ ir dar vieną dydį: kitą kampą arba kitą kraštinę. Jei žinomi du kampai ir bet kuri kraštinė, trečiąjį kampą gauni iš kampų sumos $180^\circ$, todėl tokia pora visada atsiranda.

Kodėl santykis lygus $2R$? Apie trikampį $ABC$ apibrėžk apskritimą su centru $O$ ir per viršūnę $B$ nubrėžk skersmenį $BD$ (žr. brėžinį). Kampas $BCD$ statusis, nes remiasi į skersmenį. Įbrėžtiniai kampai $BDC$ ir $BAC$ remiasi į tą pačią stygą $BC$, todėl jie lygūs arba jų suma lygi $180^\circ$. Abiem atvejais jų sinusai lygūs, nes $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Stačiajame trikampyje $BCD$ statinis $BC = BD \cdot \sin\angle BDC$, taigi $a = 2R \sin A$. Kai kampas $A$ statusis, pati $BC$ yra skersmuo ir $a = 2R$. Tas pats galioja kitoms viršūnėms: $b = 2R \sin B$, $c = 2R \sin C$.

Ieškant kampo pagal sinusų teoremą reikia atsargumo. Kiekvieną reikšmę tarp 0 ir 1 sinusas intervale nuo $0^\circ$ iki $180^\circ$ įgyja du kartus: kampams $\alpha$ ir $180^\circ - \alpha$. Pavyzdžiui, $\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = 0{,}5$. Skaičiuotuvas parodo tik smailųjį kampą. Ar tinka ir bukasis, spręsk pagal dvi taisykles: kampų suma lygi $180^\circ$, o prieš didesnę kraštinę visada yra didesnis kampas.

• Apskritimo kampai Įbrėžtinis kampas ir kampas, kuris remiasi į skersmenį.

Sinusų ar kosinusų teorema: kurią rinktis

Pirmiausia surašyk, kas žinoma, ir pažymėk tai brėžinyje. Tada teoremą pasirinkti padeda šis sąrašas.

• Žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų: kosinusų teorema duoda trečiąją kraštinę.
• Žinomos visos trys kraštinės: kosinusų teorema, išreikšta kampo kosinusu.
• Žinomi du kampai ir bet kuri kraštinė: trečiąjį kampą gauni iš sumos $180^\circ$, tada taikai sinusų teoremą.
• Žinomos dvi kraštinės ir kampas prieš vieną iš jų: sinusų teorema duoda kitą kampą, bet patikrink, ar netinka ir bukasis. Galima ir kosinusų teorema, tada gausi kvadratinę lygtį (žr. 10 uždavinį).
• Žinomas apibrėžto apskritimo spindulys: $a = 2R \sin A$.
• Trikampis statusis: paprasčiau tinka smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas.
• Klausiama ploto: kai jau žinai dvi kraštines ir kampą tarp jų, tinka trikampio ploto formulė su sinusu.

• Trigonometrija stačiajame trikampyje Smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas.
• Trikampis Visos trikampio ploto formulės, aukštinė, pusiaukraštinė ir pusiaukampinė.
• Vienetinis apskritimas Bukųjų kampų sinusas ir kosinusas.

Dažnos klaidos taikant sinusų ir kosinusų teoremas

• Kosinusų teoremoje paimamas ne tas kampas. Kampas turi būti tarp dviejų dešinėje esančių kraštinių, o kairėje – prieš jį esančios kraštinės kvadratas.
• Pamirštamas kosinuso ženklas. Bukojo kampo kosinusas neigiamas, todėl narys $-2bc\cos A$ tampa teigiamas: kai kampas lygus $120^\circ$, $a^2 = b^2 + c^2 + bc$.
• Atsakyme paliekamas $a^2$. Kosinusų teorema duoda kraštinės kvadratą, todėl pabaigoje reikia ištraukti šaknį.
• Ieškant kampo pagal sinusų teoremą, užrašomas tik skaičiuotuvo kampas. Patikrink ir $180^\circ - \alpha$: jis tinka, jei kampų suma lieka mažesnė už $180^\circ$ ir prieš didesnę kraštinę lieka didesnis kampas.
• Skaičiuotuvas nustatytas radianams. Tada kosinusas apskaičiuojamas visai kitam kampui. Prieš skaičiuodamas patikrink, ar ekrane rodomas laipsnių režimas (pavyzdžiui, D arba DEG).
• Tarpiniai rezultatai apvalinami per anksti. Laikyk visą skaičių skaičiuotuvo atmintyje ir apvalink tik galutinį atsakymą.

Sinusų ir kosinusų teoremos PUPP ir VBE

Abi teoremos yra 10 klasės geometrijos turinys. VBE – valstybinis brandos egzaminas. PUPP data nurodyta 2027 metams. Turinys, priemonės ir formulių lapai aprašyti pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. užduočių aprašai dar derinami.

• Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d., jį laiko 10 (II gimnazijos) klasės mokiniai. Sinusų ir kosinusų teoremų uždavinių per PUPP gali būti. Pagal 2026 m. PUPP aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Geometrijos tai neliečia.
• PUPP priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Vadinasi, pagal 2026 m. tvarką skaičiuotuvu naudotis buvo galima. Prieš pradėdamas patikrink, ar jis nustatytas laipsniams.
• PUPP formulių lapas (2026 m. tvarka): oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jame yra abi teoremos ir sinuso bei kosinuso reikšmių lentelė su bukaisiais kampais $120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$. Kosinusų teorema užrašyta tik kraštinei $a$ ir kampui $A$. Kampo kosinuso išraiškos lape nėra, todėl ją reikia gauti iš teoremos pačiam. Plačiau – puslapyje PUPP formulių rinkinys.
• VBE formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Abi teoremos yra abiejuose skyriuose, o rinkiniu naudojamasi ir pirmojoje, ir antrojoje egzamino dalyje. 11–12 klasėje šių teoremų atskirai nebesimokoma. Jos tampa įrankiu, kai reikia išspręsti trikampį, pavyzdžiui, erdvinio kūno pjūvyje.
• NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 1 d. paskelbė, kad viešam derinimui teikiamas atnaujintas PUPP užduoties aprašo projektas, o 2026 m. spalio 7 d. – kad teikiami atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai.

• Matematikos PUPP Data, užduoties sandara ir vertinimas.
• PUPP formulių rinkinys Kas yra lape ir ką reikia mokėti mintinai.
• PUPP užduotys pagal temas Geometrijos ir trigonometrijos uždaviniai su sprendimais.
• VBE formulių rinkinys A ir B kurso skyriai.
• Stereometrija Kur šios teoremos praverčia 11–12 klasėje.
• NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys – aprašo priede.

Sinusų ir kosinusų teoremų uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti pagal sunkumą. Kur reikia, naudokis skaičiuotuvu, nustatytu laipsniams. Pirmiausia pažymėk, kuri kraštinė yra prieš kurį kampą.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni