Aritmetinė ir geometrinė progresija: formulės ir uždaviniai

Skaičių seka: narys, numeris ir taisyklė

Skaičių seka – tai skaičiai, surašyti tam tikra tvarka: pirmas, antras, trečias ir t. t. Kiekvienas sekos skaičius vadinamas jos nariu. Narį žymime raide su indeksu – mažu skaičiumi apačioje: $a_1$ – pirmasis narys, $a_2$ – antrasis, $a_n$ – $n$-tasis. Indeksas $n$ yra nario numeris, todėl jis visada natūralusis skaičius: nulinio ar pusantrojo nario nebūna.

Seka gali būti baigtinė, pavyzdžiui, visi dviženkliai skaičiai nuo 10 iki 99 (90 narių), arba begalinė, pavyzdžiui, visi lyginiai natūralieji skaičiai 2, 4, 6, 8, … Daugtaškis reiškia, kad seka tęsiasi be galo tuo pačiu dėsniu. Seka yra funkcija, kurios argumentas – nario numeris $n$, o reikšmė – narys $a_n$.

Seką galima nusakyti dviem pagrindiniais būdais. Pirmasis – $n$-tojo nario formulė: ji leidžia iš karto apskaičiuoti bet kurį narį. Jei $a_n = n^2 + 1$, tai $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 10$, o $a_{20} = 401$. Antrasis – rekurentinis būdas: nurodomas pirmasis narys ir taisyklė, kaip iš ankstesnio nario gauti kitą. Jei $c_1 = 2$ ir $c_{n+1} = 2c_n + 3$, tai $c_2 = 7$, $c_3 = 17$, $c_4 = 37$. Norint rasti $c_{20}$ rekurentiniu būdu, tektų iš eilės apskaičiuoti visus narius nuo $c_2$ iki $c_{19}$. Todėl progresijoms ir išvedamos $n$-tojo nario formulės.

Keli pirmieji nariai sekos dar nenusako. Po 1, 2, 4 gali eiti 8, jei kaskart dauginama iš 2, arba 7, jei pridedama vis vienetu daugiau: $+1$, $+2$, $+3$. Todėl uždavinyje visada turi būti pasakyta taisyklė arba sekos rūšis. Prieš taikydamas formulę, įsitikink, kad seka tikrai yra progresija.

Aritmetinė ir geometrinė progresija

Aritmetinė progresija – seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus ankstesniajam, prie kurio pridėtas tas pats skaičius $d$. Šis skaičius vadinamas progresijos skirtumu: $d = a_{n+1} - a_n$. Pavyzdžiui, seka 3, 7, 11, 15, … yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas $d = 4$. Jei $d > 0$, progresija didėja, jei $d < 0$ – mažėja, o kai $d = 0$, visi nariai lygūs.

Geometrinė progresija – seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus $q$. Šis skaičius vadinamas progresijos vardikliu: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Pirmasis narys ir vardiklis negali būti lygūs nuliui: kitaip visi nariai nuo antrojo būtų nuliai, o iš nulio dalyti negalima. Pavyzdžiui, 5, 15, 45, 135, … yra geometrinė progresija, kurios $q = 3$. Kai $q < 0$, narių ženklai kaitaliojasi: $4;\ -2;\ 1;\ -0{,}5;\ \ldots$ (čia $q = -\frac{1}{2}$).

Ar seka yra progresija, nustatoma iš gretimų narių. Jei skirtumas $a_{n+1} - a_n$ visada tas pats, seka aritmetinė. Jei dalmuo $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ visada tas pats, seka geometrinė. Tikrink visas duotas gretimų narių poras, ne tik pirmąją. Bet kurie du nenuliniai skaičiai turi ir skirtumą, ir dalmenį, todėl progresiją rodo ne pats skirtumas ar dalmuo, o tai, kad jis nekinta. Kai seka duota $n$-tojo nario formule, skirtumą skaičiuok su raide $n$. Pavyzdžiui, jei $a_n = 3n + 2$, tai $a_{n+1} - a_n = 3(n + 1) + 2 - (3n + 2) = 3$ su bet kuriuo $n$, todėl seka aritmetinė. O kad seka nėra progresija, įrodo jau viena gretimų narių pora, kurios skirtumas ar dalmuo kitoks.

Paveiksle pavaizduoti taškai $(n; a_n)$ ir $(n; b_n)$. Aritmetinės progresijos taškai guli vienoje tiesėje, nes kiekvienas kitas taškas pasislenka aukštyn ar žemyn tiek pat – per $d$. Taigi $a_n$ yra tiesinė numerio $n$ funkcija, o skirtumas $d$ – jos krypties koeficientas. Kai $b_1 > 0$ ir $q > 1$, geometrinės progresijos taškai kyla vis staigiau – kaip rodiklinės funkcijos grafikas. Todėl ir sudėtinių procentų formulė iš procentų temos yra geometrinės progresijos nario formulė.

• Tiesinė funkcija Aritmetinės progresijos narys yra tiesinė numerio funkcija, o skirtumas – jos krypties koeficientas.
• Rodiklinė funkcija Funkcija, kuri, kaip ir geometrinė progresija, per vienodą žingsnį pakinta tiek pat kartų.
• Funkcijos Seka – funkcija, kurios argumentas yra nario numeris.

Aritmetinės ir geometrinės progresijos formulės

Aritmetinės progresijos narius žymime $a_n$, geometrinės – $b_n$, o pirmųjų $n$ narių sumą – $S_n$. Lentelėje pažymėta, kurios formulės yra 2026 m. VBE (valstybinio brandos egzamino) formulių rinkinyje; jos užrašytos taip, kaip ten išspausdintos. Rinkinio I skyriuje (B kursas) ir II skyriuje (A kursas) progresijų formulės tos pačios. Tik begalinės nykstamosios progresijos sumos formulė yra vien II skyriuje. Kur rasti visą rinkinį, paaiškinta puslapyje VBE formulės.

Lape geometrinės progresijos suma užrašyta pavidalu $\frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, o bendrojoje programoje – $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Tai ta pati trupmena: jos skaitiklis ir vardiklis tiesiog padauginti iš $-1$. Kai $q > 1$, patogesnis antrasis pavidalas, nes jame ir skaitiklio, ir vardiklio skirtumai teigiami.

Kodėl progresijų formulės teisingos

Aritmetinės progresijos suma. Sumą užrašome du kartus: nuo pradžios ir nuo galo. Pavyzdžiui, $S = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23$ ir $S = 23 + 19 + 15 + 11 + 7 + 3$. Sudėję abi eilutes stulpeliais, gauname šešis kartus po 26: einant į priekį viršutinis dėmuo padidėja $d$, o apatinis tiek pat sumažėja. Taigi $2S = 6 \cdot 26$ ir $S = 78$. Bendruoju atveju kiekviena pora lygi $a_1 + a_n$, porų yra $n$, todėl $2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$. Įrašę $a_n = a_1 + d(n - 1)$, gauname antrąjį sumos formulės pavidalą.

Geometrinės progresijos suma. Sumą $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$ padauginame iš $q$: $qS_n = b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n}$. Abiejose eilutėse beveik visi dėmenys sutampa, todėl iš pirmosios eilutės atėmę antrąją gauname $S_n - qS_n = b_1 - b_1 q^n$, t. y. $S_n(1 - q) = b_1(1 - q^n)$. Kai $q \neq 1$, padaliję iš $1 - q$, gauname $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$ Kadangi $b_1 q^n = q \cdot b_n$, tą pačią sumą galima užrašyti $\frac{b_1 - q b_n}{1 - q}$. Šis pavidalas patogus, kai žinomas paskutinis narys.

Vidurinio nario savybės. Aritmetinėje progresijoje $a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$, nes abu skirtumai lygūs $d$. Iš čia $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$: kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus kaimynų aritmetiniam vidurkiui. Geometrinėje $\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$, todėl $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$. Galioja ir atvirkščiai: jei trys nenuliniai skaičiai $x$, $y$, $z$ tenkina $y^2 = xz$, jie sudaro geometrinę progresiją. Pavyzdžiui, 4, 10, 25: $10^2 = 4 \cdot 25$, todėl tai geometrinė progresija, kurios $q = 2{,}5$.

Aritmetinė progresija: nariai ir sumos

Pirmajame pavyzdyje žinomi du nariai, bet nežinomi nei pirmasis narys, nei skirtumas, todėl pirmiausia sudarome dviejų lygčių sistemą ir randame $d$. Antrajame sudedama ne nuo pirmojo nario. Tokiame uždavinyje lengva suklysti skaičiuojant narius, todėl tą pačią sumą randame dviem būdais.

• Lygčių sistemos Kaip išspręsti dviejų lygčių sistemą, kai žinomi du progresijos nariai.

Geometrinė progresija: augimas ir sumos

Augimo uždaviniuose svarbiausia teisingai sunumeruoti narius. Jei $b_1$ – dydis pradžioje, tai po vieno periodo turime $b_2$, o po $k$ periodų – $b_{k+1}$. Kai klausiama, nuo kada dydis viršys tam tikrą ribą, gaunama nelygybė su laipsniu. Ją išspręsi perrinkdamas laipsnius arba logaritmuodamas. Antrasis pavyzdys lygina abi progresijas tame pačiame kelių dalių uždavinyje. Jį skaičiuojant patogu naudotis skaičiuotuvu.

• Palūkanos Sudėtinės palūkanos – geometrinė progresija su vardikliu 1 + p/100.
• Laipsniai Laipsnių savybės, kurių reikia geometrinės progresijos nariams.

Begalinė nykstamoji geometrinė progresija (A kursas)

Nykstamąja vadinama geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis mažesnis už vienetą: $\lvert q \rvert < 1$. Jos nariai pagal modulį vis mažėja ir artėja prie nulio. Pavyzdžiui, $40;\ 10;\ 2{,}5;\ 0{,}625;\ \ldots$ (čia $q = \frac{1}{4}$) arba $9;\ -3;\ 1;\ -\frac{1}{3};\ \ldots$ (čia $q = -\frac{1}{3}$).

Kodėl begalinė suma gali būti baigtinis skaičius? Paveiksle kvadratas, kurio plotas lygus 1, dalijamas pusiau, tada likusi dalis vėl pusiau ir t. t. Dalių plotai $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$ sudaro nykstamąją progresiją. Kad ir kiek dalių paimtum, jos niekada neišeina už kvadrato ribų, bet užpildo jį vis tiksliau. Todėl $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 1$.

Formulę gauname iš baigtinės sumos $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kai $\lvert q \rvert < 1$ ir $n$ didėja, $q^n$ artėja prie nulio (pavyzdžiui, $0{,}5^{10} \approx 0{,}001$), todėl $S_n$ artėja prie skaičiaus $$S = \frac{b_1}{1 - q}$$

Kai $\lvert q \rvert \geq 1$, begalinės sumos nėra. Su $q = 2$ nariai pagal modulį vis didėja, todėl suma prie jokio skaičiaus neartėja. Su $q = -1$ nariai $1;\ -1;\ 1;\ -1;\ \ldots$ duoda sumas 1, 0, 1, 0, …, kurios prie jokio skaičiaus neartėja.

Ta pati formulė paaiškina, kodėl $0{,}(9) = 1$: $0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \ldots = \frac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = 1$. Taip bet kurią begalinę periodinę dešimtainę trupmeną galima paversti paprastąja.

Dažnos klaidos su progresijomis

Daug klaidų galima išvengti dar prieš skaičiuojant. Prieš įstatydamas skaičius į formulę, užsirašyk, ką žinai: $a_1$ arba $b_1$, $d$ arba $q$, ir ar ieškai nario su numeriu $n$, ar $n$ narių sumos.

• Rašoma $a_1 + nd$ vietoje $a_1 + (n - 1)d$. Pirmasis narys skirtumo dar „negavo“, todėl dešimtasis narys yra $a_1 + 9d$, o ne $a_1 + 10d$. Geometrinėje progresijoje – tas pats su laipsniu: $b_1 q^{n-1}$, ne $b_1 q^n$.
• Painiojamas skirtumas ir vardiklis. Skirtumas randamas atimant gretimus narius, vardiklis – juos dalijant. Jei atimtis duoda vis tą patį skaičių, progresija aritmetinė; jei dalyba – geometrinė.
• Neteisingai suskaičiuojamas narių skaičius. Nuo $a_5$ iki $a_{12}$ imtinai yra $12 - 5 + 1 = 8$ nariai, o ne 7. Jų sumą gausi kaip $S_{12} - S_4$, ne $S_{12} - S_5$; bendrai nuo $a_k$ iki $a_m$ – $S_m - S_{k-1}$.
• Pamirštama, kad neigiamas vardiklis keičia narių ženklus. Kai $q = -2$ ir $b_1 = 3$, ketvirtasis narys yra $3 \cdot (-2)^3 = -24$, o ne 24. Skaičiuotuve neigiamą vardiklį rašyk skliaustuose: $(-2)^4 = 16$, o $-2^4 = -16$.

Progresijos 11 klasės programoje ir VBE

• Programa. Pagal dabartinę Matematikos bendrąją programą (emokykla.lt) progresijos – 11 (III gimnazijos) klasės tema. Abiejuose kursuose – bendrajame (B) ir išplėstiniame (A) – mokomasi sekų, rekurentinio būdo ir abiejų progresijų $n$-tojo nario bei pirmųjų $n$ narių sumos formulių. A kurse dar mokomasi vidurinio nario savybių ir begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumos.
• VBE dalys (2026 m. tvarka): pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Bendrojoje programoje parašyta: pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Vadinasi, progresijų uždavinių gali būti abiejose egzamino dalyse.
• Formulės (2026 m. tvarka): oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Vidurinio nario savybių ir formulės $a_n = a_k + d(n - k)$ rinkinyje nėra. Formulę išmok mintinai, o A kurse – ir vidurinio nario savybes.
• Priemonės pagal 2026 m. tvarką: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas). Vadinasi, skaičiuotuvu gali naudotis abiejose dalyse. Juo patogu kelti laipsniu, pavyzdžiui, $1{,}12^7$, bet neigiamą vardiklį rašyk skliaustuose.
• Kas gali keistis. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 7 d. paskelbė, kad atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui. Kol nauji aprašai nepatvirtinti, čia aprašyta 2026 m. tvarka.

• Matematikos VBE Egzamino dalys, vertinimas ir pasiruošimas.
• VBE formulės Kas yra A ir B kurso formulių rinkinio skyriuose ir ką mokėti mintinai.
• Matematikos VBE pirmoji dalis Apie pirmąją matematikos VBE dalį.
• A ir B kursas Kuo skiriasi išplėstinis ir bendrasis matematikos kursas.
• NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF) Oficialus dokumentas (2026 m. tvarka).

Progresijų uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti į tris lygius. Pažymėtieji „A kursas“ remiasi nykstamąja geometrine progresija, kiti tinka abiem kursams. Pirma išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni