Rodiklinė funkcija, rodiklinės lygtys ir nelygybės

Rodiklinė lygtis – tai lygtis, kurioje nežinomasis yra laipsnio rodiklyje, pavyzdžiui, $3^{x} = 81$ arba $4^{x - 1} = 8$ . Paprastai ją sprendi taip: abi puses užrašai to paties pagrindo laipsniais ir prilygini rodiklius. Taip $3^{x} = 81$ virsta $3^{x} = 3^{4}$ , todėl $x = 4$ . Kodėl taip galima, kada lygtis sprendinių neturi ir kodėl nelygybėje kartais apsiverčia ženklas, paaiškina rodiklinė funkcija $y = a^{x}$ ir jos grafikas. Rodiklinės funkcijos, lygčių ir nelygybių mokomasi 11 klasėje bendrajame (B) ir išplėstiniame (A) kurse.

Rodiklinė funkcija: apibrėžimo sritis ir reikšmių sritis

Rodikline vadinama funkcija $y = a^{x}$ , kurioje pagrindas $a$ yra pastovus skaičius, $a > 0$ ir $a \neq 1$ , o kintamasis $x$ yra laipsnio rodiklyje. Pavyzdžiui, $y = 2^{x}$ , $y = 10^{x}$ ir $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ yra rodiklinės funkcijos. Nepainiok jų su laipsnine funkcija $y = x^{2}$ : joje kintamasis yra pagrinde, o rodiklis pastovus.

Kodėl pagrindui keliamos sąlygos? Kai $a = 1$ , visos reikšmės lygios 1, nes $1^{x} = 1$ , todėl gaunama ne rodiklinė, o pastovi funkcija $y = 1$ . Kai pagrindas neigiamas, daugelio reikšmių nėra: pavyzdžiui, $(-4)^{\frac{1}{2}}$ turėtų būti kvadratinė šaknis iš −4, o tokio realiojo skaičiaus nėra. Teigiamą pagrindą galima kelti bet kokiu laipsniu: sveikuoju, trupmeniniu ir net iracionaliuoju. Kaip skaičiuoti laipsnius su neigiamu ar trupmeniniu rodikliu, primena puslapis laipsnių savybės.

Todėl rodiklinės funkcijos apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai: $D(f) = \mathbb{R}$ . Reikšmių sritis – visi teigiami skaičiai: $E(f) = (0; +\infty)$ . Teigiamo skaičiaus laipsnis visada teigiamas, net kai rodiklis neigiamas: pavyzdžiui, $2^{-5} = \frac{1}{32}$ . Reikšmė gali būti labai maža, bet nulio nepasiekia. Iš to išplaukia svarbi išvada lygtims: lygtis $a^{x} = b$ neturi sprendinių, kai $b \le 0$ .

Rodiklinės funkcijos pagrindas pagal grafiko tašką

Rodiklinės funkcijos $f(x) = a^{x}$ grafikas eina per tašką $(-2; 16)$ . Rask pagrindą $a$ ir apskaičiuok $f(0)$ , $f(-1)$ ir $f\left(\frac{3}{2}\right)$ .

Pagrindas

\frac{1}{4}

mažesnis už 1, todėl kas vienetą į dešinę reikšmė sumažėja 4 kartus.

Įrašome taško koordinates į formulę: $a^{-2} = 16$ , t. y. $\frac{1}{a^{2}} = 16$ .
Iš čia $a^{2} = \frac{1}{16}$ . Šią lygtį tenkina $a = \frac{1}{4}$ ir $a = -\frac{1}{4}$ , bet rodiklinės funkcijos pagrindas turi būti teigiamas, todėl $a = \frac{1}{4}$ .
$f(0) = \left(\frac{1}{4}\right)^{0} = 1$ . Taip yra su bet kuriuo pagrindu, todėl kiekvienas rodiklinės funkcijos grafikas eina per tašką $(0; 1)$ .
$f(-1) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$ : neigiamas rodiklis „apverčia“ trupmeną.
$f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{\frac{1}{4}}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ .

Atsakymas: $a = \frac{1}{4}$ ; $f(0) = 1$ , $f(-1) = 4$ , $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{8}$ .

Rodiklinės funkcijos grafikas ir savybės

Rodiklinės funkcijos grafikas visada eina per tašką $(0; 1)$ , nes $a^{0} = 1$ , ir per tašką $(1; a)$ . Visas jis yra virš x ašies. Vienoje pusėje grafikas vis labiau artėja prie x ašies, bet jos nepasiekia: kai $a > 1$ – kairėje, kai $0 < a < 1$ – dešinėje. Tokia tiesė vadinama horizontaliąja asimptote: funkcijos $y = a^{x}$ asimptotė yra tiesė $y = 0$ .

Kai $a > 1$ , funkcija didėja: didesnį $x$ atitinka didesnė reikšmė, o kas vienetą reikšmė padidėja $a$ kartų. Pavyzdžiui, $2^{3} = 8$ , o $2^{4} = 16$ . Kai $0 < a < 1$ , funkcija mažėja. Funkcijų $y = a^{x}$ ir $y = \left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ grafikai simetriški y ašies atžvilgiu, nes $\left(\frac{1}{a}\right)^{x} = a^{-x}$ .

Grafiką galima perstumti. Funkcijos $y = a^{x} + c$ grafikas – tai grafikas $y = a^{x}$ , pastumtas $c$ vienetų aukštyn (kai $c < 0$ – $|c|$ vienetų žemyn). Todėl jos asimptotė yra tiesė $y = c$ , o reikšmių sritis – $(c; +\infty)$ . Pavyzdžiui, funkcijos $y = 2^{x} - 3$ asimptotė – tiesė $y = -3$ , o reikšmių sritis – $(-3; +\infty)$ . Funkcijos $y = a^{x - b}$ grafikas – tai grafikas $y = a^{x}$ , pastumtas $b$ vienetų į dešinę (kai $b < 0$ – $|b|$ vienetų į kairę). Išplėstiniame (A) kurse įvedamas skaičius $e \approx 2{,}718$ ; funkcija $y = e^{x}$ – rodiklinė funkcija su šiuo pagrindu.

Kai pagrindas didesnis už 1, rodiklinė funkcija didėja, o kai jis tarp 0 ir 1 – mažėja.

Funkcijos Funkcijos savybės, grafikai ir jų perstūmimai.

Rodiklinės funkcijos ir laipsnių formulės

Rodiklinėms lygtims pakanka kelių laipsnių taisyklių ir dviejų išvadų iš funkcijos savybių. Žyma prie formulės rodo, ar ji yra VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkinyje pagal 2026 m. tvarką. Laipsnių taisyklės ir sudėtinių procentų formulė išspausdintos B kurso skyriuje.

Formulė	Kada taikyti
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \; (a \neq 0)$	Kai trupmeną reikia užrašyti laipsniu, pavyzdžiui, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ .Yra VBE B kurso formulių lape
$\begin{gathered} a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \\ a^{n} : a^{m} = a^{n-m} \end{gathered}$	Kai laipsnį reikia išskaidyti, pavyzdžiui, $2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}$ , arba sandaugą sutraukti.Yra VBE B kurso formulių lape
$(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$	Kai keiti pagrindą: $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2x}$ .Yra VBE B kurso formulių lape
$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$	Kai abi lygties pusės užrašytos tuo pačiu pagrindu: prilygink rodiklius.Išmok mintinai
$\begin{gathered} a^{f(x)} > a^{g(x)}: \\ f(x) > g(x), \text{ kai } a > 1; \\ f(x) < g(x), \text{ kai } 0 < a < 1 \end{gathered}$	Kai sprendi rodiklinę nelygybę: ženklas apsiverčia tik tada, kai pagrindas tarp 0 ir 1.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \text{jei } \log_a b = c, \text{ tai } a^c = b \\ (a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0) \end{gathered}$	Kai pagrindų suvienodinti nepavyksta: iš $a^{x} = b$ , kai $b > 0$ , gauni $x = \log_a b$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai

Rodiklinės lygtys: kaip suvienodinti pagrindus

Rodiklinę lygtį pirmiausia bandai pertvarkyti į pavidalą $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ , t. y. abi puses užrašyti to paties pagrindo laipsniais. Tada prilygini rodiklius: $f(x) = g(x)$ . Pavyzdžiui, iš $2^{x + 1} = 2^{5}$ gauni $x + 1 = 5$ ir $x = 4$ . Taip galima, nes rodiklinė funkcija kiekvieną reikšmę įgyja tik vieną kartą. Gauni tiesinę arba kvadratinę lygtį. Skaičius verta atpažinti kaip laipsnius: $8 = 2^{3}$ , $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ , $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ , $1 = a^{0}$ .

Jei pagrindų suvienodinti nepavyksta, pavyzdžiui, $3^{x} = 7$ , sprendinys užrašomas logaritmu: $x = \log_{3} 7$ . Tai jau kita tema – logaritmai.

Lygties $2^{x} = 6 - x$ taip neišspręsi: joje yra ir rodiklinė, ir tiesinė funkcija. Tada brėži abiejų pusių grafikus ir ieškai jų susikirtimo taško. Brėžinyje jie susikerta, kai $x = 2$ . Grafiškai dažnai randamas tik apytikslis sprendinys, todėl įrašęs patikrink: $2^{2} = 4$ ir $6 - 2 = 4$ . Kitų sprendinių nėra: kairė pusė didėja, dešinė mažėja, todėl grafikai gali susikirsti tik vieną kartą.

Lygties

2^{x} = 6 - x

sprendinys – susikirtimo taško abscisė (koordinatė

x

), t. y.

x = 2

Rodiklinės lygtys, kai pagrindus galima suvienodinti

Išspręsk lygtis: a) $3^{2x - 1} = 27$ ; b) $25^{x} = \frac{1}{125}$ ; c) $9^{x} = 3^{x^{2} - 8}$ .

a) dalies sprendinys – susikirtimo taško abscisė

x = 2

a) $27 = 3^{3}$ , todėl $3^{2x - 1} = 3^{3}$ . Prilyginame rodiklius: $2x - 1 = 3$ , iš čia $x = 2$ .
b) Abi pusės yra penketo laipsniai: $25^{x} = (5^{2})^{x} = 5^{2x}$ , o $\frac{1}{125} = 5^{-3}$ . Tada $2x = -3$ , $x = -\frac{3}{2}$ .
c) $9^{x} = 3^{2x}$ , todėl $3^{2x} = 3^{x^{2} - 8}$ ir $2x = x^{2} - 8$ , t. y. $x^{2} - 2x - 8 = 0$ .
Diskriminantas $D = 4 + 32 = 36$ , todėl $x_{1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$ , $x_{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ . Patikriname $x = -2$ : $9^{-2} = \frac{1}{81}$ ir $3^{4 - 8} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$ .

Atsakymas: a) $x = 2$ ; b) $x = -\frac{3}{2}$ ; c) $x = -2$ arba $x = 4$ .

Dažna klaida: laipsnių suma nėra vienas laipsnis

Mokinys sprendė lygtį $2^{x} + 2^{x + 3} = 144$ taip: $2^{x} + 2^{x + 3} = 2^{2x + 3}$ , todėl $2^{2x + 3} = 144$ . Kur klaida? Išspręsk lygtį teisingai.

Kai

x = 1

, suma lygi 18, o

2^{2x + 3}

lygu 32: tai skirtingos funkcijos, todėl sutraukti negalima.

Taisyklė $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ galioja sandaugai, o ne sumai. Kad sutraukimas klaidingas, matyti įrašius $x = 1$ : kairė pusė lygi $2 + 16 = 18$ , o $2^{2 \cdot 1 + 3} = 32$ .
Teisingai: $2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3} = 8 \cdot 2^{x}$ . Iškeliame bendrą daugiklį $2^{x}$ prieš skliaustus: $2^{x}(1 + 8) = 144$ , t. y. $9 \cdot 2^{x} = 144$ .
Padaliję iš 9 gauname $2^{x} = 16 = 2^{4}$ , todėl $x = 4$ .
Patikriname: $2^{4} + 2^{7} = 16 + 128 = 144$ .

Atsakymas: $x = 4$ .

Rodiklinės nelygybės: kada ženklas apsiverčia

Rodiklinė nelygybė sprendžiama kaip lygtis: abi puses užrašai tuo pačiu pagrindu ir pereini prie rodiklių nelygybės. Skiriasi vienas dalykas – ženklas. Kai $a > 1$ , funkcija didėja, todėl ženklas lieka tas pats: iš $2^{x} > 2^{5}$ gauni $x > 5$ . Kai $0 < a < 1$ , funkcija mažėja, todėl ženklas apsiverčia: iš $\left(\frac{1}{2}\right)^{x} > \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$ gauni $x < 5$ . Patikrink su $x = 4$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$ , o tai daugiau už $\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32}$ .

Neigiama dešinė pusė nelygybėje nereiškia, kad sprendinių nėra. Nelygybę $3^{x} > -2$ tenkina visi realieji skaičiai, o nelygybė $3^{x} < -2$ sprendinių neturi. Atsakymą užrašyk intervalu, kaip ir tiesinėse nelygybėse.

Nelygybė su pagrindu, mažesniu už 1

Išspręsk nelygybę $\left(\frac{1}{3}\right)^{x + 1} > 9$ .

Kreivė yra virš tiesės

y = 9

tik kairiau taško

x = -3

Užrašome 9 tuo pačiu pagrindu: $9 = 3^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ . Nelygybė tampa $\left(\frac{1}{3}\right)^{x + 1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ .
Pagrindas $\frac{1}{3}$ mažesnis už 1, todėl funkcija mažėja, ir pereinant prie rodiklių ženklas apsiverčia: $x + 1 < -2$ , iš čia $x < -3$ .
Patikriname po vieną tašką iš abiejų pusių. Kai $x = -4$ : $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 27 > 9$ – tinka. Kai $x = 0$ : $\frac{1}{3} > 9$ – netinka. Jei ženklo nebūtum apvertęs, gautum $x > -3$ , ir $x = 0$ patektų į atsakymą.

Atsakymas: $x \in (-\infty; -3)$ .

Rodiklinė funkcija uždaviniuose apie augimą ir mažėjimą

Rodikline funkcija aprašomas dydis, kuris per vienodus laiko tarpus padidėja ar sumažėja tiek pat kartų. Bendras pavidalas $f(n) = k \cdot a^{n}$ : $k$ – pradinė reikšmė, $a$ – kiek kartų dydis pasikeičia per vieną laikotarpį. Kai dydis kas laikotarpį pasikeičia $p$ procentų, $a = 1 + \frac{p}{100}$ arba $a = 1 - \frac{p}{100}$ : padidėjus 5 %, $a = 1{,}05$ , o sumažėjus 20 % – $a = 0{,}8$ . Taip gaunama sudėtinių palūkanų formulė. Kai $n$ – natūralieji skaičiai, reikšmės $f(1), f(2), f(3), \ldots$ sudaro geometrinę progresiją.

Kelių dalių uždavinys: šviesa po vandeniu

Modelyje laikoma, kad kiekvienas vandens metras sugeria 20 % į jį patenkančios šviesos. Tada $h$ metrų gylyje lieka $I(h) = I_{0} \cdot 0{,}8^{h}$ šviesos, čia $I_{0}$ – šviesos kiekis prie paviršiaus. a) Kiek procentų paviršiaus šviesos lieka 3 m gylyje? b) Kokiame gylyje lieka $40{,}96\,\%$ paviršiaus šviesos? c) Kokiame gylyje lieka 5 % paviršiaus šviesos? Atsakymą suapvalink iki dešimtųjų. Kuriuose gyliuose šviesos lieka mažiau nei 5 %?

Kreivė rodo, kokia paviršiaus šviesos dalis lieka gylyje

h

. Ji mažėja, nes pagrindas 0,8 mažesnis už 1.

Paviršiaus šviesos dalis gylyje $h$ lygi $\frac{I(h)}{I_{0}} = 0{,}8^{h}$ .
a) $0{,}8^{3} = 0{,}512$ , t. y. 3 m gylyje lieka 51,2 % šviesos.
b) Sudarome lygtį $0{,}8^{h} = 0{,}4096$ . Kadangi $0{,}8^{2} = 0{,}64$ ir $0{,}64^{2} = 0{,}4096$ , tai $0{,}4096 = 0{,}8^{4}$ . Prilyginame rodiklius: $h = 4$ .
c) Sudarome lygtį $0{,}8^{h} = 0{,}05$ . Skaičiaus 0,05 neužrašysi pagrindo 0,8 laipsniu su paprastu rodikliu, todėl pagal logaritmo apibrėžimą $h = \log_{0{,}8} 0{,}05$ . Skaičiuotuvu $h \approx 13{,}43$ ; jei jame yra tik lg, skaičiuok $\lg 0{,}05 : \lg 0{,}8$ .
Funkcija $y = 0{,}8^{h}$ mažėja, todėl $0{,}8^{h} < 0{,}05$ , kai $h > \log_{0{,}8} 0{,}05$ .

Atsakymas: a) 51,2 %; b) 4 m gylyje; c) maždaug 13,4 m gylyje; mažiau nei 5 % šviesos lieka giliau nei maždaug 13,4 m.

Rodiklinės lygtys su nauju nežinomuoju (A kursas)

Išplėstiniame kurse sprendžiamos ir lygtys, kuriose yra du to paties pagrindo laipsniai, pavyzdžiui, $a^{2x}$ ir $a^{x}$ . Kadangi $a^{2x} = \left(a^{x}\right)^{2}$ , pažymi $t = a^{x}$ ir gauni kvadratinę lygtį nežinomojo $t$ atžvilgiu. Svarbiausia nepamiršti, kad $t = a^{x} > 0$ : neigiamas ar nulinis $t$ jokio $x$ neduoda.

Lygtis, kuri virsta kvadratine (A kursas)

Išspręsk lygtį $9^{x} - 2 \cdot 3^{x + 1} - 27 = 0$ .

Lygtis

3^{x} = 9

turi sprendinį, o

3^{x} = -3

– ne, nes visas grafikas yra virš x ašies.

Pertvarkome laipsnius: $9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}$ , o $2 \cdot 3^{x + 1} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{x} = 6 \cdot 3^{x}$ .
Pažymime $t = 3^{x}$ , čia $t > 0$ . Gauname $t^{2} - 6t - 27 = 0$ .
$D = 36 + 108 = 144$ , todėl $t_{1} = \frac{6 + 12}{2} = 9$ , $t_{2} = \frac{6 - 12}{2} = -3$ .
$t = -3$ netinka, nes $3^{x}$ negali būti neigiamas: brėžinyje tiesė $y = -3$ grafiko nekerta.
Iš $3^{x} = 9 = 3^{2}$ gauname $x = 2$ . Patikriname: $9^{2} - 2 \cdot 3^{3} - 27 = 81 - 54 - 27 = 0$ .

Atsakymas: $x = 2$ .

Matematikos A ir B kursas Kuo skiriasi kursų turinys ir formulių lapai.
Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys Kitos lygtys, kurios keičiant nežinomąjį virsta kvadratinėmis.

Dažnos klaidos sprendžiant rodiklines lygtis

Pirmosios trys klaidos kyla iš to, kad laipsnių taisyklės taikomos ten, kur jos negalioja. Prieš pertvarkydamas, paklausk savęs, ar turi sandaugą, dalmenį, ar sumą.

Laipsnių suma sutraukiama į vieną laipsnį: $3^{x} + 3^{x}$ nėra $3^{2x}$ , tai $2 \cdot 3^{x}$ . Sumai paprastos laipsnių taisyklės nėra, todėl iškelk bendrą daugiklį prieš skliaustus.
Daugiklis „įtraukiamas“ į pagrindą: $4 \cdot 3^{x}$ nėra $12^{x}$ . Pirmiausia padalyk iš 4: iš $4 \cdot 3^{x} = 36$ gauni $3^{x} = 9$ ir $x = 2$ .
Rodikliai prilyginami, kol pagrindai dar skirtingi. Iš $4^{x} = 2^{6}$ negalima rašyti $x = 6$ : $4^{x} = 2^{2x}$ , todėl $2x = 6$ ir $x = 3$ .
Nelygybėje su pagrindu tarp 0 ir 1 neapverčiamas ženklas. Atsakymą patikrink vienu tašku iš gauto intervalo ir vienu už jo: taip iš karto matyti, ar ženklas teisingas.
Ieškoma sprendinio, kai dešinė pusė neigiama ar lygi nuliui, arba neatmetamas neigiamas $t$ lygtyje su nauju nežinomuoju. Rodiklinė funkcija įgyja tik teigiamas reikšmes.

Rodiklinės lygtys VBE: priemonės ir formulių lapas

Nauji VBE užduočių aprašai dar derinami, todėl čia nurodyta 2026 m. tvarka. Visa VBE informacija – puslapyje Pasiruošimas matematikos VBE, o pirmosios dalies temos ir planas – puslapyje VBE matematika 1 dalis.

Pagal 2026 m. tvarką matematikos VBE laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. III gimnazijos klasė – tai 11 klasė, todėl pirmoji dalis laikoma tais pačiais mokslo metais, kai mokomasi šios temos.
Pagal bendrąją programą pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Vadinasi, rodiklinių lygčių ir nelygybių gali būti abiejose egzamino dalyse.
Leidžiamos priemonės pagal 2026 m. tvarką: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Vadinasi, skaičiuotuvu gali naudotis abiejose dalyse: juo randama apytikslė laipsnio ar logaritmo reikšmė, kai pagrindų suvienodinti nepavyksta.
Pagal 2026 m. tvarką oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Rinkinyje nėra rodiklinės funkcijos savybių ir taisyklių, kaip lygtyje prilyginti rodiklius, o nelygybėje juos palyginti, todėl jas išmok mintinai. Visas rinkinys – puslapyje VBE formulės.
Kas gali keistis: NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 7 d. paskelbė, kad atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui.

NŠA: matematikos VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Formulių rinkinys – aprašo 1 priedas.
NŠA: naujiena apie VBE užduočių aprašų projektus Projektai teikiami viešam derinimui.

Rodiklinės lygtys ir nelygybės: uždaviniai su atsakymais

Uždavinys, pažymėtas „(A kursas)“, skirtas išplėstiniam kursui, kiti tinka abiem kursams. Pirmiausia išspręsk pats, tik tada atsiversk atsakymą.

Lengvesni

1. Sugretink kiekvieną funkciją su jos savybe. Funkcijos: 1) $y = 3^{x}$ ; 2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ ; 3) $y = 3^{x} - 2$ ; 4) $y = 3^{x - 2}$ . Savybės: A) funkcija mažėja; B) grafikas kerta $x$ ašį; C) grafikas eina per tašką $(2; 1)$ ; D) grafikas eina per tašką $(1; 3)$ . Atsakymą užrašyk skaičiaus ir raidės poromis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1–D, 2–A, 3–B, 4–C.

$y = 3^{x}$ : kai $x = 1$ , $y = 3$ . Funkcija $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ mažėja, nes pagrindas mažesnis už 1. Funkcijos $y = 3^{x} - 2$ reikšmių sritis $(-2; +\infty)$ , todėl jos grafikas nusileidžia žemiau x ašies ir ją kerta. $y = 3^{x - 2}$ : kai $x = 2$ , $y = 3^{0} = 1$ .

2. Išspręsk lygtį $\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 125$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = -3$ .

$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 5^{-x}$ , o $125 = 5^{3}$ . Todėl $-x = 3$ ir $x = -3$ .

Vidutiniai

3. Išspręsk lygtį $3^{x + 2} - 3^{x} = 72$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = 2$ .

$3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}$ . Iškeliame $3^{x}$ prieš skliaustus: $3^{x}(9 - 1) = 72$ , t. y. $8 \cdot 3^{x} = 72$ . Tada $3^{x} = 9 = 3^{2}$ ir $x = 2$ .

4. Išspręsk nelygybę $\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 4} < \frac{9}{4}$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x \in (2; +\infty)$ .

$\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ . Pagrindas $\frac{2}{3}$ mažesnis už 1, todėl ženklas apsiverčia: $x - 4 > -2$ , $x > 2$ .

5. Nesinaudodamas skaičiuotuvu, išdėstyk skaičius didėjimo tvarka: A) $3^{1{,}5}$ ; B) $\sqrt{9}$ ; C) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ ; D) $\left(\frac{1}{3}\right)^{0{,}5}$ ; E) $27^{0}$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: D, E, B, A, C.

Užrašyk visus skaičius pagrindu 3: A) $3^{1{,}5}$ ; B) $3^{1}$ ; C) $3^{2}$ ; D) $3^{-0{,}5}$ ; E) $3^{0}$ . Funkcija $y = 3^{x}$ didėja, todėl didesnis rodiklis reiškia didesnį skaičių: $-0{,}5 < 0 < 1 < 1{,}5 < 2$ .

6. Funkcijos $y = a^{x} + c$ grafikas artėja prie tiesės $y = -3$ ir eina per tašką $(2; 22)$ ; čia $a > 0$ , $a \neq 1$ . Rask $a$ , $c$ ir tašką, kuriame grafikas kerta $y$ ašį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $a = 5$ , $c = -3$ ; grafikas kerta $y$ ašį taške $(0; -2)$ .

Funkcijos $y = a^{x} + c$ asimptotė yra tiesė $y = c$ , todėl $c = -3$ . Įrašę tašką gauname $a^{2} - 3 = 22$ , $a^{2} = 25$ , o kadangi $a > 0$ , $a = 5$ . Kai $x = 0$ : $y = 5^{0} - 3 = -2$ .

Sunkesni

7. (A kursas) Išspręsk lygtį $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = 0$ arba $x = 2$ .

Pažymime $t = 2^{x}$ , čia $t > 0$ ; tada $4^{x} = t^{2}$ . Gauname $t^{2} - 5t + 4 = 0$ , todėl $t = 1$ arba $t = 4$ . Abi reikšmės teigiamos: $2^{x} = 1$ , kai $x = 0$ , o $2^{x} = 4$ , kai $x = 2$ .

8. Kiek sprendinių turi lygtis $\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = x + 3$ ? Rask juos.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Vieną: $x = -1$ .

Kairė pusė yra mažėjanti funkcija, dešinė – didėjanti, todėl jų grafikai susikerta ne daugiau kaip vieną kartą. Bandome sveikąsias reikšmes: kai $x = -1$ , $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$ ir $-1 + 3 = 2$ . Tai vienintelis sprendinys.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo rodiklinė funkcija skiriasi nuo laipsninės?

Rodiklinėje funkcijoje kintamasis yra laipsnio rodiklyje, o pagrindas pastovus, pavyzdžiui, 2 laipsniu x. Laipsninėje funkcijoje atvirkščiai: kintamasis yra pagrinde, o rodiklis pastovus, pavyzdžiui, x kvadratu. Kai pagrindas didesnis už 1, rodiklinė funkcija ilgainiui aplenkia bet kurią laipsninę: kai x lygus 20, x kvadratu lygu 400, o 2 laipsniu 20 – daugiau nei milijonas.

Kodėl rodiklinė funkcija neįgyja neigiamų reikšmių?

Pagrindas visada teigiamas, o teigiamą skaičių keliant bet kokiu laipsniu gaunamas teigiamas skaičius. Neigiamas rodiklis reikšmės nepadaro neigiamos, jis tik apverčia trupmeną: pavyzdžiui, 2 laipsniu minus 3 lygu vienai aštuntajai. Todėl reikšmių sritis – visi teigiami skaičiai, o lygtis, kurios dešinė pusė neigiama arba lygi nuliui, sprendinių neturi.

Kaip išspręsti rodiklinę lygtį, kai pagrindų nepavyksta suvienodinti?

Tada padeda logaritmas. Jei 3 laipsniu x lygu 7, tai x yra skaičiaus 7 logaritmas pagrindu 3, apytiksliai 1,77. Apytikslę reikšmę randi skaičiuotuvu ir patikrini: 3 laipsniu 1,77 yra beveik 7. Logaritminė funkcija yra atvirkštinė rodiklinei: logaritmas atsako, kokiu laipsniu reikia pakelti pagrindą, kad gautum duotą skaičių.

Kada rodiklinėje nelygybėje keičiamas ženklas?

Tik tada, kai pagrindas yra tarp 0 ir 1. Tokia funkcija mažėja: didesnį rodiklį atitinka mažesnė reikšmė, todėl pereinant prie rodiklių nelygybės ženklas apsiverčia. Kai pagrindas didesnis už 1, ženklas lieka tas pats. Pagrindą tarp 0 ir 1 galima ir pakeisti didesniu už 1: viena trečioji laipsniu x lygu 3 laipsniu minus x.

Taip pat: Laipsniai · Funkcijos · Matematikos A ir B kursas · Matematikos VBE · Matematikos VBE 1 dalis · Matematikos VBE 2 dalis

Šaltiniai

ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt