Matematikos VBE 2 dalis: faktai, sprendimai ir pasiruošimas

Matematikos valstybinio brandos egzamino (VBE) antrajai daliai reikia ne tik 12 klasės temų: Matematikos bendrojoje programoje parašyta, kad antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. 2026 m. tvarka ši dalis buvo numatyta 2026 m. birželio 5 d.; tais metais pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Čia rasi 12 klasės temų apžvalgą abiem kursams, išsamiai užrašytą sprendimą, devynių savaičių kartojimo planą ir 13 savų užduočių su atsakymais.

VBE matematika 2 dalis 2026: data, priemonės ir svoris

Šie faktai, išskyrus paskutinį, aprašo 2026 m. tvarką, nes 2027 m. tvarka dar nepatvirtinta. Todėl prie kiekvieno fakto nurodyti metai.

Bendra informacija apie visą egzaminą – matematikos VBE puslapyje, o apie pirmąją dalį – VBE 1 dalies puslapyje.

Antrosios dalies data (2026 m. tvarka): 2026 m. birželio 5 d.
Antrosios dalies vykdymo būdas (2026 m. tvarka): tradicinis.
Antrosios dalies užduotis (2026 m. tvarka) – du skyriai: pirmajame (apraše – „I dalis“) 10 trumpojo atsakymo uždavinių po 1 tašką, iš viso 10 taškų; antrajame (apraše – „II dalis“) 7–10 pilnojo sprendimo uždavinių, iš viso 50 taškų; iš viso 60 taškų; trukmė 240 min.; užduotis pateikiama sąsiuviniu, atsakymai rašomi atsakymų lape. Taigi apraše minimos „I dalis“ ir „II dalis“ yra antrosios dalies skyriai, o ne egzamino pirmoji ir antroji dalis. Trumpojo atsakymo uždavinyje užrašai tik atsakymą, o pilnojo sprendimo – visą sprendimą.
Leidžiamos priemonės antrajai daliai (2026 m. tvarka): skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Kompiuterio šiame sąraše nėra, nors pirmosios dalies sąraše jis yra.
Dalių svoris (2026 m. tvarka): pirmoji dalis – 40 %, antroji dalis – 60 % galutinio įvertinimo.
Formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Rinkinio skyrių numeriai žymi kursą, o ne egzamino dalį.
2026 m. spalio 7 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė, kad atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui.

ŠMSM: atmintinė abiturientams 2025–2026 (PDF)
NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniais (PDF)
NŠA: naujiena apie VBE aprašų projektus
VBE matematikos 1 dalis Pirmoji egzamino dalis; ten apžvelgtos III klasės temos.

VBE matematika 2 dalis B lygis ir A lygis: ką kartoti

„B lygiu“ paprastai vadinamas bendrasis kursas, o „A lygiu“ – išplėstinis. Programoje abiem kursams galioja ta pati taisyklė: antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Todėl kartok abiejų metų temas: 11 klasės (III gimnazijos klasės) temos apžvelgtos 1 dalies puslapyje, o čia – 12 klasės (IV gimnazijos klasės) temos.

Spręsdamas IV klasės uždavinius, nuolat naudosi ir ankstesnių klasių įrankiais. Norint rasti kubinės funkcijos kritinius taškus (juose išvestinė lygi nuliui), reikia išspręsti kvadratinę lygtį. Stereometrijoje reikia Pitagoro teoremos ir trigonometrijos stačiajame trikampyje, o tikimybėse – veiksmų su trupmenomis. 2026 m. VBE formulių rinkinyje kvadratinės lygties sprendinių formulės ir diskriminanto nėra nė viename skyriuje, todėl juos reikia mokėti mintinai (žr. kvadratinių lygčių puslapį).

2026 m. formulių rinkinio B kurso skyriuje yra išvestinių taisyklės ir liestinės lygtis, o trigonometrinių lygčių sprendinių periodai užrašyti laipsniais. Ką tiksliai rasi kiekviename skyriuje – VBE formulių puslapyje.

Pagal programą IV klasėje abu kursai nagrinėja tas pačias keturias dideles temas: trigonometrines lygtis, išvestinę, stereometriją ir tikimybes. Sąrašo pradžioje – ko jose mokomasi bendrajame kurse, pabaigoje – ką prideda išplėstinis kursas.

Bendrasis kursas – trigonometrinės lygtys: $\sin x = a$ ir $\cos x = a$ sprendinių formulės, $a \sin x + b = 0$ tipo lygtys, sprendiniai nurodytame intervale. Plačiau – trigonometrijos puslapyje.
Bendrasis kursas – išvestinė: liestinės krypties koeficientas $k = f'(a)$ , laipsninės funkcijos išvestinė, sumos, skirtumo ir pastovaus daugiklio taisyklės, funkcijos didėjimas ir mažėjimas, ekstremumai, didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame intervale, optimizavimo uždaviniai. Plačiau – išvestinių puslapyje.
Bendrasis kursas – stereometrija: tiesės ir plokštumos erdvėje, atstumai, kampas tarp tiesės ir plokštumos, dvisienis kampas (jį sudaro dvi pusplokštumės su bendra kraštine), prizmės, piramidės, ritiniai, kūgiai ir rutuliai, jų pjūviai, paviršiaus plotai ir tūriai.
Bendrasis kursas – tikimybės: dviejų ar trijų etapų bandymai, tikimybių medžiai, ėmimas su grąžinimu ir be jo, įvykiai „A ir B“ bei „A arba B“, Veno diagramos. Plačiau – tikimybių puslapyje.
Išplėstinis kursas papildomai – trigonometrija: sudėties ir dvigubo kampo formulės, lygtys su tangentu, trigonometrinės nelygybės.
Išplėstinis kursas papildomai – funkcijos ribos samprata, sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės, rodiklinių, logaritminių ir trigonometrinių funkcijų išvestinės.
Išplėstinis kursas papildomai – pirmykštė funkcija ir integralas: Niutono ir Leibnico formulė, kreivinės trapecijos plotas, sukinio tūris. Plačiau – integralų puslapyje.
Išplėstinis kursas papildomai – stereometrija: atstumai ir kampai tarp prasilenkiančių tiesių (jos nesikerta ir nėra lygiagrečios), trijų statmenų teorema, nupjautinė piramidė, nupjautinis kūgis ir rutulio nuopjova.
Išplėstinis kursas papildomai – kombinatorika ir tikimybės: kėliniai, gretiniai ir deriniai, Niutono binomas, Bernulio bandymai, atsitiktiniai dydžiai ir normalusis skirstinys.

A ir B kursas Kuo kursai skiriasi ir kaip rinktis.

Temų puslapiai antrajai daliai: 11 ir 12 klasės temos

Sąraše – visi temų puslapiai su 11 ar 12 klasės medžiaga. Kiekviename – formulės su paaiškinimu, kada jas taikyti, išspręsti pavyzdžiai ir užduotys su atsakymais. Prie kiekvieno puslapio nurodyta, kuriose klasėse ta tema mokoma. Ko mokomasi kiekvienais metais, aprašyta matematikos 11–12 klasei puslapyje.

Palūkanos 7, 10–11 klasė; NMPP 8, PUPP, VBE (B)
Prizmė ir piramidė 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. tūris), VBE
Ritinys, kūgis, rutulys 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. formulės), VBE
Lygčių sistemos 8–11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Skaičių aibės ir modulis 8 ir 11 klasė, NMPP 8 ir VBE
Šaknys 8 ir 11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Vektoriai 8 ir 11 klasė (A kursas), VBE
Funkcijos 9–11 klasė, PUPP ir VBE
Kvadratinės nelygybės 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Tikimybės ir kombinatorika 10–12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Vienetinis apskritimas 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Logaritmai 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Progresijos 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Rodiklinė funkcija 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Trigonometrija 11–12 klasė, VBE
Integralai 12 klasė, A kursas, VBE
Išvestinės 12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Optimizavimo uždaviniai 12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Stereometrija 12 klasė, A ir B kursai, VBE

Trigonometrinė lygtis ir tikimybių medis: du IV klasės pavyzdžiai

Du trumpesni pavyzdžiai iš IV klasės kurso. Pirmajame parodyta dažna klaida – užrašomas tik skaičiuotuvo duotas kampas. Antrasis parodo, kaip tikimybių medyje veikia žodžiai „ir“ bei „arba“, kai daiktai imami be grąžinimo.

Sinuso lygtis intervale nuo 0 iki 360 laipsnių

Išspręsk lygtį $4\sin x + 3 = 0$ ir nurodyk jos sprendinius intervale $[0^\circ; 360^\circ]$ . Atsakymą pateik laipsnio dešimtųjų tikslumu.

Sinusas – vienetinio apskritimo taško ordinatė. Tiesė

y = -0{,}75

kerta apskritimą dviejuose taškuose A ir B, todėl intervale

[0^\circ; 360^\circ]

yra du sprendiniai.

Pertvarkome: $4\sin x = -3$ , todėl $\sin x = -0{,}75$ . Šis skaičius priklauso intervalui $[-1; 1]$ , taigi sprendinių yra.
Skaičiuotuvas duoda $\arcsin(-0{,}75) \approx -48{,}59^\circ$ . Čia daroma dažna klaida: šis kampas užrašomas kaip atsakymas. Bet jis nepriklauso intervalui $[0^\circ; 360^\circ]$ , o sinusas tą pačią reikšmę įgyja dviejuose apskritimo taškuose.
Visi lygties sprendiniai: $x = (-1)^k \arcsin(-0{,}75) + 180^\circ k$ , čia $k$ – bet kuris sveikasis skaičius. Ši formulė yra 2026 m. B kurso formulių rinkinyje.
Daugiklis $(-1)^k$ lygus $1$ , kai $k$ lyginis, ir $-1$ , kai $k$ nelyginis. Todėl, kai $k$ nelyginis, pirmasis narys yra $(-1) \cdot (-48{,}59^\circ) = 48{,}59^\circ$ .
Imame sveikuosius $k$ . Kai $k = -1$ , $x \approx 48{,}59^\circ - 180^\circ = -131{,}41^\circ$ , o kai $k = 0$ , $x \approx -48{,}59^\circ$ – abu netinka. Kai $k = 1$ , $x \approx 48{,}59^\circ + 180^\circ = 228{,}59^\circ$ ; kai $k = 2$ , $x \approx -48{,}59^\circ + 360^\circ = 311{,}41^\circ$ ; kai $k = 3$ , $x \approx 48{,}59^\circ + 540^\circ = 588{,}59^\circ$ (daugiau už $360^\circ$ ).
Patikrinimas brėžiniu: taškai A ir B yra III ir IV ketvirčiuose, nes ten sinusas neigiamas, o smailusis kampas, kurio sinusas $0{,}75$ , yra apie $48{,}59^\circ$ . Taškas A atitinka kampą $180^\circ + 48{,}59^\circ$ , taškas B – kampą $360^\circ - 48{,}59^\circ$ . Suapvalinę gauname $228{,}6^\circ$ ir $311{,}4^\circ$ .

Atsakymas: $x \approx 228{,}6^\circ$ arba $x \approx 311{,}4^\circ$ .

Du darbai parodai, ištraukti be grąžinimo

Mokyklos meno konkursui pateikti 11 darbų: 6 fotografijos ir 5 grafikos darbai. Parodos stendui burtų keliu, be grąžinimo, ištraukiami 2 darbai. Kokia tikimybė, kad ištraukti darbai bus skirtingų rūšių?

F – fotografija, G – grafikos darbas. Prie kiekvienos šakos – jos tikimybė; paryškintos dvi šakos, kuriose darbai skirtingų rūšių.

Pirmas ėmimas: $P(F) = \frac{6}{11}$ , $P(G) = \frac{5}{11}$ . Darbas negrąžinamas, todėl antram ėmimui lieka 10 darbų, o tikimybės priklauso nuo to, kas ištrauktas pirmas: po F lieka 5 fotografijos ir 5 grafikos darbai, po G – 6 fotografijos ir 4 grafikos darbai.
„Skirtingų rūšių“ reiškia „F, tada G“ arba „G, tada F“. Vienos šakos tikimybė – tai jos tikimybių sandauga („ir“): $\frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10} = \frac{30}{110}$ ir $\frac{5}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{30}{110}$ .
Šakos nesutaikomos (abi kartu įvykti negali), todėl („arba“) jų tikimybes sudedame: $\frac{30}{110} + \frac{30}{110} = \frac{60}{110} = \frac{6}{11}$ .
Ko saugotis. Jei vardiklio nesumažintum, lyg darbas būtų grąžinamas, gautum $2 \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{11} = \frac{60}{121}$ – tai kito bandymo atsakymas. Jei skaičiuotum tik šaką „F, tada G“, gautum $\frac{30}{110} = \frac{3}{11}$ .
Patikrinimas per priešingą įvykį „abu tos pačios rūšies“: $\frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10} + \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} = \frac{30}{110} + \frac{20}{110} = \frac{50}{110}$ , o $1 - \frac{50}{110} = \frac{60}{110} = \frac{6}{11}$ .

Atsakymas: $\frac{6}{11}$ .

Kaip užrašyti pilną sprendimą

Pilnas sprendimas – tai visas kelias nuo sąlygos iki atsakymo, užrašytas taip, kad kitas žmogus galėtų jį perskaityti ir patikrinti. Vienas skaičius be kelio nieko neparodo: iš jo nematyti, ar jis gautas samprotaujant, ar atspėtas. Be to, rašydamas visą kelią, pats pastebi daugiau klaidų: neigiamas ilgis ar tikimybė, didesnė už 1, iškart parodo, kad kažkur suklydai.

Optimizavimo uždavinys gerai parodo, iš ko sudarytas pilnas sprendimas. Jame yra visi šeši žingsniai:

Įvardyk nežinomuosius ir jų matavimo vienetus („tegu a – pagrindo kraštinė, cm“).
Užrašyk sąryšius iš sąlygos ir pasakyk, iš kur kiekvienas jų atsirado.
Nurodyk, kokias reikšmes nežinomasis gali įgyti. Nuo to priklauso, kurie kritiniai taškai tinka, o kurie atmetami.
Neperšok lemiamų skaičiavimų: išvestinės, lygties ir jos sprendinių.
Pagrįsk išvadą: kodėl rastas taškas yra būtent maksimumas ar minimumas (pavyzdžiui, pagal išvestinės ženklą).
Užrašyk atsakymą į uždavinio klausimą su matavimo vienetais ir patikrink jį pagal sąlygą.

Žibinto karkasas iš 60 cm strypo

Dizainerė iš 60 cm ilgio metalinio strypo gamina žibinto karkasą – stačiakampio gretasienio briaunas. Gretasienio pagrindas – kvadratas, o strypas sunaudojamas visas: iš jo išpjaunamos visos 12 briaunų (žr. brėžinį). Kokie turi būti karkaso matmenys, kad žibinto tūris būtų didžiausias? Koks tas tūris? Užrašyk pilną sprendimą.

Karkasą sudaro 8 pagrindų briaunos, kurių ilgis a, ir 4 šoninės briaunos, kurių ilgis h.

Nežinomieji. Tegu pagrindo kraštinė yra $a$ cm, o aukštinė – $h$ cm. Gretasienis turi 12 briaunų: 8 pagrindų (po 4 apačioje ir viršuje), kurių ilgis $a$ , ir 4 šonines, kurių ilgis $h$ .
Sąryšis iš sąlygos. Visas strypas sunaudojamas, todėl $8a + 4h = 60$ , iš čia $h = 15 - 2a$ .
Galimos reikšmės. Ilgiai teigiami: $a > 0$ ir $h = 15 - 2a > 0$ , todėl $0 < a < 7{,}5$ .
Tikslo funkcija – dydis, kurio didžiausios reikšmės ieškome. Čia tai tūris $V = a^2 h$ , todėl $\begin{aligned} V(a) &= a^2(15 - 2a) \\ &= 15a^2 - 2a^3. \end{aligned}$ Čia $0 < a < 7{,}5$ .
Išvestinė ir kritiniai taškai: $V'(a) = 30a - 6a^2 = 6a(5 - a)$ . Lygtis $V'(a) = 0$ turi sprendinius $a = 0$ ir $a = 5$ . Taškas $a = 0$ intervalui $(0; 7{,}5)$ nepriklauso, todėl lieka $a = 5$ .
Kodėl tai didžiausia reikšmė. Kai $0 < a < 5$ , abu daugikliai $6a$ ir $5 - a$ teigiami, todėl $V'(a) > 0$ ir tūris didėja. Kai $5 < a < 7{,}5$ , $V'(a) < 0$ ir tūris mažėja. Vadinasi, $a = 5$ – maksimumo taškas, o kito kritinio taško intervale nėra, todėl čia tūris didžiausias.
Atsakymas į klausimą: $h = 15 - 2 \cdot 5 = 5$ cm, $V = 5^2 \cdot 5 = 125\ \text{cm}^3$ . Patikrinimas: $8 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 60$ cm, taigi strypas sunaudotas visas. Palyginimui: kai $a = 4$ , $V = 16 \cdot 7 = 112$ , o kai $a = 6$ , $V = 36 \cdot 3 = 108$ – abu mažesni už 125.

Atsakymas: karkasas turi būti kubas, kurio briauna 5 cm; didžiausias tūris – $125\ \text{cm}^3$ .

IV klasės kurso užduotys su atsakymais

Čia – 13 savų užduočių, sugrupuotų pagal sunkumą. Užduotys, prasidedančios žodžiais „A kursas“, skirtos išplėstiniam kursui; kitos tinka abiem kursams. Antrajai daliai 2026 m. buvo leistos šios priemonės: skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Spręsk tik su jomis.

Kai sąlygoje parašyta „Užrašyk sprendimą“, rašyk visą kelią, kaip aprašyta aukščiau. Atsakymą ir trumpą sprendimą atversi paspaudęs „Rodyti atsakymą“, bet pirmiausia pabandyk išspręsti pats.

Lengvesni

1. Apskaičiuok $f'(-1)$ , kai $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 4.

$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$ , todėl $f'(-1) = -4 + 6 + 2 = 4$ .

2. Kiek sprendinių turi lygtis $2\cos x - 1 = 0$ intervale $[0^\circ; 720^\circ]$ ?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 4 sprendinius.

$\cos x = \frac{1}{2}$ . Per pirmąjį apsisukimą tinka $60^\circ$ ir $300^\circ$ , per antrąjį – $420^\circ$ ir $660^\circ$ .

3. Apsaugos sistema turi du jutiklius, kurie veikia nepriklausomai vienas nuo kito. Įsibrovus pirmasis jutiklis suveikia su tikimybe $0{,}9$ , antrasis – su tikimybe $0{,}8$ . Kokia tikimybė, kad suveiks bent vienas jutiklis?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $0{,}98$ .

Priešingas įvykis – nesuveiks nė vienas jutiklis: $0{,}1 \cdot 0{,}2 = 0{,}02$ . Todėl ieškoma tikimybė $1 - 0{,}02 = 0{,}98$ .

4. Ritinio formos vandens bako vidinis skersmuo – 1,2 m, o vidinis aukštis – 1,5 m. Kiek litrų vandens telpa pilname bake? Atsakymą pateik vienetų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1696 l.

Spindulys $R = 0{,}6$ m, todėl $V = \pi R^2 H = \pi \cdot 0{,}36 \cdot 1{,}5 = 0{,}54\pi \approx 1{,}6965\ \text{m}^3$ . Kadangi $1\ \text{m}^3 = 1000$ l, telpa apie 1696 l. Dažna klaida – į formulę įrašyti skersmenį vietoj spindulio.

Vidutiniai

5. Funkcijos $f(x) = x^3 - 2x$ grafike rask taškus, kuriuose grafiko liestinė lygiagreti tiesei $y = 10x + 1$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(2; 4)$ ir $(-2; -4)$ .

Lygiagrečių tiesių krypties koeficientai lygūs, todėl $f'(x) = 10$ : $3x^2 - 2 = 10$ , $x^2 = 4$ , $x = \pm 2$ . Tada $f(2) = 8 - 4 = 4$ ir $f(-2) = -8 + 4 = -4$ . Liestinės: $y = 4 + 10(x - 2) = 10x - 16$ ir $y = -4 + 10(x + 2) = 10x + 16$ – nė viena nesutampa su $y = 10x + 1$ , todėl abi jai lygiagrečios.

6. Rask funkcijos $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ ekstremumo taškus ir ekstremumus. Kuris iš jų yra maksimumas, o kuris – minimumas?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: maksimumo taškas $x = 1$ , maksimumas $f(1) = 3$ ; minimumo taškas $x = 3$ , minimumas $f(3) = -1$ .

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ . Išvestinė teigiama, kai $x < 1$ , neigiama, kai $1 < x < 3$ , ir vėl teigiama, kai $x > 3$ . Todėl $x = 1$ – maksimumo taškas, $x = 3$ – minimumo taškas: $f(1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$ , $f(3) = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$ .

7. Laboratorijos šaldytuve laikoma 10 vandens mėginių: 6 paimti iš ežero, 4 – iš upės. Laborantė atsitiktinai, be grąžinimo, paima du mėginius. Kokia tikimybė, kad abu mėginiai paimti iš to paties vandens telkinio? Atsakymą užrašyk nesuprastinamąja trupmena.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{7}{15}$ .

Abu iš ežero: $\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90}$ ; abu iš upės: $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$ . Šie atvejai nesutaikomi, todėl tikimybes sudedame: $\frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ .

8. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė – 6 cm, o aukštinė – 4 cm. Apskaičiuok piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $60\ \text{cm}^2$ .

Šoninės sienos aukštinė (apotema) jungia piramidės viršūnę su pagrindo kraštinės vidurio tašku. Ji yra įžambinė stačiojo trikampio, kurio statiniai – piramidės aukštinė 4 cm ir pusė pagrindo kraštinės 3 cm: $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm. Keturių vienodų sienų plotas $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^2$ . Jei vietoj apotemos imtum aukštinę 4 cm, gautum klaidingą atsakymą $48\ \text{cm}^2$ .

9. Stačiakampio gretasienio pagrindo briaunos yra 1 cm ir 4 cm, o šoninė briauna – 8 cm. Apskaičiuok gretasienio įstrižainės ilgį ir kampą tarp įstrižainės ir pagrindo plokštumos laipsnio dešimtųjų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 9 cm; apie $62{,}7^\circ$ .

Pagrindo įstrižainė $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ cm – tai gretasienio įstrižainės projekcija pagrindo plokštumoje. Gretasienio įstrižainė $\sqrt{17 + 8^2} = \sqrt{81} = 9$ cm. Kampas $\alpha$ tarp įstrižainės ir jos projekcijos: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{8}{\sqrt{17}} \approx 1{,}940$ , todėl $\alpha \approx 62{,}7^\circ$ .

10. Iš 30 abiturientų 18 laiko fizikos VBE, 12 – informatikos VBE, o 7 iš jų laiko abu šiuos egzaminus. Atsitiktinai parenkamas vienas iš 30 abiturientų. Kokia tikimybė, kad jis laiko bent vieną iš šių dviejų egzaminų?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{23}{30}$ .

Įvykiai sutaikomi: 7 abiturientai priklauso abiem grupėms. Todėl $P = \frac{18 + 12 - 7}{30} = \frac{23}{30}$ . Sudėjęs $18 + 12 = 30$ , tuos 7 suskaičiuotum du kartus ir gautum klaidingą atsakymą 1, nors Veno diagramoje lieka $30 - 23 = 7$ abiturientai, nelaikantys nė vieno iš šių egzaminų.

Sunkesni

11. Apžvalgos ratas sukasi tolygiai ir per minutę pasisuka $12^\circ$ . Kai ratas nuo įlipimo momento pasisuka kampu $\alpha$ , kabinos aukštis virš žemės yra $h = 21 - 19\cos\alpha$ metrų. Po kiek minučių nuo įlipimo kabina per pirmąjį apsisukimą bus 30,5 m aukštyje? Nurodyk visus tokius momentus. Užrašyk sprendimą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: po 10 ir po 20 minučių.

Sprendžiame lygtį $21 - 19\cos\alpha = 30{,}5$ : $\cos\alpha = \frac{21 - 30{,}5}{19} = -\frac{1}{2}$ . Pirmasis apsisukimas – tai $0^\circ \le \alpha \le 360^\circ$ , o šiame intervale $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ , kai $\alpha = 120^\circ$ arba $\alpha = 240^\circ$ . Laikas $t = \frac{\alpha}{12^\circ}$ : $t = 10$ min arba $t = 20$ min. Patikrinimas: $h = 21 - 19 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 30{,}5$ m.

12. A kursas. Apskaičiuok figūros, kurią riboja parabolė $y = 4 - x^2$ ir tiesė $y = x + 2$ , plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{9}{2} = 4{,}5$ kvadratinio vieneto.

Susikirtimo taškai: $4 - x^2 = x + 2$ , $x^2 + x - 2 = 0$ , $x = -2$ arba $x = 1$ . Intervale $[-2; 1]$ parabolė yra virš tiesės (pvz., kai $x = 0$ : $4 > 2$ ), todėl $S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx$ . Pirmykštė funkcija $F(x) = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$ , todėl $F(1) = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$ , o $F(-2) = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$ . Taigi $S = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ .

13. A kursas. Rask funkcijos $f(x) = x e^{2x}$ ekstremumo tašką ir ekstremumą. Ar tai maksimumas, ar minimumas?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: minimumo taškas $x = -\frac{1}{2}$ , minimumas $-\frac{1}{2e} \approx -0{,}18$ .

Pagal sandaugos išvestinės taisyklę $f'(x) = e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$ . Kadangi $e^{2x} > 0$ , $f'(x) = 0$ tik kai $x = -\frac{1}{2}$ . Kai $x < -\frac{1}{2}$ , $f'(x) < 0$ , o kai $x > -\frac{1}{2}$ , $f'(x) > 0$ , todėl tai minimumo taškas. $f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}e^{-1} = -\frac{1}{2e} \approx -0{,}18$ .

VBE matematikos užduotys Daugiau savų užduočių A ir B kursui.

Pasiruošimas VBE 2 daliai

Žemiau – devynių savaičių kartojimo plano pavyzdys tam, kas IV klasės kursą jau baigia. Jei laiko mažiau, sujunk gretimas savaites. Jei kuri tema jau tvirta, jai skirk mažiau laiko, o atlaisvintą laiką atiduok silpniausiai temai. Kiekvieną savaitę baik keliais ankstesnių savaičių uždaviniais, kad pakartotos temos nepasimirštų.

1 savaitė. Diagnozė: išspręsk šio puslapio užduotis be užuominų ir pasižymėk, kurios temos stringa. Pakartok algebros įrankius, kurių prireikia visur: reiškinių pertvarkymą, kvadratines lygtis, nelygybes ir trupmenas.
2 savaitė. 11 klasės temos: logaritmai, rodiklinės ir logaritminės lygtys bei nelygybės, progresijos, funkcijos ir jų grafikai, skaičių aibės ir modulis. A kursui – dar vektoriai. Uždavinių šioms temoms rasi 1 dalies puslapyje.
3 savaitė. Trigonometrinės lygtys: vienetinis apskritimas, sprendinių formulės ir sprendiniai nurodytame intervale. A kursui – dar sudėties ir dvigubo kampo formulės bei nelygybės.
4 savaitė. Išvestinė: taisyklės, išvestinės reikšmė taške, liestinė ir jos krypties koeficientas. A kursui – sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės.
5 savaitė. Funkcijos tyrimas išvestine: didėjimo ir mažėjimo intervalai, ekstremumai, didžiausia ir mažiausia reikšmė atkarpoje. Bent du optimizavimo uždaviniai su pilnu sprendimu.
6 savaitė. Stereometrija: tiesės ir plokštumos, kampas tarp tiesės ir plokštumos, dvisienis kampas, atstumai. A kursui – dar atstumai ir kampai tarp prasilenkiančių tiesių ir trijų statmenų teorema. Kiekvienam uždaviniui nusibraižyk brėžinį ir jame pažymėk stačiuosius trikampius.
7 savaitė. Briaunainiai ir sukiniai: pjūviai, paviršiaus plotai ir tūriai. A kursui – dar nupjautinė piramidė, nupjautinis kūgis ir rutulio nuopjova, taip pat integralai: pirmykštė funkcija, plotai ir sukinio tūris.
8 savaitė. Tikimybės: medžiai, ėmimas su grąžinimu ir be jo, „ir“ ir „arba“, Veno diagramos. A kursui – kėliniai, gretiniai, deriniai, Niutono binomas, Bernulio bandymai, atsitiktiniai dydžiai ir normalusis skirstinys.
9 savaitė. Mišrūs uždaviniai laikui ir klaidų analizė. Naujų temų nebepradėk: geriau dar kartą išspręsk uždavinius, kuriuose klydai.

Matematikos VBE 2 dalies bandomasis: ką 2026 m. nurodė NŠA

Apie 2026 m. matematikos bandomuosius NŠA nurodė, kad bandomieji matematikos patikrinimai neprivalomi, nevertinami pažymiu ir neturi įtakos galutiniam mokymosi rezultatui. Ji taip pat nurodė, kad bandomuosiuose gali būti uždavinių iš dar nesimokytų temų; mokiniai juos gali praleisti, mokytojai jų nevertina. Tokius uždavinius pasižymėk: jie parodo, ką kartoti, kai tas temas išeisi per pamokas.

2027 m. bandomojo datos šiame puslapyje nėra. Jei jame dalyvausi, spręsk jį kaip tikrą egzaminą: be užuominų, su laikrodžiu ir tik su leidžiamomis priemonėmis.

Po bandomojo neužtenka susiskaičiuoti taškų. Prie kiekvieno neišspręsto uždavinio užsirašyk, kas sustabdė: nežinojai, nuo ko pradėti, suklydai skaičiuodamas ar nespėjai. Pirmu atveju grįžk prie temos puslapio, antru – įprask tikrinti kiekvieną skaičiavimą, trečiu – pakeisk laiko planą.

NŠA: naujiena apie 2026 m. matematikos bandomuosius

Dažnos klaidos sprendžiant IV klasės uždavinius

Šios klaidos gali kainuoti visą atsakymą net tada, kai pati tema išmokta. Daugumą jų sugauna paprastas patikrinimas pabaigoje.

Didžiausios ar mažiausios reikšmės atkarpoje ieškoma tik kritiniuose taškuose, o atkarpos galai pamirštami. Pavyzdžiui, funkcijai $f(x) = x^3 - 3x$ atkarpoje $[0; 3]$ kritinis taškas $x = 1$ duoda mažiausią reikšmę $-2$ , bet didžiausia reikšmė $18$ yra atkarpos gale, kai $x = 3$ .
Trigonometrinėje lygtyje užrašomas tik skaičiuotuvo duotas kampas. Skaičiuotuvo $\arcsin$ reikšmė visada yra tarp $-90^\circ$ ir $90^\circ$ , o nurodytame intervale sprendinių gali būti du ar daugiau.
Skaičiuotuvas nustatytas ne tuo režimu. Laipsniais $\cos 60^\circ = 0{,}5$ , o radianų režime tas pats mygtukų paspaudimas duoda apie $-0{,}95$ . Prieš skaičiuodamas pažiūrėk, kokiais vienetais duotas kampas.
Ėmimas be grąžinimo skaičiuojamas kaip su grąžinimu. Paėmus vieną daiktą, antram ėmimui lieka vienu daiktu mažiau. Ištrauktos rūšies daiktų irgi lieka vienu mažiau, o kitos rūšies – tiek pat.
„Arba“ tikimybės sudedamos neatėmus bendros dalies. Kai įvykiai sutaikomi, $P(A \text{ arba } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ ir } B)$ .
Piramidėje painiojama aukštinė su apotema. Šoninės sienos plotui reikia apotemos (šoninės sienos aukštinės), o tūriui – piramidės aukštinės.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kada 2026 metais buvo laikoma matematikos VBE 2 dalis?

Pagal 2026 m. tvarką matematikos VBE antroji dalis buvo numatyta 2026 m. birželio 5 d., vykdymo būdas – tradicinis. 2027 m. datos šiame puslapyje dar nėra.

Ką kartoti VBE 2 daliai, jei mokaisi B lygiu?

B lygiu vadinamas bendrasis kursas. Kartok abiejų metų temas, nes Matematikos bendrojoje programoje parašyta: antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Iš 12 klasės – trigonometrinės lygtys, išvestinė ir funkcijos tyrimas, stereometrija ir tikimybės (medžiai, ėmimas su grąžinimu ir be jo, Veno diagramos). Iš 11 klasės – logaritmai, progresijos, funkcijos, lygtys ir nelygybės; jos apžvelgtos 1 dalies puslapyje. Formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). I skyriuje (B) iš išvestinių taisyklių yra tik pastovaus daugiklio, sumos, skirtumo ir laipsninės funkcijos išvestinės, taip pat liestinės lygtis, o trigonometrinių lygčių sprendinių periodai užrašyti laipsniais. Šio puslapio užduotys be žodžių „A kursas“ skirtos ir B kursui.

Kur rasti VBE 2 dalies užduočių su atsakymais?

Oficialių egzamino užduočių ir jų atsakymų šiame puslapyje nėra. Čia yra 13 savų užduočių IV klasės kursui: atsakymas ir trumpas sprendimas atsiveria paspaudus „Rodyti atsakymą“. Daugiau savų užduočių, sugrupuotų pagal temas, yra VBE matematikos užduočių puslapyje.

Ar matematikos VBE 2 dalies bandomasis privalomas?

2026 m. NŠA nurodė, kad bandomieji matematikos patikrinimai neprivalomi, nevertinami pažymiu ir neturi įtakos galutiniam mokymosi rezultatui. Taip pat nurodyta, kad bandomuosiuose gali būti uždavinių iš dar nesimokytų temų; mokiniai juos gali praleisti, mokytojai jų nevertina. Apie 2027 m. bandomąjį šiame puslapyje informacijos dar nėra.

Taip pat: Matematikos VBE · Matematikos A ir B kursas

Šaltiniai

ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; 7 p.; 11 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 2 p., 7.2.1–7.2.4 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Matematikos bandomieji įvairių klasių mokiniams padės ruošiantis patikrinimams ir egzaminams“ (2026-02-23); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt