Trupmenos: nuo vienodų vardiklių iki bendro vardiklio

Kas yra trupmena: skaitiklis, vardiklis ir trupmenų rūšys

Padalyk juostą į 7 lygias dalis ir nuspalvink 4, kaip brėžinyje žemiau. Nuspalvinta juostos dalis užrašoma trupmena $\frac{4}{7}$ ir skaitoma „keturios septintosios“. Brūkšnys tarp skaičių vadinamas trupmenos brūkšniu.

Vardiklis 7 rodo, kokio dydžio yra viena dalis: kuo didesnis vardiklis, tuo mažesnės dalys. Skaitiklis 4 rodo, kiek tokių dalių paimta. Dalys turi būti lygios. Jei juostą sukarpytum į nevienodus gabalus, trupmena nieko tikslaus nepasakytų.

• 4 klasė. Natūralųjį skaičių galima užrašyti trupmena, kurios vardiklis lygus 1: $5 = \frac{5}{1}$. Kai skaitiklis lygus vardikliui, paimta visa visuma: $\frac{7}{7} = 1$.
• 5 klasė. Trupmena, kurios skaitiklis mažesnis už vardiklį, vadinama taisyklingąja, pavyzdžiui, $\frac{4}{7}$. Ji visada mažesnė už 1.
• 5 klasė. Trupmena, kurios skaitiklis lygus vardikliui arba už jį didesnis, vadinama netaisyklingąja, pavyzdžiui, $\frac{11}{4}$. Ji lygi 1 arba didesnė už 1.
• 4 klasė. Trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100 arba 1000, galima užrašyti dešimtainiu skaičiumi su kableliu: $\frac{7}{10} = 0{,}7$, $\frac{63}{100} = 0{,}63$, $\frac{9}{1000} = 0{,}009$. Po kablelio rašoma tiek skaitmenų, kiek nulių yra vardiklyje. Šimtosios dalys vėliau tampa procentais: $\frac{63}{100}$ yra $63\,\%$. Apie dešimtaines trupmenas daugiau rasi puslapyje Dešimtainės trupmenos.

Kas yra mišrusis skaičius?

Mišrusis skaičius turi dvi dalis: sveikąją ir trupmeninę. Užrašas $2\frac{3}{5}$ skaitomas „du sveiki ir trys penktosios“ ir reiškia $2 + \frac{3}{5}$. Trupmeninė mišriojo skaičiaus dalis visada mažesnė už 1.

4 klasė. Mišriuosius skaičius pirmiausia lygink pagal sveikąją dalį: $3\frac{1}{6} > 2\frac{5}{6}$, nes antrasis skaičius net nepasiekia 3. Kai sveikosios dalys lygios, lygink trupmenines dalis: $4\frac{5}{8} > 4\frac{3}{8}$.

4 klasė. Apvalinant iki sveikojo skaičiaus, svarbu, ar trupmeninė dalis mažesnė už pusę. Kaip tai pamatyti? Padvigubink skaitiklį. Jei gauni mažiau nei vardiklis, paimta mažiau nei pusė dalių. Tada sveikoji dalis nesikeičia: $6\frac{2}{9} \approx 6$, nes $2 \cdot 2 = 4$, o $4 < 9$. Jei gauni tiek pat, kiek vardiklis, arba daugiau, trupmeninė dalis lygi pusei arba didesnė. Tada sveikoji dalis padidėja vienetu: $6\frac{7}{9} \approx 7$, nes $7 \cdot 2 = 14$, o $14 > 9$.

5 klasė. Paverskime netaisyklingąją trupmeną $\frac{23}{6}$ mišriuoju skaičiumi. Pirma, padalyk skaitiklį iš vardiklio su liekana: $23 : 6 = 3$, liekana 5. Antra, dalmuo 3 tampa sveikąja dalimi. Trečia, liekana 5 tampa skaitikliu, o vardiklis 6 nesikeičia. Gauni $\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$.

5 klasė. Dabar atvirkščiai: užrašykime $4\frac{2}{3}$ netaisyklingąja trupmena. Pirma, sveikąją dalį padaugink iš vardiklio: $4 \cdot 3 = 12$, tiek trečdalių telpa keturiuose sveikuose. Antra, pridėk skaitiklį: $12 + 2 = 14$. Trečia, vardiklis lieka 3. Gauni $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$. Pasitikrink atgal: $14 : 3 = 4$, liekana 2.

Kaip suprastinti trupmeną?

Padalyk juostą į 5 lygias dalis ir nuspalvink 2. Dabar kiekvieną dalį perpjauk pusiau: dalių bus 10, o nuspalvintų 4. Nuspalvintos juostos nepadaugėjo, todėl $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$. Tai pagrindinė trupmenos savybė: jei skaitiklį ir vardiklį padauginsi arba padalysi iš to paties skaičiaus (ne nulio), trupmenos reikšmė nepasikeis.

5 klasė. Suprastinti trupmeną reiškia padalyti jos skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, didesnio už 1. Galima eiti žingsniais. Trupmenos $\frac{40}{56}$ skaitiklis ir vardiklis yra lyginiai, todėl dalijame iš 2 ir gauname $\frac{20}{28}$. Vėl iš 2: $\frac{10}{14}$. Dar kartą iš 2: $\frac{5}{7}$.

Vienu žingsniu dalyk iš didžiausiojo bendrojo daliklio (DBD). Tai didžiausias skaičius, iš kurio dalijasi ir skaitiklis, ir vardiklis. Skaičiaus 40 dalikliai: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Skaičiaus 56 dalikliai: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Didžiausias bendrasis daliklis yra 8, todėl $$\frac{40}{56} = \frac{40 : 8}{56 : 8} = \frac{5}{7}$$

Trupmena yra nesuprastinama, kai jos skaitiklis ir vardiklis neturi bendro daliklio, didesnio už 1. Tokios yra $\frac{5}{7}$ ir $\frac{8}{9}$. Jei uždavinyje neprašoma kitaip, atsakymą užrašyk nesuprastinama trupmena.

Ta pati savybė leidžia vardiklį ir padidinti: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$. To prireikia sudedant, atimant ir lyginant trupmenas.

Kaip palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais?

5 klasė. Yra keturi būdai. Pirmieji du tinka, kai vardikliai arba skaitikliai vienodi. Trečiasis tinka visada. Ketvirtasis kartais leidžia palyginti greičiau, beveik nieko neskaičiuojant.

• Vienodi vardikliai. Didesnė ta trupmena, kurios skaitiklis didesnis: $\frac{5}{9} > \frac{2}{9}$. Dalys vienodo dydžio, todėl daugiau yra ten, kur jų paimta daugiau.
• Vienodi skaitikliai. Didesnė ta trupmena, kurios vardiklis mažesnis: $\frac{3}{8} > \frac{3}{10}$. Aštuntoji dalis didesnė už dešimtąją, todėl trys aštuntosios didesnės už tris dešimtąsias.
• Bendras vardiklis. Palyginkime $\frac{5}{6}$ ir $\frac{7}{9}$. Mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš 6, ir iš 9, yra 18. Jis vadinamas mažiausiuoju bendruoju kartotiniu (MBK). Kadangi $18 : 6 = 3$, tai $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$. Kadangi $18 : 9 = 2$, tai $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$. Kadangi $15 > 14$, tai $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.
• Palyginimas su puse arba su 1. Kartais užtenka pažiūrėti, kuri trupmena mažesnė už pusę, o kuri didesnė. Kaip ir apvalinant, padvigubink skaitiklį ir palygink su vardikliu. Trupmena $\frac{4}{9}$ mažesnė už pusę, nes $4 \cdot 2 = 8$, o $8 < 9$. Trupmena $\frac{5}{8}$ didesnė už pusę, nes $5 \cdot 2 = 10$, o $10 > 8$. Todėl $\frac{4}{9} < \frac{5}{8}$. Taip pat $\frac{8}{7} > \frac{11}{12}$, nes pirmoji trupmena didesnė už 1, o antroji mažesnė už 1.

Kaip sudėti ir atimti trupmenas?

4 klasė. Kai vardikliai vienodi, sudėk arba atimk skaitiklius, o vardiklį perrašyk tą patį: $\frac{2}{9} + \frac{6}{9} = \frac{8}{9}$ ir $\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$. Dalys lieka tokio paties dydžio, tu tik skaičiuoji, kiek jų yra. 4 klasėje tokios sumos neviršija 1.

4 klasė. Mišriuosius skaičius su vienodais vardikliais sudėk ir atimk dalimis: sveikąsias dalis atskirai, trupmenines atskirai. Pavyzdžiui, $1\frac{1}{3} + 3\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}$ ir $6\frac{7}{9} - 4\frac{5}{9} = 2\frac{2}{9}$. 4 klasės uždaviniuose trupmeninių dalių suma neviršija 1, o atimant nereikia skolintis.

5 klasė. Kai vardikliai skirtingi, rask jų mažiausiąjį bendrąjį kartotinį ir perrašyk abi trupmenas tuo vardikliu. Tada sudėk arba atimk skaitiklius ir, jei galima, atsakymą suprastink.

5 klasė. Mišriuosius skaičius ir toliau sudėk dalimis, tik dabar trupmeninių dalių suma gali viršyti 1. Tada tą vienetą perkelk prie sveikųjų. Pavyzdžiui, sudėkime $2\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$. Pirma perrašome $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Sveikosios dalys: $2 + 1 = 3$. Trupmeninės dalys: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$. Tą 1 pridedame prie sveikųjų: $3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$. Jei atimant pirmojo skaičiaus trupmeninė dalis mažesnė už antrojo, pasiskolink 1 iš sveikosios dalies. Kaip tai daroma, rodo trečiasis pavyzdys.

Kaip trupmeną padauginti iš natūraliojo skaičiaus (5 klasė), kaip dauginti ir dalyti trupmenas ir kas yra atvirkštiniai skaičiai (6 klasė), rasi puslapyje Trupmenų daugyba ir dalyba.

Trupmenų taisyklės ir kada jas taikyti

Lentelėje surinktos aukščiau aptartos taisyklės. Raidės žymi natūraliuosius skaičius, o vardiklis niekada nebūna lygus nuliui. Atimant čia visada iš didesnės trupmenos atimama mažesnė.

Dažnos klaidos su trupmenomis

Šias klaidas verta atpažinti savo darbe. Prie kiekvienos parašyta, kaip jos išvengti.

• Sudedami ir skaitikliai, ir vardikliai: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$. Mokinys pamiršta, kad vardiklis rodo dalių dydį, o sudėjus penktąsias jos netampa dešimtosiomis. Teisingai: $\frac{3}{5}$. Kai vardikliai skirtingi, pirmiausia reikia bendro vardiklio.
• Prastinama atimant: iš $\frac{6}{8}$ skaitiklio ir vardiklio atėmus po 2, gaunama $\frac{4}{6}$. Bet $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, o $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, ir tai skirtingi skaičiai. Prastinti galima tik dalijant skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus.
• Keičiamas tik vardiklis: $\frac{2}{3}$ paverčiama penkioliktosiomis ir užrašoma $\frac{2}{15}$. Jei vardiklis padaugintas iš 5, iš 5 reikia padauginti ir skaitiklį: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$.
• Klystama skolinantis. Atimant $4\frac{1}{5} - 1\frac{3}{5}$, pasiskolintas vienetas yra $\frac{5}{5}$, todėl $4\frac{1}{5} = 3\frac{6}{5}$, o atsakymas $2\frac{3}{5}$. Mokinys pasiskolina, bet pamiršta sumažinti sveikąją dalį ir gauna $3\frac{3}{5}$. Arba, įpratęs prie atimties stulpeliu, prie skaitiklio prideda 10, o ne 5.
• Vienodų skaitiklių trupmenos lyginamos atvirkščiai: kadangi $9 > 7$, mokinys rašo $\frac{2}{9} > \frac{2}{7}$. Iš tikrųjų devintoji dalis mažesnė už septintąją, todėl $\frac{2}{9} < \frac{2}{7}$. Kai abejoji, nusibraižyk dvi vienodo ilgio juostas ir palygink.

Trupmenos NMPP ir PUPP užduotyse

NMPP yra nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas, o PUPP yra pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. Čia nurodytos 2027 m. patikrinimų datos. Kokios temos tikrinamos ir kokias priemones galima naudoti, parašyta pagal 2026 m. taisykles, nes 2027 m. taisyklės dar nepatvirtintos.

• Matematikos NMPP 4 klasėje vyks 2027 m. kovo 3 d. Per šį patikrinimą gali būti trupmenų uždavinių, taip pat ir iš 4 klasės. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 1–3 klasių temų, o iš 4 klasės turinio neįtraukiama: erdvės figūros; duomenys ir jų interpretavimas; tikimybės ir jų interpretavimas. Trupmenų tarp šių išimčių nėra. 2026 m. buvo leidžiamos šios priemonės: popieriaus lapai užrašams, rašymo priemonės, liniuotė, pieštukas, trintukas; skaičiuotuvo leidžiamų priemonių sąraše nėra. Vadinasi, skaičiuotuvu naudotis nebuvo galima.
• Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Čia gali būti 5 ir 6 klasių trupmenų uždavinių. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. 2026 m. buvo leidžiamos šios priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama.
• Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Jį laiko 10 (II gimnazijos) klasės mokiniai. Trupmenos čia naudojamos kitų temų uždaviniuose, pavyzdžiui, skaičiuojant reiškinio reikšmę ar sprendžiant lygtį. 2026 m. buvo leidžiamos šios priemonės: atspausdintas PUPP formulių rinkinys, mokyklos spaudu pažymėti A4 lapai užrašams, skaičiuotuvas be tekstinės atminties, mėlynas ar juodas rašiklis, pieštukas, trintukas, liniuotė.

• Matematikos NMPP 4 klasėje Kaip vyksta patikrinimas ir ką verta pakartoti.
• Matematikos NMPP 8 klasėje Kas tikrinama aštuntoje klasėje ir kaip ruoštis.

Trupmenų uždaviniai su atsakymais

Išspręsk uždavinį sąsiuvinyje, tik tada atsiversk atsakymą. Atsakymą užrašyk nesuprastinama trupmena arba mišriuoju skaičiumi, kaip prašoma uždavinyje.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni