Vienetinis apskritimas: sinusas ir kosinusas bet kokiam kampui

Vienetinis apskritimas – apskritimas, kurio spindulys lygus 1, o centras yra koordinačių pradžioje. Kiekvieną posūkio kampą $\alpha$ jame atitinka vienas taškas, ir to taško koordinatės yra $(\cos\alpha; \sin\alpha)$ . 10 klasėje taip apibrėžiami bukojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas. 11 klasėje – bet kokio kampo sinusas ir kosinusas, o A kurse dar bet kokio kampo tangentas ir radianai.

Vienetinis apskritimas ir posūkio kampas

Stačiajame trikampyje sinusas, kosinusas ir tangentas apibrėžiami tik smailiajam kampui. Kad jie turėtų prasmę bet kokiam kampui, kampas perkeliamas į koordinačių plokštumą. Posūkio kampas matuojamas nuo teigiamos $x$ ašies: spindulį $OE$ , kur $O$ – koordinačių pradžia, o $E(1; 0)$ , suki apie tašką $O$ . Prieš laikrodžio rodyklę kampas teigiamas, pagal laikrodžio rodyklę – neigiamas. Galima apsisukti ir daugiau nei vieną kartą (pilnas apsisukimas – 360°), todėl prasmę turi ir 450°, ir −90°.

Kai spindulys pasisuka kampu $\alpha$ , taškas $E$ atsiduria taške $P$ . Taško $P$ abscisė ( $x$ koordinatė) vadinama kampo $\alpha$ kosinusu, o ordinatė ( $y$ koordinatė) – sinusu. Sinuso ir kosinuso santykis vadinamas tangentu: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , kai $\cos\alpha \ne 0$ .

Smailiajam kampui tai tas pats, ką žinai iš stačiojo trikampio. Nuleidus statmenį iš $P$ į $x$ ašį, gaunamas statusis trikampis su įžambine $OP = 1$ . Prieš kampą esantis statinis lygus ordinatei $y$ , todėl $\sin\alpha = \frac{y}{1} = y$ . Prie kampo esantis statinis lygus abscisei, todėl $\cos\alpha = x$ .

Pagal Pitagoro teoremą tame trikampyje $x^2 + y^2 = 1^2$ . Kiekvienas apskritimo taškas nutolęs nuo $O$ per 1, todėl ši lygybė teisinga su bet kokiu kampu: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ . Ji vadinama pagrindine trigonometrine tapatybe. Apskritimo taškų koordinatės yra nuo −1 iki 1, todėl ir sinusas, ir kosinusas visada yra nuo −1 iki 1.

Kampo α taškas P vienetiniame apskritime: jo abscisė yra cos α, ordinatė – sin α.

Bukasis kampas vienetiniame apskritime (10 klasė)

Kai $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ , taškas $P$ yra viršutinėje apskritimo pusėje, todėl sinusas teigiamas. Smailiojo kampo kosinusas teigiamas, o bukojo – neigiamas, nes jo taškas yra kairėje nuo $y$ ašies. Todėl bukojo kampo tangentas irgi neigiamas. Kai $\alpha = 90^\circ$ , taškas yra $(0; 1)$ : $\sin 90^\circ = 1$ , $\cos 90^\circ = 0$ , o $\operatorname{tg} 90^\circ$ neapibrėžtas, nes iš nulio dalyti negalima.

Bukojo kampo reikšmės randamos per smailųjį. Kampų $\alpha$ ir $180^\circ - \alpha$ taškai simetriški $y$ ašies atžvilgiu (įrodymas – pirmame pavyzdyje žemiau). Tokia simetrija ordinatės nekeičia, o abscisės ženklą pakeičia priešingu: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ , $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ . Todėl ir $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ . Pavyzdžiui, $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$ , todėl $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ$ .

Bukasis kampas būna ir trikampyje. Trikampio ploto formulė $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ ir kosinusų teorema galioja ir jam. Kosinusų teoremoje $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ bukojo kampo kosinusas neigiamas, todėl dėmuo $-2ab\cos C$ tampa teigiamas. Vadinasi, $c^2 > a^2 + b^2$ : prieš bukąjį kampą esanti kraštinė visada ilgiausia.

Įrodyk: sinusas nesikeičia, kosinusas keičia ženklą

Įrodyk, kad kiekvienam smailiajam kampui $\alpha$ teisingos lygybės $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ ir $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ .

Pažymėk kampo $\alpha$ tašką $P$ ir kampo $180^\circ - \alpha$ tašką $Q$ , nuleisk statmenis $PA$ ir $QB$ į $x$ ašį (žr. brėžinį).
Spindulys $OQ$ su neigiama $x$ ašies kryptimi sudaro kampą $180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$ , todėl $\angle QOB = \angle POA = \alpha$ .
Statieji trikampiai $OPA$ ir $OQB$ turi lygias įžambines ( $OP = OQ = 1$ , apskritimo spinduliai) ir lygius smailiuosius kampus prie $O$ . Jie lygūs pagal įžambinę ir smailųjį kampą, todėl $QB = PA$ ir $OB = OA$ .
Kadangi $P(\cos\alpha; \sin\alpha)$ ir $\alpha$ smailusis, $OA = \cos\alpha$ , $PA = \sin\alpha$ . Taškas $Q$ yra II ketvirtyje (abscisė neigiama, ordinatė teigiama), todėl $Q(-\cos\alpha; \sin\alpha)$ .
Pagal apibrėžimą $Q(\cos(180^\circ - \alpha); \sin(180^\circ - \alpha))$ . Sulyginę koordinates gauname $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ ir $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ . Ką ir reikėjo įrodyti.

Atsakymas: Lygybės įrodytos: taškai P ir Q simetriški y ašies atžvilgiu.

Nešiojamojo kompiuterio ekranas: kosinusas su minuso ženklu

Nešiojamojo kompiuterio klaviatūros dalies gylis yra 21 cm, ekrano aukštis – 24 cm. Ekranas atlenktas taip, kad kampas tarp klaviatūros ir ekrano lygus $120^\circ$ (žr. brėžinį). Koks atstumas $d$ tarp priekinio klaviatūros krašto ir viršutinio ekrano krašto?

Vaizdas iš šono: apačioje klaviatūra (21 cm), kairėje – atlenktas ekranas (24 cm).

Iš šono matyti trikampis: dvi jo kraštinės yra 21 cm ir 24 cm, o kampas tarp jų $120^\circ$ . Trečiąją kraštinę rask pagal kosinusų teoremą: $d^2 = 21^2 + 24^2 - 2 \cdot 21 \cdot 24 \cdot \cos 120^\circ$ .
$\cos 120^\circ$ rask vienetiniame apskritime: $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$ , todėl $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ .
$d^2 = 441 + 576 - 2 \cdot 21 \cdot 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 441 + 576 + 504 = 1521$ .
$d = \sqrt{1521} = 39$ (cm).
Įvertink: prieš bukąjį kampą esanti kraštinė turi būti ilgiausia, ir $39 > 24$ . Dažna klaida – paimti $\cos 120^\circ = \frac{1}{2}$ : tada $d^2 = 513$ , $d \approx 22{,}6$ cm, t. y. trumpiau už ekraną, o taip būti negali.

Atsakymas: 39 cm.

Vienetinis apskritimas: ženklai pagal ketvirčius

11 klasėje posūkio kampas gali būti bet koks. Ašys dalija apskritimą į keturis ketvirčius, numeruojamus prieš laikrodžio rodyklę: I – nuo 0° iki 90°, II – nuo 90° iki 180°, III – nuo 180° iki 270°, IV – nuo 270° iki 360°. Sinuso ženklas yra taško ordinatės ženklas, kosinuso – abscisės ženklas. Todėl I ketvirtyje abu teigiami, II – teigiamas tik sinusas, III – abu neigiami, IV – teigiamas tik kosinusas. Kampų 0°, 90°, 180°, 270° taškai yra ant ašių, todėl, pavyzdžiui, $\cos 180^\circ = -1$ , $\sin 270^\circ = -1$ .

Kampų $\alpha$ ir $-\alpha$ taškai simetriški $x$ ašies atžvilgiu, todėl $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ , o $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ . Pilnas apsisukimas grąžina tašką į tą pačią vietą, todėl $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin\alpha$ ir $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos\alpha$ , kai $k$ – sveikasis skaičius. Taigi sinusas ir kosinusas kartojasi kas 360°. Pavyzdžiui, $\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$ , o $\cos 420^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .

Tangentas teigiamas ten, kur sinuso ir kosinuso ženklai sutampa (I ir III ketvirtyje), ir neigiamas II bei IV ketvirtyje. Bet kokio kampo tangentas nagrinėjamas A kurse.

Laikrodžio rodyklė: neigiamas kampas ir pilni apsisukimai

Laikrodžio centras yra koordinačių pradžioje, $x$ ašis nukreipta į skaičių 3, $y$ ašis – į skaičių 12, o minutinės rodyklės ilgis lygus 1. Lygiai 12 val. rodyklės galas yra taške $(0; 1)$ . Kokios bus jo koordinatės po 1 val. 25 min.? Atsakymą užrašyk tiksliai.

Rodyklė pasisuka pagal laikrodžio rodyklę vieną pilną ratą ir dar 150° (brėžinyje – tik ši dalis) iki taško P.

Minutinė rodyklė per minutę pasisuka $360^\circ : 60 = 6^\circ$ , o per 1 val. 25 min., t. y. 85 min., – $85 \cdot 6^\circ = 510^\circ$ .
Sukimas pagal laikrodžio rodyklę reiškia neigiamą kampą: $-510^\circ$ . Pradinis taškas $(0; 1)$ atitinka $90^\circ$ , todėl galutinis kampas $\alpha = 90^\circ - 510^\circ = -420^\circ$ .
Pridėk du pilnus apsisukimus: $-420^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 300^\circ$ . Šių kampų taškai sutampa.
$300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$ yra IV ketvirtyje: kosinusas teigiamas, sinusas neigiamas. Todėl $\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ , $\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Įvertink: po 25 minučių rodyklė rodo į skaičių 5, t. y. į dešinę ir žemyn – ten ir yra gautas taškas.

Atsakymas: $\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Redukcijos formulės: kaip bet kurį kampą suvesti į smailųjį

Redukcijos formulės bet kurio kampo sinusą ar kosinusą suveda į smailiojo kampo reikšmę. Dvi jų poras jau matei: kampams $180^\circ - \alpha$ ir $-\alpha$ . Kitos irgi kyla iš simetrijos. Kampų $\alpha$ ir $180^\circ + \alpha$ taškai simetriški koordinačių pradžios atžvilgiu, todėl $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$ ir $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$ . Pavyzdžiui, $\sin 210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$ .

Yra ir formulių su $90^\circ \pm \alpha$ bei $270^\circ \pm \alpha$ , kuriose sinusas virsta kosinusu, pavyzdžiui, $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$ . Skaičiuojant konkretaus kampo reikšmę, atskirai jų mokytis nebūtina: užtenka vienos taisyklės. Štai ji su pavyzdžiu $\cos 1215^\circ$ :

Pridėk ar atimk po 360°, kol kampas bus tarp 0° ir 360°: $1215^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 135^\circ$ .
Nustatyk ketvirtį: 135° yra II ketvirtyje.
Rask atraminį kampą – smailųjį kampą tarp spindulio ir $x$ ašies. II ketvirtyje jis lygus $180^\circ - \alpha$ , III – $\alpha - 180^\circ$ , IV – $360^\circ - \alpha$ . Čia $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ .
Paimk atraminio kampo reikšmę ir parink ženklą pagal ketvirtį. II ketvirtyje kosinusas neigiamas, todėl $\cos 1215^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vienetinio apskritimo formulės ir kada jas taikyti

PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas, VBE – valstybinis brandos egzaminas. Pagal 2026 m. tvarką pagrindinė tapatybė ir tangento formulė yra PUPP ir VBE B kurso formulių rinkiniuose. Kitų lentelės formulių oficialiuose rinkiniuose nėra. Užtat kiekvieną jų galima atkurti nusibraižius vienetinį apskritimą, todėl verta jas suprasti, ne tik išmokti. Formulės, pažymėtos „11 klasė“, pagal 2026 m. aprašą per PUPP netikrinamos.

Formulė	Kada taikyti
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$	Kai žinai sinusą ir ieškai kosinuso (ar atvirkščiai); ženklą parink pagal ketvirtį.Yra PUPP formulių lape
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	Tangentas iš sinuso ir kosinuso; netinka, kai $\cos\alpha = 0$ .Yra PUPP formulių lape
$\begin{gathered} \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \end{gathered}$	Bukojo kampo reikšmę suveda į smailiojo kampo reikšmę (10 klasė).Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \\ \cos(-\alpha) = \cos\alpha \end{gathered}$	11 klasė. Neigiamam kampui sinusas keičia ženklą, kosinusas – ne.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin(\alpha + 360^\circ k) = \sin\alpha \\ \cos(\alpha + 360^\circ k) = \cos\alpha \end{gathered}$	11 klasė. Kai kampas didesnis už 360° ar neigiamas, atmesk pilnus apsisukimus ( $k$ – sveikasis skaičius).Išmok mintinai
$\begin{gathered} \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha \\ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha \end{gathered}$	11 klasė. III ketvirčio kampams: taškas simetriškas kampo $\alpha$ taškui koordinačių pradžios atžvilgiu.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \arcsin a \in [-90^\circ; 90^\circ] \\ \arccos a \in [0^\circ; 180^\circ] \end{gathered}$	11 klasė. Kai pagal sinuso ar kosinuso reikšmę ieškai kampo; $a$ turi būti nuo −1 iki 1.Išmok mintinai
$180^\circ = \pi\ \text{rad}$	11 klasė, A kursas. Laipsnius paversk radianais dauginant iš $\frac{\pi}{180}$ , radianus laipsniais – dauginant iš $\frac{180^\circ}{\pi}$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} \operatorname{tg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{tg}\alpha \\ \operatorname{arctg} a \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \end{gathered}$	11 klasė, A kursas. Tangentas kartojasi kas $\pi$ , arktangentas apibrėžtas su bet kokiu $a$ .Išmok mintinai

Arksinusas ir arkkosinusas vienetiniame apskritime

Kartais klausiama atvirkščiai: kokio kampo kosinusas lygus $a$ ? Nubrėžk vertikalią tiesę $x = a$ . Kai $-1 < a < 1$ , ji kerta vienetinį apskritimą dviejuose taškuose, simetriškuose $x$ ašies atžvilgiu, todėl per vieną apsisukimą tokių kampų yra du. Pavyzdžiui, $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ , kai $\alpha = 60^\circ$ arba $\alpha = 300^\circ$ . Ieškant pagal sinusą, brėžiama horizontali tiesė $y = a$ , o jos susikirtimo su apskritimu taškai simetriški $y$ ašies atžvilgiu.

Vienas iš tų kampų turi savo vardą. $\arccos a$ (arkkosinusas) – kampas nuo 0° iki 180°, kurio kosinusas lygus $a$ . $\arcsin a$ (arksinusas) – kampas nuo −90° iki 90°, kurio sinusas lygus $a$ . Šiuose intervaluose kiekviena reikšmė pasitaiko lygiai vieną kartą, todėl kampas visada vienas. Pavyzdžiui, $\arccos\frac{1}{2} = 60^\circ$ , o $\arcsin\frac{1}{2} = 30^\circ$ . Abu skaičiai apibrėžti tik tada, kai $-1 \le a \le 1$ : pavyzdžiui, tiesė $x = 1{,}2$ apskritimo nekerta.

Neigiamiems skaičiams $\arcsin(-a) = -\arcsin a$ , bet $\arccos(-a) = 180^\circ - \arccos a$ , nes arkkosinusas nebūna neigiamas. Pavyzdžiui, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ . Skaičiuotuvo klavišai $\sin^{-1}$ ir $\cos^{-1}$ (laipsnių režimu) grąžina tik šį vieną kampą. Antrąjį kampą rask iš simetrijos.

Du kampai su tuo pačiu kosinusu

Rask visus kampus $\alpha$ , kai $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$ ir $\cos\alpha = -0{,}4$ . Atsakymą suapvalink iki dešimtųjų laipsnio dalių.

−0,4 yra tarp −1 ir 1, todėl tiesė $x = -0{,}4$ kerta apskritimą dviejuose taškuose: II ir III ketvirtyje (žr. brėžinį).
Skaičiuotuvu laipsnių režimu $\alpha_1 = \arccos(-0{,}4) \approx 113{,}58^\circ$ . Tai II ketvirčio taškas, nes arkkosinusas visada yra nuo 0° iki 180°.
III ketvirčio taškas jam simetriškas $x$ ašies atžvilgiu, todėl jo kampas lygus $-113{,}58^\circ$ . Pridėję pilną apsisukimą gauname kampą tarp 0° ir 360°: $\alpha_2 = 360^\circ - 113{,}58^\circ = 246{,}42^\circ$ .

Atsakymas: $\alpha \approx 113{,}6^\circ$ arba $\alpha \approx 246{,}4^\circ$ .

Radianai į laipsnius ir tangentų tiesė (A kursas)

A kurse kampai matuojami ir radianais, o B kurse – tik laipsniais. Kampas radianais – tai lanko ilgis, padalytas iš spindulio. Vienetiniame apskritime spindulys lygus 1, todėl kampas radianais tiesiog lygus lanko ilgiui. Pilnas apsisukimas – tai visas apskritimas, kurio ilgis $2\pi \cdot 1 = 2\pi$ . Todėl $360^\circ = 2\pi$ rad, o $180^\circ = \pi$ rad.

Iš čia $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ rad, o $1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$ . Laipsnius į radianus paversi dauginant iš $\frac{\pi}{180}$ , o radianus į laipsnius – dauginant iš $\frac{180^\circ}{\pi}$ . Pavyzdžiui, $225^\circ = 225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4}$ , o $\frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 72^\circ$ . Kampas be laipsnio ženklo reiškia radianus.

Tangentų tiesė – vertikali tiesė $x = 1$ , liečianti apskritimą taške $(1; 0)$ . Tiesė per $O$ ir kampo $\alpha$ tašką $P$ yra $y = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot x$ , todėl ties $x = 1$ jos ordinatė lygi $\operatorname{tg}\alpha$ . Taigi tangentas lygus taško, kuriame tiesė $OP$ kerta tangentų tiesę, ordinatei.

Kampų $\alpha$ ir $\alpha + \pi$ taškai guli vienoje tiesėje per $O$ , todėl $\operatorname{tg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{tg}\alpha$ . Taigi tangentas kartojasi kas $\pi$ , t. y. kas $180^\circ$ . Kai $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ , tiesė $OP$ lygiagreti tangentų tiesei, todėl tangentas neapibrėžtas. Su kitais kampais jis gali būti bet koks realusis skaičius. Iš simetrijos $x$ ašies atžvilgiu $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ .

$\operatorname{arctg} a$ (arktangentas) – kampas iš intervalo $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ , kurio tangentas lygus $a$ . Jis apibrėžtas su bet kokiu $a$ , pavyzdžiui, $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ . Kaip iš šių pagrindų sprendžiamos lygtys ir braižomi grafikai, rasi trigonometrijos puslapyje.

Kampas radianais ir taškas tangentų tiesėje

Posūkio kampas $\alpha = \frac{4\pi}{3}$ , o $P$ – jo taškas vienetiniame apskritime. a) Išreikšk kampą laipsniais. b) Rask $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ ir $\operatorname{tg}\alpha$ . c) Rask taško $T$ , kuriame tiesė $OP$ kerta tangentų tiesę, koordinates.

$\alpha = \frac{4\pi}{3} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{3} = 240^\circ$ .
$240^\circ$ yra III ketvirtyje, atraminis kampas $240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$ . III ketvirtyje sinusas ir kosinusas neigiami: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) : \left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}$ .
Spindulys $OP$ eina į III ketvirtį, todėl tangentų tiesę kerta jo tęsinys už taško $O$ . Susikirtimo taško ordinatė lygi $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}$ , todėl $T(1; \sqrt{3})$ – virš $x$ ašies, nors pats taškas $P$ yra žemiau jos.

Atsakymas: a) $240^\circ$ ; b) $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}$ ; c) $T(1; \sqrt{3})$ .

Dažnos klaidos su vienetiniu apskritimu

Šias klaidas padeda sugauti vienas įprotis: prieš rašydamas reikšmę, nusibraižyk apskritimą ir pažymėk kampo tašką.

Pamirštamas minuso ženklas, kai kosinusas randamas iš $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ . Kai $\sin\alpha = 0{,}6$ , kosinusas gali būti 0,8 arba −0,8 – ženklą lemia ketvirtis.
Neigiamas kampas sukamas ne į tą pusę. −60° yra IV ketvirtyje (pagal laikrodžio rodyklę nuo teigiamos $x$ ašies), o ne II.
Iš lygybės $\cos\alpha = a$ randamas tik vienas kampas, nors per apsisukimą jų paprastai yra du.
Skaičiuotuvas nustatytas ne tais vienetais. Radianų režimu $\sin 30 \approx -0{,}99$ , nes tai 30 radianų kampas, o ne 30°.

Vienetinis apskritimas PUPP ir VBE egzaminuose

2027 m. užduočių aprašų projektai dar derinami viešai: PUPP projektą NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) paskelbė 2026 m. spalio 1 d., VBE – 2026 m. spalio 7 d. Todėl turinys ir priemonės nurodyti pagal 2026 m. tvarką.

PUPP. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Vienetinis apskritimas priklauso geometrijai, ne tikimybėms. Todėl per PUPP gali būti jo 10 klasės dalis: kampų nuo 0° iki 180° sinusas, kosinusas ir tangentas. Neigiamų kampų, kampų, didesnių už 180°, arksinuso ir radianų mokomasi 11 klasėje, todėl per PUPP jų netikrina.
Pagal 2026 m. tvarką PUPP formulių rinkinyje yra kampų 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135° ir 150° reikšmių lentelė. Formules sin(180° − α) = sin α ir cos(180° − α) = −cos α reikia mokėti mintinai.
PUPP priemonės pagal 2026 m. tvarką: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Visas rinkinys aprašytas puslapyje PUPP formulės.
VBE. Pagal 2026 m. tvarką matematikos VBE laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Vienetinio apskritimo mokomasi 11 klasėje, tais pačiais metais, kai laikoma pirmoji dalis. Bendrojoje programoje parašyta: antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Todėl vienetinis apskritimas gali būti ir antrojoje dalyje.
VBE priemonės pagal 2026 m. tvarką: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
VBE formulių rinkinys. Pagal 2026 m. tvarką oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Visas rinkinys – puslapyje VBE formulės.

NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys – aprašo priedas.
NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys – aprašo 1 priedas.
Matematikos PUPP Egzamino sandara, vertinimas ir pasiruošimas.
Matematikos VBE 1 dalis Pirmosios VBE dalies sandara ir pasiruošimas.

Vienetinis apskritimas: užduotys su atsakymais

Užduotys suskirstytos pagal sunkumą. 1 ir 7 užduotims užtenka 10 klasės žinių. 3, 8, 9 ir 10 užduotys skirtos A kursui. Likusios – 11 klasės B ir A kursui.

Lengvesni

1. Vienetinio apskritimo taškas $P(-0{,}28; y)$ yra virš $x$ ašies ir atitinka posūkio kampą $\alpha$ , kur $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ . Rask $y$ , $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ ir $\operatorname{tg}\alpha$ . Ar kampas $\alpha$ smailusis, ar bukasis?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $y = 0{,}96$ ; $\sin\alpha = 0{,}96$ , $\cos\alpha = -0{,}28$ , $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{24}{7} \approx -3{,}43$ ; kampas bukasis.

Taškas yra apskritime, todėl $(-0{,}28)^2 + y^2 = 1$ ir $y^2 = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216$ . Kadangi $y > 0$ , tai $y = 0{,}96$ . Tada $\sin\alpha = 0{,}96$ , $\cos\alpha = -0{,}28$ , o $\operatorname{tg}\alpha = \frac{0{,}96}{-0{,}28} = -\frac{24}{7}$ . Kosinusas neigiamas, todėl kampas bukasis.

2. Kiekvienam kampui A–D parink jo sinuso ir kosinuso ženklų porą iš 1–4. A) $200^\circ$ ; B) $-50^\circ$ ; C) $100^\circ$ ; D) $400^\circ$ . 1) $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha > 0$ ; 2) $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha < 0$ ; 3) $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha < 0$ ; 4) $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha > 0$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A – 3, B – 4, C – 2, D – 1.

$200^\circ$ – III ketvirtis, $-50^\circ$ – IV, $100^\circ$ – II, $400^\circ = 360^\circ + 40^\circ$ – I.

3. A kursas. a) $36^\circ$ išreikšk radianais. b) $\frac{5\pi}{12}$ išreikšk laipsniais. c) 2 radianus išreikšk laipsniais (suapvalink iki dešimtųjų).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $\frac{\pi}{5}$ ; b) $75^\circ$ ; c) $\approx 114{,}6^\circ$ .

Vidutiniai

4. Apskaičiuok tiksliai $\sin(-870^\circ)$ ir $\cos 1020^\circ$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\sin(-870^\circ) = -\frac{1}{2}$ , $\cos 1020^\circ = \frac{1}{2}$ .

$-870^\circ + 3 \cdot 360^\circ = 210^\circ$ (III ketvirtis, atraminis kampas $30^\circ$ ); $1020^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 300^\circ$ (IV ketvirtis, atraminis kampas $60^\circ$ ).

5. Apskaičiuok laipsniais $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} - \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $-90^\circ$

$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = 45^\circ$ , $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ , todėl $45^\circ - 135^\circ = -90^\circ$ .

6. Nesinaudodamas skaičiuotuvu, išdėstyk skaičius mažėjimo tvarka: $\cos 50^\circ$ , $\cos 130^\circ$ , $\cos 220^\circ$ , $\cos 320^\circ$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\cos 320^\circ$ , $\cos 50^\circ$ , $\cos 130^\circ$ , $\cos 220^\circ$ .

$\cos 320^\circ = \cos 40^\circ$ , $\cos 130^\circ = -\cos 50^\circ$ , $\cos 220^\circ = -\cos 40^\circ$ . Smailiojo kampo kosinusas didėjant kampui mažėja, todėl $\cos 40^\circ > \cos 50^\circ > 0 > -\cos 50^\circ > -\cos 40^\circ$ .

Sunkesni

7. Trikampio $ABC$ kampas $C$ bukasis, $\sin C = 0{,}6$ , $AC = 5$ , $BC = 8$ . Rask kraštinę $AB$ . Atsakymą užrašyk tiksliai ir suapvalinęs iki šimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $AB = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} \approx 12{,}37$ .

Kampas bukasis, todėl $\cos C = -\sqrt{1 - 0{,}36} = -0{,}8$ . Pagal kosinusų teoremą $AB^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot (-0{,}8) = 89 + 64 = 153$ .

8. A kursas. Tiesė $OP$ , kurioje yra posūkio kampo $\alpha$ spindulys, kerta tangentų tiesę taške $(1; -2)$ . Kampo $\alpha$ taškas $P$ yra II ketvirtyje. Rask $\cos\alpha$ ir $\sin\alpha$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ , $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .

$\operatorname{tg}\alpha = -2$ , todėl $\sin\alpha = -2\cos\alpha$ . Įrašę į $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ gauname $5\cos^2\alpha = 1$ . II ketvirtyje kosinusas neigiamas: $\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ , tada $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .

9. A kursas. Apskaičiuok radianais $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos 0$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{\pi}{6}$

$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ , nes šis kampas yra intervale $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ ; $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ . Taigi $-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$ .

10. A kursas. Rask $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ ir $\operatorname{tg}\alpha$ , kai $\alpha = \frac{23\pi}{6}$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$ , $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{23\pi}{6} - 2\pi = \frac{11\pi}{6} = 330^\circ$ : IV ketvirtis, atraminis kampas $30^\circ$ . Sinusas ir tangentas neigiami, kosinusas teigiamas.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kaip vienetiniame apskritime nustatyti sinuso ir kosinuso ženklą?

Sinusas yra kampo taško ordinatė, kosinusas – abscisė, todėl ženklą lemia ketvirtis. Pirmame ketvirtyje abu teigiami, antrame teigiamas tik sinusas, trečiame abu neigiami, ketvirtame teigiamas tik kosinusas. Didelį ar neigiamą kampą pirma pakeisk kampu nuo 0 iki 360 laipsnių, pridėdamas ar atimdamas pilnus apsisukimus.

Kaip vienetiniame apskritime rasti tangentą?

Padalyk sinusą iš kosinuso, t. y. taško ordinatę iš abscisės. A kurse naudojama ir tangentų tiesė – vertikali tiesė, liečianti apskritimą taške (1; 0). Pratęsk tiesę per centrą ir kampo tašką iki jos: susikirtimo taško ordinatė ir yra tangentas. Kai kampas lygus 90 ar 270 laipsnių, tos tiesės lygiagrečios, todėl tangentas neapibrėžtas.

Kokia formulė radianus paverčia laipsniais?

Pagrindas – lygybė: pi radianų lygu 180 laipsnių. Todėl kampą radianais padaugink iš 180 ir padalyk iš pi, o kampą laipsniais padaugink iš pi ir padalyk iš 180. Pavyzdžiui, pi/3 radiano yra 60 laipsnių, o vienas radianas – apie 57,3 laipsnio.

Kam reikalingos redukcijos formulės?

Jos bet kurio kampo sinusą ar kosinusą suveda į smailiojo kampo reikšmę, kurią žinai iš lentelės. Pavyzdžiui, 210 laipsnių kampo sinusas lygus 30 laipsnių kampo sinusui su minuso ženklu, t. y. minus vienai antrajai. Visos jos kyla iš vienetinio apskritimo simetrijos, todėl skaičiuojant konkretaus kampo reikšmę užtenka vienos taisyklės: rask atraminį smailųjį kampą, o ženklą parink pagal ketvirtį.

Taip pat: Trigonometrija · Sinusas, kosinusas, tangentas · Matematikos PUPP · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE · Matematikos VBE 1 dalis

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt