Vektoriai: veiksmai, koordinatės, ilgis ir skaliarinė sandauga

Q: Ar skaliarinė sandauga gali būti neigiama?

Taip. Skaliarinė sandauga lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai. Ilgiai nenuliniams vektoriams visada teigiami, todėl ženklą lemia kosinusas. Kai kampas tarp vektorių didesnis už 90 laipsnių (bukas arba lygus 180 laipsnių, kai vektoriai priešingų krypčių), kosinusas neigiamas, todėl ir sandauga neigiama.

Q: Ar vektoriai fizikoje tie patys kaip matematikoje?

Taip, sąvoka ta pati. Fizikoje vektoriais vaizduojami dydžiai, kurie turi ir didumą, ir kryptį, pavyzdžiui, poslinkis, greitis ir jėga. Kelios jėgos sudedamos ta pačia trikampio arba lygiagretainio taisykle, o vektoriaus ilgis atitinka dydžio didumą. Fizikoje prie skaičių dar rašomi matavimo vienetai, pavyzdžiui, niutonai ar metrai per sekundę.

Q: Ar vektorių mokomasi bendruoju kursu 11 klasėje?

Ne. 11 klasėje, kitaip III gimnazijos klasėje, plokštumos vektoriai yra tik išplėstinio (A) kurso turinys: veiksmai su vektoriais, koordinatės, ilgis, skaliarinė sandauga, kolinearūs ir statmeni vektoriai. Bendrojo kurso mokiniai vektorius sutinka 8 klasėje, kai mokomasi vektoriaus sąvokos, sumos, skirtumo ir daugybos iš skaičiaus.

Vektorius – tai atkarpa, kuriai nurodyta kryptis: vienas jos galas yra pradžia, kitas – pabaiga. Taigi vektorius turi ilgį ir kryptį. Juo patogu aprašyti poslinkį, greitį ar jėgą, o geometrijoje – įrodyti, kad tiesės lygiagrečios ar statmenos. 8 klasėje mokomasi vektorių sumos, skirtumo ir daugybos iš skaičiaus. 11 klasės išplėstiniame (A) kurse vektoriai užrašomi koordinatėmis: skaičiuojamas jų ilgis, skaliarinė sandauga ir kampas tarp jų, nustatoma, ar vektoriai kolinearūs (lygiagretūs), ar statmeni.

Kas yra vektoriai?

Atkarpa $AB$ ir atkarpa $BA$ yra ta pati figūra, o vektoriai $\vec{AB}$ ir $\vec{BA}$ skiriasi: pirmasis prasideda taške $A$ ir baigiasi taške $B$ , antrasis eina atgal. Brėžinyje vektorius vaizduojamas rodykle, nukreipta į pabaigos tašką. Jis žymimas dviem didžiosiomis raidėmis su rodykle viršuje (pirmoji raidė – pradžia) arba viena mažąja raide, pavyzdžiui, $\vec a$ .

Vektoriaus ilgis – tai atkarpos tarp jo pradžios ir pabaigos ilgis. Jis žymimas $|\vec{AB}|$ arba $|\vec a|$ ir niekada nebūna neigiamas. Jei pradžia ir pabaiga sutampa, gaunamas nulinis vektorius $\vec 0$ : jo ilgis lygus nuliui, o kryptis neapibrėžta.

Du vektoriai lygūs, kai jie vienodo ilgio ir vienos krypties. Kur vektorius nubraižytas, nesvarbu: perkeltas lygiagrečiai į kitą vietą, jis lieka tas pats. Priešingieji vektoriai yra vienodo ilgio, bet priešingų krypčių, todėl $\vec{BA} = -\vec{AB}$ .

Veiksmai su vektoriais 8 klasėje: suma, skirtumas, daugyba iš skaičiaus

Du vektorius galima sudėti dviem būdais. Trikampio taisyklė: antrąjį vektorių atidėk (nubraižyk) nuo pirmojo pabaigos, tada suma eina nuo pirmojo pradžios iki antrojo pabaigos: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ . Lygiagretainio taisyklė: abu vektorius atidėk nuo to paties taško ir užbaik lygiagretainį, tada suma yra įstrižainė, išeinanti iš to taško. Abi taisyklės duoda tą patį vektorių. Kai vektorių daugiau, taikoma daugiakampio taisyklė (jos mokomasi 11 klasėje): kiekvieną kitą vektorių atidėk nuo ankstesniojo pabaigos: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$ .

Skirtumas $\vec a - \vec b$ yra toks vektorius, kurį pridėjus prie $\vec b$ , gaunamas $\vec a$ . Kai abu vektoriai atidėti nuo to paties taško, skirtumas eina nuo $\vec b$ pabaigos iki $\vec a$ pabaigos. Tą patį gausi, prie $\vec a$ pridėjęs $-\vec b$ : $\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)$ .

Vektorių galima padauginti iš skaičiaus $k$ . Vektoriaus $k\vec a$ ilgis lygus $|k| \cdot |\vec a|$ . Kai $k > 0$ , kryptis išlieka ta pati, o kai $k < 0$ – pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui, $-2\vec a$ dvigubai ilgesnis už $\vec a$ ir nukreiptas priešingai. 11 klasėje naudojamasi tuo, kad sumai ir daugybai iš skaičiaus galioja tos pačios savybės kaip skaičiams: dėmenis galima sukeisti, o $k(\vec a + \vec b) = k\vec a + k\vec b$ .

8 klasė: suma ir skirtumas langeliuose

Langeliniame lape (langelio kraštinė 1 cm) iš vieno taško atidėti du vektoriai: $\vec a$ eina 4 langelius į dešinę ir 1 aukštyn, $\vec b$ – 1 langelį į dešinę ir 3 aukštyn. Kaip nukreipti vektoriai $\vec a + \vec b$ ir $\vec a - \vec b$ ? Apskaičiuok jų ilgius.

Kairėje suma pagal trikampio taisyklę, dešinėje skirtumas.

Sumai rasti prie $\vec a$ pabaigos atidedame $\vec b$ . Iš viso nuo pradžios: 4 + 1 = 5 langeliai į dešinę ir 1 + 3 = 4 aukštyn.
Suma yra stačiojo trikampio su statiniais 5 ir 4 įžambinė: $|\vec a + \vec b| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}4$ cm.
Skirtumas eina nuo $\vec b$ pabaigos iki $\vec a$ pabaigos: 4 − 1 = 3 langeliai į dešinę ir 1 − 3 = −2, t. y. 2 langeliai žemyn.
$|\vec a - \vec b| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}6$ cm.

Atsakymas: $\vec a + \vec b$ : 5 langeliai į dešinę ir 4 aukštyn, ilgis $\sqrt{41} \approx 6{,}4$ cm; $\vec a - \vec b$ : 3 langeliai į dešinę ir 2 žemyn, ilgis $\sqrt{13} \approx 3{,}6$ cm.

11 klasė: vektoriaus reiškimas lygiagretainyje

Lygiagretainio $PRST$ kraštinėje $ST$ pažymėtas taškas $Q$ , kad $TQ : QS = 1 : 2$ . Pažymėkime $\vec{PR} = \vec a$ ir $\vec{PT} = \vec b$ . Išreikšk vektorius $\vec{PQ}$ ir $\vec{QR}$ vektoriais $\vec a$ ir $\vec b$ .

Lygiagretainio priešingos kraštinės lygios ir lygiagrečios, o $T \to S$ eina ta pačia kryptimi kaip $P \to R$ . Todėl $\vec{TS} = \vec a$ .
Santykis 1 : 2 dalija kraštinę $TS$ į 1 + 2 = 3 lygias dalis, ir $TQ$ užima vieną iš jų. Todėl $\vec{TQ} = \frac{1}{3}\vec a$ .
Pagal trikampio taisyklę $\vec{PQ} = \vec{PT} + \vec{TQ} = \vec b + \frac{1}{3}\vec a$ .
Iš $Q$ į $R$ einame per tašką $P$ : $\vec{QR} = \vec{QP} + \vec{PR}$ . Vektorius $\vec{QP}$ priešingas vektoriui $\vec{PQ}$ , todėl $\vec{QP} = -\vec b - \frac{1}{3}\vec a$ . Gauname $\vec{QR} = -\vec b - \frac{1}{3}\vec a + \vec a = \frac{2}{3}\vec a - \vec b$ .

Atsakymas: $\vec{PQ} = \frac{1}{3}\vec a + \vec b$ , $\vec{QR} = \frac{2}{3}\vec a - \vec b$ .

Vektoriaus koordinatės ir ilgis pagal koordinates

11 klasės A kurse vektoriai užrašomi koordinatėmis. Koordinačių plokštumoje bet kurį vektorių galima atidėti nuo koordinačių pradžios $O(0; 0)$ . Jei tada jo pabaiga yra taške $(x; y)$ , tai $x$ ir $y$ yra vektoriaus koordinatės, ir rašoma $\vec a = (x; y)$ .

Vektoriaus $\vec{AB}$ koordinatės parodo, kiek reikia pasislinkti išilgai ašių nuo $A$ iki $B$ , todėl iš pabaigos koordinačių atimamos pradžios koordinatės. Pavyzdžiui, kai $A(1; 2)$ ir $B(4; 6)$ , tai $\vec{AB} = (4 - 1;\ 6 - 2) = (3; 4)$ . Sudedant, atimant ir dauginant iš skaičiaus, veiksmas atliekamas su kiekviena koordinate atskirai: $(1; 2) + (3; -5) = (4; -3)$ , $3 \cdot (1; 2) = (3; 6)$ .

Koordinačių ašių vienetiniai vektoriai $\vec i = (1; 0)$ ir $\vec j = (0; 1)$ yra vieneto ilgio ir nukreipti ašių kryptimis. Bet kurį vektorių galima jais išreikšti: $(5; -2) = 5\vec i - 2\vec j$ .

Ilgio formulė yra Pitagoro teorema. Atidėjus $\vec a = (x; y)$ nuo pradžios taško, atkarpos, kurių ilgiai $|x|$ ir $|y|$ , yra stačiojo trikampio statiniai, o pats vektorius – įžambinė. Todėl $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Pavyzdžiui, $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . Koordinatės keliamos kvadratu, todėl jų ženklas ilgiui įtakos neturi.

Kas yra skaliarinė sandauga?

Kampas tarp dviejų nenulinių vektorių matuojamas, kai abu jie atidėti nuo to paties taško. Jis gali būti nuo 0° (vienos krypties vektoriai) iki 180° (priešingų krypčių vektoriai).

Skaliarinė sandauga – tai ne vektorius, o skaičius (skaliaras), iš čia ir pavadinimas. Abiejų vektorių ilgiai sudauginami ir dar padauginami iš kampo tarp jų kosinuso: $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos\alpha$ . Pavyzdžiui, kai $|\vec a| = 2$ , $|\vec b| = 3$ ir $\alpha = 60^\circ$ , tai $\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$ . Kai $\vec a = (x_1; y_1)$ ir $\vec b = (x_2; y_2)$ , sandauga skaičiuojama paprasčiau: $\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2$ . Pavyzdžiui, $(1; 4) \cdot (3; -2) = 3 - 8 = -5$ .

Sandaugos ženklas parodo kampo rūšį: teigiama – kampas smailusis arba lygus 0°, lygi nuliui – statusis, neigiama – bukasis arba lygus 180°. Vektoriaus sandauga su pačiu savimi lygi jo ilgio kvadratui, $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$ , nes $\cos 0^\circ = 1$ . Kosinuso reikšmes ir jų ženklus rasi puslapyje trigonometrija.

Sinusų ir kosinusų teoremos Kosinusų teorema, iš kurios išplaukia skaliarinės sandaugos formulė koordinatėmis.

Kas yra kolinearūs vektoriai?

Kolinearūs vektoriai yra vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse. Jie gali būti vienos krypties arba priešingų krypčių. Nulinis vektorius laikomas kolineariu bet kuriam vektoriui.

Vektorius $\vec b$ kolinearus nenuliniam vektoriui $\vec a$ tada ir tik tada, kai $\vec b = k\vec a$ su kokiu nors skaičiumi $k$ . Koordinatėmis tai reiškia, kad koordinatės proporcingos: $x_1y_2 = x_2y_1$ . Pavyzdžiui, $(2; 3)$ ir $(6; 9)$ kolinearūs: $(6; 9) = 3 \cdot (2; 3)$ ir $2 \cdot 9 = 6 \cdot 3$ .

Daugiklio $k$ ženklas parodo kryptį: kai jis teigiamas, vektoriai vienos krypties, kai neigiamas – priešingų. Kolinearumas padeda įrodyti, kad trys taškai yra vienoje tiesėje: jei $\vec{AB}$ ir $\vec{AC}$ kolinearūs, taškai $A$ , $B$ ir $C$ yra vienoje tiesėje, nes abu vektoriai išeina iš to paties taško.

Kolinearumas su parametru: neprarask antrojo sprendinio

Su kuriomis $m$ reikšmėmis vektoriai $\vec p = (m; 8)$ ir $\vec q = (2; m)$ kolinearūs? Su kuria iš jų jie vienos krypties?

Kolinearumo sąlyga $x_1y_2 = x_2y_1$ : $m \cdot m = 2 \cdot 8$ , taigi $m^2 = 16$ .
Lygtis turi du sprendinius: $m = 4$ ir $m = -4$ .
Kai $m = 4$ : $\vec p = (4; 8)$ , $\vec q = (2; 4)$ ir $\vec p = 2\vec q$ . Daugiklis teigiamas, vektoriai vienos krypties.
Kai $m = -4$ : $\vec p = (-4; 8)$ , $\vec q = (2; -4)$ ir $\vec p = -2\vec q$ . Daugiklis neigiamas, vektoriai priešingų krypčių, bet vis tiek kolinearūs.

Atsakymas: Kolinearūs, kai $m = 4$ arba $m = -4$ ; vienos krypties – kai $m = 4$ .

Tiesinė funkcija Lygiagrečios tiesės turi vienodą krypties koeficientą: tai tas pats kolinearumas, užrašytas lygtimis.

Vektoriai statmeni, kai skaliarinė sandauga lygi nuliui

Jei kampas tarp nenulinių vektorių lygus 90°, tai $\cos 90^\circ = 0$ ir skaliarinė sandauga lygi nuliui. Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei $\vec a \cdot \vec b = 0$ , o abu vektoriai nenuliniai, jie statmeni. Todėl statmenumas tikrinamas viena lygybe $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ . Pavyzdžiui, vektoriai $(3; 2)$ ir $(-2; 3)$ statmeni, nes $3 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = 0$ .

Taip įrodoma, kad trikampis statusis, keturkampis yra stačiakampis ar kad įstrižainės statmenos. Įrodyme užrašyk, kuriuos vektorius skaičiuoji, jų koordinates, sandaugą ir išvadą žodžiais.

Egzamino formato uždavinys: statusis trikampis koordinatėmis

Duoti taškai $A(-1; 2)$ , $B(2; 3)$ ir $C(0; 4)$ . a) Įrodyk, kad trikampis $ABC$ statusis. b) Apskaičiuok kampą $BAC$ .

a) Imame vektorius, išeinančius iš viršūnės $C$ : $\vec{CA} = (-1 - 0;\ 2 - 4) = (-1; -2)$ , $\vec{CB} = (2 - 0;\ 3 - 4) = (2; -1)$ .
$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = -2 + 2 = 0$ . Vektoriai nenuliniai, o jų skaliarinė sandauga lygi nuliui, todėl $CA \perp CB$ ir $\angle ACB = 90^\circ$ . Trikampis $ABC$ statusis, ką ir reikėjo įrodyti.
b) Kampą $BAC$ sudaro vektoriai, išeinantys iš $A$ : $\vec{AB} = (2 - (-1);\ 3 - 2) = (3; 1)$ , $\vec{AC} = (0 - (-1);\ 4 - 2) = (1; 2)$ . Jų sandauga $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$ .
Ilgiai: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ , $|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ .
$\cos\angle BAC = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , todėl $\angle BAC = 45^\circ$ .

Atsakymas: a) $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$ , todėl $\angle ACB = 90^\circ$ ; b) $\angle BAC = 45^\circ$ .

Vektorių formulės ir kada jas taikyti

Lentelėje žymime: $\vec a = (x_1; y_1)$ , $\vec b = (x_2; y_2)$ , $\alpha$ – kampas tarp jų. Žyma prie formulės rodo, ar ji yra 2026 m. VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkinio A kurso skyriuje, ar ją reikia išmokti mintinai.

Formulė	Kada taikyti
$\vec{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$	Iš pabaigos $B$ koordinačių atimk pradžios $A$ koordinates.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \vec a \pm \vec b = (x_1 \pm x_2;\ y_1 \pm y_2) \\ k\vec a = (kx_1;\ ky_1) \end{gathered}$	Veiksmas atliekamas su kiekviena koordinate atskirai.Išmok mintinai
$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$	Vektoriaus ilgiui rasti (Pitagoro teorema).Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Pitagoro teorema
$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= x_1 x_2 + y_1 y_2 \\ &= \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cos \alpha \end{aligned}$	Skaliarinei sandaugai rasti iš koordinačių arba iš ilgių ir kampo. Iš jos randamas ir kampas: $\cos\alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec a\| \cdot \|\vec b\|}$ .Yra VBE A kurso formulių lape
$\vec a \cdot \vec a = \lvert \vec a \rvert^2$	Kai reikia sumos ar skirtumo ilgio be koordinačių: pakelk vektorių kvadratu.Išmok mintinai
$x_1 y_2 = x_2 y_1$	Vektoriai kolinearūs, kai jų koordinatės proporcingos. Ši lygybė tai patikrina be dalybos, todėl tinka ir tada, kai kuri nors koordinatė lygi nuliui.Išmok mintinai
$x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$	Nenuliniai vektoriai statmeni tada ir tik tada, kai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui.Išmok mintinai

Dažnos klaidos sprendžiant vektorių uždavinius

Koordinatės atimamos atvirkščiai. Jei iš pradžios koordinačių atimsi pabaigos koordinates, gausi ne $\vec{AB}$ , o priešingąjį vektorių $\vec{BA}$ . Jo ilgis toks pat, todėl ilgio uždavinyje klaidos nesimato, bet kampas, kryptis ar vektorių suma jau bus klaidingi.
Skaliarinė sandauga užrašoma kaip vektorius. Vektorių $(2; 3)$ ir $(4; -1)$ sandauga yra ne $(8; -3)$ , o skaičius $8 - 3 = 5$ .
Kampas skaičiuojamas tarp netinkamų vektorių. Kampą $ABC$ sudaro vektoriai $\vec{BA}$ ir $\vec{BC}$ , išeinantys iš viršūnės $B$ . Paėmus $\vec{AB}$ ir $\vec{BC}$ , gaunamas kampas $180^\circ - \angle ABC$ , o kosinuso ženklas pasikeičia.
Kolinearūs vektoriai painiojami su vienos krypties vektoriais. Tada prarandamas sprendinys su neigiamu daugikliu, kaip pavyzdyje su $m = -4$ .
Ilgiai sudedami kaip skaičiai. Lygybė $|\vec a + \vec b| = |\vec a| + |\vec b|$ teisinga tik vienos krypties vektoriams. Kitais atvejais sumą pakelk kvadratu: vektoriaus sandauga su pačiu savimi lygi jo ilgio kvadratui.
Neigiama koordinatė keliama kvadratu be skliaustų. $(-4)^2 = 16$ , o $-4^2 = -(4^2) = -16$ . Todėl ir skaičiuotuve neigiamą skaičių rašyk skliaustuose.

Vektoriai egzaminuose: VBE, o ne NMPP 8

Čia aprašyta 2026 m. tvarka, nes nauji užduočių aprašai dar tik derinami.

NMPP 8 (nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas 8 klasėje) – vektorių nėra. Pagal 2026 m. matematikos NMPP 8 užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Vektoriai priklauso transformacijoms: bendrojoje programoje 8 klasės „Transformacijos“ – vektoriaus sąvoka, lygūs ir priešingieji vektoriai, vektorių suma, skirtumas, daugyba iš skaičiaus. Vadinasi, pagal 2026 m. aprašą vektorių uždavinių per NMPP 8 nėra.
Matematikos VBE pagal 2026 m. tvarką laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Bendrojoje programoje parašyta: pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. A kurso mokiniai vektorių mokosi III gimnazijos (11) klasėje, todėl vektorių uždavinių gali būti abiejose dalyse.
VBE formulių lapas. Pagal 2026 m. tvarką oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Vektoriaus ilgio ir skaliarinės sandaugos formulės yra II skyriuje, skirtame matematikos (A) egzaminui. Vektoriaus koordinačių pagal du taškus, kolinearumo ir statmenumo sąlygų lape nėra, todėl jas reikia mokėti mintinai. Visos rinkinio formulės surinktos puslapyje VBE formulės.
2026 m. VBE priemonės: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) paskelbė, kad atnaujinti užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui: NMPP – 2026 m. spalio 1 d., VBE – 2026 m. spalio 7 d.

Matematikos NMPP 8 klasėje Kas įeina į 8 klasės patikrinimą ir kaip jam ruoštis.
Matematikos VBE pirmoji dalis III gimnazijos klasės temos ir pasiruošimo planas.
Matematikos VBE antroji dalis Kaip sudaryta antroji egzamino dalis.
Matematikos A ir B kursai Kuo skiriasi išplėstinis ir bendrasis kursas.
NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Oficialus 2026 m. aprašas; formulių rinkinys – 1 priede.
NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF) Oficialus 2026 m. aprašas: kas į patikrinimą neįtraukta.

Vektoriai: uždaviniai su atsakymais

Pirmasis uždavinys tinka ir 8 klasei. Išspręsk sąsiuvinyje, tik tada žiūrėk atsakymą.

Lengvesni

1. Lygiagretainio $DEFG$ įstrižainės kertasi taške $O$ . Užrašyk: a) vektorių, kuris lygus $\vec{DE}$ ir prasideda taške $G$ ; b) vektorių, kuris priešingas $\vec{OF}$ ir prasideda taške $O$ ; c) sumą $\vec{DE} + \vec{DG}$ vienu vektoriumi.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $\vec{GF}$ ; b) $\vec{OD}$ ; c) $\vec{DF}$ .

a) Priešingos lygiagretainio kraštinės lygios ir lygiagrečios, o $G \to F$ eina ta pačia kryptimi kaip $D \to E$ . b) Įstrižainių susikirtimo taškas dalija jas pusiau, todėl $OD = OF$ , o vektorius $\vec{OD}$ nukreiptas priešingai nei $\vec{OF}$ . c) Pagal lygiagretainio taisyklę suma yra įstrižainė, išeinanti iš taško $D$ .

2. Duoti taškai $M(3; -4)$ ir $N(-1; 2)$ . Rask vektoriaus $\vec{MN}$ koordinates ir ilgį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\vec{MN} = (-4; 6)$ , $|\vec{MN}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$ .

3. Duoti vektoriai $\vec a = (2; -5)$ ir $\vec b = (-3; 1)$ . Rask vektoriaus $3\vec a - 2\vec b$ koordinates.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(12; -17)$ .

$3\vec a = (6; -15)$ , $2\vec b = (-6; 2)$ , todėl $3\vec a - 2\vec b = (6 - (-6);\ -15 - 2) = (12; -17)$ .

4. Kiekvienai vektorių porai parink tinkamą apibūdinimą: kolinearūs, statmeni arba nei kolinearūs, nei statmeni. 1) $(2; -6)$ ir $(-1; 3)$ ; 2) $(4; 1)$ ir $(-1; 4)$ ; 3) $(3; 2)$ ir $(2; 3)$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1) kolinearūs; 2) statmeni; 3) nei kolinearūs, nei statmeni.

1) $2 \cdot 3 = 6$ ir $(-1) \cdot (-6) = 6$ , todėl kolinearūs. 2) $4 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = 0$ , todėl statmeni. 3) $3 \cdot 3 \neq 2 \cdot 2$ ir $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12 \neq 0$ .

Vidutiniai

5. Išreikšk vektorių $\vec c = (7; 4)$ vektoriais $\vec a = (3; 1)$ ir $\vec b = (1; 2)$ , t. y. rask skaičius $x$ ir $y$ , su kuriais $\vec c = x\vec a + y\vec b$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\vec c = 2\vec a + \vec b$ ( $x = 2$ , $y = 1$ ).

Sulyginame koordinates: $3x + y = 7$ ir $x + 2y = 4$ . Tai lygčių sistema. Iš pirmos lygties $y = 7 - 3x$ , įstatome į antrą: $x + 14 - 6x = 4$ , $x = 2$ , tada $y = 1$ .

6. Rask kampą tarp vektorių $\vec u = (2; 1)$ ir $\vec v = (-3; 1)$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $135^\circ$ .

$\vec u \cdot \vec v = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 1 = -5$ , $|\vec u| = \sqrt{5}$ , $|\vec v| = \sqrt{10}$ . $\cos\alpha = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ , todėl $\alpha = 135^\circ$ . Sandauga neigiama, taigi kampas bukas.

7. Ar taškai $A(-2; -1)$ , $B(1; 1)$ ir $C(7; 5)$ yra vienoje tiesėje? Atsakyk „taip“ arba „ne“.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Taip.

$\vec{AB} = (3; 2)$ , $\vec{AC} = (9; 6) = 3\vec{AB}$ . Vektoriai kolinearūs ir išeina iš to paties taško $A$ , todėl visi trys taškai yra vienoje tiesėje.

Sunkesni

8. Vektorių ilgiai $|\vec a| = 2$ ir $|\vec b| = 5$ , o $|\vec a - \vec b| = \sqrt{19}$ . Rask $\vec a \cdot \vec b$ ir kampą tarp vektorių $\vec a$ ir $\vec b$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\vec a \cdot \vec b = 5$ , kampas lygus $60^\circ$ .

Pakeliame skirtumą kvadratu, kaip $(x - y)^2$ : $|\vec a - \vec b|^2 = |\vec a|^2 - 2\,\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2$ , taigi $19 = 4 - 2\,\vec a \cdot \vec b + 25$ . Iš čia $2\,\vec a \cdot \vec b = 29 - 19 = 10$ ir $\vec a \cdot \vec b = 5$ . Tada $\cos\alpha = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2}$ , $\alpha = 60^\circ$ .

Stereometrija Kita tema: kūnai erdvėje, kampai ir atstumai juose.

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar skaliarinė sandauga gali būti neigiama?

Taip. Skaliarinė sandauga lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai. Ilgiai nenuliniams vektoriams visada teigiami, todėl ženklą lemia kosinusas. Kai kampas tarp vektorių didesnis už 90 laipsnių (bukas arba lygus 180 laipsnių, kai vektoriai priešingų krypčių), kosinusas neigiamas, todėl ir sandauga neigiama.

Ar vektoriai fizikoje tie patys kaip matematikoje?

Taip, sąvoka ta pati. Fizikoje vektoriais vaizduojami dydžiai, kurie turi ir didumą, ir kryptį, pavyzdžiui, poslinkis, greitis ir jėga. Kelios jėgos sudedamos ta pačia trikampio arba lygiagretainio taisykle, o vektoriaus ilgis atitinka dydžio didumą. Fizikoje prie skaičių dar rašomi matavimo vienetai, pavyzdžiui, niutonai ar metrai per sekundę.

Ar vektorių mokomasi bendruoju kursu 11 klasėje?

Ne. 11 klasėje, kitaip III gimnazijos klasėje, plokštumos vektoriai yra tik išplėstinio (A) kurso turinys: veiksmai su vektoriais, koordinatės, ilgis, skaliarinė sandauga, kolinearūs ir statmeni vektoriai. Bendrojo kurso mokiniai vektorius sutinka 8 klasėje, kai mokomasi vektoriaus sąvokos, sumos, skirtumo ir daugybos iš skaičiaus.

Taip pat: Pitagoro teorema · Lygčių sistemos · Stereometrija · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE · Matematikos VBE 1 dalis

Šaltiniai

NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, 8 klasė, Geometrija ir matavimai → Konstravimas, transformacijos; skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt