Matematikos PUPP 2027: kas tikrinama, vertinimas ir pasiruošimas

Matematikos PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas) 2027 m. vyks gegužės 12 d. elektroniniu būdu; jį laikys 10 (II gimnazijos) klasės mokiniai. Pasiruošti padės šešių savaičių kartojimo planas, išsamiai išspręstas uždavinys ir dešimt PUPP formato užduočių su atsakymais.

Matematikos PUPP 2027: data, trukmė ir priemonės

2027 m. matematikos PUPP data ir vykdymo būdas jau paskelbti. Užduoties sandarą, trukmę, taškus ir priemones nustato NŠA (Nacionalinės švietimo agentūros) užduoties aprašas ir vykdymo instrukcija. 2026 m. spalio 1 d. NŠA paskelbė, kad atnaujinto PUPP užduoties aprašo projektas teikiamas viešam derinimui. Kol naujas aprašas nepatvirtintas, naujausia patvirtinta tvarka yra 2026 m. Todėl prie tokių faktų parašyta „2026 m. tvarka“.

Matematikos PUPP data: 2027 m. gegužės 12 d.
Pakartotinės PUPP sesijos matematikos data: 2027 m. birželio 21 d.
Vykdymo būdas: elektroninis. Patikrinimą laiko 10 (II gimnazijos) klasės mokiniai.
Uždavinių skaičius (2026 m. tvarka): 30–35 uždaviniai; pagal tipą – pasirenkamojo atsakymo 8–10 uždavinių (10 t.), trumpojo atsakymo 17–19 (24 t.), pilnojo sprendimo 5–6 (16 t.). Pasirenkamojo atsakymo uždavinyje atsakymą renkiesi iš pateiktų, trumpojo atsakymo – įrašai tik atsakymą, o pilnojo sprendimo – užrašai visą sprendimą.
Pasirenkamojo atsakymo uždavinių formos (2026 m. tvarka): atsakymų pasirinkimas (teisingas gali būti vienas arba keli atsakymai), porų susiejimas, objektų surikiavimas, objekto įkėlimas iš sąrašo, elemento pažymėjimas paveiksle, brėžinyje, diagramoje, schemoje ar lentelėje. Vadinasi, gali tekti pažymėti ne vieną, o kelis atsakymus. Perskaityk klausimą iki galo ir pažymėk visus teisingus.
Iš viso taškų (2026 m. tvarka): 50 taškų.
Trukmė (2026 m. tvarka): 150 min.
Leidžiamos priemonės (2026 m. tvarka): atspausdintas PUPP formulių rinkinys, mokyklos spaudu pažymėti A4 lapai užrašams, skaičiuotuvas be tekstinės atminties, mėlynas ar juodas rašiklis, pieštukas, trintukas, liniuotė.

Ką tikrina matematikos PUPP

Matematikos PUPP tikrina 9 ir 10 (I ir II gimnazijos) klasių kursą. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Sprendžiant uždavinius naudojami ir žemesnių klasių pagrindai: trupmenos, procentai, proporcijos, Pitagoro teorema.

Kiek taškų tenka kiekvienai temų sričiai, nurodo matematikos bendroji programa (dokumentas, pagal kurį mokomasi mokykloje). Pagal ją PUPP taškai paskirstyti taip: modeliai ir sąryšiai – 55 %, geometrija ir matavimai – 40 %, duomenys ir tikimybės – 5 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Modeliai ir sąryšiai – tai algebra, funkcijos ir tekstiniai uždaviniai. Todėl kartodamas daugiausia laiko skirk algebrai ir funkcijoms, o geometrijai ir trigonometrijai – tik šiek tiek mažiau.

Žemiau – pagrindinės 9–10 klasių temos. Jos dažnai susipina: kvadratinės lygties prireikia ieškant parabolės nulių, panašieji trikampiai yra trigonometrijos pagrindas, o lydinių ar sudėtinių procentų uždavinys virsta lygtimi. Visas šių klasių temas rasi puslapyje matematika 9–10 klasei.

Algebra: kvadratinės lygtys (sprendinių formulė ir diskriminantas), kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais, trupmeniniai racionalieji reiškiniai ir lygtys, kvadratinės nelygybės, lygčių sistemos, kurių viena lygtis tiesinė.
Funkcijos: tiesinė funkcija $y = kx + b$ (ką rodo $k$ ir $b$ ) ir kvadratinė funkcija (parabolė), realios situacijos aprašymas funkcija.
10 klasės procentų uždaviniai: džiovinimo ir drėkinimo, sudėtinių procentų, lydinių, mišinių ir tirpalų.
Geometrija: panašiosios figūros (jų perimetrų ir plotų santykiai), apskritimas (centriniai ir įbrėžtiniai kampai, liestinė, skritulio išpjova), įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai daugiakampiai.
Trigonometrija: sinusas, kosinusas ir tangentas stačiajame trikampyje, smailiųjų ir bukųjų kampų sinusas ir kosinusas vienetiniame apskritime, sinusų ir kosinusų teoremos, trikampio ploto formulės.
Duomenys (9 klasė): sklaidos diagramos ir tiesinis ryšys tarp dviejų dydžių.

Kaip vertinamas PUPP?

Kas tikrino uždavinius (2026 m. tvarka): pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Todėl pilnojo sprendimo uždavinyje rašyk sprendimą taip, kad vertintojas galėtų sekti kiekvieną žingsnį.

Taškai skirstomi keliais būdais, ir visi jie galioja kartu. Kartojant svarbiausias skirstymas pagal temas – jis aprašytas aukščiau, skyriuje „Ką tikrina matematikos PUPP“. Kiti skirstymai rodo, kokio sunkumo ir pobūdžio bus uždaviniai.

2026 m. apraše taškai pagal pasiekimų lygius paskirstyti taip: slenkstinis – 35 %, patenkinamas – 15 %, pagrindinis – 35 %, aukštesnysis – 15 %. Slenkstinis lygis eina iškart po nepatenkinamo, ir jį atitinka įvertinimas 4. Vadinasi, nemaža taškų dalis teko lengviausiems uždaviniams, todėl pirmiausia verta įtvirtinti pagrindus.

Pagal mąstymo gebėjimus 2026 m. apraše: žinios ir supratimas – 35 %, taikymas – 50 %, aukštesnieji mąstymo gebėjimai – 15 %. Bendroji programa taškus grupuoja dar kitaip – pagal pasiekimų sritis: žinios, supratimas ir argumentavimas – 40 %, matematinis komunikavimas – 40 %, problemų sprendimas – 20 %. Tai skirtingi skirstymai, todėl jų skaičiai nesutampa.

Surinkti taškai paverčiami įvertinimu balais. Toliau – 2026 m. lentelė (iš viso 50 taškų): skaičius po rodyklės yra įvertinimas, skliaustuose – pasiekimų lygis. 2027 m. lentelė bus žinoma, kai bus patvirtintas galutinis aprašas.

0–7 t. → 1, 8–12 → 2, 13–16 → 3 (nepatenkinamas)
17–18 → 4 (slenkstinis)
19–22 → 5, 23–25 → 6 (patenkinamas)
26–33 → 7, 34–41 → 8 (pagrindinis)
42–46 → 9, 47–50 → 10 (aukštesnysis)

Temos ir kur jas pakartoti

Žemiau – visi temų puslapiai, kurių prireiks per PUPP, nuo žemiausios klasės temų. Prie kiekvieno nurodyta, kurios klasės tai turinys ir per kuriuos patikrinimus tema gali būti (NMPP 8 – 8 klasės nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas, VBE – valstybinis brandos egzaminas). Temų puslapiuose rasi formules, išspręstus pavyzdžius, dažnas klaidas ir uždavinius savarankiškam darbui.

Kiekvieną temą pradėk nuo išspręstų pavyzdžių. Jei juos gali išspręsti pats, nežiūrėdamas į sprendimą, pereik prie pratimų. Jei ne, grįžk prie formulių ir paaiškinimų, o po kelių dienų pabandyk dar kartą.

Procentai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Tekstiniai uždaviniai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Trikampis 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Keturkampiai 6–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Trikampių panašumas 6 ir 9–10 klasė, PUPP
Apskritimas ir skritulys 7–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Laipsniai 7 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Nelygybės 7–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Palūkanos 7, 10–11 klasė; NMPP 8, PUPP, VBE (B)
Daugianariai 8–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP; kubai – VBE A kursas
Kvadratinės lygtys 8–9 klasė, NMPP 8 (nepilnosios) ir PUPP
Lygčių sistemos 8–11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Pitagoro teorema 8 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Šaknys 8 ir 11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Apskritimo kampai 9–10 klasė, PUPP
Funkcijos 9–11 klasė, PUPP ir VBE
Kvadratinė funkcija 9–10 klasė, PUPP
Racionaliosios lygtys 9–10 klasė, PUPP
Sinusas, kosinusas, tangentas 9 klasė, PUPP
Tiesinė funkcija 9 klasė, PUPP
Kvadratinės nelygybės 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Sinusų ir kosinusų teoremos 10 klasė, PUPP
Vienetinis apskritimas 10–11 klasė, PUPP ir VBE

Formulių rinkinys per PUPP

Pagal 2026 m. tvarką per patikrinimą buvo galima naudotis atspausdintu formulių rinkiniu. Kur jį rasti: oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas.

2026 m. rinkinyje yra ne viskas. Pavyzdžiui, jame nėra Pitagoro teoremos ir viso skritulio ploto formulės (yra tik skritulio išpjovos ploto ir jos lanko ilgio formulės). Tokias formules reikia mokėti mintinai. Spręsdamas užduotis, laikyk šalia atsispausdintą rinkinį – taip įprasi greitai rasti reikiamą eilutę.

PUPP formulių rinkinys Kiekviena rinkinio formulė, ką reiškia jos raidės ir ko rinkinyje nėra.
NŠA: PUPP formulių rinkinys (aprašo priedas, PDF)

Kartojimo planas pagal savaites

Žemiau – šešių savaičių plano pavyzdys. Jį galima pritaikyti pagal savo laiką: jei pasiruošti pradedi anksčiau, kiekvieną etapą ištęsk, o tvirtas temas sutrumpink. Kiekvieną savaitę skirk bent vieną trumpą užsiėmimą ankstesnėms temoms, kad jos nepasimirštų. Geometrijai ir trigonometrijai skirtos dvi savaitės, nes joms tenka didelė taškų dalis.

1 savaitė. Diagnozė ir pagrindai: be pasiruošimo išspręsk šio puslapio užduotis ir pažymėk silpniausias temas. Kartu pakartok trupmenas, procentus ir proporcijas.
2 savaitė. Reiškiniai ir lygtys: reiškinių pertvarkymas, kvadratinės lygtys, trupmeniniai racionalieji reiškiniai ir lygtys, lygčių sistemos, 10 klasės procentų uždaviniai (džiovinimo ir drėkinimo, sudėtinių procentų, lydinių ir mišinių).
3 savaitė. Funkcijos ir nelygybės: tiesinė ir kvadratinė funkcija, tiesinės ir kvadratinės nelygybės; sklaidos diagramos.
4 savaitė. Geometrija: panašiosios figūros, apskritimas, įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai daugiakampiai.
5 savaitė. Trigonometrija: sinusas, kosinusas ir tangentas stačiajame trikampyje, bukųjų kampų sinusas ir kosinusas, sinusų ir kosinusų teoremos.
6 savaitė. Pilni variantai laikui ir klaidų analizė; naujos medžiagos nebepradedi.

Kaip pasiruošti matematikos PUPP?

Ankstesnių metų patikrinimo užduotys parodo tikrą užduočių pobūdį: kaip formuluojamos sąlygos, kokio ilgio būna sprendimai ir kiek laiko tenka vienam uždaviniui. Spręsk jas visas iš eilės, kaip tikrą patikrinimą, o ne po vieną pasirinktą uždavinį.

Pilną variantą spręsk su laikmačiu (pagal 2026 m. tvarką trukmė – 150 min.), tik su leidžiamomis priemonėmis ir nežiūrėdamas į atsakymus. Baigęs pasitikrink ir susiskaičiuok taškus, o kiekvieną klaidą priskirk vienai iš trijų grupių: nežinojau temos, suklydau skaičiuodamas arba pritrūko laiko. Pirmoji grupė rodo, ką kartoti, antroji – kur reikia daugiau atidumo, trečioji – kaip geriau paskirstyti laiką. Po savaitės klaidingai išspręstus uždavinius išspręsk dar kartą.

Pradėk nuo šio puslapio pavyzdžio ir dešimties užduočių, o jei vyks bandomasis patikrinimas (apie jį – kitame skyriuje), naudok jį kaip generalinę repeticiją.

Kada PUPP bandomasis?

NŠA bandomąjį matematikos patikrinimą dešimtokams, besirengiantiems PUPP, numatė 2026 m. vasario 26 d. Jo formatas: elektroniniu būdu mokyklose, 2 val. 30 min.; pasirenkamojo atsakymo, trumpojo atsakymo ir pilno sprendimo uždaviniai.

Leidžiamos priemonės 2026 m. bandomajame: formulių rinkinys, braižybos ir matavimo įrankiai, skaičiuotuvai be tekstinės atminties.

2026 m. NŠA nurodė, kad bandomieji matematikos patikrinimai neprivalomi, nevertinami pažymiu ir neturi įtakos galutiniam mokymosi rezultatui. NŠA taip pat nurodė, kad bandomuosiuose gali būti uždavinių iš dar nesimokytų temų; mokiniai juos gali praleisti, mokytojai jų nevertina.

2027 m. bandomojo datą, jei jis bus organizuojamas, paskelbs NŠA. Jei dalyvausi, spręsk jį kaip tikrą patikrinimą, o po to surūšiuok klaidas į tas pačias tris grupes, kaip aprašyta aukščiau. Uždavinius iš dar nesimokytų temų pasižymėk: jie parodo, ką kartoti po to, kai tas temas išeisi pamokose.

NŠA: 2026 m. matematikos bandomieji (naujiena)

PUPP formato pavyzdys su sprendimu

Pilnojo sprendimo uždavinyje užrašai visą kelią nuo sąlygos iki atsakymo. Štai 10 klasės lydinių uždavinys, išspręstas taip, kaip verta rašyti per patikrinimą. Pažymėk nežinomąjį, sudaryk lygtį ir paaiškink, iš kur ji gauta. Tada ją išspręsk, užrašyk atsakymą su vienetais ir patikrink jį pagal sąlygą. Daugiau apie procentus ir jų uždavinius – procentų puslapyje.

Lydinys metalo dirbtuvėse

Metalo dirbtuvėse turimi du vario ir cinko lydiniai. Pirmajame vario yra 60 %, antrajame – 75 %. Meistrui reikia 12 kg naujo lydinio, kuriame vario būtų 70 %. Kiek kilogramų kiekvieno lydinio jis turi sulydyti? Laikyk, kad lydant metalo neprarandama. Užrašyk visą sprendimą.

Nežinomasis. Tegu pirmojo lydinio (60 % vario) imama $x$ kg. Kadangi naujas lydinys sveria 12 kg, antrojo lydinio (75 % vario) reikia $(12 - x)$ kg.
Vario masė. Pirmajame lydinyje vario yra $0{,}6x$ kg, antrajame – $0{,}75(12 - x)$ kg. Naujame lydinyje vario turi būti $0{,}7 \cdot 12 = 8{,}4$ kg.
Lygtis. Lydant vario masė nepasikeičia: kiek jo buvo dviejuose lydiniuose, tiek bus ir naujame. Todėl $0{,}6x + 0{,}75(12 - x) = 8{,}4.$
Sprendžiame. Atskliaudę ( $0{,}75 \cdot 12 = 9$ ) gauname $0{,}6x + 9 - 0{,}75x = 8{,}4$ . Sutraukiame narius su $x$ ir perkeliame 9 į dešinę: $-0{,}15x = 8{,}4 - 9 = -0{,}6$ . Iš čia $x = -0{,}6 : (-0{,}15) = 4$ .
Atsakymas su vienetais. Pirmojo lydinio reikia 4 kg, antrojo – $12 - 4 = 8$ kg.
Patikrinimas pagal sąlygą. Vario yra $0{,}6 \cdot 4 + 0{,}75 \cdot 8 = 2{,}4 + 6 = 8{,}4$ kg, o $8{,}4 : 12 = 0{,}7$ , t. y. 70 %. Atsakymas ir logiškas: 70 % yra arčiau 75 % nei 60 %, todėl antrojo lydinio ir turi būti daugiau.

Atsakymas: reikia 4 kg pirmojo lydinio (60 % vario) ir 8 kg antrojo lydinio (75 % vario).

Matematikos PUPP užduotys su atsakymais

Dešimt užduočių, sugrupuotų pagal sunkumą. Jose tie patys uždavinių tipai kaip 2026 m. užduotyje: trys pasirenkamojo atsakymo užduotys, penkios trumpojo atsakymo ir dvi pilnojo sprendimo, kuriose užrašyk visą sprendimą. Šio puslapio pasirenkamojo atsakymo užduotyse teisinga viena raidė. Per tikrą patikrinimą (2026 m. tvarka) teisingi gali būti ir keli atsakymai, todėl perskaityk, kiek jų prašoma. Skaičiuotuvu naudokis (2026 m. tvarka jį leido), o atsakymą apvalink taip, kaip prašoma sąlygoje.

Septintajai užduočiai reikalinga sklaidos diagrama – ji pateikta iškart po šia pastraipa. Atsakymas paslėptas po kiekviena užduotimi, o visi atsakymai kartu – puslapio pabaigoje.

Septintoji užduotis: devynių dienų vidutinė oro temperatūra ir tą dieną išnuomotų paspirtukų skaičius. Tiesė eina per taškus A(10; 40) ir B(20; 70).

Lengvesni

1. Kurie skaičiai yra lygties $x^2 + 4x - 21 = 0$ sprendiniai? A) $-3$ ir $7$ ; B) $3$ ir $7$ ; C) $3$ ir $-7$ ; D) $-3$ ir $-7$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: C) $3$ ir $-7$ .

Diskriminantas $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$ , todėl $x = \frac{-4 \pm 10}{2}$ : $x_1 = -7$ , $x_2 = 3$ . Greitas patikrinimas: $3^2 + 4 \cdot 3 - 21 = 0$ ir $(-7)^2 + 4 \cdot (-7) - 21 = 0$ .

2. Išskaidyk dauginamaisiais kvadratinį trinarį $2x^2 - 7x + 3$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $2(x - 3)(x - 0{,}5)$ arba $(x - 3)(2x - 1)$ .

Pirmiausia išsprendžiame lygtį $2x^2 - 7x + 3 = 0$ : $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ , $x_1 = \frac{7 - 5}{4} = 0{,}5$ , $x_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3$ . Pagal formulę $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ gauname $2(x - 0{,}5)(x - 3)$ . Padauginę 2 iš pirmojo skliausto, gauname $(2x - 1)(x - 3)$ . Patikrink sudaugindamas: $(2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$ .

3. Taškai $A$ , $B$ ir $C$ yra apskritime, kurio centras $O$ . Centrinis kampas $AOB$ lygus $136^\circ$ , o taškai $C$ ir $O$ yra toje pačioje tiesės $AB$ pusėje. Kam lygus įbrėžtinis kampas $ACB$ ? A) $34^\circ$ ; B) $68^\circ$ ; C) $112^\circ$ ; D) $136^\circ$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B) $68^\circ$ .

Įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio kampo, kuris remiasi tuo pačiu lanku: $136^\circ : 2 = 68^\circ$ . Atsakymas $112^\circ$ būtų teisingas, jei taškas $C$ būtų kitame lanke: tada $180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$ .

Vidutiniai

4. Elektrinio paspirtuko nuomos kaina $y$ (eurais) priklauso nuo kelionės trukmės $x$ (minutėmis) pagal formulę $y = kx + b$ . 10 minučių kelionė kainuoja 2,50 euro, o 25 minučių – 4,90 euro. Rask $k$ ir $b$ . Ką šiame kontekste reiškia kiekvienas iš jų?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $k = 0{,}16$ , $b = 0{,}9$ : kiekviena minutė kainuoja 0,16 euro, o 0,90 euro sumokama už kiekvieną kelionę, kad ir kokia ji būtų trumpa.

Tiesė eina per taškus $(10; 2{,}5)$ ir $(25; 4{,}9)$ . Krypties koeficientas $k = \frac{4{,}9 - 2{,}5}{25 - 10} = \frac{2{,}4}{15} = 0{,}16$ . Tada $2{,}5 = 0{,}16 \cdot 10 + b$ , iš čia $b = 2{,}5 - 1{,}6 = 0{,}9$ . Patikrinimas: $0{,}16 \cdot 25 + 0{,}9 = 4{,}9$ .

5. Tunelinio šiltnamio skerspjūvio arka aprašoma funkcija $y = -0{,}3x^2 + 1{,}8x$ ; čia $x$ – horizontalus atstumas (metrais) nuo vieno šiltnamio krašto, $y$ – arkos aukštis (metrais). a) Koks šiltnamio plotis prie žemės? b) Koks didžiausias šiltnamio aukštis? c) Kokio aukščio arka 1 m atstumu nuo krašto?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) 6 m; b) 2,7 m (per vidurį, 3 m nuo krašto); c) 1,5 m.

a) Arka remiasi į žemę ten, kur $y = 0$ : $-0{,}3x^2 + 1{,}8x = 0$ . Iškėlę $x$ prieš skliaustus, gauname $x(-0{,}3x + 1{,}8) = 0$ , todėl $x = 0$ arba $x = 1{,}8 : 0{,}3 = 6$ . Plotis – 6 m. b) Didžiausias aukštis yra parabolės viršūnėje. Jos $x$ koordinatė (abscisė) $x = -\frac{1{,}8}{2 \cdot (-0{,}3)} = 3$ , o aukštis $y(3) = -0{,}3 \cdot 9 + 1{,}8 \cdot 3 = -2{,}7 + 5{,}4 = 2{,}7$ (m). c) $y(1) = -0{,}3 \cdot 1^2 + 1{,}8 \cdot 1 = 1{,}5$ (m).

6. Mokyklos scenai iš faneros išpjaunamos dvi panašios trikampės dekoracijos. Mažesniosios dekoracijos kraštinė yra 40 cm, o ją atitinkanti didesniosios kraštinė – 100 cm. Mažesniajai dekoracijai iš vienos pusės aptraukti reikia 960 cm² audinio. Kiek audinio reikės didesniajai, taip pat iš vienos pusės? A) 2400 cm²; B) 3840 cm²; C) 6000 cm²; D) 9600 cm².

Rodyti atsakymą

Atsakymas: C) 6000 cm².

Panašumo koeficientas $k = 100 : 40 = 2{,}5$ . Panašiųjų figūrų plotų santykis lygus $k^2 = 6{,}25$ , todėl reikės $960 \cdot 6{,}25 = 6000$ cm² audinio. Atsakymas A gaunamas, kai plotas klaidingai dauginamas iš $k$ , o ne iš $k^2$ .

7. Paspirtukų nuomos punktas 9 dienas užrašinėjo dienos vidutinę oro temperatūrą $x$ (°C) ir tą dieną išnuomotų paspirtukų skaičių $y$ (žr. brėžinį virš uždavinių). Diagramoje nubrėžta tiesė eina per taškus $A(10; 40)$ ir $B(20; 70)$ . a) Ar ryšys tarp šių dydžių teigiamas, ar neigiamas? b) Užrašyk tiesės lygtį $y = kx + b$ . c) Ką šiame kontekste reiškia $k$ ?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) teigiamas; b) $y = 3x + 10$ ; c) temperatūrai pakilus 1 °C, išnuomojama vidutiniškai 3 paspirtukais daugiau.

a) Kuo šilčiau, tuo daugiau išnuomojama: taškai kyla iš kairės į dešinę, todėl ryšys teigiamas. b) $k = \frac{70 - 40}{20 - 10} = 3$ , o iš $40 = 3 \cdot 10 + b$ gauname $b = 10$ . c) $k$ rodo, kiek vidutiniškai pakinta išnuomotų paspirtukų skaičius, temperatūrai pakilus vienu laipsniu. Tai tendencija, o ne taisyklė: kiekvienos dienos taškas nuo tiesės šiek tiek nutolęs.

Sunkesni

8. Pirmaisiais metais šiltnamyje užauginta 800 kg agurkų. Daržininkė tikisi, kad kasmet derlius padidės 15 %, palyginti su ankstesniais metais. a) Koks bus derlius po dvejų metų, t. y. trečiaisiais metais? b) Po kelių metų derlius pirmą kartą viršys 1200 kg?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) 1058 kg; b) po 3 metų (apie 1217 kg).

Taikome sudėtinių procentų formulę $S_n = S_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ . a) $S_2 = 800 \cdot 1{,}15^2 = 800 \cdot 1{,}3225 = 1058$ (kg). b) $S_2 = 1058 < 1200$ , o $S_3 = 1058 \cdot 1{,}15 = 1216{,}7 > 1200$ , todėl derlius 1200 kg viršys po 3 metų. Klaidinga būtų skaičiuoti $800 \cdot (1 + 2 \cdot 0{,}15) = 1040$ : procentai kasmet skaičiuojami nuo vis didesnio derliaus.

9. Mokyklos salėje virš scenos kabo prožektorius. Mokinio akys yra 1,2 m aukštyje virš salės grindų, o horizontalus atstumas nuo jų iki vertikalios tiesės, einančios per prožektorių, lygus 9 m. Prožektorių mokinys mato $28^\circ$ kampu į horizontalę. a) Kokiame aukštyje virš salės grindų kabo prožektorius? b) Koks atstumas tiesia linija nuo mokinio akių iki prožektoriaus? Atsakymus suapvalink iki 0,1 m. Užrašyk visą sprendimą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) apie 6,0 m; b) apie 10,2 m.

Brėžiame statųjį trikampį: viena viršūnė – mokinio akys, kita – prožektorius, o statusis kampas yra ten, kur horizontali tiesė nuo akių kerta vertikalią tiesę per prožektorių. Statinis prie $28^\circ$ kampo lygus 9 m, o priešais kampą esantis statinis $d$ – prožektoriaus aukštis virš akių lygio. a) $\operatorname{tg} 28^\circ = \frac{d}{9}$ , todėl $d = 9 \cdot \operatorname{tg} 28^\circ \approx 9 \cdot 0{,}5317 \approx 4{,}79$ (m). Pridedame akių aukštį: $4{,}79 + 1{,}2 = 5{,}99 \approx 6{,}0$ (m). b) Atstumas $s$ iki prožektoriaus yra įžambinė: $\cos 28^\circ = \frac{9}{s}$ , todėl $\begin{aligned} s &= \frac{9}{\cos 28^\circ} \\ &\approx \frac{9}{0{,}8829} \\ &\approx 10{,}2 \text{ (m)}. \end{aligned}$ Dažnai pamirštama pridėti akių aukštį – tada gaunamas aukštis virš akių, o ne virš grindų.

10. Metalo dirbtuvėse suvirinamas trikampis lentynos laikiklis $ABC$ . Jo kraštinė $AB = 50$ cm, $\angle A = 48^\circ$ , $\angle B = 64^\circ$ . a) Rask kampą $C$ . b) Apskaičiuok kraštinę $AC$ . c) Apskaičiuok apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulį $R$ . Ilgius suapvalink iki 0,1 cm. Užrašyk visą sprendimą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) $68^\circ$ ; b) $AC \approx 48{,}5$ cm; c) $R \approx 27{,}0$ cm.

a) Trikampio kampų suma lygi $180^\circ$ , todėl $\angle C = 180^\circ - 48^\circ - 64^\circ = 68^\circ$ . b) Kraštinė $AC$ yra priešais kampą $B$ , o $AB$ – priešais kampą $C$ . Pagal sinusų teoremą $\frac{AC}{\sin 64^\circ} = \frac{AB}{\sin 68^\circ}$ , todėl $\begin{aligned} AC &= \frac{50 \cdot \sin 64^\circ}{\sin 68^\circ} \\ &\approx \frac{50 \cdot 0{,}8988}{0{,}9272} \\ &\approx 48{,}5 \text{ (cm)}. \end{aligned}$ c) Iš tos pačios teoremos $\frac{AB}{\sin 68^\circ} = 2R$ , todėl $\begin{aligned} R &= \frac{50}{2 \cdot \sin 68^\circ} \\ &\approx \frac{50}{1{,}8544} \\ &\approx 27{,}0 \text{ (cm)}. \end{aligned}$

Dažnos klaidos per matematikos PUPP

Ne kiekviena klaida kyla iš nežinojimo: taškų galima prarasti ir dėl skubėjimo ar neužrašyto sprendimo. Į ką atkreipti dėmesį:

Klaidos su trupmenomis ir procentais – pamatinės temos, kurias verta įtvirtinti pirmiausia.
Ženklų ir skliaustų neatidumas pertvarkant reiškinius.
Neužrašyti sprendimo žingsniai. Pilnojo sprendimo uždavinyje vertintojas turi matyti, kaip gavai atsakymą: vieno teisingo skaičiaus gali nepakakti.
Geometrijoje pamiršti matavimo vienetai, painiojami plotas ir perimetras, prie ploto parašomi ne kvadratiniai vienetai.
Tekstiniame uždavinyje neatmestas netinkamas sprendinys, pavyzdžiui, neigiamas ilgis ar trupmeninis žmonių skaičius.
Per ilgai užstrigus prie vieno uždavinio, pritrūksta laiko lengvesniems. Geriau jį pažymėti ir grįžti pabaigoje.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kada vyks matematikos PUPP 2027 metais?

Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. elektroniniu būdu. Pakartotinėje sesijoje matematikos patikrinimas vyks 2027 m. birželio 21 d. Abi datos paskelbtos Švietimo, mokslo ir sporto ministerijos (ŠMSM) 2026–2027 mokslo metų PUPP tvarkaraštyje.

Kiek taškų reikia surinkti, kad išlaikytum matematikos PUPP?

Pagal 2026 m. lentelę reikėjo surinkti bent 17 taškų: 17–18 taškų atitiko įvertinimą 4 (slenkstinis lygis). 16 taškų ar mažiau atitiko įvertinimą nuo 1 iki 3 (nepatenkinamas lygis). Iš viso buvo galima surinkti 50 taškų. 2027 m. lentelė bus paskelbta kartu su galutiniu užduoties aprašu.

Kiek trunka matematikos PUPP?

Pagal 2026 m. tvarką matematikos PUPP trukmė – 150 min. 2026 m. spalio 1 d. NŠA paskelbė, kad atnaujinto PUPP užduoties aprašo projektas teikiamas viešam derinimui. 2027 m. trukmę nustatys galutinis aprašas. Jau žinoma, kad 2027 m. patikrinimas vyks elektroniniu būdu.

Kas yra PUPP?

PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. Jį laiko 10 (II gimnazijos) klasės mokiniai, baigdami pagrindinį ugdymą, o matematika yra vienas iš tikrinamų dalykų. 2027 m. matematikos PUPP vyks gegužės 12 d.

Visi atsakymai

C) $3$ ir $-7$ .
$2(x - 3)(x - 0{,}5)$ arba $(x - 3)(2x - 1)$ .
B) $68^\circ$ .
$k = 0{,}16$ , $b = 0{,}9$ : kiekviena minutė kainuoja 0,16 euro, o 0,90 euro sumokama už kiekvieną kelionę, kad ir kokia ji būtų trumpa.
a) 6 m; b) 2,7 m (per vidurį, 3 m nuo krašto); c) 1,5 m.
C) 6000 cm².
a) teigiamas; b) $y = 3x + 10$ ; c) temperatūrai pakilus 1 °C, išnuomojama vidutiniškai 3 paspirtukais daugiau.
a) 1058 kg; b) po 3 metų (apie 1217 kg).
a) apie 6,0 m; b) apie 10,2 m.
a) $68^\circ$ ; b) $AC \approx 48{,}5$ cm; c) $R \approx 27{,}0$ cm.

Taip pat: Pasiruošimas matematikos VBE · Visos matematikos temos · PUPP formulių rinkinys · PUPP užduotys

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 1 p., 1 punktas; 2 p., 9 punktas; 2 p., 10.1.1 punktas; 2 p., 10.1.2 punktas; 2 p., 10.1.3 punktas; 2 p., 10.2 punktas; 2 p., 10.3 punktas; 3 p., 10.4 punktas; 3 p., 10.5 punktas; 3 p., 10.8 punktas; 3 p., 11 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP elektroninio vykdymo instrukcija (2025-12-18 įsakymas Nr. VK-1248), 2 p., 7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, PUPP lentelė; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Matematikos bandomieji įvairių klasių mokiniams padės ruošiantis patikrinimams ir egzaminams“ (2026-02-23); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt