Matematikos B ir A lygis: kuo skiriasi kursai ir kaip rinktis

Matematikos B lygis – tai bendrasis 11–12 klasės matematikos kursas, o A lygis – išplėstinis. A kurse tos pačios pagrindinės temos nagrinėjamos plačiau ir giliau, be to, mokomasi temų, kurių B kurse nėra: integralų, vektorių, kombinatorikos, kampų matavimo radianais. Kursą jūsų vaikas pasirenka dar 10 klasėje. Žemiau – kuo kursai skiriasi temomis ir formulių lapais, ta pati tema išspręsta abiem lygiais, uždaviniai su atsakymais, į ką atsižvelgti renkantis ir ką apie stojimą sako paskelbta tvarka.

VBE matematika B lygis ir A lygis

Oficialiai kursai vadinami bendruoju (B) ir išplėstiniu (A), o kasdien – „B lygiu“ ir „A lygiu“. Abiejų kursų mokomasi tuos pačius dvejus metus: 11 klasėje (III gimnazijos klasėje) ir 12 klasėje (IV gimnazijos klasėje). Skiriasi temų apimtis ir uždavinių sudėtingumas.

Žemiau – oficialūs faktai apie egzaminą, susiję su kursais. Jie aprašo 2026 m. tvarką, todėl prie kiekvieno fakto parašyti metai. Naujesnė tvarka dar nepatvirtinta: 2026 m. spalio 7 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) atnaujintų valstybinių brandos egzaminų (VBE) užduočių aprašų projektus pateikė viešai aptarti.

Datas, dalių svorius, išlaikymo ribą ir kitus matematikos VBE faktus rasite puslapyje matematikos VBE.

Kada laikomos egzamino dalys (2026 m. tvarka): pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje.
Formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A).
Kada rinkiniu buvo galima naudotis (2026 m. tvarka): ir pirmojoje, ir antrojoje egzamino dalyje.
Ar egzaminas privalomas (2026 m. tvarka): neprivalomas mokyklai baigti; privalomas stojant į aukštąsias mokyklas, išskyrus menų studijas.

B ir A lygis 11 klasėje: kas bendra ir kas skiriasi

11 klasėje abiejų kursų pagrindas tas pats. Mokomasi skaičių aibių ir modulio, šaknų ir laipsnių su trupmeniniu rodikliu, logaritmų, skaičių sekų ir progresijų, funkcijų ir jų grafikų, lygčių ir nelygybių. Trigonometrija prasideda nuo posūkio kampo sinuso ir kosinuso vienetiniame apskritime.

A kurse tos pačios temos eina toliau. Svarbiausi skirtumai:

Logaritmai. B kurse taikomos sumos, skirtumo ir daugiklio savybės, kai logaritmų pagrindas tas pats. A kurse dar mokomasi pereiti prie kito pagrindo ir naudotis natūraliuoju logaritmu, kurio pagrindas – skaičius $e$ .
Trigonometrija. B kurse kampai matuojami laipsniais, nagrinėjami sinusas ir kosinusas. Pagal programą A kurse kampai matuojami ir radianais. Be to, A kurse vienetiniame apskritime apibrėžiamas posūkio kampo tangentas, nagrinėjamas jo grafikas (tangentoidė) ir skaičius $\operatorname{arctg} a$ .
Progresijos. Abiejuose kursuose – aritmetinė ir geometrinė progresija. A kurse dar skaičiuojama nykstamosios geometrinės progresijos suma. Tokios progresijos nariai artėja prie nulio. Pavyzdžiui, sudėję be galo daug progresijos $8;\ 4;\ 2;\ 1;\ \ldots$ narių, gauname baigtinį skaičių – $16$ .
Lygtys ir nelygybės. A kurse prisideda bikvadratinės lygtys, pavyzdžiui, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ , ir aukštesnio laipsnio lygtys, kurios sprendžiamos skaidant dauginamaisiais. Be to, sprendžiamos lygtys ir nelygybės su moduliu, o rodiklinės ir logaritminės lygtys – ir įvedant naują nežinomąjį.
Funkcijos. A kurse nagrinėjama daugiau grafikų transformacijų, pavyzdžiui, $y = |f(x)|$ , ir sudėtinės funkcijos sąvoka.
Tik A kurse: plokštumos vektoriai – jų koordinatės, ilgis ir skaliarinė sandauga.

Matematikos VBE 1 dalis Išsamus 11 klasės temų sąrašas abiem kursams ir pasiruošimo planas.
Vienetinis apskritimas Kampai laipsniais ir radianais, sinusas ir kosinusas.
Skaičių aibės ir modulis Intervalai, aibių veiksmai, lygtys su moduliu.

B ir A lygis 12 klasėje: kas bendra ir kas skiriasi

12 klasėje abu kursai turi keturias dideles temas: trigonometrines lygtis, išvestinę ir jos taikymą, erdvės geometriją (stereometriją) ir tikimybes. Skirtumai tokie:

Trigonometrinės lygtys. B kurse sprendžiamos lygtys su sinusu ir kosinusu, sprendinių ieškoma nurodytame intervale. Pagal programą A kurse dar mokomasi sumos ir dvigubo kampo formulių, lygčių su tangentu ir trigonometrinių nelygybių.
Išvestinė. B kurse išvestinės skaičiuojamos laipsninėms funkcijoms ir jų sumoms. Išvestine tiriami ne aukštesnio kaip trečiojo laipsnio daugianariai: kur jie didėja, kur mažėja, kokia jų didžiausia ir mažiausia reikšmė. A kurse prieš išvestinę aptariama funkcijos riba. Paskui skaičiuojamos sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės, taip pat rodiklinių, logaritminių ir trigonometrinių funkcijų išvestinės.
Stereometrija. Abiejuose kursuose – tiesės ir plokštumos erdvėje, kampai ir atstumai, prizmės, piramidės, ritiniai, kūgiai ir rutuliai. A kurse dar ieškoma kampų ir atstumų tarp prasilenkiančių tiesių, nagrinėjama trijų statmenų teorema, nupjautinė piramidė, nupjautinis kūgis ir rutulio nuopjova.
Tikimybės. B kurse tikimybės skaičiuojamos braižant tikimybių medžius, galimybių lenteles ir Veno diagramas. A kurse dar skaičiuojama, keliais būdais galima išdėstyti ar išrinkti daiktus (kėliniai, gretiniai ir deriniai). Be to, mokomasi Bernulio bandymų, atsitiktinio dydžio vidurkio ir dispersijos, normaliojo skirstinio.
Tik A kurse: pirmykštė funkcija ir integralas. Integralu skaičiuojamas plotas figūros, kurią riboja kreivės, ir tūris kūno, gauto sukant tokią figūrą apie ašį (sukinio).

Matematikos VBE 2 dalis 12 klasės temos ir kaip užrašyti pilną sprendimą.
Stereometrija Tiesės, plokštumos ir kampai erdvėje.

Temos, kurių mokomasi tik A lygiu

Žemiau – temų puslapiai, kurių 11–12 klasės turinys priklauso tik išplėstiniam kursui.

B kurso mokiniui šių temų mokytis nereikia. A kurso mokiniui jos yra papildomos: abiem kursams bendrų temų vis tiek reikės, todėl kartoti verta pradėti nuo jų.

Vektoriai 8 ir 11 klasė (A kursas), VBE
Integralai 12 klasė, A kursas, VBE

Kuo skiriasi B ir A lygio formulių lapai

Pagal 2026 m. tvarką oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Rinkiniu buvo galima naudotis ir pirmojoje, ir antrojoje egzamino dalyje.

2026 m. rinkinio skyriai sudaryti skirtingai. Abiejuose skyriuose yra logaritmų sumos ir skirtumo taisyklės, progresijų $n$ -tojo nario ir pirmųjų $n$ narių sumos formulės ir liestinės lygtis. Tik I skyriuje (B) yra laipsnių ir šaknų taisyklės, pagrindinės trigonometrijos tapatybės, sudėtinių procentų ir skritulio išpjovos formulės. Tik II skyriuje (A) yra perėjimas prie kito logaritmo pagrindo, sumos ir dvigubo kampo formulės, nykstamosios geometrinės progresijos suma, sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės, integralai, vektoriai, kombinatorika ir atsitiktinis dydis.

Kai kurių formulių nėra nė viename skyriuje. Kvadratinės lygties sprendinių, parabolės viršūnės ir tiesės per du taškus formulių mokomasi 9–10 klasėje, o 2026 m. VBE rinkinyje jų nėra, todėl jas teks mokėti mintinai. Lentelėje žemiau – kelios formulės iš kiekvieno skyriaus ir viena, kurios nėra nė viename.

Visos abiejų skyrių formulės su paaiškinimais, kada kurią taikyti, surinktos puslapyje VBE formulių rinkiniai.

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \\ (a > 0,\ n \in \mathbb{N},\ m \in \mathbb{Z},\ n > 1) \end{gathered}$	Laipsnį su trupmeniniu rodikliu paversti šaknimi, pavyzdžiui, $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{729} = 9$ ; II skyriuje (A) šios eilutės nėra.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$	Rasti kosinusą, kai žinomas sinusas, arba atvirkščiai; II skyriuje (A) šios tapatybės nėra.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$	Pereiti prie kito logaritmo pagrindo, kai lygtyje pagrindai skirtingi; tai A kurso taisyklė.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha$	Dvigubo kampo sinusą išreikšti viengubo kampo funkcijomis, pavyzdžiui, sprendžiant lygtį; tai A kurso formulė.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \left(f(x) \cdot g(x)\right)' = \\ = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x) \end{gathered}$	Rasti dviejų funkcijų sandaugos išvestinę; B kurse ši taisyklė nenagrinėjama.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$C_n^k = C_n^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$	Kiek būdų iš $n$ elementų išrinkti $k$ , kai tvarka nesvarbi; tai A kurso formulė.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Tikimybės ir kombinatorika
$\begin{gathered} D = b^2 - 4ac \\ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \end{gathered}$	Kvadratinės lygties $ax^2 + bx + c = 0$ sprendiniai, kai $a \neq 0$ ir $D \geq 0$ ; 2026 m. VBE rinkinyje šių formulių nėra.Išmok mintinai · Plačiau: Kvadratinės lygtys

Ta pati tema B ir A lygiu: trys pavyzdžiai

Pirmieji du pavyzdžiai – logaritminės lygtys. Pirmoji sprendžiama B kurso priemonėmis, antrajai patogiausia taisyklė, kurios B kurse nėra. Trečiajame – viena atrankos situacija ir du klausimai: a) klausimas sprendžiamas tikimybių medžiu, kaip B kurse, o b) – deriniais, kaip A kurse. Kiekviename pavyzdyje parodyta ir klaida, kurią čia lengva padaryti.

B lygis: logaritminė lygtis ir apibrėžimo sritis

Išspręskite lygtį $\log_3(x + 4) + \log_3(x - 4) = 2$ .

Apibrėžimo sritis – tos $x$ reikšmės, su kuriomis lygtis turi prasmę. Reiškinys po logaritmu turi būti teigiamas: $x + 4 > 0$ ir $x - 4 > 0$ . Abi sąlygos kartu tenkinamos, kai $x > 4$ .
Kai abu reiškiniai teigiami, logaritmų su tuo pačiu pagrindu suma lygi sandaugos logaritmui: $\log_3\left((x + 4)(x - 4)\right) = 2$ . Ši taisyklė yra 2026 m. formulių rinkinio I skyriuje (matematika B).
Pagal logaritmo apibrėžimą $(x + 4)(x - 4) = 3^2$ , t. y. $x^2 - 16 = 9$ , iš čia $x^2 = 25$ .
Gauname du kandidatus: $x = 5$ ir $x = -5$ . Sąlygą $x > 4$ tenkina tik $x = 5$ .
Patikriname: $\log_3 9 + \log_3 1 = 2 + 0 = 2$ . Klaida, kurią čia lengva padaryti, – palikti ir $x = -5$ . Įrašę jį gautume $\log_3(-1)$ , o neigiamo skaičiaus logaritmas neapibrėžtas.

Atsakymas: $x = 5$ .

A lygis: logaritmai su skirtingais pagrindais

Išspręskite lygtį $\log_2 x + \log_4 x = 6$ .

Apibrėžimo sritis: $x > 0$ .
Pagrindai skirtingi, todėl sumos taisyklės iš karto taikyti negalima. Abu logaritmus užrašome pagrindu 2. Tarkime, $\log_4 x = t$ . Tada $4^t = x$ , o kadangi $4^t = 2^{2t}$ , tai $\log_2 x = 2t$ . Vadinasi, $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$ .
Tą patį iš karto duoda perėjimo prie kito pagrindo formulė: $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$ . Ji yra 2026 m. formulių rinkinio II skyriuje (matematika A), o B kurse jos nesimokoma.
Įrašome: $\log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 x = 6$ , t. y. $\frac{3}{2}\log_2 x = 6$ , todėl $\log_2 x = 4$ ir $x = 2^4 = 16$ .
Patikriname: $\log_2 16 = 4$ , $\log_4 16 = 2$ , o $4 + 2 = 6$ . Klaida, kurią čia lengva padaryti, – parašyti $\log_4 x = 2\log_2 x$ . Tada gautume $x = 4$ , bet $\log_2 4 + \log_4 4 = 2 + 1 = 3$ , ne 6.

Atsakymas: $x = 16$ .

Atranka į turnyrą: tikimybių medis ir deriniai

Gimnazijos debatų klubą sudaro 9 nariai: 5 vienuoliktokai ir 4 dvyliktokai. Į turnyrą nariai siunčiami burtų keliu, o tas pats narys negali būti išrinktas du kartus. a) Abiem lygiams: burtais vienas po kito išrenkami 2 nariai. Kokia tikimybė, kad abu bus vienuoliktokai? b) A lygiui: burtais išrenkami 4 nariai. Kokia tikimybė, kad tarp jų bus lygiai 2 vienuoliktokai?

a) dalies tikimybių medis: V – vienuoliktokas, D – dvyliktokas. Paryškinta šaka – abu išrinktieji vienuoliktokai.

a) Brėžiame tikimybių medį (žr. brėžinį). Pirmą kartą vienuoliktokas išrenkamas su tikimybe $\frac{5}{9}$ .
Po to lieka 8 kandidatai, iš jų 4 vienuoliktokai, todėl antrą kartą vienuoliktoko tikimybė yra $\frac{4}{8}$ . Šakos tikimybės dauginamos: $\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}$ .
Klaida, kurią čia lengva padaryti, – antrą kartą vėl imti $\frac{5}{9}$ . Taip būtų, jei išrinktas narys grįžtų į burtus ir galėtų būti išrinktas dar kartą, bet sąlyga to neleidžia.
b) Medžiu tai irgi įmanoma, bet keturių etapų medis turi 16 galutinių šakų (kelių), iš kurių tinka 6. A kurse skaičiuojami deriniai – kiek būdų iš $n$ narių išrinkti $k$ , kai tvarka nesvarbi. Visų galimų ketvertų yra $C_9^4 = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126$ .
Palankūs ketvertai: 2 vienuoliktokus iš 5 galima išrinkti $C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10$ būdų, o 2 dvyliktokus iš 4 – $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 6$ būdais. Kiekvieną vienuoliktokų porą galima sujungti su kiekviena dvyliktokų pora, todėl palankių ketvertų yra $10 \cdot 6 = 60$ .
Tikimybė: $\frac{60}{126} = \frac{10}{21} \approx 0{,}48$ .

Atsakymas: a) $\frac{5}{18}$ ; b) $\frac{10}{21} \approx 0{,}48$ .

B ir A lygio uždaviniai su atsakymais

Čia vienuolika uždavinių 11–12 klasės temomis, ne oficialios egzamino užduotys. Jei vaikas dar mokosi 10 klasėje, šių temų jis dar nesimokė. Todėl uždaviniai čia ne patikrai, o tam, kad matytumėte, koks darbas laukia kiekvienu lygiu.

Uždaviniai, pažymėti „A lygis“, remiasi temomis, kurių mokomasi tik išplėstiniame kurse, kiti tinka abiem kursams. Trys poros rodo tą pačią temą dviem lygiais: 3 ir 4 (progresija), 5 ir 8 (išvestinė), 2 ir 11 (trigonometrinė lygtis). Pirmasis poros uždavinys tinka abiem kursams, antrasis skirtas A lygiui. Atsakymas ir trumpas sprendimas paslėpti po kiekvienu uždaviniu. Apie visą 11–12 klasės kursą skaitykite puslapyje Matematika 11–12 klasėje.

Lengvesni

1. Apskaičiuokite $\log_5 250 - \log_5 2$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $3$ .

Abiejų logaritmų pagrindas tas pats, todėl skirtumas lygus dalmens logaritmui: $\log_5 \frac{250}{2} = \log_5 125 = 3$ , nes $5^3 = 125$ . Ši savybė yra abiejuose 2026 m. formulių rinkinio skyriuose.

2. Išspręskite lygtį $6\sin x + 3 = 0$ intervale $[0^\circ; 360^\circ]$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = 210^\circ$ arba $x = 330^\circ$ .

Iš lygties gauname $6\sin x = -3$ , t. y. $\sin x = -\frac{1}{2}$ . Kampas $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -30^\circ$ intervalui nepriklauso. Sinusas neigiamas III ir IV ketvirčiuose: $180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$ ir $360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$ .

3. Geometrinės progresijos pirmasis narys $b_1 = 81$ , vardiklis $q = \frac{1}{3}$ . Raskite penktąjį narį $b_5$ ir pirmųjų penkių narių sumą $S_5$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $b_5 = 1$ , $S_5 = 121$ .

$b_5 = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{81}{81} = 1$ . Pirmieji penki nariai: $81; 27; 9; 3; 1$ , jų suma $121$ . Tą patį duoda sumos formulė $S_5 = \frac{81\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{3}} = 121$ .

Vidutiniai

4. A lygis. Raskite begalinės geometrinės progresijos $81; 27; 9; 3; \ldots$ visų narių sumą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $121{,}5$ .

Vardiklis $q = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$ , o $|q| < 1$ , todėl progresija nykstamoji ir jos suma baigtinė: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{81}{\frac{2}{3}} = 121{,}5$ . Palyginkite su ankstesniu uždaviniu: pirmieji penki nariai davė $121$ , o visi kiti kartu prideda tik $0{,}5$ .

5. Duota funkcija $f(x) = x^3 - 6x$ . Apskaičiuokite $f'(2)$ ir raskite $x$ reikšmes, su kuriomis $f'(x) = 0$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $f'(2) = 6$ ; $x = -\sqrt{2}$ arba $x = \sqrt{2}$ .

$f'(x) = 3x^2 - 6$ , todėl $f'(2) = 12 - 6 = 6$ . Lygtis $3x^2 - 6 = 0$ duoda $x^2 = 2$ , t. y. $x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41$ .

6. Lentynoje stovi 5 grožinės ir 3 mokslo populiarinimo knygos. Mokinys atsitiktinai paima vieną knygą, o tada, pirmosios nepadėjęs atgal, – dar vieną. Kokia tikimybė, kad abi knygos bus skirtingų rūšių?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{15}{28}$ .

Tinka dvi medžio šakos: pirma grožinė, tada mokslo populiarinimo – $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$ , ir atvirkščiai – $\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$ . Šios šakos – nesutaikomi įvykiai, todėl jų tikimybės sudedamos: $\frac{30}{56} = \frac{15}{28}$ .

7. A lygis. Duoti vektoriai $\vec{a} = (5; -12)$ ir $\vec{b} = (12; 5)$ . Raskite $|\vec{a}|$ ir skaliarinę sandaugą $\vec{a} \cdot \vec{b}$ . Ar šie vektoriai statmeni?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $|\vec{a}| = 13$ , $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ; taip, vektoriai statmeni.

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$ . $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 12 + (-12) \cdot 5 = 0$ . Dviejų nenulinių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai jie statmeni.

Sunkesni

8. A lygis. Duota funkcija $f(x) = x^2 \ln x$ , kai $x > 0$ . Raskite $f'(x)$ ir funkcijos kritinį tašką ( $x$ reikšmę).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $f'(x) = 2x \ln x + x$ ; kritinis taškas $x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61$ .

Funkcija yra sandauga, todėl taikoma sandaugos išvestinės taisyklė: $f'(x) = 2x \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot x^2 = 2x \ln x + x$ . Kritinį tašką randame iš lygties $f'(x) = 0$ . Iškėlę $x$ prieš skliaustus, gauname $x(2\ln x + 1) = 0$ . Kadangi $x > 0$ , lieka $2\ln x + 1 = 0$ , t. y. $\ln x = -\frac{1}{2}$ , iš čia $x = e^{-\frac{1}{2}}$ .

9. A lygis. Šachmatų turnyre kiekvienas dalyvis su kiekvienu kitu sužaidė po vieną partiją. Iš viso sužaistos 36 partijos. Kiek buvo dalyvių?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 9 dalyviai.

Kiekviena partija – tai dviejų dalyvių pora, o tvarka nesvarbi, todėl partijų yra $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$ . Lygtis $\frac{n(n-1)}{2} = 36$ duoda $n^2 - n - 72 = 0$ , iš čia $n = 9$ . Antrasis sprendinys $-8$ netinka, nes dalyvių skaičius teigiamas.

10. A lygis. Apskaičiuokite $\int_1^3 (3x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $18$ .

Pirmykštė funkcija $F(x) = x^3 - x^2$ . Pagal Niutono ir Leibnico formulę $F(3) - F(1) = (27 - 9) - (1 - 1) = 18$ .

11. A lygis. Išspręskite lygtį $\sin 2x = \cos x$ intervale $[0; 2\pi]$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = \frac{\pi}{6}$ , $x = \frac{\pi}{2}$ , $x = \frac{5\pi}{6}$ , $x = \frac{3\pi}{2}$ .

Pagal dvigubo kampo formulę $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ , todėl $2\sin x \cos x - \cos x = 0$ , t. y. $\cos x \cdot (2\sin x - 1) = 0$ . Iš $\cos x = 0$ gauname $\frac{\pi}{2}$ ir $\frac{3\pi}{2}$ , iš $\sin x = \frac{1}{2}$ – $\frac{\pi}{6}$ ir $\frac{5\pi}{6}$ . Abiejų pusių dalyti iš $\cos x$ negalima: taip prarastume du sprendinius.

Kaip rinktis matematikos lygį 10 klasėje

Kursas renkamas dar 10 klasėje, paprastai pavasarį, kai planuojami 11–12 klasės dalykai. Tikslų terminą ir tvarką praneša mokykla. Prieš rinkdamiesi paklauskite jos, ar ir iki kada kursą bus galima pakeisti ir ko tam reikės.

Kokie metai laukia, parodo pavyzdys. Jei vaikas 2026–2027 mokslo metais mokosi 10 klasėje, 11 klasę jis lankys 2027–2028 mokslo metais, o 12 klasę – 2028–2029 mokslo metais. Pagal 2026 m. tvarką egzamino pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Jei tokia tvarka išliks, pirmąją dalį jis laikys 2027–2028 mokslo metais, o antrąją – 2028–2029 mokslo metais.

Į ką verta atsižvelgti:

Planai po mokyklos. Pasidomėkite, kokių dalykų mokoma pirmaisiais studijų metais tose programose, kurias vaikas svarsto. Jei ten yra matematinė analizė, tikimybių teorija ar tiesinė algebra, pravers A kurso temos: integralai, kombinatorika, vektoriai ir platesnė išvestinių dalis. Studijose jos bus jau pažįstamas pagrindas.
9–10 klasės pagrindai. Abu kursai 11 klasėje remiasi tuo pačiu: kvadratinėmis lygtimis, kvadratine funkcija, laipsniais, šaknimis ir algebrinėmis trupmenomis. Spragas verta užtaisyti dar prieš 11 klasę, ypač renkantis A kursą: jame per tuos pačius dvejus metus išeinama daugiau temų.
Kaip vaikas dirba. Abu kursai reikalauja nuoseklaus darbo visus dvejus metus, bet A kurse temų daugiau ir jos sudėtingesnės. Matematikos mokytojas mato, kaip vaikas sprendžia ir ar jam sekasi savarankiškai, todėl jo nuomonę verta išklausyti.
Paties vaiko apsisprendimas. Dvejus metus mokysis jis, todėl svarbu, kad jis suprastų, kodėl renkasi būtent šį kursą. Tėvų vaidmuo – padėti pasverti argumentus.
Stojimo reikalavimai. Ką apie juos sako paskelbti šaltiniai, rasite paskutiniame šio puslapio skyriuje.

Matematika 9–10 klasėje Temos, kuriomis remiasi abu 11 klasės kursai.

Klaidos renkantis matematikos lygį

Šios klaidos susijusios ne su matematika, o su tuo, kaip priimamas sprendimas. Į ką atkreipti dėmesį:

Manyti, kad A kursas – tas pats B, tik su sunkesniais uždaviniais. A kurse yra ir temų, kurių B kurse nėra: integralų, kampų matavimo radianais, vektorių skaliarinės sandaugos, kėlinių, gretinių ir derinių.
Rinktis B vien todėl, kad bus lengviau, nepasidomėjus, ko prireiks po mokyklos. Ar kursą bus galima pakeisti vėliau ir ko tam reikės, verta išsiaiškinti mokykloje iš anksto.
Rinktis A dėl draugų pasirinkimo ar „prestižo“, kai 9–10 klasės pagrindai dar svyruoja.
Tikėtis, kad formulių lapas atstos žinias. 2026 m. rinkinyje nėra nei kvadratinės lygties sprendinių formulės, nei parabolės viršūnės formulės, o lape esančią formulę dar reikia mokėti pritaikyti.
Spręsti be paties vaiko ir neišklausius mokytojo nuomonės.

Stojimas ir matematikos VBE: ką sako paskelbta tvarka

Pagal 2026 m. tvarką matematikos VBE buvo neprivalomas mokyklai baigti; privalomas stojant į aukštąsias mokyklas, išskyrus menų studijas.

Ar stojant svarbu, kokiu kursu vaikas mokėsi, ir kaip tada skaičiuojamas konkursinis balas, šiame puslapyje neteigiama: tam reikia tų metų oficialių priėmimo taisyklių.

Vaikui, kuris dabar mokosi 10 klasėje, galios ne 2026 m., o jo stojimo metų taisyklės. Kai renkatės kursą, tų metų taisyklių gali dar nebūti. Todėl pasižiūrėkite naujausias paskelbtas taisykles ir svarstomų studijų programų reikalavimus, o vėliau juos patikrinkite dar kartą.

ŠMSM: Atmintinė abiturientams 2025–2026 (PDF)

Dažniausiai užduodami klausimai

Ką reiškia VBE matematika B lygis?

Taip kasdien vadinamas bendrasis 11–12 klasės matematikos kursas, o A lygiu – išplėstinis. Abiejų kursų pagrindinės temos tos pačios: logaritmai, progresijos, funkcijos, trigonometrija, išvestinė, stereometrija ir tikimybės. A kurse jos nagrinėjamos plačiau ir pridedama naujų.

Kuo matematikos A lygis skiriasi nuo B lygio?

A lygyje nagrinėjamos tos pačios pagrindinės temos kaip B lygyje, tik plačiau, ir dar kelios, kurių B lygyje nėra: kampai radianais, trigonometrinės nelygybės, plokštumos vektoriai, sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės, integralai, kombinatorika ir atsitiktiniai dydžiai. Todėl A kurse per tuos pačius dvejus metus tenka išmokti daugiau.

Kurių formulių nėra B lygio formulių lape?

2026 m. rinkinio I skyriuje (matematika B) nėra kvadratinės lygties sprendinių formulės, kvadratinio trinario skaidymo, parabolės viršūnės ir tiesės per du taškus formulių. Jų nėra ir II skyriuje, todėl jas reikia mokėti mintinai. I skyriuje nėra ir A kurso formulių: perėjimo prie kito logaritmo pagrindo, dvigubo kampo, sandaugos ir dalmens išvestinių, integralų ir derinių skaičiaus.

Ar stojant į aukštąją mokyklą svarbu, kurį matematikos kursą vaikas rinkosi?

Pagal 2026 m. tvarką matematikos VBE buvo neprivalomas mokyklai baigti; privalomas stojant į aukštąsias mokyklas, išskyrus menų studijas. Apie kurso įtaką stojimui šiame puslapyje nieko neteigiama, nes tam reikia tų metų oficialių priėmimo taisyklių. Vaikui, kuris dabar renkasi kursą, galios jo stojimo metų taisyklės. Jas ir svarstomų studijų programų reikalavimus verta pasitikrinti, kai tik jos bus paskelbtos.

Taip pat: Matematikos VBE 1 dalis · Matematikos VBE 2 dalis · Matematika 11–12 klasėje · Matematikos VBE

Šaltiniai

ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt