Sudėtinės palūkanos: formulė, skaičiavimas ir uždaviniai

Sudėtinės palūkanos – tai palūkanos, kurios po kiekvieno laikotarpio pridedamos prie sumos, todėl kitą kartą skaičiuojamos ir nuo anksčiau gautų palūkanų. Paprastosios palūkanos, priešingai, visada skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos. Pavyzdžiui, 1000 eurų su 10 % metinėmis palūkanomis po dvejų metų virsta 1200 eurų, jei palūkanos paprastosios, ir 1210 eurų, jei sudėtinės. Iš sudėtinių palūkanų formulės galima rasti ne tik galutinę sumą, bet ir pradinę sumą, palūkanų normą ar metų skaičių.

Kas yra sudėtinės palūkanos?

Palūkanos – tai užmokestis už pinigų naudojimą. Pinigai, kuriuos padedi į banką, vadinami indėliu, ir už juos bankas tau moka palūkanas. Pasiskolinti pinigai vadinami paskola, ir už ją palūkanas moki tu. Palūkanų norma rodo, kiek procentų sumos sudaro palūkanos per vieną laikotarpį, o metinė palūkanų norma – per metus. Pavyzdžiui, 3 % metinė norma reiškia 3 eurus palūkanų per metus už kiekvieną šimtą eurų.

Svarbiausia, nuo kokios sumos skaičiuojamos palūkanos. Jei gautos palūkanos prie indėlio nepridedamos (pavyzdžiui, išmokamos į kitą sąskaitą), kitais metais procentas vėl skaičiuojamas nuo tos pačios pradinės sumos. Tai paprastosios palūkanos. Jei palūkanos pridedamos prie indėlio, kitais metais procentas skaičiuojamas jau nuo didesnės sumos. Tai sudėtinės palūkanos: jos gaunamos ir nuo anksčiau gautų palūkanų.

Pavyzdžiui, indėlis 800 eurų, metinė norma 5 %. Pirmųjų metų palūkanos: $800 \cdot 0{,}05 = 40$ eurų, ir suma tampa 840 eurų. Antraisiais metais 5 % skaičiuojami nuo 840 eurų: $840 \cdot 0{,}05 = 42$ eurai, todėl suma – 882 eurai. Su paprastosiomis palūkanomis antraisiais metais vėl būtų 40 eurų, o suma – 880 eurų. Skirtumas, 2 eurai, – tai palūkanos už pirmųjų metų palūkanas: $40 \cdot 0{,}05 = 2$ .

Tas pats skaičiavimas tinka ne tik pinigams. Matematikoje jis vadinamas sudėtiniais procentais: dydis kelis kartus iš eilės padidėja arba sumažėja tuo pačiu procentu, kaskart skaičiuojant nuo naujos reikšmės. Jei vieną procentinį pokytį dar skaičiuoji nedrąsiai, pirmiausia pakartok procentus.

Paprastosios ir sudėtinės palūkanos

Pradinę sumą žymėsime $S_0$ , o metinę palūkanų normą – $p$ % (kai norma 5 %, $p = 5$ ). Paprastųjų palūkanų atveju kasmet gaunama ta pati suma: $S_0 \cdot \frac{p}{100}$ eurų. Ankstesniame pavyzdyje tai $800 \cdot \frac{5}{100} = 40$ eurų. Po $n$ metų palūkanų susidaro $n$ kartų daugiau nei per vienus metus. Sumos metų pabaigoje (indėlis kartu su gautomis palūkanomis) sudaro aritmetinę progresiją: kiekviena didesnė už ankstesnę tiek pat eurų.

Sudėtinių palūkanų atveju kasmet visa suma padauginama iš to paties skaičiaus $q = 1 + \frac{p}{100}$ , kuris vadinamas pokyčio daugikliu. Kai norma 5 %, $q = 1{,}05$ : $800 \cdot 1{,}05 = 840$ , o $840 \cdot 1{,}05 = 882$ . Sumą po pirmųjų metų pažymėję $S_1$ , po antrųjų – $S_2$ ir t. t., gauname $S_1 = S_0 q$ , $S_2 = S_1 q = S_0 q^2$ , $S_3 = S_0 q^3$ . Po $n$ metų daugiklis panaudotas $n$ kartų, o $n$ vienodų daugiklių sandauga yra laipsnis, todėl $S_n = S_0 q^n$ . Metų pabaigos sumos sudaro geometrinę progresiją: kiekviena gaunama ankstesnę padauginus iš to paties skaičiaus $q$ . Abi progresijos plačiau aprašytos puslapyje aritmetinė ir geometrinė progresija.

Brėžinyje palygintos abi palūkanų rūšys, kai padėta 1000 eurų, o metinė norma 10 %. Didelė norma pasirinkta tam, kad skirtumas būtų gerai matomas. Paprastosios palūkanos kasmet prideda po 100 eurų, todėl linija tiesi: po 6 metų susidaro 1600 eurų. Sudėtinių palūkanų prieaugis kasmet didėja: pirmaisiais metais pridedama 100 eurų, antraisiais – 110 eurų, trečiaisiais – 121 euras. Po 6 metų susidaro $1000 \cdot 1{,}1^6 = 1771{,}561 \approx 1771{,}56$ euro.

Suma kiekvienų metų pabaigoje, kai padėta 1000 eurų, o metinė norma 10 %. Paprastųjų palūkanų linija tiesi, sudėtinių – kyla vis staigiau.

Indėlis trejiems metams: paprastosios ir sudėtinės palūkanos

Austėja 1500 eurų padėjo į banką 3 metams. Metinė palūkanų norma 4 %. a) Kiek eurų palūkanų ji gautų per 3 metus, jei palūkanos būtų paprastosios? b) Kokia suma būtų po 3 metų, jei palūkanos kiekvienų metų pabaigoje būtų pridedamos prie indėlio? Atsakymą suapvalink iki centų.

a) Paprastosios palūkanos kasmet skaičiuojamos nuo 1500 eurų: $1500 \cdot 0{,}04 = 60$ eurų per metus. Per 3 metus: $60 \cdot 3 = 180$ eurų.
b) Kasmet visa suma dauginama iš $q = 1{,}04$ , todėl $\begin{aligned} S_3 &= 1500 \cdot 1{,}04^3 \\ &= 1500 \cdot 1{,}124864 = 1687{,}296 \end{aligned}$
Suapvalinę iki centų gauname 1687,30 euro. Palūkanų susidarė $1687{,}30 - 1500 = 187{,}30$ euro, t. y. 7,30 euro daugiau nei a) dalyje.
Dažna klaida – sudėtines palūkanas skaičiuoti kaip $3 \cdot 4\,\% = 12\,\%$ ir gauti $1500 \cdot 1{,}12 = 1680$ eurų. Taip gaunama paprastųjų palūkanų suma, nes palūkanos nuo palūkanų neįskaičiuotos.

Atsakymas: a) 180 eurų; b) 1687,30 euro.

Sudėtinių palūkanų formulė ir kada ją taikyti

Lentelėje sudėtinių palūkanų formulė užrašyta taip, kaip ji išspausdinta PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) formulių lape – su ženklu $\pm$ . Pliusas rašomas, kai dydis kasmet didėja (indėlis, negrąžinama skola). Minusas – kai jis kasmet mažėja tuo pačiu procentu (pavyzdžiui, įrenginio vertė). Ši formulė yra ir VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkinyje, bendrojo (B) kurso skyriuje. Paprastųjų palūkanų formulės lape nėra, bet ją nesunku išvesti: vienų metų palūkanas padaugink iš metų skaičiaus.

Formulė	Kada taikyti
$S_n = S_0 \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$	Kai dydis $n$ kartų iš eilės padidėja arba sumažėja tuo pačiu procentu, kaskart nuo naujos reikšmės.Yra PUPP formulių lape
$\text{palūkanos} = S_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n$	Kai palūkanos paprastosios ir klausiama, kiek jų susidarys per $n$ metų.Išmok mintinai
$S_n = S_0 \left(1 + \frac{p \cdot n}{100}\right)$	Kai palūkanos paprastosios ir klausiama visos sumos po $n$ metų.Išmok mintinai
$S = S_0 \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot t}$	Kai metinė norma yra $p$ %, bet palūkanos pridedamos $m$ kartų per metus (kas mėnesį $m = 12$ ), o $t$ – metų skaičius.Išmok mintinai

$S_0$ – pradinė suma: indėlis, paskola ar kita pradinė dydžio reikšmė. $S_n$ – suma po $n$ laikotarpių.
$p$ – palūkanų norma vienam laikotarpiui. Į formulę rašomas skaičius be procento ženklo: kai norma 4 %, $p = 4$ .
$n$ – kiek kartų palūkanos buvo pridėtos. Kai jos pridedamos kartą per metus, tai metų skaičius.
$1 + \frac{p}{100}$ – pokyčio daugiklis. Kai $p = 4$ , jis lygus 1,04, o kai dydis mažėja 4 %, daugiklis lygus $1 - \frac{4}{100} = 0{,}96$ .

Sudėtinės palūkanos: kaip rasti metus, normą ar pradinę sumą

Formulėje $S_n = S_0 q^n$ yra keturi dydžiai: pradinė suma, daugiklis (iš jo randama palūkanų norma), laikotarpių skaičius ir galutinė suma. Kai žinomi trys, ketvirtą galima rasti.

Pradinė suma. Galutinę sumą padalyk iš daugiklio, pakelto $n$ -tuoju laipsniu: $S_0 = \frac{S_n}{q^n}$ Taip sužinosi, kiek reikia padėti dabar, kad po kelerių metų turėtum norimą sumą. Pavyzdžiui, kad po 2 metų su 5 % turėtum 1102,50 euro, dabar reikia padėti $1102{,}50 : 1{,}05^2 = 1102{,}50 : 1{,}1025 = 1000$ eurų.

Palūkanų norma. Iš $S_0 q^n = S_n$ gauname $q^n = \frac{S_n}{S_0}$ , todėl $q = \sqrt[n]{\frac{S_n}{S_0}}$ , o $p = (q - 1) \cdot 100$ . Kai $n = 2$ , užtenka kvadratinės šaknies: jei per 2 metus 1000 eurų virto 1102,50 euro, tai $q^2 = 1{,}1025$ , $q = 1{,}05$ ir $p = 5$ . Neigiamą sprendinį atmesk: daugiklis visada teigiamas.

Metų skaičius. Kol logaritmų dar nesimokei, $n$ randamas bandymais: skaičiuotuvu skaičiuok $q^1, q^2, q^3, \ldots$ , kol pasieksi arba viršysi santykį $\frac{S_n}{S_0}$ . 11 klasėje tą patį galima rasti logaritmu: $n = \log_q \frac{S_n}{S_0}$ (žr. logaritmai). Palūkanos pridedamos tik laikotarpio pabaigoje. Todėl, kai klausiama, po kiek metų suma pirmą kartą pasieks ribą, atsakymas – mažiausias tinkamas sveikasis $n$ .

Po kiek metų indėlis viršys 3000 eurų

Jonas į indėlį padėjo 2400 eurų. Metinė palūkanų norma 5 %, palūkanos pridedamos kiekvienų metų pabaigoje, o pinigų Jonas neišima. Po kiek metų suma indėlyje pirmą kartą viršys 3000 eurų?

Suma po $n$ metų: $S_n = 2400 \cdot 1{,}05^n$ . Reikia, kad $2400 \cdot 1{,}05^n > 3000$ , t. y. $1{,}05^n > \frac{3000}{2400} = 1{,}25$ .
Skaičiuojame laipsnius: $1{,}05^4 \approx 1{,}2155 < 1{,}25$ , o $1{,}05^5 \approx 1{,}2763 > 1{,}25$ .
Vadinasi, po 4 metų suma dar mažesnė už 3000 eurų (apie 2917 eurų), o po 5 metų jau didesnė: $2400 \cdot 1{,}05^5 \approx 3063{,}08$ euro.
11 klasėje tą patį gautum logaritmu: $n > \log_{1{,}05} 1{,}25 \approx 4{,}57$ , o mažiausias sveikasis toks $n$ yra 5.

Atsakymas: po 5 metų.

Kokia buvo palūkanų norma: visas sprendimas

Į banką padėta 7500 eurų. Palūkanos kasmet pridedamos prie indėlio, o palūkanų norma visą laiką buvo ta pati. Po 2 metų indėlyje buvo 8427 eurai. Apskaičiuok metinę palūkanų normą. Užrašyk visą sprendimą.

Pažymime palūkanų normą $p$ %, o daugiklį $q = 1 + \frac{p}{100}$ . Pagal sudėtinių palūkanų formulę $S_2 = S_0 q^2$ , t. y. $7500 \cdot q^2 = 8427$ .
Iš čia $q^2 = \frac{8427}{7500} = 1{,}1236$ .
Lygtį $q^2 = 1{,}1236$ tenkina $q = 1{,}06$ ir $q = -1{,}06$ , nes $1{,}06^2 = 1{,}1236$ . Suma negali tapti neigiama, todėl daugiklis teigiamas: $q = 1{,}06$ .
$1 + \frac{p}{100} = 1{,}06$ , todėl $\frac{p}{100} = 0{,}06$ ir $p = 6$ .
Patikriname: $7500 \cdot 1{,}06 = 7950$ , $7950 \cdot 1{,}06 = 8427$ . Sutampa su sąlyga.
Klaidingas kelias: per 2 metus suma padidėjo $\frac{8427 - 7500}{7500} \cdot 100\,\% = 12{,}36\,\%$ , ir gali kilti noras šį skaičių padalyti iš 2. Gautum 6,18 %, bet tai netiesa, nes antrųjų metų palūkanos skaičiuotos nuo didesnės sumos.

Atsakymas: metinė palūkanų norma 6 %.

Rodiklinė funkcija Sudėtinės palūkanos – rodiklinio augimo pavyzdys.

Kasmetinės įmokos: palūkanos ir geometrinė progresija

11 klasėje mokomasi geometrinės progresijos pirmųjų $n$ narių sumos. Ji praverčia, kai į sąskaitą reguliariai įnešama ta pati suma. Kiekviena įmoka sąskaitoje išbūna skirtingą metų skaičių, todėl ir jos galutinė vertė skirtinga. Visų įmokų vertės sudaro geometrinę progresiją: kiekviena kita gaunama ankstesnę padauginus iš $q = 1 + \frac{p}{100}$ . Jų sumą skaičiuoji pagal formulę $S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q}$ Čia $S_n$ – jau ne suma po $n$ metų, o pirmųjų $n$ progresijos narių (įmokų verčių) suma, $b_1$ – pirmasis narys. Ši formulė yra abiejuose VBE formulių rinkinio skyriuose.

Kasmetinės įmokos į kaupiamąją sąskaitą

Kiekvienų metų pradžioje Rūta į sąskaitą įneša po 600 eurų, o pinigų neišima. Metinė palūkanų norma 3 %, palūkanos pridedamos kiekvienų metų pabaigoje. Kiek pinigų sąskaitoje bus trečiųjų metų pabaigoje? Atsakymą suapvalink iki centų.

Pirmoji įmoka sąskaitoje išbūna 3 metus ir tampa $600 \cdot 1{,}03^3$ , antroji – 2 metus ( $600 \cdot 1{,}03^2$ ), trečioji – vienus metus ( $600 \cdot 1{,}03$ ).
Suma $600 \cdot 1{,}03 + 600 \cdot 1{,}03^2 + 600 \cdot 1{,}03^3$ – tai trijų geometrinės progresijos narių suma, kai $b_1 = 600 \cdot 1{,}03 = 618$ , $q = 1{,}03$ , $n = 3$ .
Kadangi $1{,}03^3 = 1{,}092727$ , tai $1 - 1{,}03^3 = -0{,}092727$ : $\begin{aligned} S_3 &= \frac{618 \cdot (1 - 1{,}03^3)}{1 - 1{,}03} \\ &= \frac{618 \cdot (-0{,}092727)}{-0{,}03} \\ &= 1910{,}1762 \end{aligned}$
Suapvalinę gauname 1910,18 euro. Iš jų įmokos sudaro $3 \cdot 600 = 1800$ eurų, o palūkanos – 110,18 euro.

Atsakymas: 1910,18 euro.

Dažnos klaidos skaičiuojant palūkanas

Prieš rašydamas atsakymą, patikrink, ar neįsivėlė viena iš šių klaidų.

Sudėtinės palūkanos skaičiuojamos kaip paprastosios: procentas padauginamas iš metų skaičiaus, pavyzdžiui, $3 \cdot 4\,\% = 12\,\%$ . Taip prarandamos palūkanos nuo palūkanų, ir atsakymas būna per mažas.
Neteisingas daugiklis: kai norma 4 %, vietoj 1,04 rašoma 1,4 arba 0,04. Daugiklis rodo, kiek kartų padidėja visa suma, todėl prie vieneto pridedamas procentų skaičius, padalytas iš 100: $1 + \frac{4}{100} = 1{,}04$ .
Painiojama, ko klausiama: visos sumos ar tik palūkanų. Palūkanos – tai skirtumas $S_n - S_0$ .
Per anksti apvalinama. Jei $1{,}05^5$ suapvalinsi iki 1,28, 2400 eurų indėlio atveju suklysi beveik 9 eurais. Apvalink tik galutinį atsakymą, iki centų.
Kai palūkanos pridedamos kas mėnesį, kiekvienam mėnesiui imama visa metinė norma. Iš tikrųjų mėnesio norma lygi metinei, padalytai iš 12, o laipsnio rodiklis lygus mėnesių skaičiui.
Ieškant palūkanų normos, visas padidėjimas procentais padalijamas iš metų skaičiaus. Iš tikrųjų reikia traukti šaknį iš santykio, kaip pavyzdyje „Kokia buvo palūkanų norma: visas sprendimas“.

Palūkanos NMPP, PUPP ir VBE užduotyse

NMPP – nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas. Datos nurodytos 2027 metams. Turinys ir priemonės aprašyti pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. užduočių aprašai dar derinami.

Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Palūkanų ir kelių procentinių pokyčių iš eilės mokomasi 7 klasėje, todėl tokių uždavinių gali būti per NMPP 8.
2026 m. NMPP 8 priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, paprastąsias palūkanas ir vieną ar du pokyčius iš eilės mokėk apskaičiuoti ranka.
Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Sudėtinių procentų uždaviniai yra 10 klasės srities „Modeliai ir sąryšiai“ turinys, todėl jų gali būti per PUPP. Juose prireiks ir 7 klasės palūkanų skaičiavimų. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Palūkanų ši išimtis neliečia.
PUPP priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Sudėtinių procentų formulė jame yra skyriuje „Sudėtiniai procentai“. Visas rinkinys – puslapyje PUPP formulės.
Matematikos VBE pagal 2026 m. tvarką laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Sudėtinių palūkanų formulė tiesiogiai įvardyta bendrojo (B) kurso 11 klasės programoje. Išplėstinio (A) kurso programa jos atskirai neįvardija.
Matematikos bendrojoje programoje parašyta, kad antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Todėl sudėtinių palūkanų uždavinių gali būti ne tik pirmojoje, bet ir antrojoje VBE dalyje.
VBE formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Sudėtinių procentų formulė yra I skyriuje, o II skyriuje jos nėra. VBE priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Plačiau – puslapyje VBE formulės.
2026 m. spalio 1 d. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) paskelbė, kad viešam derinimui teikiami atnaujinti NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai, o 2026 m. spalio 7 d. – kad teikiami ir VBE aprašų projektai.

Matematikos NMPP 8 klasėje Patikrinimo sandara ir pasiruošimas be skaičiuotuvo.
PUPP užduotys pagal temas Savos PUPP formato užduotys su atsakymais.
Matematikos VBE pirmoji dalis Kaip sudaryta pirmoji egzamino dalis ir kaip jai ruoštis.
NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF)
NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas su formulių rinkiniu (PDF)
NŠA: VBE užduočių aprašas su matematikos formulių rinkiniais (PDF)

Palūkanų uždaviniai su atsakymais

Pirmiausia išspręsk pats, tik tada atsiversk atsakymą. Kur reikia skaičiuotuvo, apvalink tik galutinį atsakymą.

Lengvesni

1. Rokas pasiskolino 900 eurų 2 metams. Metinė palūkanų norma 7 %, palūkanos paprastosios, o visa skola su palūkanomis grąžinama po 2 metų. Kiek eurų Rokas turės grąžinti? Skaičiuok be skaičiuotuvo.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1026 eurus.

1 % nuo 900 yra 9 eurai, todėl 7 % – $7 \cdot 9 = 63$ eurai per metus. Per 2 metus palūkanų susidaro $2 \cdot 63 = 126$ eurai. Grąžinti reikės $900 + 126 = 1026$ eurus.

2. Sugretink pokyčius 1–4 su daugikliais A–D. Pokyčiai: 1) padidėjimas 8 %; 2) sumažėjimas 8 %; 3) padidėjimas 0,8 %; 4) padidėjimas 80 %. Daugikliai: A) 0,92; B) 1,8; C) 1,08; D) 1,008. Atsakymą užrašyk skaičiaus ir raidės poromis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1–C, 2–A, 3–D, 4–B.

Daugiklis lygus $1 \pm \frac{p}{100}$ . 1) $1 + 0{,}08 = 1{,}08$ ; 2) $1 - 0{,}08 = 0{,}92$ ; 3) $1 + 0{,}008 = 1{,}008$ ; 4) $1 + 0{,}8 = 1{,}8$ . Atkreipk dėmesį: 0,8 % yra 0,008, o 80 % – 0,8.

3. Indėlis 2500 eurų, metinė palūkanų norma 2 %, palūkanos pridedamos kiekvienų metų pabaigoje. Kiek eurų bus indėlyje po 2 metų? Apskaičiuok dviem žingsniais, be skaičiuotuvo.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 2601 euras.

1 % nuo 2500 yra 25, todėl 2 % – 50 eurų, ir po pirmųjų metų suma lygi $2500 + 50 = 2550$ . Antraisiais metais 2 % skaičiuojami nuo 2550: 1 % yra 25,5, todėl 2 % – 51 euras. Po antrųjų metų: $2550 + 51 = 2601$ . Tą patį duoda formulė: $2500 \cdot 1{,}02^2 = 2500 \cdot 1{,}0404 = 2601$ .

Vidutiniai

4. Kiek eurų reikia padėti į indėlį dabar, kad po 3 metų jame būtų 4630,50 euro? Metinė palūkanų norma 5 %, palūkanos pridedamos kasmet, o pinigų niekas neišima.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 4000 eurų.

$S_0 = \frac{S_3}{q^3} = \frac{4630{,}50}{1{,}05^3} = \frac{4630{,}50}{1{,}157625} = 4000$ . Patikrinimas metais: 4000 → 4200 → 4410 → 4630,50 euro.

5. Visais trimis atvejais į indėlį padėta 1000 eurų 2 metams, o metinė norma lygi 6 %. A) palūkanos paprastosios; B) palūkanos pridedamos kartą per metus; C) palūkanos pridedamos kas pusmetį, pusmečio norma 3 %. Išdėstyk indėlius A, B ir C didėjimo tvarka pagal sumą po 2 metų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A, B, C (1120 eurų, 1123,60 euro, apie 1125,51 euro).

A) $1000 \cdot (1 + 0{,}06 \cdot 2) = 1120$ . B) $1000 \cdot 1{,}06^2 = 1123{,}6$ . C) Per 2 metus palūkanos pridedamos 4 kartus po 3 %: $1000 \cdot 1{,}03^4 \approx 1125{,}51$ . Kuo dažniau palūkanos pridedamos, tuo daugiau susidaro palūkanų nuo palūkanų.

Sunkesni

6. Šeima nori pasiskolinti 4000 eurų vieneriems metams. Pirmas pasiūlymas: 8 % metinių palūkanų ir jokių kitų mokesčių. Antras pasiūlymas: 5 % metinių palūkanų ir vienkartinis 90 eurų sutarties mokestis. Abiem atvejais visa suma su palūkanomis grąžinama po metų. a) Kiek eurų kainuoja kiekviena paskola (kiek reikės sumokėti virš pasiskolintos sumos) ir kuri pigesnė? b) Kokią sumą skolinantis abu pasiūlymai kainuotų vienodai?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) pirmoji – 320 eurų, antroji – 290 eurų, antroji pigesnė 30 eurų; b) 3000 eurų.

Paskolos kaina – tai, ką sumoki virš pasiskolintos sumos. a) Pirmoji: $4000 \cdot 0{,}08 = 320$ eurų. Antroji: $4000 \cdot 0{,}05 + 90 = 200 + 90 = 290$ eurų. b) Kai skolinamasi $x$ eurų, kainos lygios, jei $0{,}08x = 0{,}05x + 90$ . Išsprendę šią lygtį gauname $0{,}03x = 90$ , $x = 3000$ . Skolinantis mažiau nei 3000 eurų pigesnis pirmas pasiūlymas, daugiau – antras. Todėl lyginti reikia visą paskolos kainą, ne vien palūkanų normą.

7. Skola, kurios niekas negrąžina, kasmet padidėja 12 %: palūkanos pridedamos prie skolos kiekvienų metų pabaigoje. Po kiek metų skola pirmą kartą viršys dvigubą pradinę sumą?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: po 7 metų.

Pradinę skolą pažymėkime $S_0$ . Reikia mažiausio $n$ , kuriam $S_0 \cdot 1{,}12^n > 2S_0$ . Padaliję abi puses iš $S_0$ , gauname $1{,}12^n > 2$ . Bandymais: $1{,}12^6 \approx 1{,}974 < 2$ , o $1{,}12^7 \approx 2{,}211 > 2$ . Logaritmu: $n > \log_{1{,}12} 2 \approx 6{,}12$ , todėl $n = 7$ . Su paprastosiomis 12 % palūkanomis skola dvigubą sumą viršytų tik po 9 metų, nes $8 \cdot 12\,\% = 96\,\%$ , o $9 \cdot 12\,\% = 108\,\%$ .

8. Indėlis per 3 metus išaugo nuo 2000 iki 2662 eurų. Palūkanos buvo pridedamos kasmet, o palūkanų norma nesikeitė. Kokia buvo metinė palūkanų norma?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 10 %.

$2000 \cdot q^3 = 2662$ , todėl $q^3 = 2662 : 2000 = 1{,}331$ ir $q = \sqrt[3]{1{,}331} = 1{,}1$ , nes $1{,}1^3 = 1{,}331$ . Vadinasi, $p = (1{,}1 - 1) \cdot 100 = 10$ .

Tekstiniai uždaviniai Kaip iš sąlygos sudaryti lygtį, kai procentų uždavinys virsta lygtimi.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo paprastosios palūkanos skiriasi nuo sudėtinių?

Paprastosios palūkanos kasmet skaičiuojamos nuo tos pačios pradinės sumos, todėl kasmet gaunama tiek pat eurų. Sudėtinės palūkanos pridedamos prie sumos, ir kitais metais procentas skaičiuojamas nuo didesnės sumos. Pavyzdžiui, iš 1000 eurų su 10 procentų metine norma po dvejų metų paprastųjų palūkanų atveju susidaro 1200 eurų, o sudėtinių – 1210 eurų.

Kaip sudėtines palūkanas apskaičiuoti skaičiuotuvu?

Užtenka skaičiuotuvo su laipsnio kėlimo klavišu. Pirmiausia apskaičiuok daugiklį: prie vieneto pridėk procentų skaičių, padalytą iš šimto, pavyzdžiui, 3 procentams daugiklis yra 1,03. Tada pakelk daugiklį metų skaičiaus laipsniu ir padaugink iš pradinės sumos. Tarpinių rezultatų neapvalink, o galutinę sumą apvalink iki centų. Prieš skaičiuodamas patikrink, ar palūkanos pridedamos kartą per metus, ar dažniau.

Ką reiškia metinė palūkanų norma, kai palūkanos pridedamos kas mėnesį?

Tada metinė norma dalijama iš 12: kas mėnesį suma padidėja tiek procentų, kiek sudaro dvyliktoji metinės normos dalis, o laipsnio rodiklis lygus mėnesių skaičiui. Pavyzdžiui, kai metinė norma 6 procentai, kas mėnesį suma dauginama iš 1,005. Per metus 1000 eurų virsta maždaug 1061,68 euro, t. y. šiek tiek daugiau nei 1060 eurų, kuriuos duotų palūkanos, pridedamos kartą per metus.

Kodėl sudėtinių palūkanų formulėje yra laipsnis?

Todėl, kad kasmet visa suma dauginama iš to paties daugiklio: per dvejus metus du kartus, per trejus – tris kartus, o per n metų – n kartų. Tokia n vienodų daugiklių sandauga ir yra to daugiklio n-tasis laipsnis. Dėl to suma su sudėtinėmis palūkanomis auga kaip geometrinė progresija, o su paprastosiomis – kaip aritmetinė.

Taip pat: Procentai · Laipsniai · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos PUPP · Matematikos A ir B kursas

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt