Racionaliosios lygtys ir algebrinės trupmenos

Racionalioji lygtis – tai lygtis, kurios abi pusės yra racionalieji reiškiniai: juose kintamasis gali būti ir vardiklyje, bet ne po šaknimi. Kai nežinomasis yra vardiklyje, pavyzdžiui, $\frac{6}{x} = x - 1$ , lygtis vadinama trupmenine racionaliąja. Ją sprendžiame taip. Pirma randame, kokių reikšmių $x$ negali įgyti: su jomis vardiklis būtų lygus nuliui. Tada suvedame lygtį į pavidalą $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$ ir prilyginame nuliui skaitiklį. Pabaigoje atmetame sprendinius, kurie pateko tarp uždraustų reikšmių.

Kas yra racionaliosios lygtys?

Racionalusis reiškinys sudarytas iš skaičių ir kintamųjų, sujungtų sudėtimi, atimtimi, daugyba, dalyba ir kėlimu natūraliuoju laipsniu. Šaknies iš kintamojo jame nėra. Sveikajame reiškinyje nedalijama iš reiškinio su kintamuoju, pavyzdžiui, $2x^2 - \frac{x}{5}$ : čia dalijama tik iš skaičiaus 5. Trupmeniniame reiškinyje kintamasis yra vardiklyje: $\frac{4}{x+1}$ arba $x + \frac{3}{x}$ .

Algebrinė trupmena – tai trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai, pavyzdžiui, $\frac{x-2}{x^2+3x}$ . Ją prastiname, subendravardikliname, dauginame ir dalijame kaip skaičių trupmeną. Kaip tai daroma su skaičiais, primins temos trupmenos ir trupmenų daugyba ir dalyba.

Racionaliosios lygtys būna sveikosios ir trupmeninės. Lygtis $\frac{x}{3} + \frac{x-1}{2} = 4$ yra sveikoji: $x$ vardiklyje nėra, o abi puses padauginus iš 6, gaunama tiesinė lygtis. Lygtis $\frac{6}{x} = x - 1$ yra trupmeninė, nes $x$ yra vardiklyje. Joje atsiranda nauja kliūtis: su $x = 0$ lygtis neturi prasmės.

Algebrinės trupmenos apibrėžimo sritis

Apibrėžimo sritis – tai visos kintamojo reikšmės, su kuriomis reiškinys turi prasmę. Trupmena prasmės neturi, kai jos vardiklis lygus nuliui, nes iš nulio dalyti negalima: jei būtų $5 : 0 = c$ , turėtų būti $c \cdot 0 = 5$ , o nulį padauginus iš bet kurio skaičiaus gaunamas nulis.

Kiekvieną vardiklį prilygink nuliui, išspręsk gautą lygtį ir rastas reikšmes išmesk. Kvadratinį vardiklį išskaidyk dauginamaisiais. Jei išskaidyti nepavyksta, apskaičiuok vardiklio $ax^2 + bx + c$ diskriminantą $D = b^2 - 4ac$ . Kai jis neigiamas, vardiklis niekada nelygus nuliui ir apribojimų nėra. Pavyzdžiui, $x^2 + 4$ visada ne mažesnis už 4.

Dalijant iš trupmenos, ji apverčiama, ir jos skaitiklis tampa vardikliu. Todėl reiškiniui $\frac{x}{x+1} : \frac{x-4}{x}$ reikia trijų sąlygų. Sąlygos $x \neq -1$ ir $x \neq 0$ gaunamos iš abiejų vardiklių, o $x \neq 4$ – iš daliklio skaitiklio $x - 4$ .

Apibrėžimo sritis, kai vardikliai kvadratiniai

Rask reiškinio $\frac{x+5}{x^2-9} - \frac{2}{x^2+4x}$ apibrėžimo sritį.

Apibrėžimo sritis – visa skaičių tiesė be taškų

-4

-3

0

3

. Taškas

-5

lieka: jame nuliui lygus tik skaitiklis.

Pirmasis vardiklis yra kvadratų skirtumas: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ . Sandauga lygi nuliui, kai bent vienas daugiklis lygus nuliui, todėl $x \neq 3$ ir $x \neq -3$ .
Antrajame vardiklyje iškeliame $x$ prieš skliaustus: $x^2 + 4x = x(x+4)$ . Iš čia $x \neq 0$ ir $x \neq -4$ .
Skaitiklis $x + 5$ lygus nuliui, kai $x = -5$ . Šios reikšmės neišmetame: su ja pirmoji trupmena lygi nuliui, o tai leidžiama.

Atsakymas: visi realieji skaičiai, išskyrus $-4$ , $-3$ , $0$ ir $3$ .

Veiksmai su algebrinėmis trupmenomis

Prastinimas remiasi pagrindine trupmenos savybe: skaitiklį ir vardiklį galima padalyti iš to paties nelygaus nuliui reiškinio. Prastinti galima tik daugiklius (tai, kas sudauginta), o ne dėmenis (tai, kas sudėta). Todėl pirmiausia skaitiklį ir vardiklį išskaidyk dauginamaisiais: iškelk bendrą daugiklį, pritaikyk greitosios daugybos formulę ar išskaidyk kvadratinį trinarį. Pavyzdžiui, $\frac{x^2 - 6x}{x^2 - 36} = \frac{x(x-6)}{(x-6)(x+6)} = \frac{x}{x+6}$ Pradinė trupmena neturi prasmės, kai $x = 6$ arba $x = -6$ . Suprastinus draudimas $x \neq 6$ lieka, nors trupmenoje $\frac{x}{x+6}$ jo nebesimato.

Sudedant ir atimant reikia bendro vardiklio. Išskaidyk vardiklius ir kiekvieną skirtingą daugiklį paimk po kartą, o pasikartojantį – didžiausiu laipsniu. Pavyzdžiui, vardiklių $x^2$ ir $x(x+1)$ bendras vardiklis yra $x^2(x+1)$ . Kai prieš trupmeną yra minusas, jos skaitiklį rašyk skliaustuose: minusas keičia visų jo narių ženklus.

Dauginant sudauginami skaitikliai ir vardikliai, o dalijant dauginama iš apverstos trupmenos. Praverčia ir lygybė $b - a = -(a - b)$ , pavyzdžiui, $3 - 7 = -(7 - 3)$ . Todėl $\frac{x-7}{7-x} = \frac{x-7}{-(x-7)} = -1$ , kai $x \neq 7$ .

Atimtis, kai prieš trupmeną yra minusas

Suprastink reiškinį $\frac{3}{x-2} - \frac{x+4}{x^2-2x}$ .

Išskaidome antrąjį vardiklį: $x^2 - 2x = x(x-2)$ . Apibrėžimo sritis: $x \neq 0$ ir $x \neq 2$ .
Bendras vardiklis yra $x(x-2)$ . Pirmajai trupmenai trūksta daugiklio $x$ , todėl jos skaitiklį dauginame iš $x$ : $\frac{3x}{x(x-2)} - \frac{x+4}{x(x-2)}$
Atimame skaitiklius, antrąjį rašydami skliaustuose: $\frac{3x - (x+4)}{x(x-2)} = \frac{2x - 4}{x(x-2)}$
Skaitiklyje iškeliame 2 ir prastiname iš $x - 2$ : $\frac{2(x-2)}{x(x-2)} = \frac{2}{x}$
Klaidingas kelias – parašyti $3x - x + 4$ . Tada skaitiklis būtų $2x + 4$ , ir trupmena $\frac{2x+4}{x(x-2)}$ nesiprastintų.
Patikriname skaičiumi: kai $x = 5$ , pradinis reiškinys lygus $\frac{3}{3} - \frac{9}{15} = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ , o $\frac{2}{5} = 0{,}4$ .

Atsakymas: $\frac{2}{x}$ , kai $x \neq 0$ ir $x \neq 2$ .

Trupmeninės racionaliosios lygties sprendimo planas

Pagrindinė taisyklė: trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui. Pavyzdžiui, $\frac{0}{5} = 0$ , o $\frac{0}{0}$ neturi prasmės. Iš tiesų, jei $\frac{A}{B} = 0$ , tai $A = 0 \cdot B = 0$ .

Užuot viską perkėlus į kairę ir sutraukus į vieną trupmeną, dažnai patogiau abi puses iš karto padauginti iš bendro vardiklio. Proporciją $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ galima dauginti kryžmai: $ad = bc$ . Bet kuriuo būdu gautus sprendinius palygink su apibrėžimo sritimi. Skaitiklio nulis gali paversti nuliu ir vardiklį. O dauginant iš reiškinio su $x$ , gali atsirasti pašalinis sprendinys – skaičius, kuris tinka naujai lygčiai, bet ne pradinei.

1. Užrašyk apibrėžimo sritį: visi vardikliai nelygūs nuliui.
2. Visus narius perkelk į kairę pusę.
3. Suvesk kairę pusę į vieną trupmeną $\frac{A(x)}{B(x)}$ .
4. Išspręsk lygtį $A(x) = 0$ , pavyzdžiui, kaip tiesinę arba kvadratinę lygtį.
5. Atmesk sprendinius, kurie nepriklauso apibrėžimo sričiai.
6. Užrašyk atsakymą. Jei atmesti visi sprendiniai, lygtis sprendinių neturi.

Pilnas sprendimas su pašaliniu sprendiniu

Išspręsk lygtį $\frac{x}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$ . Užrašyk pilną sprendimą.

Apibrėžimo sritis. Kadangi $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ , turi būti $x \neq 3$ ir $x \neq -3$ .
Perkeliame viską į kairę ir suvedame į bendrą vardiklį $(x-3)(x+3)$ . Pirmosios trupmenos skaitiklį dauginame iš $x + 3$ , antrosios – iš $x - 3$ : $\frac{x(x+3) + 2(x-3) - 18}{(x-3)(x+3)} = 0$
Sutvarkome skaitiklį: $\begin{aligned} &x^2 + 3x + 2x - 6 - 18 \\ &= x^2 + 5x - 24 \end{aligned}$
Prilyginame skaitiklį nuliui: $x^2 + 5x - 24 = 0$ . Diskriminantas $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$ , $\sqrt{D} = 11$ : $\begin{gathered} x_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8, \\ x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3 \end{gathered}$
Lyginame su apibrėžimo sritimi. $x = 3$ netinka: su juo vardikliai $x - 3$ ir $x^2 - 9$ lygūs nuliui. $x = -8$ tinka.
Patikriname įstatydami: kairė pusė lygi $\frac{-8}{-11} + \frac{2}{-5} = \frac{8}{11} - \frac{2}{5} = \frac{40}{55} - \frac{22}{55} = \frac{18}{55}$ , dešinė – $\frac{18}{64 - 9} = \frac{18}{55}$ .

Atsakymas: $x = -8$ .

Kvadratinės nelygybės Kita 10 klasės algebros tema.

Kas yra ekvivalenčios lygtys?

Dvi lygtys vadinamos ekvivalenčiomis, kai jos turi tuos pačius sprendinius, pavyzdžiui, $3x - 1 = 11$ ir $x = 4$ . Ekvivalenčią lygtį gauname, kai prie abiejų pusių pridedame tą patį skaičių arba abi puses padauginame ar padalijame iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus.

Dauginant iš reiškinio su $x$ , ekvivalentumas gali dingti. Lygtis $\frac{x^2}{x+4} = \frac{16}{x+4}$ apibrėžta, kai $x \neq -4$ . Padauginę abi puses iš $x + 4$ , gauname $x^2 = 16$ su sprendiniais $4$ ir $-4$ . Bet $-4$ pradinės lygties vardiklį paverčia nuliu: tai pašalinis sprendinys, ir atsakymas tik $x = 4$ .

Dalijant abi puses iš reiškinio su $x$ , nutinka atvirkščiai: sprendinys, su kuriuo tas reiškinys lygus nuliui, prarandamas. Pavyzdžiui, lygtis $x^2 = 3x$ turi sprendinius 0 ir 3. Padalijus abi puses iš $x$ , lieka $x = 3$ , o sprendinys 0 dingsta. Todėl bendrą daugiklį su $x$ iškelk prieš skliaustus, o ne dalyk iš jo: $x(x - 3) = 0$ .

Lygtys Tiesinės lygtys ir jų pertvarkymai.

Racionaliųjų lygčių ir algebrinių trupmenų formulės

Pirmose šešiose eilutėse $A$ , $B$ , $C$ , $D$ žymi daugianarius, ir visi vardikliai turi būti nelygūs nuliui. Kvadratų skirtumo formulėje $a$ ir $b$ gali būti skaičiai arba reiškiniai. Paskutinėse dviejose eilutėse $a$ , $b$ , $c$ yra kvadratinio trinario koeficientai (skaičiai prie $x^2$ , prie $x$ ir laisvasis narys), o $x_1$ ir $x_2$ – lygties $ax^2 + bx + c = 0$ sprendiniai. Atkreipk dėmesį: paskutinėje eilutėje raidė $D$ žymi ne daugianarį, o diskriminantą.

Formulė	Kada taikyti
$\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \ \text{ir} \ B \neq 0$	Kai lygtis suvesta į vieną trupmeną: prilygink nuliui skaitiklį ir patikrink vardiklį.Išmok mintinai
$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \iff A \cdot D = B \cdot C$	Kai lygtis turi proporcijos pavidalą: dauginame kryžmai, kai $B \neq 0$ ir $D \neq 0$ .Išmok mintinai
$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B} \quad (C \neq 0)$	Prastinant: skaitiklį ir vardiklį dalijame iš to paties daugiklio.Išmok mintinai
$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$	Sudedant ir atimant trupmenas, kai vardikliai jau subendravardiklinti.Išmok mintinai
$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$	Dauginant trupmenas: skaitiklis iš skaitiklio, vardiklis iš vardiklio.Išmok mintinai · Plačiau: Trupmenų daugyba ir dalyba
$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$	Dalijant iš trupmenos: dauginame iš apverstos; jos skaitiklis $C$ irgi turi būti nelygus nuliui.Išmok mintinai
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$	Skaidant vardiklį ar skaitiklį, pavyzdžiui, $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .Yra PUPP formulių lape
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$	Skaidant kvadratinį trinarį, kai žinomi lygties $ax^2 + bx + c = 0$ sprendiniai $x_1$ ir $x_2$ .Yra PUPP formulių lape
$\begin{gathered} x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\ D = b^2 - 4ac \end{gathered}$	Kai skaitiklio lygtis $A(x) = 0$ yra kvadratinė.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys

Racionaliosios lygtys: tekstiniai uždaviniai

Racionalioji lygtis atsiranda, kai nežinomasis dydis yra daliklis. Darbo laikas lygus darbui, padalytam iš našumo (kiek padaroma per valandą). Vieno žmogaus dalis lygi sumai, padalytai iš žmonių skaičiaus. Pažymėk nežinomąjį $x$ , išreikšk juo kitus dydžius ir sudaryk lygtį iš sakinio, kuriame dydžiai lyginami. Pabaigoje tikrink ir prasmę: žmonių skaičius turi būti natūralusis, o laikas – teigiamas.

Ekskursijos autobuso nuoma

Autobuso nuoma ekskursijai kainuoja 360 eurų, ir važiuojantys mokiniai ją dalijasi po lygiai. Du mokiniai susirgo ir nevažiavo, todėl kiekvienas važiavęs sumokėjo 2 eurais daugiau, nei buvo planuota. Kiek mokinių planavo važiuoti ir kiek eurų sumokėjo kiekvienas važiavęs?

Tegu planavo važiuoti $x$ mokinių. Planuota dalis – $\frac{360}{x}$ eurų, o važiavus $x - 2$ mokiniams – $\frac{360}{x-2}$ eurų.
Antroji suma 2 eurais didesnė už pirmąją: $\frac{360}{x-2} - \frac{360}{x} = 2$ Čia $x$ – natūralusis skaičius, didesnis už 2, todėl vardikliai nelygūs nuliui.
Padauginame abi puses iš $x(x-2)$ : $360x - 360(x-2) = 2x(x-2)$ Kairėje $360x - 360x + 720 = 720$ , dešinėje $2x^2 - 4x$ . Gauname $2x^2 - 4x = 720$ , o padaliję iš 2 – $x^2 - 2x - 360 = 0$ .
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 4 + 1440 = 1444$ , $\sqrt{D} = 38$ , todėl $x_1 = \frac{2 - 38}{2} = -18$ , $x_2 = \frac{2 + 38}{2} = 20$ .
Neigiamą sprendinį atmetame. Planavo važiuoti 20 mokinių, važiavo 18, ir kiekvienas sumokėjo $360 : 18 = 20$ eurų. Patikrinimas: planuota dalis $360 : 20 = 18$ eurų, o $20 - 18 = 2$ .

Atsakymas: planavo važiuoti 20 mokinių; kiekvienas važiavęs sumokėjo 20 eurų.

Tekstiniai uždaviniai Kaip iš sąlygos sudaryti lygtį.

Lygčių sistemos su racionaliąja lygtimi

10 klasėje sprendžiamos dviejų nežinomųjų lygčių sistemos: viena lygtis tiesinė, o kita gali būti trupmeninė racionalioji. Patogu taikyti keitimo būdą: iš tiesinės lygties išreikšk vieną nežinomąjį ir įstatyk į kitą lygtį. Apibrėžimo sritį užrašyk prieš įstatydamas. Atsakymas yra skaičių poros $(x; y)$ , todėl kiekvienam tinkamam $x$ apskaičiuok atitinkamą $y$ .

Sistema, kurioje viena pora atmetama

Išspręsk lygčių sistemą $\begin{cases} y - x = 1 \\ \dfrac{y}{x-2} = \dfrac{6}{x^2-2x} \end{cases}$

Apibrėžimo sritis: $x^2 - 2x = x(x-2)$ , todėl $x \neq 0$ ir $x \neq 2$ . Kintamojo $y$ vardikliuose nėra, todėl jam apribojimų nėra.
Iš pirmosios lygties $y = x + 1$ . Įstatome į antrąją: $\frac{x+1}{x-2} = \frac{6}{x(x-2)}$
Padauginame abi puses iš $x(x-2)$ : $x(x+1) = 6$ , t. y. $x^2 + x - 6 = 0$ . Diskriminantas $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25$ , todėl $x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ , $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$ .
$x = 2$ nepriklauso apibrėžimo sričiai, todėl jį atmetame. Kai $x = -3$ , gauname $y = -3 + 1 = -2$ .
Patikriname antrąją lygtį: $\frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$ ir $\frac{6}{9 + 6} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Atsakymas: $(-3; -2)$ .

Lygčių sistemos Keitimo, sudėties ir grafinis sprendimo būdai.

Dažnos klaidos sprendžiant racionaliąsias lygtis

Prieš baigdamas peržiūrėk sprendimą pagal šį sąrašą.

Neužrašyta apibrėžimo sritis, todėl atsakyme lieka skaičius, su kuriuo vardiklis lygus nuliui. Taip nutiktų su $x = 3$ pavyzdyje „Pilnas sprendimas su pašaliniu sprendiniu“. Sritį užrašyk pradžioje, kol lygtis dar nepertvarkyta.
Prastinami dėmenys, o ne daugikliai. $\frac{x+6}{2}$ nėra $x + 3$ : kai $x = 2$ , pirmasis reiškinys lygus 4, o antrasis 5.
Po minuso pakeičiamas tik skaitiklio pirmojo nario ženklas. Minusas prieš trupmeną keičia visų jos skaitiklio narių ženklus. Todėl skaitiklį po minusu rašyk skliaustuose, kaip pavyzdyje „Atimtis, kai prieš trupmeną yra minusas“.
Dauginant iš bendro vardiklio, pamirštamas narys be vardiklio. Lygtyje $\frac{4}{x} + 1 = \frac{6}{x}$ iš $x$ reikia padauginti ir vienetą: $4 + x = 6$ , todėl $x = 2$ .
Iš apibrėžimo srities išmetamos ir reikšmės, su kuriomis skaitiklis lygus nuliui, nors draudžia tik vardiklis. Reiškinyje $\frac{x+5}{x^2-9}$ reikšmė $x = -5$ leidžiama.

Racionaliosios lygtys PUPP užduotyse

Algebrinės trupmenos yra 9 klasės, o racionaliosios lygtys ir sistemos su jomis – 10 klasės algebros turinys. Apie PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą) plačiau – puslapyje matematikos PUPP.

Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Kiti punktai remiasi 2026 m. užduoties aprašu, nes 2027 m. aprašas dar nepatvirtintas: 2026 m. spalio 1 d. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) paskelbė, kad jo projektas teikiamas viešam derinimui.
Turinys (2026 m. tvarka): algebrinės trupmenos ir racionaliosios lygtys per PUPP gali būti. Pagal aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Algebros ši išimtis neliečia.
Vertinimas (2026 m. tvarka): pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Pilnojo sprendimo uždavinyje vertinamas visas sprendimas, todėl rašyk visus žingsnius, kaip pavyzdyje „Pilnas sprendimas su pašaliniu sprendiniu“.
Priemonės (2026 m. tvarka): lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Jame yra kvadratų skirtumo, kvadratinės lygties sprendinių ir trinario skaidymo formulės, bet nėra trupmenų taisyklių: jas reikia mokėti mintinai. Daugiau – puslapyje PUPP formulių rinkinys.

NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF)
ŠMSM: 2026–2027 m. m. PUPP tvarkaraštis (PDF)
PUPP užduotys pagal temas Savos PUPP formato užduotys su atsakymais.

Racionaliosios lygtys: uždaviniai su atsakymais

Pirmiausia spręsk pats, tik tada atsiversk atsakymą. Kiekvieną lygtį pradėk nuo apibrėžimo srities.

Lengvesni

1. Su kuriomis $x$ reikšmėmis reiškinys $\frac{7}{x+6} + \frac{x}{2x-5}$ neturi prasmės?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: kai $x = -6$ ir kai $x = 2{,}5$ .

Vardikliai lygūs nuliui, kai $x + 6 = 0$ arba $2x - 5 = 0$ .

2. Suprastink trupmeną $\frac{x^2-16}{x^2+4x}$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{x-4}{x}$ , kai $x \neq 0$ ir $x \neq -4$ .

Skaitiklis – kvadratų skirtumas, o vardiklyje iškeliame $x$ : $\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)} = \frac{x-4}{x}$ . Sąlyga $x \neq -4$ lieka iš pradinės trupmenos.

3. Kuris teiginys apie lygties $\frac{x^2-3x}{x-3} = 0$ sprendinius teisingas? A) vienintelis sprendinys $x = 0$ ; B) vienintelis sprendinys $x = 3$ ; C) sprendiniai $x = 0$ ir $x = 3$ ; D) lygtis sprendinių neturi.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A.

Skaitiklis $x(x-3)$ lygus nuliui, kai $x = 0$ arba $x = 3$ . Bet su $x = 3$ vardiklis lygus nuliui, todėl lieka tik $x = 0$ .

Vidutiniai

4. Išspręsk lygtį $\frac{3}{x-1} = \frac{5}{x+3}$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = 7$ .

Apibrėžimo sritis: $x \neq 1$ , $x \neq -3$ . Dauginame kryžmai: $3(x+3) = 5(x-1)$ , $3x + 9 = 5x - 5$ , $2x = 14$ , $x = 7$ . Patikrinimas: $\frac{3}{6} = \frac{5}{10}$ .

5. Suprastink reiškinį $\frac{x^2-9}{4x} : \frac{x+3}{2x^2}$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\frac{x(x-3)}{2}$ , kai $x \neq 0$ ir $x \neq -3$ .

Dauginame iš apverstos trupmenos: $\frac{(x-3)(x+3)}{4x} \cdot \frac{2x^2}{x+3} = \frac{x(x-3)}{2}$ Čia suprastinome $x + 3$ , o $\frac{2x^2}{4x} = \frac{x}{2}$ . Sąlyga $x \neq -3$ atsiranda todėl, kad dalyti iš $\frac{x+3}{2x^2}$ galima tik tada, kai ji nelygi nuliui.

6. Sugretink lygtis su jų sprendiniais. Lygtys: 1) $\frac{2x-6}{x+1} = 0$ ; 2) $\frac{x+1}{x^2-9} = 0$ ; 3) $\frac{x^2-9}{x-3} = 0$ ; 4) $\frac{x-3}{x^2-3x} = 0$ . Sprendiniai: A) lygtis sprendinių neturi; B) $x = -3$ ; C) $x = 3$ ; D) $x = -1$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1–C, 2–D, 3–B, 4–A.

3) Skaitiklis lygus nuliui, kai $x = 3$ arba $x = -3$ , bet $x = 3$ vardiklį paverčia nuliu. 4) Skaitiklis lygus nuliui tik kai $x = 3$ , o tada ir vardiklis $x(x-3)$ lygus nuliui, todėl sprendinių nėra.

7. Išdėstyk lygčių sprendinius didėjimo tvarka. P: $\frac{12}{x} = 3$ ; Q: $\frac{x+5}{x-2} = 0$ ; R: $\frac{x}{x+1} = \frac{2}{3}$ . Atsakymą užrašyk raidėmis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Q, R, P.

P: $x = 4$ . Q: $x = -5$ . R: $3x = 2(x+1)$ , todėl $x = 2$ . Kadangi $-5 < 2 < 4$ , tvarka Q, R, P.

Sunkesni

8. Išspręsk lygtį $\frac{x^2+2x}{x-3} = \frac{5x}{x-3}$ .

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $x = 0$ .

Apibrėžimo sritis: $x \neq 3$ . Padauginę iš $x - 3$ : $x^2 + 2x = 5x$ , $x^2 - 3x = 0$ , $x(x-3) = 0$ , taigi $x = 0$ arba $x = 3$ , o $x = 3$ atmetame. Padalijęs iš $x$ , gautum tik $x = 3$ ir klaidingą atsakymą „sprendinių nėra“.

9. Robotikos būrelis turi dvi lazerines pjaustykles. Pirmoji per valandą išpjauna 4 detalėmis daugiau nei antroji. Pirmoji 48 detales išpjauna 1 valanda greičiau, nei antroji išpjauna 40 detalių. Kiek detalių per valandą išpjauna kiekviena pjaustyklė?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: pirmoji – 12 detalių, antroji – 8 detales per valandą.

Tegu pirmoji per valandą išpjauna $x$ detalių, antroji – $x - 4$ (čia $x > 4$ ). Antroji 40 detalių išpjauna per $\frac{40}{x-4}$ val., pirmoji 48 detales – per $\frac{48}{x}$ val., o skirtumas lygus 1 val.: $\frac{40}{x-4} - \frac{48}{x} = 1$ Padauginę iš $x(x-4)$ : $40x - 48(x-4) = x^2 - 4x$ , $-8x + 192 = x^2 - 4x$ , t. y. $x^2 + 4x - 192 = 0$ . $D = 16 + 768 = 784$ , $\sqrt{D} = 28$ , $x = 12$ arba $x = -16$ ; neigiamą atmetame. Patikrinimas: $48 : 12 = 4$ val., $40 : 8 = 5$ val.

10. Išspręsk lygčių sistemą $\begin{cases} x + y = 9 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $(3; 6)$ ir $(6; 3)$ .

Apibrėžimo sritis: $x \neq 0$ , $y \neq 0$ . Įstatome $y = 9 - x$ : $\frac{1}{x} + \frac{1}{9-x} = \frac{1}{2}$ . Padauginę iš $2x(9-x)$ : $2(9-x) + 2x = x(9-x)$ , $18 = 9x - x^2$ , $x^2 - 9x + 18 = 0$ , todėl $x = 3$ arba $x = 6$ . Tada $y = 6$ arba $y = 3$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo trupmeninė racionalioji lygtis skiriasi nuo sveikosios?

Sveikojoje racionaliojoje lygtyje nežinomojo vardiklyje nėra, pavyzdžiui, x, padalytas iš 3, plius 1 lygu 5. Ją sprendžiame įprastai, ir draudžiamų reikšmių nėra. Trupmeninėje lygtyje nežinomasis yra bent viename vardiklyje, todėl pirmiausia randame reikšmes, su kuriomis vardiklis lygus nuliui, o pabaigoje gautus sprendinius su jomis palyginame.

Ar algebrinę trupmeną galima prastinti taip pat kaip skaičių trupmeną?

Taip, bet prastinti galima tik bendrus daugiklius, todėl pirmiausia skaitiklį ir vardiklį išskaidyk dauginamaisiais. Be to, išbraukto daugiklio nulis lieka draudžiamas, nes suprastinta trupmena galioja tik ten, kur buvo apibrėžta pradinė.

Kaip spręsti sudėtingesnes racionaliąsias lygtis?

Planas tas pats: apibrėžimo sritis, viena trupmena, skaitiklis lygus nuliui, netinkamų sprendinių atmetimas. Vardiklius pirmiausia išskaidyk dauginamaisiais, kad rastum mažiausią bendrą vardiklį ir nedaugintum iš per didelio reiškinio. Jei lygtyje kelis kartus kartojasi tas pats reiškinys, jį patogu pažymėti nauja raide ir pirmiausia išspręsti paprastesnę lygtį.

Taip pat: Trupmenų daugyba ir dalyba · Daugianariai · Matematikos PUPP

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 3 p., 10.8 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt