Lygčių sistemos: keturi sprendimo būdai ir uždaviniai

Lygčių sistemą sudaro kelios lygtys su tais pačiais nežinomaisiais. Jos sprendinys – tokios nežinomųjų reikšmės, kurios tenkina visas lygtis vienu metu. Kai nežinomųjų yra du, sprendinys yra skaičių pora. Pavyzdžiui, pora $(4; 3)$ yra sistemos $x + y = 7$ , $x - y = 1$ sprendinys, nes $4 + 3 = 7$ ir $4 - 3 = 1$ . 8 klasėje tiesinių lygčių sistemos sprendžiamos keturiais būdais: keitimo, sudėties, sulyginimo ir grafiniu. 9 klasėje viena sistemos lygtis jau gali būti antrojo laipsnio, pavyzdžiui, su $x^2$ . 10 klasėje ji gali būti ir trupmeninė racionalioji, su nežinomuoju vardiklyje. 11 klasės išplėstiniame (A) kurse sistemoje atsiranda apskritimo lygtis.

Kas yra lygčių sistema ir jos sprendinys

Lygtis $2x + y = 8$ turi du nežinomuosius. Jos sprendinys yra skaičių pora $(x; y)$ , ir tokių porų yra be galo daug: $(0; 8)$ , $(1; 6)$ , $(3; 2)$ , $(4; 0)$ , $(2{,}5; 3)$ ir t. t. Jei kiekvieną porą pažymėsi koordinačių plokštumoje kaip tašką, visi tie taškai sudarys tiesę.

Prirašykime antrąją lygtį $x - y = 1$ ir sujunkime abi riestiniu skliaustu: $\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}$ Skliaustas reiškia „ir“: ieškome porų, kurios tenkina abi lygtis vienu metu. Iš išvardytų porų antrąją lygtį tenkina tik $(3; 2)$ , nes $3 - 2 = 1$ . Ji ir yra šios sistemos sprendinys.

Sprendinys rašomas skliaustuose: pirmiau $x$ , paskui $y$ . Ar pora tinka, parodo tik patikrinimas abiejose lygtyse. Pora $(4; 0)$ tenkina pirmąją lygtį, bet ne antrąją, todėl sistemos sprendinys ji nėra.

Prieš sprendžiant sistemas verta išmokti išreikšti vieną nežinomąjį kitu. Iš $2x + y = 8$ gauname $y = 8 - 2x$ , o iš $x - y = 1$ gauname $x = y + 1$ . Tai daroma taip pat, kaip sprendžiant tiesinę lygtį su vienu nežinomuoju.

Lygtys Tiesinės lygtys su vienu nežinomuoju: be jų sistemos neišspręsi.
Tiesinė funkcija Tiesė y = kx + b ir jos krypties koeficientas: pagrindas grafiniam būdui.

Lygčių sistemos sprendimo būdai

Keitimo, sudėties ir sulyginimo būdų tikslas tas pats: iš dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais gauti vieną lygtį su vienu nežinomuoju. Keitimo ir sudėties būdai paaiškinti žemiau. Sulyginimo būdas yra keitimo būdo atmaina: jei $y = 3x - 2$ ir $y = x + 4$ , tai $3x - 2 = x + 4$ , iš čia $x = 3$ ir $y = 7$ . Grafinis būdas sistemą paverčia brėžiniu ir parodo, kiek ji turi sprendinių.

Kurį būdą rinktis? Jei kuri nors lygtis jau išreiškia nežinomąjį ( $y = \dots$ arba $x = \dots$ ), patogiausias keitimo būdas. Jei prie to paties nežinomojo stovi lygūs arba priešingi koeficientai, rinkis sudėties būdą. Jei abi lygtys prasideda $y = \dots$ , sulygink. Grafinį būdą naudok sprendiniui įvertinti ir patikrinti: brėžinyje sprendinį nuskaitai tik apytiksliai.

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} x = py + q,\quad ax + by = c \\ \Downarrow \\ a(py + q) + by = c \end{gathered}$	Keitimo būdas: kai viena lygtis jau išreiškia nežinomąjį, įstatyk tą reiškinį į kitą lygtį, būtinai skliaustuose. Pavyzdžiui, iš $x = 2y + 1$ ir $3x + 4y = 23$ gaunama $3(2y + 1) + 4y = 23$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} A = B,\quad C = D \\ \Downarrow \\ A + C = B + D \end{gathered}$	Sudėties būdas: kai prie to paties nežinomojo koeficientai priešingi arba juos tokius gali padaryti, padaugindamas visą lygtį iš skaičiaus, nelygaus nuliui. Pavyzdžiui, sudėjus $x + y = 5$ ir $2x - y = 1$ , gaunama $3x = 6$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} y = f(x),\quad y = g(x) \\ \Downarrow \\ f(x) = g(x) \end{gathered}$	Sulyginimo būdas: kai abi lygtys išreiškia tą patį nežinomąjį, sulygink tas išraiškas.Išmok mintinai
$\begin{gathered} y = k_1x + b_1,\quad y = k_2x + b_2 \\ k_1 \neq k_2 \text{: vienas sprendinys} \\ k_1 = k_2,\ b_1 \neq b_2 \text{: sprendinių nėra} \\ k_1 = k_2,\ b_1 = b_2 \text{: be galo daug} \end{gathered}$	Kai nori sužinoti, kiek sprendinių turi tiesinių lygčių sistema: abiejose lygtyse išreikšk $y$ ir palygink koeficientus. Pavyzdžiui, $y = 3x + 1$ ir $y = -x + 5$ : koeficientai $3$ ir $-1$ skirtingi, todėl sprendinys vienas.Išmok mintinai
$\begin{gathered} x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\ D = b^2 - 4ac \end{gathered}$	9–10 klasės sistemose: įstačius tiesinės lygties išraišką į antrojo laipsnio lygtį, gaunama kvadratinė lygtis $ax^2 + bx + c = 0$ , $a \neq 0$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$	11 klasė, A kursas: apskritimo su centru $(a; b)$ ir spinduliu $r$ lygtis, kurios sprendiniai yra visi apskritimo taškai.Išmok mintinai

Lygčių sistemos keitimo būdu

Keitimo būdas tinka ne tik tiesinių lygčių sistemoms, bet ir 9–11 klasės sistemoms su $x^2$ , todėl jį verta įvaldyti pirmiausia. Jo žingsniai:

Iš lygties, kurioje tai padaryti lengviausia, išreikšk vieną nežinomąjį. Rinkis tą, prie kurio koeficientas yra $1$ arba $-1$ : tada neatsiras trupmenų.
Gautą reiškinį įstatyk į kitą lygtį vietoj to nežinomojo ir apskliausk.
Išspręsk gautą lygtį su vienu nežinomuoju.
Rastą reikšmę įstatyk į išreikštą lygtį ir apskaičiuok antrąjį nežinomąjį.
Patikrink porą abiejose pradinėse lygtyse.

8 klasė: keitimo būdas žingsnis po žingsnio

Išspręsk lygčių sistemą keitimo būdu: $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + 4y = 23 \end{cases}$

Pirmojoje lygtyje prie $x$ stovi koeficientas $1$ , todėl išreiškiame $x$ : $x = 2y + 1$ .
Įstatome į antrąją lygtį vietoj $x$ , skliaustuose: $3(2y + 1) + 4y = 23$ .
Atskliaudžiame ir sprendžiame: $6y + 3 + 4y = 23$ , $10y = 20$ , $y = 2$ .
Grįžtame prie išraiškos: $x = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ .
Patikriname abi lygtis: $5 - 2 \cdot 2 = 1$ ir $3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 23$ . Abi lygybės teisingos.

Atsakymas: $(5; 2)$

Lygčių sistemos sprendimas sudėties būdu

Sudėties būdas remiasi paprasta mintimi: jei $A = B$ ir $C = D$ , tai ir $A + C = B + D$ . Prie lygių dydžių pridėjus lygius dydžius, lygybė išlieka. Jei prie vieno nežinomojo abiejose lygtyse stovi priešingi koeficientai, pavyzdžiui, $5y$ ir $-5y$ , sudėjus lygtis tas nežinomasis išnyksta ir lieka lygtis su vienu nežinomuoju.

Kai koeficientai nėra priešingi, pirmiausia padaugink vieną arba abi lygtis iš tinkamo skaičiaus. Padauginti reikia visus kairiosios pusės dėmenis ir dešiniąją pusę. Padauginta lygtis turi tuos pačius sprendinius, nes daugini iš skaičiaus, nelygaus nuliui. Jei koeficientai lygūs, o ne priešingi, lygtis atimk: tai tas pats, kas vieną lygtį padauginti iš $-1$ ir sudėti.

8 klasė: sudėties būdas, kai dauginamos abi lygtys

Išspręsk lygčių sistemą sudėties būdu: $\begin{cases} 3x + 4y = 2 \\ 5x - 6y = 16 \end{cases}$

Panaikinsime $y$ . Mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš 4, ir iš 6, yra 12. Todėl pirmąją lygtį dauginame iš 3, o antrąją – iš 2 (abi kiekvienos lygties puses): $\begin{cases} 9x + 12y = 6 \\ 10x - 12y = 32 \end{cases}$
Dabar prie $y$ stovi $12$ ir $-12$ . Sudedame lygtis: $19x = 38$ , todėl $x = 2$ .
Įstatome $x = 2$ į pirmąją pradinę lygtį: $6 + 4y = 2$ , $4y = -4$ , $y = -1$ .
Patikriname antrąją lygtį: $5 \cdot 2 - 6 \cdot (-1) = 10 + 6 = 16$ . Tinka.
Dažna klaida: padauginama tik kairioji pusė ir rašoma $9x + 12y = 2$ . Tada sudėjus gautųsi $19x = 34$ ir $x = \frac{34}{19}$ . Su tokiu $x$ gauta pora antrosios lygties netenkintų, todėl patikrinimas klaidą parodo iš karto.

Atsakymas: $(2; -1)$

Lygčių sistemos grafiniu būdu

Kiekviena tiesinė lygtis su dviem nežinomaisiais koordinačių plokštumoje vaizduojama tiese. Sistemos sprendinys yra abiejų tiesių susikirtimo taškas, nes jis priklauso abiem tiesėms. Kad nubrėžtum tiesę, išreikšk $y$ ir rask du jos taškus.

Dvi tiesės gali susikirsti viename taške, būti lygiagrečios arba sutapti. Todėl tiesinių lygčių sistema turi vieną sprendinį, neturi nė vieno arba turi be galo daug. Kurį atvejį turime, galima nustatyti ir be brėžinio: abiejose lygtyse išreikšk $y$ ir palygink skaičius prie $x$ bei laisvuosius narius (skaičius be $x$ ).

Pavyzdžiui, sistemoje $y = 2x + 3$ ir $4x - 2y = 5$ antrąją lygtį pertvarkome: $-2y = 5 - 4x$ , taigi $y = 2x - 2{,}5$ . Koeficientai prie $x$ vienodi (2 ir 2), o laisvieji nariai skirtingi (3 ir $-2{,}5$ ), todėl tiesės lygiagrečios ir sprendinių nėra. Tą patį parodo keitimo būdas: įstačius $y = 2x + 3$ į antrąją lygtį, gaunama $4x - 2(2x + 3) = 5$ , $4x - 4x - 6 = 5$ , taigi $-6 = 5$ . Ši lygybė neteisinga su jokiu $x$ . Jei taip gautum visada teisingą lygybę, pavyzdžiui, $0 = 0$ , sistema turėtų be galo daug sprendinių.

Kairėje tiesės susikerta, viduryje – lygiagrečios, dešinėje – sutampa.

8 klasė: grafinis būdas su patikrinimu

Išspręsk lygčių sistemą grafiniu būdu: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

Abiejose lygtyse išreiškiame $y$ : pirmoji tampa $y = 5 - x$ , antroji $y = 2x - 1$ .
Kiekvienai tiesei randame du taškus. Tiesei $y = 5 - x$ : $(0; 5)$ ir $(5; 0)$ . Tiesei $y = 2x - 1$ : $(0; -1)$ ir $(3; 5)$ .
Nubrėžiame abi tieses toje pačioje koordinačių plokštumoje. Jos susikerta taške $(2; 3)$ .
Brėžinys gali būti netikslus, todėl tašką patikriname: $2 + 3 = 5$ ir $2 \cdot 2 - 3 = 1$ . Abi lygybės teisingos.

Atsakymas: $(2; 3)$

Lygčių sistemos 9 ir 10 klasėje

9 klasėje viena sistemos lygtis yra tiesinė, o kita gali būti antrojo laipsnio, pavyzdžiui, $y = x^2 - 4$ arba $xy = 6$ . Tokios sistemos sprendžiamos keitimo ir grafiniu būdais. Iš tiesinės lygties išreiški vieną nežinomąjį, įstatai į kitą lygtį ir gauni kvadratinę lygtį. Ji gali turėti du sprendinius, vieną arba nė vieno, todėl ir sistema gali turėti dvi skaičių poras, vieną arba nė vienos. Kai antroji lygtis yra $y = ax^2 + bx + c$ , grafiškai ieškai tiesės ir parabolės bendrų taškų.

Kiekvienam rastam $x$ antrąjį nežinomąjį apskaičiuok iš tiesinės lygties. Jei $y$ skaičiuotum iš antrojo laipsnio lygties, kartais gautum dvi $y$ reikšmes, ir viena iš jų sistemos netenkintų.

10 klasėje kita lygtis gali būti ir trupmeninė racionalioji: joje nežinomasis yra vardiklyje. Prieš sprendžiant užrašyk, kokių reikšmių nežinomasis įgyti negali: su jomis vardiklis būtų lygus nuliui. Visos kitos reikšmės sudaro lygties apibrėžimo sritį. Kai lygtį padaugini iš vardiklio, gali atsirasti pašalinis sprendinys – reikšmė, kuri tinka naujai lygčiai, bet ne pradinei. Antrasis pavyzdys žemiau rodo, kaip jį atpažinti. Daugiau apie tai – puslapyje Racionaliosios lygtys.

9 klasė: tiesė ir parabolė, visas sprendimas

Išspręsk lygčių sistemą ir užrašyk visą sprendimą: $\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ x - y = -2 \end{cases}$

Iš tiesinės lygties išreiškiame $y$ : $y = x + 2$ .
Įstatome į pirmąją lygtį: $x + 2 = x^2 - 4$ , t. y. $x^2 - x - 6 = 0$ .
Diskriminantas $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25$ , todėl $x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$ , $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .
Kiekvienam $x$ randame $y$ iš tiesinės lygties $y = x + 2$ : kai $x = -2$ , $y = 0$ ; kai $x = 3$ , $y = 5$ .
Patikriname pirmąją lygtį: $(-2)^2 - 4 = 0$ ir $3^2 - 4 = 5$ . Brėžinyje tai du tiesės ir parabolės susikirtimo taškai.

Atsakymas: Sistema turi du sprendinius: $(-2; 0)$ ir $(3; 5)$ .

10 klasė: kai vienas rastas sprendinys netinka

Išspręsk lygčių sistemą: $\begin{cases} 3x + y = 9 \\ \dfrac{x^2 + y - 7}{x - 2} = 4 \end{cases}$

Apibrėžimo sritis: vardiklis $x - 2 \neq 0$ , todėl $x \neq 2$ .
Iš pirmosios lygties $y = 9 - 3x$ . Įstatome į antrąją: $\frac{x^2 + 9 - 3x - 7}{x - 2} = 4$ , t. y. $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = 4$ .
Padauginame abi puses iš $x - 2$ : $x^2 - 3x + 2 = 4x - 8$ , todėl $x^2 - 7x + 10 = 0$ . Diskriminantas $D = 49 - 40 = 9$ , todėl $x = \frac{7 - 3}{2} = 2$ arba $x = \frac{7 + 3}{2} = 5$ .
Reikšmė $x = 2$ draudžiama, nes su ja vardiklis lygus nuliui. Tai pašalinis sprendinys: jis atsirado, kai dauginome iš $x - 2$ .
Lieka $x = 5$ , tada $y = 9 - 15 = -6$ . Patikriname: $\frac{25 - 6 - 7}{5 - 2} = \frac{12}{3} = 4$ . Tinka.

Atsakymas: Sistema turi vieną sprendinį: $(5; -6)$ .

Lygčių sistemos tekstiniai uždaviniai

Tekstinis uždavinys veda prie lygčių sistemos, kai jame yra du nežinomi dydžiai ir dvi sąlygos, kurios juos sieja. 9 ir 10 klasėje tokie uždaviniai veda ir prie sistemų su $x^2$ ar $xy$ , pavyzdžiui, kai žinomi stačiakampio plotas ir perimetras. Spręsk šiais žingsniais:

Pažymėk nežinomuosius raidėmis ir užrašyk, ką kiekviena raidė reiškia ir kokiais vienetais.
Kiekvieną sąlygą paversk lygtimi. Pavyzdžiui, viena sąlyga gali nusakyti daiktų skaičių, o kita – jų bendrą kainą ar masę.
Išspręsk sistemą patogiausiu būdu.
Patikrink atsakymą pagal uždavinio tekstą, ne pagal savo lygtis: jei lygtį sudarei klaidingai, patikrinimas lygtimis klaidos neparodys.
Atmesk reikšmes, kurios netinka situacijai, pavyzdžiui, neigiamą laiką ar trupmeninį žmonių skaičių, ir atsakyk į tai, ko klausiama.

8 klasė: dvitaškiai ir tritaškiai

Krepšininkė per rungtynes pataikė 11 metimų iš žaidimo (baudos metimų neskaičiuojame) ir jais pelnė 25 taškus. Kiekvienas pataikytas metimas buvo dvitaškis arba tritaškis. Kiek tritaškių ji pataikė?

Tegu $d$ yra pataikytų dvitaškių skaičius, o $t$ yra pataikytų tritaškių skaičius.
Metimų iš viso 11: $d + t = 11$ . Kiekvienas dvitaškis duoda 2 taškus, tritaškis 3 taškus, iš viso 25: $2d + 3t = 25$ .
Keitimo būdu: $d = 11 - t$ , tada $2(11 - t) + 3t = 25$ , $22 + t = 25$ , $t = 3$ . Tada $d = 8$ .
Patikriname pagal tekstą: $8 + 3 = 11$ metimų ir $8 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 16 + 9 = 25$ taškai. Abu skaičiai natūralieji, todėl situacijai tinka.

Atsakymas: 3 tritaškius (ir 8 dvitaškius).

Tekstiniai uždaviniai Kaip sąlygą paversti lygtimi ir patikrinti atsakymą.

Apskritimo lygtis sistemoje (11 klasė, A kursas)

Apskritimo su centru $(a; b)$ ir spinduliu $r$ lygtis yra $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ Apskritimą sudaro visi taškai $(x; y)$ , kurių atstumas iki centro lygus $r$ . Tą atstumą skaičiuojame pagal Pitagoro teoremą, todėl ir gaunama ši lygtis.

Tai lygtis su dviem nežinomaisiais, ir jos sprendinių yra be galo daug: tai visi apskritimo taškai. Pavyzdžiui, lygtį $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ tenkina poros $(7; 1)$ , $(2; 6)$ ir $(5; 5)$ , nes $25 + 0 = 25$ , $0 + 25 = 25$ ir $9 + 16 = 25$ .

Apskritimo ir tiesės sistema sprendžiama keitimo būdu, kaip 9 klasėje: iš tiesės lygties išreiški vieną nežinomąjį ir įstatai į apskritimo lygtį. Gautos kvadratinės lygties diskriminantas parodo, kiek bendrų taškų turi tiesė ir apskritimas. Kai $D > 0$ , jų du (tiesė kerta apskritimą), kai $D = 0$ , vienas (tiesė liečia apskritimą), kai $D < 0$ , nė vieno.

A kurse sprendžiamos ir sistemos su daugiau nei dviem nežinomaisiais. Idėja ta pati: išreiški vieną nežinomąjį arba sudėdamas lygtis jį panaikini, kol lieka dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema.

11 klasė, A kursas: apskritimas ir tiesė

Rask apskritimo $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ ir tiesės $y = x - 2$ bendrus taškus.

Sudarome sistemą ir įstatome $y = x - 2$ į apskritimo lygtį. Kadangi $y - 1 = x - 2 - 1 = x - 3$ , gauname $(x - 2)^2 + (x - 3)^2 = 25$ .
Atskliaudžiame: $x^2 - 4x + 4 + x^2 - 6x + 9 = 25$ , todėl $2x^2 - 10x - 12 = 0$ . Padaliję iš 2 gauname $x^2 - 5x - 6 = 0$ .
Diskriminantas $D = 25 + 24 = 49 > 0$ , todėl bendri taškai du: $x_1 = \frac{5 - 7}{2} = -1$ , $x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6$ .
$y$ randame iš tiesės lygties: kai $x = -1$ , $y = -3$ ; kai $x = 6$ , $y = 4$ .
Patikriname apskritimo lygtį: $(-1 - 2)^2 + (-3 - 1)^2 = 9 + 16 = 25$ ir $(6 - 2)^2 + (4 - 1)^2 = 16 + 9 = 25$ .

Atsakymas: Tiesė kerta apskritimą dviejuose taškuose: $(-1; -3)$ ir $(6; 4)$ .

Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys Kitas 11 klasės žingsnis: lygtys su šaknimis ir aukštesniais laipsniais.

Dažnos klaidos sprendžiant lygčių sistemas

Šias klaidas lengva padaryti net suprantant temą. Prie kiekvienos parašyta, kaip jos išvengti.

Dauginama tik kairioji pusė. Lygtį dauginant iš skaičiaus, padauginti reikia visus kairiosios pusės dėmenis ir dešiniąją pusę taip pat (žr. sudėties būdo pavyzdį).
Painiojami ženklai atimant lygtis. Iš $4x - 3y = 1$ atėmus $4x + 2y = 11$ , gaunama $-5y = -10$ , o ne $-y = -10$ . Jei abejoji, antrąją lygtį padaugink iš $-1$ ir sudėk.
Įstatant pamirštami skliaustai. Įstatęs $x = 2y + 1$ į $3x + 4y$ , turi rašyti $3(2y + 1) + 4y$ . Užrašas $3 \cdot 2y + 1 + 4y$ jau yra kitas reiškinys.
Randamas tik vienas nežinomasis. Sistemos atsakymas yra pora, todėl suradęs $x$ apskaičiuok ir $y$ , o atsakymą užrašyk $(x; y)$ : pirmiau $x$ , paskui $y$ .
Brėžinyje nuskaitytas taškas laikomas tiksliu. Brėžinys rodo tik apytikslę susikirtimo vietą, o trupmeninio sprendinio iš jo tiksliai nenuskaitysi. Tašką visada patikrink įstatydamas į abi lygtis.
Nepatikrinama, ar rasta reikšmė tinka. Racionaliojoje lygtyje atmesk reikšmes, su kuriomis vardiklis lygus nuliui. Sistemoje su kvadratine lygtimi $y$ skaičiuok iš tiesinės lygties, kad neatsirastų porų, kurios sistemos netenkina.

Lygčių sistemos NMPP, PUPP ir VBE apimtyje

Datos nurodytos 2027 metams. Turinys ir leidžiamos priemonės aprašyti pagal 2026 m. tvarką, nes 2027 m. aprašai dar nepatvirtinti.

Matematikos NMPP (nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas) 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Lygčių sistemų tarp neįtrauktų temų nėra, todėl 8 klasės tiesinių lygčių sistemos gali būti per NMPP. 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, sistemas spręsi be skaičiuotuvo: rinkis būdą, kuriame mažiau trupmenų.
Matematikos PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas) vyks 2027 m. gegužės 12 d. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Lygčių sistemos priklauso kitai sričiai – „Modeliai ir sąryšiai“, todėl jos gali būti per PUPP. Spręsdamas jas naudosi ir 8 klasės būdus. 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas).
Matematikos VBE (valstybinis brandos egzaminas) pagal 2026 m. tvarką laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. 11 klasėje lygčių sistemos yra abiejų kursų – bendrojo (B) ir išplėstinio (A) – programoje. Apskritimo lygtis ir sistemos su daugiau nei dviem nežinomaisiais – tik A kurso turinys. Bendrojoje programoje parašyta, kad antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Todėl 11 klasės lygčių sistemos gali būti ir antrojoje VBE dalyje. 2026 m. leistos priemonės: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).

Matematikos NMPP 8 klasėje Patikrinimo sandara, temos ir pasiruošimo planas.
Matematikos VBE pirmoji dalis Kaip sudaryta pirmoji egzamino dalis ir kaip jai ruoštis.
NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF) Oficialus 2026 m. aprašas: kas neįtraukiama ir kokios priemonės leidžiamos.
NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF) Oficialus 2026 m. aprašas su formulių rinkiniu priede.

Lygčių sistemos uždaviniai su atsakymais

Pirma išspręsk sąsiuvinyje, tik tada pažiūrėk atsakymą. Kiekvieną rastą porą patikrink įstatydamas į abi lygtis.

Lengvesni

1. Ar pora $(3; -2)$ yra sistemos $\begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - 3y = 9 \end{cases}$ sprendinys? Atsakyk „taip“ arba „ne“.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Taip.

$2 \cdot 3 + (-2) = 4$ ir $3 - 3 \cdot (-2) = 3 + 6 = 9$ . Pora tenkina abi lygtis.

2. Sudėliok keitimo būdo žingsnius teisinga tvarka. A) Apskaičiuok antrąjį nežinomąjį. B) Iš vienos lygties išreikšk nežinomąjį. C) Patikrink porą abiejose lygtyse. D) Įstatyk išraišką į kitą lygtį ir ją išspręsk.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B, D, A, C.

3. Išspręsk keitimo būdu: $\begin{cases} x = 3y - 2 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}$

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(4; 2)$

Įstatome: $2(3y - 2) + 5y = 18$ , $11y - 4 = 18$ , $y = 2$ . Tada $x = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ .

4. Išspręsk sudėties būdu: $\begin{cases} 4x + 3y = 10 \\ 2x - 3y = 14 \end{cases}$

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(4; -2)$

Sudėjus lygtis, $y$ išnyksta: $6x = 24$ , $x = 4$ . Iš pirmosios lygties $16 + 3y = 10$ , $y = -2$ .

Vidutiniai

5. Sugretink kiekvieną sistemą A–C su jos sprendinių skaičiumi 1–3. A) $y = 2x + 1$ ir $y = 2x - 3$ ; B) $y = -x + 4$ ir $y = 3x$ ; C) $6x - 2y = 4$ ir $y = 3x - 2$ . 1) vienas sprendinys; 2) sprendinių nėra; 3) be galo daug sprendinių.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A–2, B–1, C–3.

A: koeficientai prie $x$ vienodi, laisvieji nariai skirtingi, todėl tiesės lygiagrečios. B: koeficientai $-1$ ir $3$ skirtingi, todėl tiesės susikerta (taške $(1; 3)$ ). C: iš $6x - 2y = 4$ gauname $y = 3x - 2$ , tai ta pati tiesė.

6. Išspręsk lygčių sistemą: $\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(6; 4)$

Pirmąją lygtį padauginame iš 6: $2x + 3y = 24$ . Iš antrosios $x = y + 2$ . Įstatome: $2y + 4 + 3y = 24$ , $5y = 20$ , $y = 4$ , $x = 6$ .

7. Taupyklėje yra 31 moneta: tik 20 centų ir 50 centų monetos. Iš viso taupyklėje yra 9,80 euro. Kiek 50 centų monetų yra taupyklėje?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 12 monetų (o 20 centų monetų yra 19).

Tegu $a$ yra 20 centų monetų, o $b$ yra 50 centų monetų skaičius. Skaičiuojame centais: $a + b = 31$ ir $20a + 50b = 980$ . Įstatę $a = 31 - b$ , gauname $620 + 30b = 980$ , $b = 12$ , $a = 19$ .

8. Išspręsk lygčių sistemą: $\begin{cases} y = x^2 + 4 \\ 4x - y = -1 \end{cases}$

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(1; 5)$ ir $(3; 13)$

Iš antrosios lygties $y = 4x + 1$ . Sulyginame: $x^2 + 4 = 4x + 1$ , $x^2 - 4x + 3 = 0$ , todėl $x = 1$ arba $x = 3$ . Iš $y = 4x + 1$ : $y = 5$ arba $y = 13$ .

Sunkesni

9. Išspręsk lygčių sistemą: $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x^2 + xy = 6 \end{cases}$

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(-1; -5)$ ir $(2; 1)$

Iš pirmosios lygties $y = 2x - 3$ . Įstatome: $x^2 + x(2x - 3) = 6$ , $3x^2 - 3x - 6 = 0$ , $x^2 - x - 2 = 0$ , todėl $x = -1$ arba $x = 2$ . Iš $y = 2x - 3$ : $y = -5$ arba $y = 1$ .

10. Du siurbliai, dirbdami kartu, išsiurbia vandenį iš užlieto rūsio per 4 valandas. Pirmasis siurblys vienas šį darbą atliktų 6 valandomis greičiau nei antrasis vienas. Per kiek valandų kiekvienas siurblys atliktų darbą vienas?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Pirmasis per 6 valandas, antrasis per 12 valandų.

Tegu pirmasis siurblys darbą atlieka per $x$ h, antrasis per $y$ h. Per valandą jie atlieka $\frac{1}{x}$ ir $\frac{1}{y}$ darbo dalį, todėl $\begin{cases} y = x + 6 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \end{cases}$ Įstatę $y$ ir padauginę iš $4x(x + 6)$ : $4(x + 6) + 4x = x(x + 6)$ , $x^2 - 2x - 24 = 0$ , $x = 6$ arba $x = -4$ . Laikas negali būti neigiamas, todėl $x = 6$ , $y = 12$ .

11. 11 klasė, A kursas. Rask apskritimo $x^2 + y^2 = 20$ ir tiesės $y = 2x - 10$ bendrus taškus. Kiek jų yra?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Vienas bendras taškas $(4; -2)$ : tiesė liečia apskritimą.

Įstatome: $x^2 + (2x - 10)^2 = 20$ , $5x^2 - 40x + 80 = 0$ , $x^2 - 8x + 16 = 0$ . Diskriminantas lygus nuliui, todėl vienintelis sprendinys $x = 4$ , o $y = 2 \cdot 4 - 10 = -2$ .

12. 11 klasė, A kursas. Išspręsk lygčių sistemą: $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y = 1 \\ y + 2z = 7 \end{cases}$

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 3$

Iš antrosios lygties $x = y + 1$ , iš trečiosios $z = \frac{7 - y}{2}$ . Įstatome į pirmąją: $y + 1 + y + \frac{7 - y}{2} = 6$ . Padauginę iš 2: $4y + 2 + 7 - y = 12$ , $3y = 3$ , $y = 1$ . Tada $x = 2$ , $z = 3$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuris lygčių sistemos sprendimo būdas geriausias?

Vieno visada geriausio būdo nėra: visi algebriniai būdai duoda tą patį atsakymą, skiriasi tik skaičiavimų kiekis. Kada kuris būdas patogiausias, rasi skyriuje „Lygčių sistemos sprendimo būdai“.

Ar lygčių sistemą galima išspręsti skaičiuokle?

Taip, internetinė skaičiuoklė ar grafikų braižymo programa sistemą išsprendžia iš karto. Tačiau vien atsakymas spręsti neišmokys: kol pats neatliksi žingsnių, panašaus uždavinio be programos neišspręsi. Todėl pirma išspręsk pats, o skaičiuoklę naudok tik palyginimui. Atsakymą galima patikrinti ir be jokios programos: įstatyk rastą porą į abi lygtis.

Kaip iš tekstinio uždavinio sudaryti lygčių sistemą?

Pirmiausia nuspręsk, kurie du dydžiai nežinomi, ir pažymėk juos raidėmis, pavyzdžiui, x ir y. Tada sąlygoje rask du skirtingus teiginius apie šiuos dydžius ir kiekvieną užrašyk lygybe, pavyzdžiui, kiek bilietų nupirkta iš viso ir kiek jie kainavo kartu. Išsprendęs sistemą, atsakymą patikrink pagal uždavinio tekstą ir atmesk situacijai netinkamas reikšmes.

Ko mokomasi apie lygčių sistemas 10 klasėje?

10 klasėje prie jau žinomų sistemų prisideda tokios, kuriose viena lygtis tiesinė, o kitoje nežinomasis yra vardiklyje. Tokioje sistemoje pirmiausia užrašai, kokių reikšmių nežinomasis įgyti negali, o rastą atsakymą patikrini, ar jis nepaverčia vardiklio nuliu. Taip pat sprendžiami tekstiniai uždaviniai, kurie veda prie tokių sistemų. 9 klasėje jau sprendžiamos sistemos su viena antrojo laipsnio lygtimi, o 8 klasėje – tiesinių lygčių sistemos.

Taip pat: Lygtys · Tiesinė funkcija · Vektoriai · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos PUPP

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, Atmintinė abiturientams 2025–2026, 3 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų VBE užduočių aprašas (VK-909, 2026-01-07 įsakymo Nr. VK-9 redakcija), 2 p., 7.1.5 ir 7.2.5 punktai; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, VBE antros dalies užduoties struktūra (bendrasis ir išplėstinis kursai); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt