Stereometrija: tiesės, plokštumos, kampai ir atstumai erdvėje

Q: Kas yra stereometrija ir kuo ji skiriasi nuo planimetrijos?

Stereometrija – erdvės geometrija: joje atsiranda plokštumos, kūnai ir naujos tiesių padėtys, pavyzdžiui, prasilenkiančios tiesės. Planimetrija nagrinėja figūras, kurios guli vienoje plokštumoje: trikampius, keturkampius, apskritimus. Planimetrijos žinios nedingsta: kampai ir atstumai erdvėje galiausiai skaičiuojami plokštumos trikampiuose.

Q: Ko mokomasi stereometrijoje 12 klasėje?

Abiejuose kursuose mokomasi stereometrijos aksiomų, tiesių ir plokštumų padėčių, atstumų, kampo tarp tiesės ir plokštumos, dvisienio kampo, statmenumo ir lygiagretumo požymių ir kūnų pjūvių. Išplėstiniame (A) kurse dar nagrinėjami kampas ir atstumas tarp prasilenkiančių tiesių bei trijų statmenų teorema.

Q: Kurių stereometrijos formulių nėra VBE formulių rinkinyje?

Pagal 2026 m. rinkinį jame nėra Pitagoro teoremos, smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimų stačiajame trikampyje, stačiakampio gretasienio įstrižainės ir prizmės tūrio formulių. Kampo tarp tiesės ir plokštumos ir dvisienio kampo apibrėžimų ten taip pat nėra. Kosinusų ir sinusų teoremos, reikšmių lentelė, piramidės, ritinio, kūgio ir rutulio formulės rinkinyje yra.

Q: Kaip rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos?

Pasirink tiesės tašką ir nuleisk iš jo statmenį į plokštumą. Statmens pagrindą sujunk su tašku, kuriame tiesė kerta plokštumą: gausi tiesės projekciją. Kampas tarp tiesės ir projekcijos ir yra ieškomas kampas. Jį apskaičiuok stačiajame trikampyje, kurį sudaro statmuo, pasviroji ir projekcija.

Stereometrija – erdvės geometrija: ji nagrinėja tieses ir plokštumas erdvėje, kampus ir atstumus tarp jų bei erdvinius kūnus. 12 klasėje ji prasideda aksiomomis ir tiesių bei plokštumų padėtimis, o pagrindiniai uždaviniai – rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos, dvisienį kampą, atstumus ir pjūvių plotus. Kampai ir atstumai erdvėje apibrėžiami per statmenis, todėl jie skaičiuojami trikampiuose, dažnai stačiuosiuose. Prieš pradėdamas pasikartok Pitagoro teoremą ir sinusą, kosinusą ir tangentą stačiajame trikampyje.

Kas yra stereometrija?

Žodis kilęs iš graikų kalbos: „stereos“ reiškia erdvinis, kietas, o „metreo“ – matuoju. Plokštumos geometrija vadinama planimetrija: visos jos figūros guli vienoje plokštumoje. Stereometrijoje atsiranda trečiasis matmuo. Pavyzdžiui, dvi tiesės gali nesikirsti ir vis tiek nebūti lygiagrečios. Be to, ieškomo kampo ar atstumo brėžinyje dažnai nėra – jį reikia susirasti pačiam.

Pagrindinės sąvokos – taškas, tiesė ir plokštuma – neapibrėžiamos. Plokštumą įsivaizduok kaip be galo plačią lygią sieną be storio. Brėžinyje ji vaizduojama lygiagretainiu ir žymima graikiška raide: $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Šių sąvokų savybes nusako aksiomos – teiginiai, priimami be įrodymo:

Per du skirtingus taškus galima nubrėžti tik vieną tiesę.
Per tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, galima išvesti tik vieną plokštumą. Todėl trikojis stovas nekliba: trys atramos taškai visada yra vienoje plokštumoje. Keturių kėdės kojų galai gali ir nebūti vienoje plokštumoje – tada kėdė kliba.
Jei du tiesės taškai yra plokštumoje, tai joje yra ir visa tiesė.
Jei dvi skirtingos plokštumos turi bendrą tašką, jos kertasi tiese, kuri eina per tą tašką. Visi bendri plokštumų taškai yra šioje tiesėje.

Tiesių ir plokštumų padėtys erdvėje

Iš aksiomų išplaukia trys teoremos. Per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma. Per dvi susikertančias tieses – taip pat vienintelė. Per dvi lygiagrečias tieses – irgi vienintelė. Pirmosios teoremos įrodymas trumpas: tiesėje pasirink du taškus ir pridėk duotąjį. Gauni tris taškus ne vienoje tiesėje, o per juos eina vienintelė plokštuma. Du tiesės taškai yra joje, todėl joje yra ir visa tiesė. Išplėstiniame (A) kurse šias teoremas reikia mokėti įrodyti, bendrajame (B) – taikyti.

Kaip tiesės ir plokštumos gali būti išsidėsčiusios viena kitos atžvilgiu, lengviausia suprasti žiūrint į kubą $ABCDA_1B_1C_1D_1$ : pagrindas $ABCD$ , viršutinė siena $A_1B_1C_1D_1$ , o briaunos $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ ir $DD_1$ vertikalios.

Tiesės

AB

CC_1

nesikerta ir nėra lygiagrečios – jos prasilenkiančios.

Dvi tiesės kertasi, kai turi vieną bendrą tašką: $AB$ ir $BB_1$ kertasi taške $B$ .
Dvi tiesės lygiagrečios, kai guli vienoje plokštumoje ir neturi bendrų taškų: $AB \parallel D_1C_1$ .
Dvi tiesės prasilenkiančios, kai nėra plokštumos, kurioje gulėtų abi: $AB$ ir $CC_1$ .
Tiesė gali priklausyti plokštumai, kirsti ją viename taške arba būti jai lygiagreti: $A_1B_1$ lygiagreti pagrindo plokštumai $ABCD$ .
Dvi skirtingos plokštumos būna lygiagrečios (pagrindai $ABCD$ ir $A_1B_1C_1D_1$ ) arba kertasi tiese (sienos $ABB_1A_1$ ir $BCC_1B_1$ kertasi tiese $BB_1$ ).
Tik A kurse: kampas tarp prasilenkiančių tiesių – kampas tarp susikertančių tiesių, lygiagrečių su jomis. $CC_1 \parallel BB_1$ , todėl kampas tarp $AB$ ir $CC_1$ lygus kampui tarp $AB$ ir $BB_1$ , t. y. $90^\circ$ .

Statmuo plokštumai, pasviroji ir projekcija

Tiesė vadinama statmena plokštumai, jei ji statmena kiekvienai tos plokštumos tiesei. Visų tiesių patikrinti neįmanoma, todėl taikomas statmenumo požymis: jei tiesė statmena dviem susikertančioms plokštumos tiesėms, ji statmena plokštumai. Kube $AA_1 \perp AB$ ir $AA_1 \perp AD$ , o $AB$ ir $AD$ kertasi, todėl briauna $AA_1$ statmena pagrindo plokštumai.

Lygiagretumo požymis: jei plokštumai nepriklausanti tiesė lygiagreti kuriai nors tos plokštumos tiesei, ji lygiagreti ir pačiai plokštumai. Kadangi $A_1B_1 \parallel AB$ , tiesė $A_1B_1$ lygiagreti pagrindui.

Iš taško $S$ , nepriklausančio plokštumai, nuleisk statmenį $SO$ ; taškas $O$ vadinamas statmens pagrindu. Bet kuri kita atkarpa $SA$ , kurios galas $A$ yra plokštumoje, vadinama pasvirąja, o atkarpa $OA$ – jos statmenąja projekcija. Trikampis $SOA$ statusis prie $O$ , nes $SO$ statmena kiekvienai plokštumos tiesei, taip pat ir $OA$ . Pavyzdžiui, kai $SO = 3$ cm, o $OA = 4$ cm, pasviroji $SA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ cm. Todėl statmuo visada trumpesnis už pasvirąją. Be to, iš dviejų to paties taško pasvirųjų ilgesnė ta, kurios projekcija ilgesnė.

Stereometrijos formulės ir taisyklės

Atskirų stereometrijos formulių nedaug: kampai ir atstumai skaičiuojami trikampiuose, kuriuos sudaro statmuo, pasviroji ir projekcija. Lentelėje $h$ – taško atstumas iki plokštumos (statmens ilgis), $l$ – pasvirosios ilgis, $p$ – jos projekcijos ilgis, $\varphi$ – kampas tarp pasvirosios ir plokštumos.

Iš šių formulių 2026 m. VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkinyje yra tik kosinusų teorema. Kitų formulių ten nėra, todėl jas reikia mokėti mintinai.

Formulė	Kada taikyti
$\sin\varphi = \dfrac{h}{l}$	Kai žinomi taško atstumas iki plokštumos ir pasvirosios ilgis.Išmok mintinai · Plačiau: Sinusas, kosinusas, tangentas
$\cos\varphi = \dfrac{p}{l}$	Kai žinomi projekcijos ir pasvirosios ilgiai.Išmok mintinai
$\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{h}{p}$	Kai žinomi atstumas iki plokštumos ir projekcijos ilgis. Taip randamas ir dvisienis kampas – apie jį skyriuje žemiau.Išmok mintinai
$l^2 = h^2 + p^2$	Statmuo, pasviroji ir projekcija sudaro statųjį trikampį: trūkstamą kraštinę rasi pagal Pitagoro teoremą.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$	Stačiakampio gretasienio su briaunomis $a$ , $b$ , $c$ įstrižainė. Pavyzdžiui, kai briaunos 1, 2 ir 2, $d = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ . Kubo įstrižainė $d = a\sqrt{3}$ .Išmok mintinai
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\angle A$	Kai pjūvio ar sienos trikampis nėra statusis. Kosinusų teorema yra abiejuose 2026 m. VBE formulių rinkinio skyriuose (B ir A kurso).Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Sinusų ir kosinusų teoremos

Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Kampas tarp tiesės ir plokštumos – tai kampas tarp tiesės ir jos statmenosios projekcijos toje plokštumoje. Jei tiesė statmena plokštumai, kampas lygus $90^\circ$ . Jei tiesė lygiagreti plokštumai arba joje guli, kampas lygus $0^\circ$ . Todėl šis kampas visada yra nuo $0^\circ$ iki $90^\circ$ .

Kodėl imama būtent projekcija? Per pasvirosios galą $A$ plokštumoje eina be galo daug tiesių, ir su jomis pasviroji $SA$ sudaro įvairius kampus. Mažiausias iš jų – kampas su projekcija $OA$ . Įsitikink: kitoje plokštumos tiesėje per $A$ pažymėk tašką $M$ , kad $AM = AO$ . Trikampiuose $SAO$ ir $SAM$ kraštinė $SA$ bendra ir $AO = AM$ , bet $SO < SM$ , nes statmuo trumpesnis už pasvirąją. Pagal kosinusų teoremą, kai dvi kraštinės vienodos, mažesnę trečiąją kraštinę atitinka mažesnis kampas tarp jų. Taigi $\angle SAO < \angle SAM$ : kampas su projekcija – mažiausias, todėl jis ir laikomas kampu tarp tiesės ir plokštumos.

Kampą randi trimis žingsniais:

Pasirink tiesės tašką $S$ ir rask jo statmenį $SO$ plokštumai. Dažnai tai kūno briauna arba aukštinė.
Sujunk $O$ su tašku $A$ , kuriame tiesė kerta plokštumą. Atkarpa $OA$ – projekcija.
Stačiajame trikampyje $SOA$ (statusis kampas prie $O$ ) apskaičiuok $\angle SAO$ sinusu, kosinusu arba tangentu.

Pasviroji, projekcija ir kampas su plokštuma

Taškas $S$ nuo plokštumos $\alpha$ nutolęs 9 cm atstumu. Iš jo nubrėžta 15 cm ilgio pasviroji $SA$ . Rask pasvirosios projekcijos ilgį ir kampą tarp pasvirosios ir plokštumos laipsnio dešimtųjų tikslumu.

Nuleisk statmenį $SO$ plokštumai: $SO = 9$ cm. Atkarpa $OA$ – pasvirosios projekcija, o trikampis $SOA$ statusis, $\angle SOA = 90^\circ$ .
Pagal Pitagoro teoremą $OA = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$ cm.
Ieškomas kampas – $\angle SAO$ . Prieš jį yra statinis $SO$ , todėl $\sin\angle SAO = \frac{9}{15} = 0{,}6$ .
Skaičiuotuvu, nustatytu laipsniams: $\angle SAO \approx 36{,}9^\circ$ .

Atsakymas: projekcija 12 cm, kampas $\approx 36{,}9^\circ$ .

Dažna klaida: kampas su plokštumos tiese, o ne su projekcija

Stačiakampio gretasienio $ABCDA_1B_1C_1D_1$ briaunos $AB = 6$ , $AD = 2$ , $AA_1 = 3$ . Rask kampą tarp įstrižainės $BD_1$ ir šoninės sienos $AA_1D_1D$ plokštumos laipsnio dešimtųjų tikslumu.

Rask statmenį plokštumai. Briauna $BA$ statmena briaunoms $AD$ ir $AA_1$ , nes gretasienio sienos – stačiakampiai. Briaunos $AD$ ir $AA_1$ kertasi ir guli sienoje $AA_1D_1D$ , todėl pagal statmenumo požymį $BA$ statmena šiai sienai.
Vadinasi, taško $B$ projekcija yra $A$ , o įstrižainės $BD_1$ projekcija – atkarpa $AD_1$ . Ieškomas kampas – $\angle BD_1A$ , o trikampis $BAD_1$ statusis prie $A$ .
$BD_1 = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7$ .
$\sin\angle BD_1A = \frac{BA}{BD_1} = \frac{6}{7}$ , todėl $\angle BD_1A \approx 59{,}0^\circ$ .
Klaida būtų paimti kampą su kita sienos tiese, pavyzdžiui, su briauna $D_1A_1$ : $\cos\angle BD_1A_1 = \frac{2}{7}$ , kampas $\approx 73{,}4^\circ$ . Tai kampas tarp dviejų tiesių, o ne tarp tiesės ir plokštumos. Jis didesnis už teisingą, kaip ir turi būti: mažiausią kampą tiesė sudaro su savo projekcija.

Atsakymas: $\angle BD_1A \approx 59{,}0^\circ$ .

Dvisienis kampas ir trijų statmenų teorema

Dvisienis kampas – figūra, kurią sudaro dvi pusplokštumės su bendra kraštine. Pusplokštumė – tai plokštumos dalis vienoje tiesės pusėje. Pusplokštumės vadinamos sienomis, bendra kraštinė – briauna. Pravertos durys ir siena arba atverstos knygos du lapai sudaro dvisienį kampą.

Dvisienis kampas matuojamas tiesiniu kampu. Briaunoje pasirink tašką $K$ ir abiejose sienose iš jo nubrėžk spindulius, statmenus briaunai. Kampas tarp šių spindulių – tiesinis kampas. Jo didumas nepriklauso nuo to, kurioje briaunos vietoje paimtas $K$ , todėl jis laikomas dvisienio kampo didumu. Dvisienis kampas gali būti ir bukas.

Uždaviniuose tiesinį kampą patogu rasti taip. Iš vienos sienos taško $S$ nuleisk statmenį $SO$ kitos sienos plokštumai, iš $O$ nubrėžk $OK$ statmenai briaunai ir sujunk $S$ su $K$ . Tada $\angle SKO$ – tiesinis kampas, kai dvisienis kampas smailus (taškas $O$ patenka į kitą sieną). Jei $O$ atsiduria už sienos, dvisienis kampas bukas ir lygus $180^\circ - \angle SKO$ .

Kodėl $SK$ statmena briaunai? Briauna statmena $SO$ , nes $SO$ statmena visai kitos sienos plokštumai. Briauna statmena ir $OK$ , nes $OK$ taip ir nubrėžei. Tiesės $SO$ ir $OK$ kertasi, todėl pagal požymį briauna statmena plokštumai $SOK$ , taigi ir jos tiesei $SK$ .

Išplėstiniame (A) kurse šis samprotavimas vadinamas trijų statmenų teorema: jei plokštumoje esanti tiesė statmena pasvirosios projekcijai, tai ji statmena ir pačiai pasvirajai. Teisinga ir atvirkštinė teorema: jei tokia tiesė statmena pasvirajai, ji statmena ir projekcijai. Aukščiau $SK$ – pasviroji, $OK$ – jos projekcija, o briauna – plokštumoje esanti tiesė. Pavadinimas kilęs iš trijų statmenumų: $SO$ – plokštumai, $OK$ ir $SK$ – briaunai. Bendrojo (B) kurso programoje šios teoremos nėra, bet tą patį statųjį kampą pagrindi statmenumo požymiu, kaip parodyta aukščiau.

Pilnas sprendimas su pagrindimu: dvisienis kampas piramidėje

Piramidės $SABC$ briauna $SA$ statmena pagrindo plokštumai, $\angle ACB = 90^\circ$ , $SA = 12$ cm, $AC = 4\sqrt{3}$ cm, $BC = 5$ cm. a) Įrodyk, kad $SC \perp BC$ . b) Rask dvisienio kampo prie briaunos $BC$ didumą. c) Apskaičiuok sienos $SBC$ plotą.

a) $SA$ statmena pagrindo plokštumai, todėl ji statmena kiekvienai pagrindo tiesei, taip pat ir $BC$ . Be to, $AC \perp BC$ (duota). Tiesės $SA$ ir $AC$ kertasi taške $A$ , todėl pagal statmenumo požymį $BC$ statmena plokštumai $SAC$ , taigi ir jos tiesei $SC$ . A kurse galima trumpiau: $AC$ – pasvirosios $SC$ projekcija, todėl pagal trijų statmenų teoremą $SC \perp BC$ .
b) Sienoje $SBC$ atkarpa $SC \perp BC$ , o pagrinde $AC \perp BC$ , ir abi išeina iš to paties briaunos taško $C$ . Todėl $\angle SCA$ – dvisienio kampo prie briaunos $BC$ tiesinis kampas.
Trikampis $SAC$ statusis prie $A$ , nes $SA$ statmena pagrindui. $\operatorname{tg}\angle SCA = \frac{SA}{AC} = \frac{12}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ , todėl $\angle SCA = 60^\circ$ .
c) $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ cm.
Pagal a) dalį trikampis $SBC$ statusis prie $C$ , todėl jo plotas $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}6$ cm².

Atsakymas: a) įrodyta; b) $60^\circ$ ; c) $20\sqrt{3} \approx 34{,}6$ cm².

Atstumai erdvėje

Atstumas tarp dviejų figūrų – trumpiausios jas jungiančios atkarpos ilgis. Trumpiausia visada yra statmena atkarpa, todėl visi žemiau išvardyti atstumai matuojami statmeniu.

Nuo taško iki plokštumos – statmens, nuleisto iš taško į plokštumą, ilgis.
Nuo taško iki tiesės – statmens, nuleisto iš taško į tiesę, ilgis.
Tarp lygiagrečių tiesių – atstumas nuo bet kurio vienos tiesės taško iki kitos tiesės.
Tarp tiesės ir jai lygiagrečios plokštumos – atstumas nuo bet kurio tiesės taško iki plokštumos.
Tarp lygiagrečių plokštumų – atstumas nuo bet kurio vienos plokštumos taško iki kitos.
Tik A kurse: atstumas tarp prasilenkiančių tiesių – jų bendro statmens ilgis. Kube $BC$ statmena ir $AB$ , ir $CC_1$ , todėl atstumas tarp $AB$ ir $CC_1$ lygus briaunai.

Atstumas nuo viršūnės iki pagrindo įstrižainės

Stačiakampio gretasienio $ABCDA_1B_1C_1D_1$ briaunos $AB = 15$ cm, $AD = 20$ cm, $AA_1 = 9$ cm. Rask atstumą nuo taško $A_1$ iki tiesės $BD$ .

Pagrinde nuleisk statmenį $AK$ į įstrižainę $BD$ . $BD = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25$ cm.
Stačiojo trikampio $ABD$ plotą užrašyk dviem būdais: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AK$ . Iš čia $AK = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12$ cm.
$AA_1$ statmena pagrindui, todėl $AA_1 \perp BD$ . Be to, $AK \perp BD$ . Pagal statmenumo požymį $BD$ statmena plokštumai $AA_1K$ , todėl $A_1K \perp BD$ (A kurse – trijų statmenų teorema). Vadinasi, ieškomas atstumas yra $A_1K$ .
Trikampis $A_1AK$ statusis prie $A$ : $A_1K = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Patikra: atstumas iki tiesės turi būti mažesnis už atstumus iki jos taškų $B$ ir $D$ : $A_1B = \sqrt{15^2 + 9^2} \approx 17{,}5$ cm, $A_1D = \sqrt{20^2 + 9^2} \approx 21{,}9$ cm. Taip ir yra.

Atsakymas: 15 cm.

Erdvės figūrų pjūviai

Pjūvis – figūra, kurią plokštuma išpjauna iš kūno. Kad nubraižytum briaunainio pjūvį, rask taškus, kuriuose plokštuma kerta kūno briaunas, ir sujunk tuos, kurie yra toje pačioje sienoje. Gautas daugiakampis – trikampis, stačiakampis, trapecija ar kita figūra, kurios plotą rasi plokštumos geometrijos formulėmis.

Bendrajame (B) kurse nagrinėjami taisyklingosios keturkampės prizmės ir piramidės įstrižiniai pjūviai bei ritinio ir kūgio ašiniai pjūviai. Įstrižinis pjūvis eina per dvi šonines briaunas, kurios nėra vienoje sienoje. Ašinis pjūvis eina per ritinio ar kūgio ašį. Išplėstinis (A) kursas prideda pjūvius, lygiagrečius su pagrindais, taisyklingosios piramidės pjūvius per aukštinę, rutulio pjūvius ir gretasienio pjūvius per priešingas briaunas.

Taisyklingosios keturkampės piramidės įstrižiniame pjūvyje matyti jos aukštinė ir dvi šoninės briaunos, todėl jame patogu rasti kampą tarp šoninės briaunos ir pagrindo.

Kūnų tūrius, paviršiaus plotus ir daugiau pjūvių uždavinių rasi puslapiuose Prizmė ir piramidė bei Ritinys, kūgis ir rutulys.

Taisyklingosios keturkampės piramidės įstrižinis pjūvis

Taisyklingosios keturkampės piramidės $SABCD$ pagrindo kraštinė lygi $5\sqrt{2}$ cm, o šoninė briauna – 13 cm. Rask įstrižinio pjūvio $SAC$ plotą ir kampą tarp šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos laipsnio dešimtųjų tikslumu.

Pagrindas – kvadratas, jo įstrižainė $AC = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$ cm. Taisyklingosios piramidės aukštinės pagrindas $O$ – kvadrato centras, todėl $AO = 5$ cm.
Pjūvis $SAC$ – lygiašonis trikampis, o jo aukštinė – piramidės aukštinė $SO$ . Iš stačiojo trikampio $SOA$ : $SO = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ cm.
Pjūvio plotas $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ cm².
$SO$ statmena pagrindui, todėl $AO$ – briaunos $SA$ projekcija, o ieškomas kampas – $\angle SAO$ . $\cos\angle SAO = \frac{5}{13}$ , $\angle SAO \approx 67{,}4^\circ$ .

Atsakymas: 60 cm², kampas $\approx 67{,}4^\circ$ .

Dažnos stereometrijos klaidos

Kampas tarp tiesės ir plokštumos imamas su bet kuria plokštumos tiese, o ne su projekcija. Pirmiausia rask statmenį plokštumai ir tik tada kampą.
Tiesinio kampo kraštinės nubrėžiamos ne statmenai dvisienio kampo briaunai. Taisyklingojoje piramidėje kampą tarp šoninės sienos ir pagrindo sudaro apotema ir atkarpa nuo pagrindo centro iki tos pačios kraštinės vidurio. Šoninė briauna su pagrindu sudaro kitą kampą.
Statusis kampas nustatomas iš akies. Erdvės brėžinyje statusis kampas dažnai neatrodo status, o nestatusis gali atrodyti status. Kiekvieną statųjį kampą pagrįsk: briauna statmena sienai, statmenumo požymis ar trijų statmenų teorema.
Nesikertančios tiesės laikomos lygiagrečiomis. Erdvėje jos gali būti prasilenkiančios, kaip kubo briaunos $AB$ ir $CC_1$ .
Atstumas iki tiesės matuojamas iki kurio nors jos taško, pavyzdžiui, iki viršūnės. Atstumas – statmens ilgis, ir jis mažesnis už atstumą iki bet kurio kito tiesės taško.
Kampas skaičiuojamas skaičiuotuvu, nustatytu radianams. Prieš ieškodamas kampo pagal sinusą ar tangentą, patikrink, ar įjungtas laipsnių režimas (DEG).

Stereometrija 12 klasėje: A ir B kursas, VBE

Stereometrijos mokomasi IV gimnazijos (12) klasėje ir bendrajame (B), ir išplėstiniame (A) kurse. Tik A kurse nagrinėjami kampas ir atstumas tarp prasilenkiančių tiesių, trijų statmenų teorema ir jai atvirkštinė teorema, taip pat įrodomos teoremos apie tai, kas nusako plokštumą.

Žemiau – ką apie matematikos VBE sako oficialūs dokumentai.

Kada laikomos matematikos VBE dalys (2026 m. tvarka): pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Pagal matematikos bendrąją programą antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Stereometrija – IV klasės tema, todėl jos uždavinių gali būti antrojoje dalyje.
Kur rasti formulių rinkinį (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Juo naudojamasi ir pirmojoje, ir antrojoje egzamino dalyje.
Kas iš stereometrijos yra 2026 m. rinkinyje: abiejuose skyriuose – kosinusų ir sinusų teoremos, trikampio ploto formulės, $\sin$ , $\cos$ ir $\operatorname{tg}$ reikšmių lentelė kampams nuo $0^\circ$ iki $90^\circ$ , piramidės tūris, ritinio ir kūgio šoninio paviršiaus plotas ir tūris, rutulio paviršiaus plotas ir tūris. A kurso skyriuje dar yra nupjautinės piramidės, nupjautinio kūgio ir rutulio nuopjovos formulės. Pitagoro teoremos, smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimų, gretasienio įstrižainės ir prizmės tūrio formulių nėra nė viename skyriuje – juos reikia mokėti mintinai. Abu skyrius rasi puslapyje VBE formulės.
Leidžiamos priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
Kodėl čia 2026 m. tvarka? Naujoji dar nepatvirtinta: 2026 m. spalio 7 d. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) atnaujintų VBE užduočių aprašų projektus tik pateikė viešam derinimui.

NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys – aprašo 1 priedas.
Matematikos VBE Egzamino sandara, faktai ir pasiruošimas.
Matematikos VBE antroji dalis IV klasės temos ir užduotys.
A ir B kursas Kuo skiriasi išplėstinis ir bendrasis kursas.

Stereometrija: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti į tris lygius. Kiekvienam nusibraižyk brėžinį ir jame pažymėk trikampį, kuriame ieškosi kampo ar atstumo. Kampus apvalink iki laipsnio dešimtųjų. Paskutiniai du uždaviniai skirti A kursui.

Lengvesni

1. Kube $ABCDA_1B_1C_1D_1$ sugretink tiesių poras su jų padėtimi. Poros: a) $AD$ ir $B_1C_1$ ; b) $AD$ ir $DC_1$ ; c) $AD$ ir $CC_1$ . Padėtys: 1) kertasi; 2) lygiagrečios; 3) prasilenkiančios.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a – 2, b – 1, c – 3.

$AD \parallel BC \parallel B_1C_1$ . Tiesės $AD$ ir $DC_1$ turi bendrą tašką $D$ . Tiesės $AD$ ir $CC_1$ neturi bendrų taškų ir nėra lygiagrečios.

2. Kuris teiginys teisingas? A) Per bet kuriuos tris taškus eina vienintelė plokštuma. B) Dvi tiesės, neturinčios bendrų taškų, yra lygiagrečios. C) Per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma. D) Tiesė, statmena vienai plokštumos tiesei, yra statmena plokštumai.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: C.

A neteisingas, kai trys taškai yra vienoje tiesėje: tada per juos eina be galo daug plokštumų. B neteisingas, nes tiesės gali būti prasilenkiančios. D neteisingas: reikia statmenumo dviem susikertančioms plokštumos tiesėms.

3. Taškas nutolęs nuo plokštumos 8 cm. Iš jo nubrėžta pasviroji su plokštuma sudaro $30^\circ$ kampą. Rask pasvirosios ir jos projekcijos ilgius.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: pasviroji 16 cm, projekcija $8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ cm.

Iš $\sin 30^\circ = \frac{8}{l}$ gauni $l = \frac{8}{0{,}5} = 16$ cm. Projekcija $p = 16 \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ cm.

4. Pasvirosios ilgis 13 cm, o jos projekcijos plokštumoje ilgis 5 cm. Kokiu atstumu nuo plokštumos yra pasvirosios galas, nepriklausantis plokštumai?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 12 cm.

Statmuo, pasviroji ir projekcija sudaro statųjį trikampį: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm.

5. Stoglangio rėmas – stačiakampis. Viena jo kraštinė pritvirtinta prie plokščio stogo, o atidarius stoglangį priešinga kraštinė pakyla 0,36 m virš stogo. Atstumas tarp šių kraštinių (rėmo plotis) – 0,9 m. Kokį kampą rėmo plokštuma sudaro su stogo plokštuma? Atsakymą pateik laipsnio dešimtųjų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\approx 23{,}6^\circ$ .

Iš pakeltos kraštinės taško nuleisk statmenį į stogą: jo ilgis 0,36 m. Gausi statųjį trikampį, kurio įžambinė – rėmo plotis 0,9 m. Kodėl jo kampas prie stogo yra kampas tarp plokštumų? Pritvirtinta kraštinė statmena rėmo pločiui (rėmas – stačiakampis) ir nuleistam statmeniui (jis statmenas visam stogui). Pagal statmenumo požymį ji statmena visai šio trikampio plokštumai, taigi ir pločio projekcijai. Vadinasi, plotis ir jo projekcija sudaro dvisienio kampo tiesinį kampą: $\sin\varphi = \frac{0{,}36}{0{,}9} = 0{,}4$ , $\varphi \approx 23{,}6^\circ$ .

Vidutiniai

6. Iš taško $S$ į plokštumą nubrėžtos dvi pasvirosios. Pasviroji $SA = 10$ cm su plokštuma sudaro $30^\circ$ kampą, o pasviroji $SB$ – $45^\circ$ kampą. Rask $SB$ ilgį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $5\sqrt{2} \approx 7{,}1$ cm.

Taško $S$ atstumas iki plokštumos $h = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5$ cm. Tada $SB = \frac{5}{\sin 45^\circ} = 5\sqrt{2}$ cm.

7. Stačiakampio gretasienio $ABCDA_1B_1C_1D_1$ briaunos $AB = 9$ , $AD = 2$ , $AA_1 = 6$ . Išdėstyk didėjimo tvarka kampus, kuriuos įstrižainė $AC_1$ sudaro su plokštumomis: 1) $ABCD$ ; 2) $AA_1B_1B$ ; 3) $AA_1D_1D$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 2, 1, 3.

$AC_1 = \sqrt{81 + 4 + 36} = 11$ . Kampo sinusas lygus taško $C_1$ atstumui iki plokštumos, padalytam iš 11. Tas atstumas lygus plokštumai statmenai briaunai: iki $ABCD$ – 6, iki $AA_1B_1B$ – 2, iki $AA_1D_1D$ – 9. Sinusai $\frac{6}{11}$ ( $\approx 33{,}1^\circ$ ), $\frac{2}{11}$ ( $\approx 10{,}5^\circ$ ) ir $\frac{9}{11}$ ( $\approx 54{,}9^\circ$ ). Kuo didesnis smailiojo kampo sinusas, tuo didesnis kampas.

8. Stačiakampio gretasienio $ABCDA_1B_1C_1D_1$ briaunos $AB = 8$ cm, $AD = 6$ cm, $AA_1 = 3{,}6$ cm. Rask atstumą nuo taško $D_1$ iki tiesės $AC$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 6 cm.

$AC = 10$ cm. Pagrinde nuleisk $DK \perp AC$ : $DK = \frac{8 \cdot 6}{10} = 4{,}8$ cm. $DD_1$ statmena pagrindui, todėl $D_1K \perp AC$ , ir ieškomas atstumas $D_1K = \sqrt{4{,}8^2 + 3{,}6^2} = 6$ cm.

9. Taisyklingosios keturkampės prizmės pagrindo kraštinė 4 cm, aukštinė 7 cm. Apskaičiuok prizmės įstrižinio pjūvio plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $28\sqrt{2} \approx 39{,}6$ cm².

Įstrižinis pjūvis – stačiakampis. Viena jo kraštinė – pagrindo kvadrato įstrižainė $4\sqrt{2}$ cm, kita – prizmės aukštinė 7 cm. Plotas $4\sqrt{2} \cdot 7 = 28\sqrt{2} \approx 39{,}6$ cm².

Sunkesni

10. Piramidės $SABCD$ pagrindas – stačiakampis $ABCD$ , $AB = 8$ cm, $AD = 6$ cm. Briauna $SA$ statmena pagrindui, $SA = 4$ cm. Rask: a) kampą tarp briaunos $SC$ ir pagrindo plokštumos; b) dvisienio kampo prie briaunos $BC$ didumą. Atsakymą pateik laipsnio dešimtųjų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $\approx 21{,}8^\circ$ ; b) $\approx 26{,}6^\circ$ .

a) $AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ cm – briaunos $SC$ projekcija. $\operatorname{tg}\angle SCA = \frac{4}{10}$ , $\angle SCA \approx 21{,}8^\circ$ . b) $BC \perp AB$ ir $BC \perp SA$ , todėl $BC$ statmena plokštumai $SAB$ ir $SB \perp BC$ . Tiesinis kampas – $\angle SBA$ : $\operatorname{tg}\angle SBA = \frac{4}{8}$ , $\angle SBA \approx 26{,}6^\circ$ .

11. (A kursas) Kube $ABCDA_1B_1C_1D_1$ rask kampą tarp prasilenkiančių tiesių $A_1B$ ir $B_1C$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $60^\circ$ .

$A_1B_1CD$ – lygiagretainis, nes $A_1B_1$ ir $DC$ lygiagrečios ir lygios. Todėl $B_1C \parallel A_1D$ , ir ieškomas kampas lygus $\angle BA_1D$ . Trikampio $A_1BD$ visos kraštinės – kubo sienų įstrižainės, todėl jis lygiakraštis, o $\angle BA_1D = 60^\circ$ .

12. (A kursas) Kubo $ABCDA_1B_1C_1D_1$ briauna lygi 5 cm. Rask atstumą tarp prasilenkiančių tiesių $AA_1$ ir $BD$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}5$ cm.

Tegul $O$ – pagrindo įstrižainių susikirtimo taškas. $AO \perp BD$ , nes kvadrato įstrižainės statmenos. $AO \perp AA_1$ , nes $AA_1$ statmena pagrindui. Taigi $AO$ – bendras statmuo, $AO = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2}$ cm.

Vektoriai Plokštumos vektoriai ir skaliarinė sandauga, A kursas.
VBE užduotys pagal temas Daugiau uždavinių su sprendimais.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kas yra stereometrija ir kuo ji skiriasi nuo planimetrijos?

Stereometrija – erdvės geometrija: joje atsiranda plokštumos, kūnai ir naujos tiesių padėtys, pavyzdžiui, prasilenkiančios tiesės. Planimetrija nagrinėja figūras, kurios guli vienoje plokštumoje: trikampius, keturkampius, apskritimus. Planimetrijos žinios nedingsta: kampai ir atstumai erdvėje galiausiai skaičiuojami plokštumos trikampiuose.

Ko mokomasi stereometrijoje 12 klasėje?

Abiejuose kursuose mokomasi stereometrijos aksiomų, tiesių ir plokštumų padėčių, atstumų, kampo tarp tiesės ir plokštumos, dvisienio kampo, statmenumo ir lygiagretumo požymių ir kūnų pjūvių. Išplėstiniame (A) kurse dar nagrinėjami kampas ir atstumas tarp prasilenkiančių tiesių bei trijų statmenų teorema.

Kurių stereometrijos formulių nėra VBE formulių rinkinyje?

Pagal 2026 m. rinkinį jame nėra Pitagoro teoremos, smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimų stačiajame trikampyje, stačiakampio gretasienio įstrižainės ir prizmės tūrio formulių. Kampo tarp tiesės ir plokštumos ir dvisienio kampo apibrėžimų ten taip pat nėra. Kosinusų ir sinusų teoremos, reikšmių lentelė, piramidės, ritinio, kūgio ir rutulio formulės rinkinyje yra.

Kaip rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos?

Pasirink tiesės tašką ir nuleisk iš jo statmenį į plokštumą. Statmens pagrindą sujunk su tašku, kuriame tiesė kerta plokštumą: gausi tiesės projekciją. Kampas tarp tiesės ir projekcijos ir yra ieškomas kampas. Jį apskaičiuok stačiajame trikampyje, kurį sudaro statmuo, pasviroji ir projekcija.

Taip pat: Pitagoro teorema · Sinusas, kosinusas, tangentas · Sinusų ir kosinusų teoremos · Vektoriai · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE

Šaltiniai

ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt