Exacta

VBE matematikos užduotys pagal temas: A ir B kursas

VBE matematikos užduotys pagal temas – tai 25 užduočių rinkinys pasiruošti matematikos valstybiniam brandos egzaminui (VBE). Užduotys suskirstytos pagal 11 ir 12 klasės temas ir tris sunkumo lygius. Po kiekviena užduotimi paslėptas atsakymas, o po sunkesnėmis – ir trumpas sprendimas. Užduotys sudarytos šiam puslapiui: tai nėra oficialios Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) užduotys ar jų perpasakojimai. Užduotis be žymės gali spręsti ir bendrojo (B), ir išplėstinio (A) kurso mokiniai, o pažymėtos „A kursas“ skirtos tik išplėstiniam kursui. Prieš užduotis rasi tris iki galo išspręstus pavyzdžius, o visi atsakymai dar kartą surašyti puslapio pabaigoje.

VBE užduotys pagal temas: kaip naudotis šiuo rinkiniu

Užduotys suskirstytos į septynis skyrius pagal temas. 1–12 užduotys skirtos 11 klasės (III gimnazijos klasės) temoms: laipsniams ir logaritmams, lygtims ir nelygybėms, progresijoms ir trigonometrijai. 13–25 užduotys skirtos 12 klasės (IV gimnazijos klasės) temoms: išvestinėms, integralams, stereometrijai ir tikimybėms. 13 užduotis – 12 klasės trigonometrinė lygtis; ją rasi trigonometrijos skyriaus pabaigoje.

Matematikos bendrojoje programoje parašyta, kad VBE pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį. O antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Vadinasi, 1–12 užduotys pravers ruošiantis abiem egzamino dalims, o 13–25 užduotys – antrajai daliai.

Kiekviename skyriuje užduotys eina nuo lengvesnių prie sunkesnių. Numeracija bendra visam puslapiui, todėl atsakymą pabaigoje rasi tuo pačiu numeriu. Žodžiais „A kursas“ pažymėtos 5 užduotys: jose naudojamos temos, kurių bendrajame kurse nėra, pavyzdžiui, integralai, Bernulio formulė ar perėjimas prie kito logaritmo pagrindo.

Apie patį egzaminą skaityk puslapyje matematikos VBE, o atskirai apie abi jo dalis – puslapiuose VBE 1 dalis ir VBE 2 dalis. Kad užduotys duotų daugiausia naudos:

  • Pradėk nuo savo kurso užduočių ir nuo temų, kurių jau mokeisi per pamokas. Nesimokytos temos užduotis tik atims laiko.
  • Spręsk ant popieriaus ir užrašyk visą sprendimą, net kai prašoma tik atsakymo. Tada, suklydęs, rasi vietą, kurioje sprendimas pasuko ne ten.
  • Prieš atsiversdamas atsakymą, pasitikrink pats: įrašyk sprendinį į lygtį ir įvertink, ar atsakymas tikroviškas. Pavyzdžiui, tūris negali būti neigiamas, o tikimybė visada yra tarp 0 ir 1.
  • Užduotis, kurių neišsprendei, pasižymėk ir po savaitės išspręsk iš naujo, į sprendimą nežiūrėdamas.
  • Jei nori spręsti atsispausdinęs, naršyklėje pasirink spausdinimą: lape užduotys bus be atsakymų, o atsakymų sąrašas – pabaigoje.

VBE pagal 2026 m. tvarką: dalys, priemonės ir formulių rinkinys

Šias užduotis verta spręsti su tomis pačiomis priemonėmis, kurios leidžiamos egzamine. Žemiau pateikta 2026 m. tvarka, todėl prie kiekvieno fakto nurodyti metai.

Naujesnė tvarka dar nepatvirtinta: 2026 m. spalio 7 d. NŠA atnaujintų VBE užduočių aprašų projektus pateikė viešai aptarti. Kokia tvarka galios 2027 m., paaiškės, kai bus patvirtintos galutinės aprašų redakcijos.

Sąraše žemiau minimas „1 priedas“ – tai oficialus VBE formulių rinkinys. Kurios formulės jame yra, o kurias reikia mokėti mintinai, paaiškinta puslapyje VBE formulių rinkiniai. Kol sprendi šias užduotis, laikyk skaičiuotuvą ir rinkinį šalia: taip įprasi greitai rasti reikiamą eilutę.

  • Egzamino dalys (2026 m. tvarka): pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje.
  • Formulių rinkinys (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A).
  • Leidžiamos priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).

Trys VBE formato uždaviniai, išspręsti iki galo

Pilną sprendimą užrašyk taip, kad kitas žmogus galėtų jį sekti be tavo paaiškinimų. Pradžioje – ką žymi raidės ir kokia apibrėžimo sritis. Toliau – kiekvienas pertvarkymas atskiroje eilutėje, o prie svarbaus žingsnio trumpa priežastis: kokia savybė ar formulė taikoma. Pabaigoje – aiškus atsakymas į užduoties klausimą, su matavimo vienetais, jei jų yra.

Kiekviename iš trijų pavyzdžių parodyta viena klaida, dėl kurios gerai pradėtas sprendimas baigiasi neteisingu atsakymu. Pirmasis – logaritminė lygtis, kurioje vienas sprendinys netinka. Antrasis – funkcijos tyrimas, kuriame maksimumas nėra didžiausia reikšmė atkarpoje. Trečiasis skirtas A kursui: plotas tarp dviejų kreivių, kai svarbu žinoti, kuri kreivė yra viršuje.

Logaritminė lygtis: sprendinių atranka pagal apibrėžimo sritį

Išspręsk lygtį lg⁡(x2−4x)=lg⁡(2x−5)\lg(x^2 - 4x) = \lg(2x - 5).

  1. Apibrėžimo sritis. Logaritmas apibrėžtas tik teigiamiems skaičiams, todėl turi būti 2x−5>02x - 5 > 0 ir x2−4x>0x^2 - 4x > 0. Pirmoji sąlyga duoda x>2,5x > 2{,}5. Antroji: x(x−4)>0x(x - 4) > 0, t. y. x<0x < 0 arba x>4x > 4. Abi sąlygos kartu: x>4x > 4.
  2. Atsisakome logaritmų. Du logaritmai tuo pačiu pagrindu lygūs tik tada, kai lygūs reiškiniai po jais: x2−4x=2x−5x^2 - 4x = 2x - 5.
  3. Perkeliame visus narius į kairę ir sprendžiame kvadratinę lygtį: x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0. Pagal Vieto teoremą sprendinių suma lygi 6, o sandauga 5, todėl x1=1x_1 = 1, x2=5x_2 = 5.
  4. Atranka. x=1x = 1 nepriklauso apibrėžimo sričiai x>4x > 4: įrašę gautume lg⁡(−3)=lg⁡(−3)\lg(-3) = \lg(-3), o neigiamo skaičiaus logaritmas neapibrėžtas. x=5x = 5 tinka: abiejose pusėse gaunama lg⁡5\lg 5.
  5. Ko saugotis. Kai x=1x = 1, reiškiniai po logaritmu irgi lygūs (abu lygūs −3-3), todėl atrodo, kad sprendinys tinka. Bet lygtis su logaritmais teisinga tik tada, kai pats logaritmas egzistuoja. Todėl apibrėžimo sritį verta užrašyti pirmiausia, o atsakymą su ja palyginti pabaigoje.

Atsakymas: x=5x = 5.

Funkcijos tyrimas išvestine: ekstremumai ir reikšmės atkarpoje

Duota funkcija f(x)=2x3+3x2−12x+1f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1. a) Rask funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus bei ekstremumus. b) Rask didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes atkarpoje [0;2][0; 2]. Užrašyk visą sprendimą.

xy−212(−2; 21)(0; 1)(1; −6)(2; 5)
Ryškiau pažymėta atkarpa [0;2][0; 2]. Joje vienintelis kritinis taškas x=1x = 1 yra minimumo taškas, todėl didžiausia reikšmė gaunama atkarpos gale: f(2)=5f(2) = 5.
  1. Išvestinė. f′(x)=6x2+6x−12=6(x2+x−2)=6(x+2)(x−1)f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x + 2)(x - 1).
  2. Kritiniai taškai. f′(x)=0f'(x) = 0, kai x=−2x = -2 arba x=1x = 1. Kitų kritinių taškų nėra, nes išvestinė apibrėžta su visomis xx reikšmėmis.
  3. Išvestinės ženklai. Reiškinys 6(x+2)(x−1)6(x + 2)(x - 1) teigiamas, kai x<−2x < -2 ir kai x>1x > 1, o neigiamas, kai −2<x<1-2 < x < 1. Todėl funkcija didėja intervaluose (−∞;−2](-\infty; -2] ir [1;+∞)[1; +\infty), o mažėja intervale [−2;1][-2; 1].
  4. Ekstremumai. Ties x=−2x = -2 išvestinės ženklas keičiasi iš pliuso į minusą, todėl tai maksimumo taškas: f(−2)=−16+12+24+1=21f(-2) = -16 + 12 + 24 + 1 = 21. Ties x=1x = 1 ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, todėl tai minimumo taškas: f(1)=2+3−12+1=−6f(1) = 2 + 3 - 12 + 1 = -6.
  5. Reikšmės atkarpoje. Kritinis taškas x=−2x = -2 atkarpai [0;2][0; 2] nepriklauso, todėl jo neimame. Palyginame reikšmes kritiniame taške x=1x = 1 ir atkarpos galuose: f(0)=1f(0) = 1, f(1)=−6f(1) = -6, f(2)=16+12−24+1=5f(2) = 16 + 12 - 24 + 1 = 5.
  6. Išvada. Didžiausia reikšmė 5 (kai x=2x = 2), mažiausia −6-6 (kai x=1x = 1). Ko saugotis: maksimumas 21 nėra atsakymas, nes jo taškas yra už atkarpos ribų. Kritinius taškus už atkarpos atmesk, o reikšmes atkarpos galuose skaičiuok visada.

Atsakymas: a) funkcija didėja intervaluose (−∞;−2](-\infty; -2] ir [1;+∞)[1; +\infty), mažėja intervale [−2;1][-2; 1]; maksimumas f(−2)=21f(-2) = 21, minimumas f(1)=−6f(1) = -6; b) didžiausia reikšmė 55, mažiausia −6-6.

A kursas: figūros, kurią riboja parabolė ir tiesė, plotas

A kursas. Apskaičiuok plotą figūros, kurią riboja parabolė y=x2y = x^2 ir tiesė y=2x+3y = 2x + 3.

xy0−13y = x²y = 2x + 3
Figūrą iš viršaus riboja tiesė y=2x+3y = 2x + 3, iš apačios – parabolė y=x2y = x^2.
  1. Susikirtimo taškai. Prilyginame funkcijas: x2=2x+3x^2 = 2x + 3, t. y. x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0, iš čia x1=−1, x2=3x_1 = -1,\ x_2 = 3. Tai ir yra integravimo rėžiai.
  2. Kuri kreivė viršuje. Paimame bet kurį tašką tarp rėžių, pavyzdžiui, x=0x = 0: tiesės reikšmė 33, parabolės 00. Vadinasi, visame intervale (−1;3)(-1; 3) tiesė yra virš parabolės.
  3. Plotas lygus viršutinės ir apatinės funkcijų skirtumo integralui: S=∫−13(2x+3−x2) dxS = \int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2)\,\mathrm{d}x.
  4. Pirmykštė funkcija: F(x)=x2+3x−x33F(x) = x^2 + 3x - \frac{x^3}{3}. Tada F(3)=9+9−9=9F(3) = 9 + 9 - 9 = 9, F(−1)=1−3+13=−53F(-1) = 1 - 3 + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}.
  5. Pagal Niutono ir Leibnico formulę S=F(3)−F(−1)=9+53=323≈10,67S = F(3) - F(-1) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67.
  6. Ko saugotis. Jei atimsi atvirkščiai, ∫−13(x2−2x−3) dx\int_{-1}^{3} (x^2 - 2x - 3)\,\mathrm{d}x, gausi −323-\frac{32}{3}, o plotas negali būti neigiamas. Neigiamas rezultatas reiškia, kad sukeitei viršutinę ir apatinę kreives.

Atsakymas: S=323≈10,67S = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 kvadratinio vieneto.

Laipsniai, šaknys ir logaritmai: VBE užduotys 11 klasei

Laipsniai su racionaliuoju rodikliu, n-tojo laipsnio šaknys, iracionalumo naikinimas vardiklyje ir logaritmų savybės. Šios taisyklės naudojamos ir sprendžiant rodiklines bei logaritmines lygtis, todėl jas verta įtvirtinti pirmiausia.

Laipsnių, šaknų ir logaritmų savybės yra 2026 m. B kurso formulių rinkinyje, o perėjimo prie kito logaritmo pagrindo formulė – A kurso rinkinyje. Teoriją su pavyzdžiais rasi puslapiuose laipsnių savybės, šaknys ir logaritmai.

Lengvesni

1. Apskaičiuok (116)−34:3225\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} : 32^{\frac{2}{5}}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 2.

2. Kuris skaičius lygus reiškinio log⁡256−log⁡27+log⁡55\log_2 56 - \log_2 7 + \log_5 \sqrt{5} reikšmei? A) 33; B) 3,53{,}5; C) 44; D) 8,58{,}5.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B (3,5).

Vidutiniai

3. Panaikink iracionalumą trupmenos 83−5\frac{8}{3 - \sqrt{5}} vardiklyje. Rezultatą užrašyk pavidalu a+b5a + b\sqrt{5}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 6+256 + 2\sqrt{5}.

Skaitiklį ir vardiklį dauginame iš 3+53 + \sqrt{5}; vardiklyje lieka kvadratų skirtumas: 8(3+5)9−5=6+25\frac{8(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = 6 + 2\sqrt{5}.

Sunkesni

4. A kursas. Žinoma, kad log⁡23=a\log_2 3 = a. Išreikšk log⁡1218\log_{12} 18 per aa.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1+2a2+a\frac{1 + 2a}{2 + a}.

Pereiname prie pagrindo 2 ir išskaidome 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2, 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3: log⁡1218=log⁡218log⁡212=1+2log⁡232+log⁡23=1+2a2+a\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{1 + 2\log_2 3}{2 + \log_2 3} = \frac{1 + 2a}{2 + a}.

Lygtys ir nelygybės: rodiklinės, logaritminės, iracionaliosios

Rodiklinės ir iracionaliosios lygtys, lygčių sistema, logaritminės nelygybės ir intervalų metodu sprendžiamos racionaliosios nelygybės. Logaritminių lygčių pavyzdys – pirmasis išspręstas uždavinys. Po pertvarkymo ne viena tokia lygtis virsta kvadratine, todėl pravers kvadratinių lygčių sprendimas. Kai vardiklyje yra nežinomasis, pakartok puslapį racionaliosios lygtys.

Kiekvieną lygtį, kurią sprendžiant kėlei kvadratu ar atsisakei logaritmo, užbaik patikrinimu. Pertvarkyta lygtis gali turėti sprendinių, kurių pradinė lygtis neturi.

Lengvesni

5. Išspręsk lygtį 4x+1=82x−34^{x+1} = 8^{2x-3}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: x=2,75x = 2{,}75.

Vidutiniai

6. Išspręsk lygtį 2x2−5x+6−3=0\sqrt{2x^2 - 5x + 6} - 3 = 0.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: x1=−12, x2=3x_1 = -\frac{1}{2},\ x_2 = 3.

Paliekame šaknį vieną ir keliame kvadratu: 2x2−5x+6=92x^2 - 5x + 6 = 9, t. y. 2x2−5x−3=02x^2 - 5x - 3 = 0. Diskriminantas D=25+24=49D = 25 + 24 = 49, todėl x=5±74x = \frac{5 \pm 7}{4}: x1=−12, x2=3x_1 = -\frac{1}{2},\ x_2 = 3. Patikrinimas: abiem atvejais pošaknis lygus 9, todėl tinka abu sprendiniai.

7. Stačiakampio formos sporto aikštelės perimetras lygus 46 m, o įstrižainė – 17 m. Sudaryk lygčių sistemą ir rask aikštelės kraštinių ilgius.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 15 m ir 8 m.

Tarkime, kraštinės lygios xx ir yy metrų. Pusė perimetro lygi 46:2=2346 : 2 = 23, o pagal Pitagoro teoremą x2+y2=172x^2 + y^2 = 17^2. Gauname sistemą x+y=23, x2+y2=289x + y = 23,\ x^2 + y^2 = 289. Įstatę y=23−xy = 23 - x, gauname x2+(23−x)2=289x^2 + (23 - x)^2 = 289, t. y. 2x2−46x+240=02x^2 - 46x + 240 = 0, arba x2−23x+120=0x^2 - 23x + 120 = 0. Sprendiniai 88 ir 1515, todėl kraštinės lygios 8 m ir 15 m.

8. Kiek sveikųjų skaičių tenkina nelygybę log⁡2(3x−2)<4\log_2(3x - 2) < 4?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 5 (skaičiai 1, 2, 3, 4 ir 5).

Logaritmas apibrėžtas, kai 3x−2>03x - 2 > 0. Kadangi 4=log⁡2164 = \log_2 16, o pagrindas 2 didesnis už 1, ženklas nesikeičia: 0<3x−2<160 < 3x - 2 < 16, t. y. 23<x<6\frac{2}{3} < x < 6. Šiame intervale yra 55 sveikieji skaičiai: nuo 11 iki 55.

9. Išspręsk nelygybę 2x−6x+1≤1\frac{2x - 6}{x + 1} \le 1.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: x∈(−1;7]x \in (-1; 7].

Dauginti iš x+1x + 1 negalima, nes šio reiškinio ženklas nežinomas. Perkeliame 1 į kairę ir sutraukiame: 2x−6−(x+1)x+1≤0\frac{2x - 6 - (x + 1)}{x + 1} \le 0, t. y. x−7x+1≤0\frac{x - 7}{x + 1} \le 0. Intervalų metodu trupmena neteigiama (neigiama arba lygi nuliui), kai −1<x≤7-1 < x \le 7. Taškas x=−1x = -1 neįeina, nes ten trupmena neapibrėžta.

Progresijos ir trigonometrija: VBE užduotys

Aritmetinė ir geometrinė progresijos, sinuso ir kosinuso reikšmės vienetiniame apskritime. Bendrajame kurse kampai matuojami laipsniais, todėl ir šių užduočių kampai pateikti laipsniais. Paskutinė užduotis – jau 12 klasės (IV gimnazijos klasės) bendrojo kurso tema. Joje lygtis sprendžiama pagal sprendinių formulę, o iš sprendinių atrenkami tie, kurie yra nurodytame intervale.

Progresijų formulės, sinuso ir kosinuso reikšmių lentelė nuo 0∘0^\circ iki 90∘90^\circ ir lygčių sin⁡x=a\sin x = a, cos⁡x=a\cos x = a sprendinių formulės yra 2026 m. B kurso formulių rinkinyje. Kitų kampų reikšmes gauni per vienetinį apskritimą. Daugiau rasi puslapiuose progresijos ir trigonometrija.

Lengvesni

10. Kuris skaičius lygus sin⁡240∘+cos⁡(−300∘)\sin 240^\circ + \cos(-300^\circ)? A) 1−32\frac{1 - \sqrt{3}}{2}; B) 3−12\frac{\sqrt{3} - 1}{2}; C) −1+32-\frac{1 + \sqrt{3}}{2}; D) 1+32\frac{1 + \sqrt{3}}{2}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A.

Vidutiniai

11. Aritmetinės progresijos pirmųjų nn narių suma apskaičiuojama pagal formulę Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n. Rask pirmąjį narį a1a_1, skirtumą dd ir dešimtąjį narį a10a_{10}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a1=5, d=4, a10=41a_1 = 5,\ d = 4,\ a_{10} = 41.

a1=S1=5a_1 = S_1 = 5, o a2=S2−S1=14−5=9a_2 = S_2 - S_1 = 14 - 5 = 9, todėl d=4d = 4 ir a10=a1+9d=41a_{10} = a_1 + 9d = 41.

12. Bėgimo treniruočių plane pirmąją savaitę numatyta nubėgti 12 km, o kiekvieną kitą savaitę – 10 % daugiau nei ankstesnę. Kiek kilometrų numatyta nubėgti penktąją savaitę ir kiek iš viso per penkias savaites? Atsakymus suapvalink dešimtųjų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: penktąją savaitę apie 17,6 km, per penkias savaites apie 73,3 km.

Kas savaitę atstumas dauginamas iš 1,1, todėl tai geometrinė progresija, kurios b1=12, q=1,1b_1 = 12,\ q = 1{,}1. Tada b5=12⋅1,14≈17,6b_5 = 12 \cdot 1{,}1^4 \approx 17{,}6 (km), o S5=12(1,15−1)1,1−1≈73,3S_5 = \frac{12(1{,}1^5 - 1)}{1{,}1 - 1} \approx 73{,}3 (km).

Sunkesni

13. Išspręsk lygtį 2cos⁡x=−1\sqrt{2}\cos x = -1 ir užrašyk visus jos sprendinius, priklausančius intervalui [−180∘;360∘][-180^\circ; 360^\circ].

Rodyti atsakymą

Atsakymas: −135°, 135° ir 225°.

Padaliję iš 2\sqrt{2}, gauname cos⁡x=−12=−22\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, todėl x=±135∘+360∘k, k∈Zx = \pm 135^\circ + 360^\circ k,\ k \in \mathbb{Z}. Intervalui priklauso ±135∘\pm 135^\circ (kai k=0k = 0) ir −135∘+360∘=225∘-135^\circ + 360^\circ = 225^\circ (kai k=1k = 1).

Išvestinės: skaičiavimas, liestinė ir optimizavimas

Išvestinių skaičiavimas, liestinės lygtis ir optimizavimo uždavinys, kuriame reikia užrašyti visą sprendimą. Funkcijos tyrimas ir didžiausia reikšmė atkarpoje išsamiai parodyti antrajame išspręstame uždavinyje.

Liestinės lygtis yra abiejų kursų 2026 m. formulių rinkiniuose. Laipsninės funkcijos išvestinė ir sumos taisyklė yra B kurso rinkinyje, o sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės – A kurso rinkinyje. Taisykles su pavyzdžiais rasi išvestinių puslapyje.

Lengvesni

14. Duota funkcija f(x)=2x3−4xf(x) = 2x^3 - \frac{4}{x}. Apskaičiuok f′(2)f'(2).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 25.

Vidutiniai

15. Parašyk funkcijos f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1 grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė (xx koordinatė) x0=3x_0 = 3. Kuriame taške ši liestinė kerta ašį OxOx?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: y=2x−8y = 2x - 8; ašį OxOx liestinė kerta taške (4; 0).

f(3)=9−12+1=−2, f′(x)=2x−4, f′(3)=2f(3) = 9 - 12 + 1 = -2,\ f'(x) = 2x - 4,\ f'(3) = 2. Įrašome į liestinės lygtį y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0): y=2(x−3)−2=2x−8y = 2(x - 3) - 2 = 2x - 8. Ji kerta ašį OxOx, kai 2x−8=02x - 8 = 0, t. y. x=4x = 4.

Sunkesni

16. Vilkikas turi nuvažiuoti 300 km pastoviu greičiu vv km/h. Kiekviena kelionės valanda kainuoja 0,01v2+640{,}01v^2 + 64 eurų: tai degalai, vairuotojo darbo užmokestis ir kitos išlaidos. Greitis turi būti ne mažesnis kaip 40 km/h ir ne didesnis kaip 90 km/h. Kokiu greičiu turi važiuoti vilkikas, kad visos kelionės išlaidos būtų mažiausios? Kokios tos išlaidos? Užrašyk visą sprendimą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 80 km/h; išlaidos 480 eurų.

Kelionė trunka 300v\frac{300}{v} h, todėl visos išlaidos K(v)=300v(0,01v2+64)=3v+19 200vK(v) = \frac{300}{v}(0{,}01v^2 + 64) = 3v + \frac{19\,200}{v} eurų. Išvestinė K′(v)=3−19 200v2K'(v) = 3 - \frac{19\,200}{v^2} lygi nuliui, kai v2=6400v^2 = 6400, t. y. v=80v = 80, ir čia keičia ženklą iš minuso į pliusą. Palyginę su atkarpos galais, K(40)=600, K(80)=480, K(90)≈483,3K(40) = 600,\ K(80) = 480,\ K(90) \approx 483{,}3, gauname mažiausias išlaidas – 480 eurų.

Integralai ir sukinio tūris: A kurso užduotys

Integralų bendrajame kurse nėra, todėl abi šio skyriaus užduotys skirtos tik A kursui. Pirmykščių funkcijų lentelė ir sukinio tūrio formulė yra 2026 m. A kurso formulių rinkinyje. Daugiau pavyzdžių, tarp jų ir plotų, rasi integralų puslapyje.

Lengvesni

17. A kursas. Apskaičiuok ∫14(3x−2x2)dx\int_1^4 \left(3\sqrt{x} - \frac{2}{x^2}\right)\mathrm{d}x.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 12,5.

Vidutiniai

18. A kursas. Figūrą riboja kreivė y=xy = \sqrt{x}, ašis OxOx ir tiesė x=4x = 4. Apskaičiuok sukinio, gauto šią figūrą apsukus apie ašį OxOx, tūrį. Atsakymą užrašyk tiksliai ir suapvalink dešimtųjų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: V=8π≈25,1V = 8\pi \approx 25{,}1 kubinio vieneto.

Kreivė ašį OxOx pasiekia, kai x=0x = 0, todėl V=π∫04(x)2dx=π∫04x dx=π⋅422=8π≈25,1V = \pi\int_0^4 \left(\sqrt{x}\right)^2 \mathrm{d}x = \pi\int_0^4 x\,\mathrm{d}x = \pi \cdot \frac{4^2}{2} = 8\pi \approx 25{,}1.

  • Integralai Pirmykštė funkcija, plotas ir sukinio tūris.

Stereometrija: kūgis, piramidė ir ritinys

Kūnų tūriai ir paviršiaus plotai, kampas tarp tiesės ir plokštumos, ašinis pjūvis. Ritinio, kūgio ir rutulio formulės bei piramidės tūrio formulė yra 2026 m. B kurso formulių rinkinyje, o Pitagoro teoremos jame nėra: ją reikia mokėti mintinai.

Brėžinių prie šių užduočių nėra. Kiekvieną kūną nusibraižyk pats ir jame pažymėk statųjį trikampį, kuriame skaičiuosi: aukštinę, spindulį, briauną ar įstrižainę.

Lengvesni

19. Kūgio pagrindo spindulys 7 cm, o sudaromoji 25 cm. Apskaičiuok kūgio tūrį ir šoninio paviršiaus plotą. Atsakymus užrašyk su π\pi.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: tūris 392π392\pi cm³, šoninio paviršiaus plotas 175π175\pi cm².

Vidutiniai

20. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė 8 cm, o šoninė briauna 9 cm. Apskaičiuok piramidės aukštinę, tūrį ir kampą tarp šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos. Tūrį ir kampą suapvalink dešimtųjų tikslumu.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: aukštinė 7 cm, tūris apie 149,3 cm³, kampas apie 51,1°.

Aukštinė eina į pagrindo kvadrato centrą, todėl šoninė briauna, aukštinė ir pusė įstrižainės (424\sqrt{2} cm) sudaro statųjį trikampį: H=81−32=7H = \sqrt{81 - 32} = 7 (cm), V=13⋅82⋅7=4483≈149,3V = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 7 = \frac{448}{3} \approx 149{,}3 (cm³). Briaunos projekcija pagrindo plokštumoje yra ta pusė įstrižainės, todėl cos⁡φ=429, φ≈51,1∘\cos\varphi = \frac{4\sqrt{2}}{9},\ \varphi \approx 51{,}1^\circ.

Sunkesni

21. Ritinio ašinio pjūvio įstrižainė lygi 20 cm ir su pagrindo plokštuma sudaro 60∘60^\circ kampą. Apskaičiuok ritinio tūrį. Atsakymą užrašyk tiksliai ir suapvalink iki sveikųjų kubinių centimetrų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: V=2503π≈1360V = 250\sqrt{3}\pi \approx 1360 cm³.

Ašinis pjūvis – stačiakampis, gautas perpjovus ritinį per jo ašį. Jo kraštinės – pagrindo skersmuo 2R2R ir aukštinė HH. Skersmuo yra įstrižainės projekcija į pagrindo plokštumą, todėl 2R=20cos⁡60∘=102R = 20\cos 60^\circ = 10 cm, R=5R = 5 cm, H=20sin⁡60∘=103H = 20\sin 60^\circ = 10\sqrt{3} cm. Tūris V=πR2H=π⋅25⋅103=2503π≈1360V = \pi R^2 H = \pi \cdot 25 \cdot 10\sqrt{3} = 250\sqrt{3}\pi \approx 1360 (cm³).

Tikimybės: medžiai, „ir“ ir „arba“, Bernulio bandymai

Bendrajame kurse – klasikinė tikimybė, ėmimas su grąžinimu ir be jo, nepriklausomi įvykiai, jungtukai „ir“ bei „arba“. A kurse dar – Bernulio bandymai ir atsitiktinio dydžio skirstinys. Jų formulės yra 2026 m. A kurso formulių rinkinyje, o bendrojo kurso rinkinyje tikimybių formulių nėra.

Kai užduotyje yra keli ėmimai ar keli bandymai, nusibraižyk tikimybių medį: kiekviena šaka parodo vieną galimybę ir jos tikimybę. Teoriją rasi tikimybių puslapyje.

Lengvesni

22. Iš skaičių 1,2,3,…,301, 2, 3, \ldots, 30 atsitiktinai pasirenkamas vienas. Kiekvienam įvykiui A–C parink jo tikimybę iš 1–4 (viena tikimybė liks nepanaudota). Įvykiai: A) skaičius dalijasi iš 4; B) skaičius dalijasi ir iš 4, ir iš 6; C) skaičius dalijasi iš 4 arba iš 6. Tikimybės: 1) 115\frac{1}{15}; 2) 730\frac{7}{30}; 3) 13\frac{1}{3}; 4) 25\frac{2}{5}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A–2, B–1, C–3.

Vidutiniai

23. Krepšelyje yra 5 žali ir 3 geltoni teniso kamuoliukai. Treneris atsitiktinai paima vieną kamuoliuką, jo negrąžina ir paima dar vieną. Kokia tikimybė, kad bent vienas iš paimtų kamuoliukų geltonas? Kokia būtų ši tikimybė, jei pirmasis kamuoliukas prieš imant antrąjį būtų grąžintas į krepšelį?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: be grąžinimo 914\frac{9}{14}, su grąžinimu 3964\frac{39}{64}.

Skaičiuojame priešingą įvykį – abu kamuoliukai žali. Be grąžinimo 58⋅47=514\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{14}, todėl ieškoma tikimybė 1−514=9141 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}. Su grąžinimu 58⋅58=2564\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}, todėl 1−2564=39641 - \frac{25}{64} = \frac{39}{64}.

Sunkesni

24. A kursas. Elektroninio pašto filtras kiekvieną šlamšto laišką atpažįsta su tikimybe 0,9, nepriklausomai nuo kitų laiškų. Gauti 4 šlamšto laiškai. Kokia tikimybė, kad filtras atpažins lygiai 3 iš jų? Kokia tikimybė, kad jis atpažins bent 3? Atsakymus užrašyk tiksliai dešimtainėmis trupmenomis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: lygiai 3 – 0,2916; bent 3 – 0,9477.

Tai Bernulio bandymai, kai n=4, p=0,9n = 4,\ p = 0{,}9. Lygiai 3: C43⋅0,93⋅0,1=4⋅0,729⋅0,1=0,2916C_4^3 \cdot 0{,}9^3 \cdot 0{,}1 = 4 \cdot 0{,}729 \cdot 0{,}1 = 0{,}2916; visi 4: 0,94=0,65610{,}9^4 = 0{,}6561. „Bent 3“ reiškia 3 arba 4: 0,2916+0,6561=0,94770{,}2916 + 0{,}6561 = 0{,}9477.

25. A kursas. Atsitiktinis dydis XX įgyja reikšmę −1-1 su tikimybe 0,20{,}2, reikšmę 00 – su tikimybe 0,30{,}3, reikšmę 22 – su tikimybe pp, o reikšmę 55 – su tikimybe 0,10{,}1. Rask pp, matematinę viltį EX\mathbf{E}X ir dispersiją DX\mathbf{D}X.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: p=0,4, EX=1,1, DX=3,09p = 0{,}4,\ \mathbf{E}X = 1{,}1,\ \mathbf{D}X = 3{,}09.

Visų tikimybių suma lygi 1, todėl p=1−0,2−0,3−0,1=0,4p = 1 - 0{,}2 - 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}4. EX=−1⋅0,2+0⋅0,3+2⋅0,4+5⋅0,1=1,1\mathbf{E}X = -1 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}1 = 1{,}1. Dispersijai iš kiekvienos reikšmės atimame EX=1,1\mathbf{E}X = 1{,}1, skirtumą keliame kvadratu, dauginame iš tos reikšmės tikimybės ir viską sudedame: DX=(−2,1)2⋅0,2+(−1,1)2⋅0,3+0,92⋅0,4+3,92⋅0,1=3,09\mathbf{D}X = (-2{,}1)^2 \cdot 0{,}2 + (-1{,}1)^2 \cdot 0{,}3 + 0{,}9^2 \cdot 0{,}4 + 3{,}9^2 \cdot 0{,}1 = 3{,}09.

Klaidos, kurios VBE užduotyse kainuoja atsakymą

Šias klaidas verta pasitikrinti kiekvieno sprendimo pabaigoje. Pirmoji, antroji ir paskutinė išsamiai parodytos išspręstuose pavyzdžiuose.

  • Neatlikta sprendinių atranka. Logaritminėje, iracionaliojoje ir trupmeninėje lygtyje kai kurie pertvarkytos lygties sprendiniai pradinei lygčiai netinka. Apibrėžimo sritį užrašyk pradžioje ir atsakymą su ja palygink pabaigoje.
  • Ekstremumas supainiotas su didžiausia ar mažiausia reikšme. Ieškodamas didžiausios reikšmės atkarpoje, visada apskaičiuok ir funkcijos reikšmes atkarpos galuose.
  • Nelygybė padauginta iš reiškinio su nežinomuoju. Jei nežinai reiškinio ženklo, perkelk visus narius į vieną pusę ir taikyk intervalų metodą. Logaritminėje nelygybėje, kai pagrindas mažesnis už 1, ženklas keičiasi.
  • Skaičiuotuvas nustatytas ne tiems kampo vienetams. Bendrajame kurse kampai matuojami laipsniais, o A kurse – ir radianais. Prieš skaičiuodamas sinusą ar arkkosinusą, pažiūrėk, koks režimas įjungtas.
  • „Arba“ tikimybė apskaičiuota sudedant, nors įvykiai turi bendrų baigčių. Bendrų baigčių tikimybę atimk vieną kartą arba skaičiuok per priešingą įvykį.
  • Plotas tarp kreivių apskaičiuotas iš apatinės funkcijos atimant viršutinę. Gavęs neigiamą plotą, patikrink, kuri kreivė yra viršuje.

VBE temos: kur pakartoti teoriją

Jei kurio nors skyriaus užduotys nepavyko, grįžk prie temos puslapio: jame yra formulės, paaiškinimai ir išspręsti pavyzdžiai. Žemiau – 11 ir 12 klasės temų puslapiai ir puslapiai apie patį egzaminą.

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar čia yra 2026 metų matematikos VBE užduotys?

Ne. Visos 25 užduotys ir trys išspręsti pavyzdžiai sudaryti specialiai šiam puslapiui. Oficialių ankstesnių metų egzamino užduočių čia nėra, ir jos neperpasakojamos. Užduotys parinktos pagal 11 ir 12 klasės temas, kurių mokomasi bendruoju ir išplėstiniu kursu. Egzamino tvarka su šaltiniais aprašyta matematikos VBE puslapyje.

Kodėl VBE užduotis verta spręsti pagal temas, o ne iš karto pilnais variantais?

Pilnas variantas parodo bendrą vaizdą, bet ne tai, kodėl suklydai. Sprendžiant pagal temas, klaidos susikaupia vienoje vietoje, ir iš karto matyti, ką pakartoti: logaritmų savybes, išvestinės taisykles ar tikimybių medį. Kai temos įtvirtintos, verta spręsti ir mišrius rinkinius su laikmačiu. Tada reikia pačiam atpažinti, kurios temos žinių užduotis reikalauja.

Kurias užduotis spręsti, jei mokaisi bendruoju kursu?

Spręsk visas užduotis, kurios nepažymėtos žodžiais „A kursas“: jos parinktos pagal bendrojo kurso temas. Pažymėtose užduotyse naudojamos temos, kurių bendrajame kurse nėra, pavyzdžiui, integralai, Bernulio formulė ar perėjimas prie kito logaritmo pagrindo. Visas integralų skyrius skirtas tik išplėstiniam kursui. Kuo kursai skiriasi plačiau, aprašyta puslapyje apie A ir B kursus.

Kaip naudotis atsakymais, kad iš jų išmoktum?

Atsakymą atsiversk tik tada, kai užrašei savąjį. Jei jie sutampa, vis tiek palygink sprendimo kelią, kai jis pateiktas: gal yra trumpesnis būdas. Jei nesutampa, sunkesnėje užduotyje eik per pateiktą sprendimą žingsnis po žingsnio ir rask pirmą vietą, kurioje tavo sprendimas nukrypo. Lengvesnės užduotys turi tik atsakymą, todėl suklydęs pakartok taisyklę temos puslapyje. Užsirašyk, kokia tai buvo klaida, ir po kelių dienų tą pačią užduotį išspręsk iš naujo, į sprendimą nežiūrėdamas.

Visi atsakymai

  1. 2.
  2. B (3,5).
  3. 6+256 + 2\sqrt{5}.
  4. 1+2a2+a\frac{1 + 2a}{2 + a}.
  5. x=2,75x = 2{,}75.
  6. x1=−12, x2=3x_1 = -\frac{1}{2},\ x_2 = 3.
  7. 15 m ir 8 m.
  8. 5 (skaičiai 1, 2, 3, 4 ir 5).
  9. x∈(−1;7]x \in (-1; 7].
  10. A.
  11. a1=5, d=4, a10=41a_1 = 5,\ d = 4,\ a_{10} = 41.
  12. penktąją savaitę apie 17,6 km, per penkias savaites apie 73,3 km.
  13. −135°, 135° ir 225°.
  14. 25.
  15. y=2x−8y = 2x - 8; ašį OxOx liestinė kerta taške (4; 0).
  16. 80 km/h; išlaidos 480 eurų.
  17. 12,5.
  18. V=8π≈25,1V = 8\pi \approx 25{,}1 kubinio vieneto.
  19. tūris 392π392\pi cm³, šoninio paviršiaus plotas 175π175\pi cm².
  20. aukštinė 7 cm, tūris apie 149,3 cm³, kampas apie 51,1°.
  21. V=2503π≈1360V = 250\sqrt{3}\pi \approx 1360 cm³.
  22. A–2, B–1, C–3.
  23. be grąžinimo 914\frac{9}{14}, su grąžinimu 3964\frac{39}{64}.
  24. lygiai 3 – 0,2916; bent 3 – 0,9477.
  25. p=0,4, EX=1,1, DX=3,09p = 0{,}4,\ \mathbf{E}X = 1{,}1,\ \mathbf{D}X = 3{,}09.

Taip pat: VBE 1 dalis · VBE 2 dalis · VBE formulių rinkiniai · Matematikos VBE · Matematikos A ir B kursas

Šaltiniai

  1. emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE pirmos dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.
  2. ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
  3. NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; 12–15 p., 1 priedas; tikrinta 2026-10-09.
  4. NŠA naujiena „Atnaujinti valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui“; tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta:

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt