Dešimtainės trupmenos: kablelis, palyginimas ir veiksmai

Kas yra dešimtainė trupmena: dešimtosios, šimtosios, tūkstantosios

Paimk metro ilgio liniuotę. Padalyk metrą į 10 lygių dalių: viena dalis yra decimetras, t. y. $\frac{1}{10}$ metro, ir užrašoma $0{,}1$ m. Padalyk metrą į 100 lygių dalių: viena dalis yra centimetras, $0{,}01$ m. Padalyk į 1000 dalių ir gausi milimetrą, $0{,}001$ m. Po kablelio rašoma tiek skaitmenų, kiek nulių turi vardiklis.

Kiekvienas skaitmuo stovi savo vietoje, kuri vadinama skyriumi. Skaičiuje $46{,}295$ skaitmuo 4 reiškia dešimtis, 6 – vienetus, 2 – dešimtąsias, 9 – šimtąsias, o 5 – tūkstantąsias. Todėl skaičių galima užrašyti skyrių suma: $$\begin{gathered} 46{,}295 = \\ = 40 + 6 + \frac{2}{10} + \frac{9}{100} + \frac{5}{1000} \end{gathered}$$

Dešimtainė trupmena skaitoma pagal paskutinio skaitmens skyrių. Skaičius $46{,}295$ baigiasi tūkstantosiomis, todėl skaitomas „keturiasdešimt šeši sveiki du šimtai devyniasdešimt penkios tūkstantosios“. Skaičius $0{,}08$ skaitomas „nulis sveikų aštuonios šimtosios“.

Nuliai, prirašyti dešinėje po kablelio, skaičiaus nekeičia: $5{,}4 = 5{,}40 = 5{,}400$, nes 4 dešimtosios yra tiek pat, kiek 40 šimtųjų. Kainose po kablelio rašomi du skaitmenys, jie rodo centus. Todėl 2,7 euro rašoma 2,70 euro: septynios dešimtosios euro yra 70 centų. O nulis iškart po kablelio svarbus: $5{,}04$ turi 4 šimtąsias, o $5{,}4$ turi 4 dešimtąsias, todėl $5{,}04 < 5{,}4$.

Skaičių tiesėje atkarpa tarp dviejų gretimų skaičių, pavyzdžiui, tarp 2 ir 3, dalijama į 10 dešimtųjų, o kiekviena dešimtoji dar į 10 šimtųjų. Brėžinyje taškas A žymi $2{,}3$. Taškas B yra per vidurį tarp $2{,}8$ ir $2{,}9$, t. y. tarp $2{,}80$ ir $2{,}90$, todėl jis žymi $2{,}85$.

Dešimtainių trupmenų palyginimas ir apvalinimas

Pirmiausia palygink sveikąsias dalis: $9{,}1 > 8{,}97$, nes 9 daugiau už 8. Kai sveikosios dalys lygios, lygink skyrius po kablelio iš kairės į dešinę: dešimtąsias, tada šimtąsias, tada tūkstantąsias.

Patogiausia pirma prirašyti nulių, kad po kablelio abu skaičiai turėtų tiek pat skaitmenų. Palygink $2{,}7$ ir $2{,}695$. Prirašyk nulius: $2{,}700$ ir $2{,}695$. Dabar lygink kaip natūraliuosius skaičius: $700 > 695$, todėl $2{,}7 > 2{,}695$. Ilgesnis užrašas dar nereiškia, kad skaičius didesnis.

Apvalindamas žiūrėk į skaitmenį, kuris stovi iškart už tos vietos, iki kurios apvalini. Jei jis 0, 1, 2, 3 arba 4, paskutinis paliekamas skaitmuo nesikeičia. Jei jis 5, 6, 7, 8 arba 9, paskutinis paliekamas skaitmuo padidėja vienetu. Visi skaitmenys už jo nubraukiami. Pavyzdžiui, iki dešimtųjų $6{,}348 \approx 6{,}3$, o iki šimtųjų $6{,}348 \approx 6{,}35$.

Kartais padidėjimas pereina į kitą skyrių. Apvalinant $4{,}97$ iki dešimtųjų, 9 dešimtosios virsta 10 dešimtųjų, t. y. vienu sveiku, todėl $4{,}97 \approx 5{,}0$. Nulį po kablelio palik: jis rodo, kad skaičius suapvalintas iki dešimtųjų.

• Skaičių skyriai ir apvalinimas Apvalinimas iki dešimčių, šimtų ir tūkstančių.

Paprastosios ir dešimtainės trupmenos

Dešimtainę trupmeną paversti paprastąja lengva: perskaityk ją ir užrašyk, ką perskaitei. $0{,}65$ yra „šešiasdešimt penkios šimtosios“, todėl $0{,}65 = \frac{65}{100}$. Paskui suprastink trupmeną: $\frac{65}{100} = \frac{13}{20}$. Jei yra sveikoji dalis, gausi mišrųjį skaičių: $2{,}8 = 2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5}$.

Paprastąją trupmeną paversti dešimtaine galima dviem būdais. Pirmasis: išplėsk trupmeną iki vardiklio 10, 100 arba 1000, pavyzdžiui, $\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100} = 0{,}55$. Antrasis tinka visada: padalyk skaitiklį iš vardiklio, nes trupmenos brūkšnys reiškia dalybą. Taip $\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625$.

6 klasė. Ne kiekvieną trupmeną galima išplėsti iki vardiklio 10, 100 ar 1000. Kadangi $10 = 2 \cdot 5$, taip išplėsti galima tik trupmeną, kurios vardiklį sudaro vien dauginamieji 2 ir 5, pavyzdžiui, $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$. Jei suprastintos trupmenos vardiklyje yra kitas pirminis dauginamasis, pavyzdžiui, 3 arba 7, dalyba niekada nesibaigia, o skaitmenys po kablelio pradeda kartotis. Tokia trupmena užrašoma begaline periodine dešimtaine trupmena: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$, o $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$. Skliaustuose rašoma besikartojanti dalis, vadinama periodu.

Prieš tikrindamas vardiklį, trupmeną suprastink. Trupmenos $\frac{21}{28}$ vardiklyje yra 7, bet $\frac{21}{28} = \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$, todėl ji užrašoma baigtine dešimtaine trupmena. Šimtosios dalys dar vadinamos procentais: $0{,}75 = 75\,\%$.

Dešimtainių trupmenų sudėtis ir atimtis

Rašyk skaičius stulpeliu taip, kad kablelis būtų po kableliu. Tada dešimtosios atsiduria po dešimtosiomis, šimtosios po šimtosiomis, ir sudedi tik vienodas dalis, kaip vienetus su vienetais. Tuščias vietas užpildyk nuliais. Sudėk arba atimk kaip natūraliuosius skaičius, o atsakyme kablelį padėk po kableliais.

4 klasėje sudedamos ir atimamos trupmenos su vienu ar dviem skaitmenimis po kablelio. 5 klasėje skaitmenų po kablelio gali būti ir daugiau. Atimant iš natūraliojo skaičiaus, jį patogu užrašyti su nuliais: $8 = 8{,}00$.

Dešimtainių trupmenų daugyba

Daugindamas iš 10, 100 arba 1000, perkelk kablelį į dešinę per tiek skaitmenų, kiek nulių turi daugiklis. Jei skaitmenų trūksta, prirašyk nulių: $0{,}47 \cdot 100 = 47$, $3{,}2 \cdot 1000 = 3200$. Taip yra todėl, kad padauginus iš 10 kiekvienas skaitmuo pereina į 10 kartų didesnį skyrių: šimtosios tampa dešimtosiomis, dešimtosios – vienetais. Padauginus iš 100, skaitmuo pasislenka per du skyrius, iš 1000 – per tris.

Dvi dešimtaines trupmenas daugink kaip natūraliuosius skaičius, nekreipdamas dėmesio į kablelius. Tada sandaugoje kableliu atskirk iš dešinės tiek skaitmenų, kiek jų po kablelio turi abu daugikliai kartu. Kodėl? Apskaičiuok $0{,}6 \cdot 0{,}07$. Nubraukęs kablelius, $0{,}6$ padidini 10 kartų, o $0{,}07$ – 100 kartų. Todėl sandauga $6 \cdot 7 = 42$ yra $10 \cdot 100 = 1000$ kartų per didelė. Padalijus iš 1000, gaunama $0{,}042$: trys skaitmenys po kablelio, kaip abiejuose daugikliuose kartu.

Tą patį parodo paprastųjų trupmenų daugyba: $\frac{6}{10} \cdot \frac{7}{100} = \frac{42}{1000} = 0{,}042$.

Dalyba iš dešimtainės trupmenos

Pirmiausia dalyba iš natūraliojo skaičiaus. Dalyk kampu, kaip natūraliuosius skaičius. Kai nukeli pirmą skaitmenį po kablelio, dalmenyje padėk kablelį. Jei lieka liekana, prirašyk dalinyje nulį ir dalyk toliau. Pavyzdžiui, $7{,}8 : 4$. Pirma $7 : 4 = 1$, liekana 3. Nukeli 8, o tai jau dešimtosios, todėl dalmenyje rašai kablelį: $38 : 4 = 9$, liekana 2. Prirašai nulį: $20 : 4 = 5$. Gauni $7{,}8 : 4 = 1{,}95$.

Dalydamas iš 10, 100 arba 1000, perkelk kablelį į kairę per tiek skaitmenų, kiek nulių turi daliklis: $36{,}5 : 100 = 0{,}365$.

Kai daliklis yra dešimtainė trupmena, padaugink dalinį ir daliklį iš to paties skaičiaus 10, 100 arba 1000 taip, kad daliklis taptų natūraliuoju skaičiumi. Dalmuo nuo to nepasikeičia. Kodėl? Dalmuo rodo, kiek kartų daliklis telpa dalinyje. Užrašyk abu skaičius tomis pačiomis dalimis: $2{,}4$ yra 240 šimtųjų, o $0{,}06$ – 6 šimtosios. Todėl $2{,}4 : 0{,}06$ klausia, kiek kartų 6 šimtosios telpa 240 šimtųjų. Tiek pat kartų, kiek 6 telpa skaičiuje 240, todėl $2{,}4 : 0{,}06 = 240 : 6 = 40$.

Atkreipk dėmesį: dalijant iš skaičiaus, mažesnio už 1, dalmuo gaunamas didesnis už dalinį. Tai ne klaida.

• Dalyba kampu Dalybos kampu žingsniai su natūraliaisiais skaičiais.

Dešimtainių trupmenų taisyklės ir kada jas taikyti

Visos šios taisyklės kyla iš to paties: dešimtainė trupmena yra trupmena, kurios vardiklis 10, 100, 1000 ir t. t. Raidės $a$ ir $b$ lentelėje žymi bet kokius skaičius, tik iš nulio dalyti negalima.

Dažnos klaidos su dešimtainėmis trupmenomis

Šias klaidas lengva padaryti skubant. Prie kiekvienos parašyta, kaip jos išvengti.

• Skaičiai sulygiuojami pagal paskutinį skaitmenį, o ne pagal kablelį. Taip sudėjus $6{,}4 + 1{,}23$, gaunama $1{,}87$, nors suma turi būti didesnė už 6. Teisingai: $6{,}40 + 1{,}23 = 7{,}63$. Rašyk kablelį po kableliu ir prirašyk nulius.
• Ilgesnis užrašas laikomas didesniu skaičiumi: rašoma $3{,}125 > 3{,}2$, nes 125 daugiau už 2. Prirašius nulius matyti, kad $3{,}125 < 3{,}200$.
• Sandaugoje atskiriama per mažai skaitmenų: $0{,}2 \cdot 0{,}4 = 0{,}8$. Teisingai $0{,}08$, nes abu daugikliai kartu turi du skaitmenis po kablelio. Sudauginus du skaičius, mažesnius už 1, sandauga mažesnė už kiekvieną iš jų, o $0{,}8$ didesnis už abu.
• Dalijant iš dešimtainės trupmenos, kablelis perkeliamas tik daliklyje: $1{,}8 : 0{,}3$ virsta $1{,}8 : 3 = 0{,}6$. Iš 10 reikia dauginti abu skaičius: $18 : 3 = 6$.
• Trupmena verčiama dešimtaine, sujungiant skaitiklį ir vardiklį kableliu: $\frac{2}{5}$ užrašoma $2{,}5$. Bet $\frac{2}{5}$ mažesnė už 1, o $2{,}5$ didesnis už 2. Teisingai $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$.
• Apvalinant skaitmenys tiesiog nubraukiami, nepažiūrėjus į kitą skaitmenį: $3{,}96$ iki dešimtųjų užrašoma $3{,}9$. Kitas skaitmuo yra 6, todėl dešimtosios padidėja ir $3{,}96 \approx 4{,}0$.

Dešimtainės trupmenos ir NMPP

NMPP yra nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas. Datos nurodytos 2027 metams. 2026 m. spalio 1 d. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) paskelbė, kad NMPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui. Kol nauji aprašai nepatvirtinti, naujausia patvirtinta tvarka yra 2026 m. Todėl turinys ir priemonės nurodyti pagal ją.

• Matematikos NMPP 4 klasėje vyks 2027 m. kovo 3 d. Per jį gali būti dešimtainių trupmenų užrašymas, kainų lyginimas, sudėtis ir atimtis. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 1–3 klasių temų, o iš 4 klasės turinio neįtraukiama: erdvės figūros; duomenys ir jų interpretavimas; tikimybės ir jų interpretavimas. Dešimtainės trupmenos yra 4 klasės turinys, o tarp neįtraukiamų temų jų nėra. 2026 m. mokiniai galėjo naudotis tik vykdymo instrukcijoje nurodytomis priemonėmis: popieriaus lapai užrašams, rašymo priemonės, liniuotė, pieštukas, trintukas; skaičiuotuvo leidžiamų priemonių sąraše nėra.
• Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Dešimtainių trupmenų mokomasi ir 5–6 klasėse, todėl jos gali būti ir per NMPP 8. 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, 2026 m. skaičiuotuvu nebuvo galima naudotis nė per vieną iš šių patikrinimų, todėl visi šio puslapio uždaviniai sprendžiami be jo.

• NŠA: NMPP užduočių pradiniam ugdymui aprašas (PDF)
• NŠA: matematikos NMPP 4 klasėje elektroninio vykdymo instrukcija (PDF)
• NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF)
• Matematikos NMPP 4 klasėje Patikrinimo tvarka ketvirtokams ir jų tėvams.
• Matematikos NMPP 8 klasėje Patikrinimo tvarka aštuntokams ir pasiruošimo uždaviniai.

Dešimtainių trupmenų uždaviniai su atsakymais

Spręsk sąsiuvinyje, be skaičiuotuvo. Atsakymą atsiversk tik tada, kai turėsi savo.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni

• Vidurkis, mediana ir moda Kitas žingsnis: vidurkiai dažnai būna dešimtainės trupmenos.
• Racionalieji skaičiai 6 klasė: neigiamosios trupmenos ir veiksmai su jomis.
• Matematikos užduotys 5 klasei Daugiau uždavinių pagal 5 klasės temas.
• Matematikos užduotys 6 klasei Daugiau uždavinių pagal 6 klasės temas.