Exacta

Racionalieji skaičiai: neigiami skaičiai, veiksmai su jais ir koordinačių plokštuma

Racionalusis skaičius – tai skaičius, kurį galima užrašyti trupmena mn\frac{m}{n}. Jos skaitiklis mm – sveikasis skaičius (pavyzdžiui, −3-3, 00 ar 55), o vardiklis nn – natūralusis (1,2,3,…1, 2, 3, \ldots). Racionalieji yra visi sveikieji skaičiai, paprastosios trupmenos, baigtinės ir periodinės dešimtainės trupmenos, mišrieji skaičiai – ir teigiami, ir neigiami: −3=−31-3 = \frac{-3}{1}, 0,7=7100{,}7 = \frac{7}{10}, −125=−75-1\frac{2}{5} = \frac{-7}{5}. 6 klasėje mokaisi juos pažymėti skaičių tiesėje, palyginti, sudėti, atimti, dauginti ir dalyti. Dar mokaisi koordinačių plokštumoje rasti tašką pagal dvi koordinates.

Racionalieji skaičiai – kas tai?

Skaičių šeima plečiama palaipsniui. Natūralieji skaičiai 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots skirti daiktams skaičiuoti. Pridėjus nulį ir neigiamuosius skaičius −1,−2,−3,…-1, -2, -3, \ldots, gaunami sveikieji skaičiai. Pridėjus dar visas trupmenas, teigiamas ir neigiamas, gaunami racionalieji skaičiai. Kiekvienas natūralusis skaičius yra sveikasis, o kiekvienas sveikasis – racionalusis: 4=414 = \frac{4}{1}, −9=−91-9 = \frac{-9}{1}, 0=010 = \frac{0}{1}.

Skaičius, didesnis už nulį, vadinamas teigiamuoju, o mažesnis už nulį – neigiamuoju. Neigiamas skaičius rašomas su minuso ženklu: −5-5, −0,2-0{,}2, −37-\frac{3}{7}. Pliusas prieš teigiamą skaičių paprastai nerašomas: +8=8+8 = 8. Nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas. Neigiamų skaičių prireikia, kai dydis gali būti mažesnis už nulį: temperatūra žemiau 0 °C, vieta žemiau jūros lygio, skola.

Kiekvieną racionalųjį skaičių galima užrašyti dešimtaine trupmena: baigtine, pavyzdžiui, 38=0,375\frac{3}{8} = 0{,}375, arba begaline periodine, pavyzdžiui, 211=0,1818…=0,(18)\frac{2}{11} = 0{,}1818\ldots = 0{,}(18). Skaitmenys skliaustuose kartojasi be galo. Jie vadinami periodu. Kodėl dalyba arba baigiasi, arba ima kartotis? Dalijant kampu iš 11, liekana visada mažesnė už 11. Todėl anksčiau ar vėliau kuri nors liekana pasikartoja, o nuo jos ima kartotis ir skaitmenys. Kada trupmeną galima užrašyti baigtine dešimtaine trupmena, sužinosi puslapyje Dešimtainės trupmenos.

Ne kiekvienas skaičius yra racionalusis. 8 klasėje susipažinsi su iracionaliaisiais skaičiais. Jų dešimtainė trupmena begalinė ir neturi periodo, pavyzdžiui, 2=1,4142…\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots Apie juos plačiau – puslapyje Šaknys.

Kuriai skaičių grupei priklauso skaičius

Duoti skaičiai: −7-7; 00; 2,42{,}4; −38-\frac{3}{8}; 1515; −112-1\frac{1}{2}; 0,(3)0{,}(3). Kurie iš jų natūralieji, kurie sveikieji, o kurie racionalieji? Kiekvieną racionalųjį skaičių užrašyk nesuprastinama trupmena mn\frac{m}{n}, kurios mm – sveikasis, o nn – natūralusis skaičius.

  1. Natūralieji skaičiai yra 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots Iš duotųjų natūralusis tik 1515.
  2. Sveikieji skaičiai – tai natūralieji skaičiai, nulis ir neigiami skaičiai −1,−2,−3,…-1, -2, -3, \ldots Iš duotųjų tai −7-7, 00 ir 1515. Skaičiai 2,42{,}4, −38-\frac{3}{8}, −112-1\frac{1}{2} ir 0,(3)0{,}(3) turi trupmeninę dalį, todėl sveikieji nėra.
  3. Racionalieji yra visi septyni skaičiai: −7=−71-7 = \frac{-7}{1}, 0=010 = \frac{0}{1}, 2,4=2410=1252{,}4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}, −38=−38-\frac{3}{8} = \frac{-3}{8}, 15=15115 = \frac{15}{1}, −112=−32-1\frac{1}{2} = \frac{-3}{2}.
  4. Paskutinį skaičių atpažinti padeda dalyba: 1:3=0,333…=0,(3)1 : 3 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3), todėl 0,(3)=130{,}(3) = \frac{1}{3}. Begalinė periodinė dešimtainė trupmena irgi yra racionalusis skaičius.

Atsakymas: Natūralusis – 1515; sveikieji – −7-7, 00 ir 1515; racionalieji – visi septyni: −71\frac{-7}{1}, 01\frac{0}{1}, 125\frac{12}{5}, −38\frac{-3}{8}, 151\frac{15}{1}, −32\frac{-3}{2}, 13\frac{1}{3}.

Teigiami ir neigiami skaičiai skaičių tiesėje

Skaičių tiesė – tai tiesė, kurioje pažymėtas nulis, teigiamoji kryptis ir vienetinė atkarpa (atstumas nuo 0 iki 1). Teigiamieji skaičiai yra dešinėje nuo nulio, neigiamieji – kairėje. Skaičius −3-3 yra 3 vienetais kairiau nulio, o skaičius 33 – 3 vienetais dešiniau.

Du skaičiai, kurie skiriasi tik ženklu, vadinami priešingais: 77 ir −7-7, −29-\frac{2}{9} ir 29\frac{2}{9}. Skaičių tiesėje jie vienodai nutolę nuo nulio, tik į skirtingas puses. Skaičiui −4-4 priešingas yra 44. Priešingas skaičius žymimas minusu prieš skaičių: skaičiui aa priešingas yra −a-a, todėl −(−4)=4-(-4) = 4. Nuliui priešingas yra pats nulis.

Skaičiaus atstumas nuo nulio niekada nebūna neigiamas: skaičiams −6-6 ir 66 jis tas pats, 6 vienetai. Vėliau šis atstumas vadinamas skaičiaus moduliu. Jo prireiks sudedant skirtingų ženklų skaičius.

Skaičių tiesėje didesnis tas skaičius, kuris yra dešiniau. Iš to gaunamos trys taisyklės. Bet kuris teigiamas skaičius didesnis už nulį. Nulis didesnis už bet kurį neigiamą skaičių. Iš dviejų neigiamų skaičių didesnis tas, kuris arčiau nulio: −2>−5-2 > -5. Taip lyginamos ir neigiamos trupmenos. Kadangi 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, o 34=912\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, skaičius −23-\frac{2}{3} yra arčiau nulio. Todėl −23>−34-\frac{2}{3} > -\frac{3}{4}. Patikrinti padeda termometras: −2-2 °C šilčiau nei −5-5 °C.

Skaičiai ir jiems priešingi skaičiai skaičių tiesėje

Skaičių tiesėje pažymėk skaičius −2,5-2{,}5, −34-\frac{3}{4}, 1,51{,}5 ir jiems priešingus skaičius. Visus šešis skaičius surašyk didėjimo tvarka.

−3−2−10123−2,5−1,5−3/43/41,52,5
Priešingi skaičiai yra simetriški nulio atžvilgiu: −2,5-2{,}5 ir 2,52{,}5, −1,5-1{,}5 ir 1,51{,}5, −34-\frac{3}{4} ir 34\frac{3}{4}.
  1. Skaičiui −2,5-2{,}5 priešingas yra 2,52{,}5, skaičiui −34-\frac{3}{4} – skaičius 34\frac{3}{4}, o skaičiui 1,51{,}5 – skaičius −1,5-1{,}5.
  2. Žymime teigiamus skaičius: 2,52{,}5 – viduryje tarp 2 ir 3, 1,51{,}5 – viduryje tarp 1 ir 2, 34\frac{3}{4} – atkarpą nuo 0 iki 1 padalijus į keturias lygias dalis, ties trečiąja padala.
  3. Neigiamus skaičius žymime tokiu pat atstumu kairėje nuo nulio (žr. brėžinį).
  4. Didėjimo tvarka – tai tvarka iš kairės į dešinę. Iš neigiamų skaičių toliausiai nuo nulio yra −2,5-2{,}5, todėl jis mažiausias, o −34-\frac{3}{4} – didžiausias iš neigiamų.

Atsakymas: −2,5<−1,5<−34<34<1,5<2,5-2{,}5 < -1{,}5 < -\frac{3}{4} < \frac{3}{4} < 1{,}5 < 2{,}5.

Neigiamų skaičių sudėtis ir atimtis

Skaičių tiesėje sudėtį galima pavaizduoti kaip ėjimą. Pridėti teigiamą skaičių reiškia eiti į dešinę, o pridėti neigiamą – į kairę. Pavyzdžiui, −3+5-3 + 5: iš taško −3-3 einame 5 vienetus į dešinę ir atsiduriame taške 22. O 2+(−6)2 + (-6): iš taško 22 einame 6 vienetus į kairę ir atsiduriame taške −4-4.

Kad nereikėtų kaskart piešti tiesės, naudojamos dvi taisyklės. Kai dėmenų ženklai vienodi, sudėk jų atstumus nuo nulio ir parašyk tą patį ženklą: −7+(−8)=−15-7 + (-8) = -15. Kai ženklai skirtingi, iš didesnio atstumo atimk mažesnį. Tada parašyk ženklą to dėmens, kuris toliau nuo nulio: −12+5=−7-12 + 5 = -7, nes 12−5=712 - 5 = 7, o toliau nuo nulio yra −12-12. Panašiai −4,5+6=1,5-4{,}5 + 6 = 1{,}5, nes 6−4,5=1,56 - 4{,}5 = 1{,}5, o toliau nuo nulio yra 66.

Atimtis yra sudėčiai atvirkštinis veiksmas: 5−3=25 - 3 = 2, nes 3+2=53 + 2 = 5. Lygiai taip pat 5−(−3)5 - (-3) – tai skaičius, kurį reikia pridėti prie −3-3, kad gautume 55. Nuo −3-3 iki 55 skaičių tiesėje yra 8 vienetai, todėl 5−(−3)=85 - (-3) = 8, o tai lygu 5+35 + 3. Iš čia taisyklė: atimti skaičių – tas pats, kas pridėti jam priešingą skaičių, a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). Taigi −6−4=−6+(−4)=−10-6 - 4 = -6 + (-4) = -10, o −6−(−4)=−6+4=−2-6 - (-4) = -6 + 4 = -2.

Reiškinį, kuriame yra tik sudėtis ir atimtis, galima skaityti kaip skaičių su ženklais sumą. Ji vadinama algebrine suma. Pavyzdžiui, 8−13+6−98 - 13 + 6 - 9 yra skaičių 88, −13-13, 66 ir −9-9 suma. Dėmenis galima sukeisti ir grupuoti, jei kiekvienas pasilieka savo ženklą: (8+6)+(−13−9)=14−22=−8(8 + 6) + (-13 - 9) = 14 - 22 = -8.

Temperatūros pokytis per parą

Meteorologijos stotis per parą užrašė keturis matavimus: 3 val. nakties −6,5-6{,}5 °C, 9 val. ryto −2-2 °C, 15 val. 4,54{,}5 °C, 21 val. −1,5-1{,}5 °C. a) Kiek laipsnių pakilo temperatūra nuo 3 iki 15 val.? b) Kiek laipsnių ji nukrito nuo 15 iki 21 val.?

  1. Pokytis – tai vėlesnė reikšmė minus ankstesnė. a) Skaičiuojame 4,5−(−6,5)4{,}5 - (-6{,}5).
  2. Atimti −6,5-6{,}5 – tas pats, kas pridėti 6,56{,}5: 4,5+6,5=114{,}5 + 6{,}5 = 11. Pokytis teigiamas, vadinasi, temperatūra pakilo.
  3. Dažna klaida – parašyti 4,5−6,5=−24{,}5 - 6{,}5 = -2. Toks atsakymas negali būti teisingas: nuo −6,5-6{,}5 iki 00 temperatūra pakyla 6,56{,}5 laipsnio, o nuo 00 iki 4,54{,}5 – dar 4,54{,}5 laipsnio, iš viso 1111.
  4. b) −1,5−4,5=−1,5+(−4,5)=−6-1{,}5 - 4{,}5 = -1{,}5 + (-4{,}5) = -6. Pokytis neigiamas: temperatūra nukrito 6 laipsnius.

Atsakymas: a) 11 laipsnių; b) 6 laipsnius.

Racionaliųjų skaičių daugyba ir dalyba

Daugyba iš natūraliojo skaičiaus yra vienodų dėmenų sudėtis: 3⋅(−4)=(−4)+(−4)+(−4)=−123 \cdot (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12. Dauginamuosius sukeitus, sandauga nesikeičia, todėl ir (−4)⋅3=−12(-4) \cdot 3 = -12. Taigi skirtingų ženklų skaičių sandauga neigiama.

O kodėl (−3)⋅(−4)=12(-3) \cdot (-4) = 12? Pažvelk į sandaugas, kuriose pirmasis dauginamasis kaskart sumažėja vienetu: 2⋅(−4)=−81⋅(−4)=−40⋅(−4)=0(−1)⋅(−4)= ?\begin{aligned} 2 \cdot (-4) &= -8 \\ 1 \cdot (-4) &= -4 \\ 0 \cdot (-4) &= 0 \\ (-1) \cdot (-4) &= \ ? \end{aligned} Kiekviena sandauga 4 didesnė už ankstesnę. Kad dėsningumas nenutrūktų, toliau turi būti (−1)⋅(−4)=4(-1) \cdot (-4) = 4, (−2)⋅(−4)=8(-2) \cdot (-4) = 8 ir (−3)⋅(−4)=12(-3) \cdot (-4) = 12.

Taisyklė: vienodų ženklų skaičių sandauga teigiama, skirtingų – neigiama. Pirma nustatyk ženklą, paskui sudaugink skaičius be ženklų. Kai dauginamųjų daug, suskaičiuok neigiamuosius. Jei jų lyginis skaičius, sandauga teigiama, jei nelyginis – neigiama: (−1)⋅(−2)⋅(−3)=−6(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6, nes neigiamų dauginamųjų trys. Jei bent vienas dauginamasis lygus nuliui, sandauga lygi nuliui.

Dalyba tikrinama daugyba: (−20):4=−5(-20) : 4 = -5, nes (−5)⋅4=−20(-5) \cdot 4 = -20, o (−20):(−4)=5(-20) : (-4) = 5, nes 5⋅(−4)=−205 \cdot (-4) = -20. Todėl dalmens ženklas parenkamas taip pat kaip sandaugos. Iš nulio dalyti negalima.

Trupmenas su ženklais daugink ir dalyk taip, kaip mokeisi trupmenų daugybos ir dalybos temoje, tik pirma nustatyk ženklą. Neigiamo skaičiaus atvirkštinis skaičius irgi neigiamas: skaičiui −25-\frac{2}{5} atvirkštinis yra −52-\frac{5}{2}, nes jų sandauga lygi 11.

Daugyba ir dalyba su trupmenomis ir ženklais

Be skaičiuotuvo apskaičiuok (−34)⋅223:(−0,5)\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot 2\frac{2}{3} : (-0{,}5).

  1. Pirma ženklas. Reiškinyje du neigiami skaičiai – lyginis jų skaičius. Todėl rezultatas bus teigiamas, ir toliau skaičiuojame be minusų.
  2. Paverčiame paprastosiomis trupmenomis: 223=832\frac{2}{3} = \frac{8}{3}, 0,5=120{,}5 = \frac{1}{2}.
  3. Daugyba ir dalyba atliekamos iš kairės į dešinę: 34⋅83=3⋅84⋅3=2\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 3} = 2 (suprastinome 3 su 3 ir 8 su 4).
  4. Dalyti iš 12\frac{1}{2} – tas pats, kas dauginti iš atvirkštinio skaičiaus 22: 2:12=2⋅2=42 : \frac{1}{2} = 2 \cdot 2 = 4. Rezultatas teigiamas, kaip nustatėme pirmame žingsnyje.

Atsakymas: 44.

Racionaliųjų skaičių veiksmų taisyklės

Lentelėje raidės žymi bet kokius racionaliuosius skaičius. Užrašas −a-a reiškia skaičiui aa priešingą skaičių, ir jis nebūtinai neigiamas: kai a=−6a = -6, tai −a=6-a = 6. Šias taisykles išmok mintinai: jos reikalingos kiekviename skaičiavime su ženklais.

FormulėKada taikyti
−(−a)=a-(-a) = aKai prieš skaičių su minusu yra dar vienas minusas: −(−5)=5-(-5) = 5.Išmok mintinai
a+(−a)=0a + (-a) = 0Kai sudedami priešingi skaičiai, jų suma lygi nuliui: 3,5+(−3,5)=03{,}5 + (-3{,}5) = 0.Išmok mintinai
a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)Kai atimamas skaičius, ypač neigiamas: atimti – tas pats, kas pridėti priešingą skaičių. 4−(−6)=4+6=104 - (-6) = 4 + 6 = 10.Išmok mintinai
(−a)⋅b=a⋅(−b)=−(a⋅b)(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)Kai dauginant yra vienas minusas, jis lieka sandaugoje: (−2)⋅7=−14(-2) \cdot 7 = -14.Išmok mintinai
(−a)⋅(−b)=a⋅b(-a) \cdot (-b) = a \cdot bKai dauginant yra du minusai, jie vienas kitą panaikina: (−2)⋅(−7)=14(-2) \cdot (-7) = 14.Išmok mintinai
(−a):(−b)=a:b(−a):b=−(a:b)(b≠0)\begin{gathered} (-a) : (-b) = a : b \\ (-a) : b = -(a : b) \quad (b \neq 0) \end{gathered}Kai dalijama, ženklas parenkamas taip pat kaip daugyboje: (−12):(−3)=4(-12) : (-3) = 4, (−12):3=−4(-12) : 3 = -4. Iš nulio dalyti negalima.Išmok mintinai
−mn=−mn=m−n-\frac{m}{n} = \frac{-m}{n} = \frac{m}{-n}Kai minusas parašytas prieš trupmeną, skaitiklyje arba vardiklyje – tai tas pats skaičius: −12=−12=1−2-\frac{1}{2} = \frac{-1}{2} = \frac{1}{-2}.Išmok mintinai
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot cKai skaičiuojama patogiu būdu arba atskliaudžiama. Skirstomumo dėsnis galioja ir neigiamiems skaičiams: (−2)⋅(5+3)=−10+(−6)=−16(-2) \cdot (5 + 3) = -10 + (-6) = -16.Išmok mintinai

Skaičiavimo dėsniai ir veiksmų tvarka su neigiamais skaičiais

Racionaliesiems skaičiams galioja tie patys perstatomumo, jungiamumo ir skirstomumo dėsniai kaip natūraliesiems. Ilgą sumą patogu skaičiuoti dalimis: atskirai sudėk teigiamus, atskirai neigiamus dėmenis, tada sudėk abu rezultatus. Dar patogiau ieškoti priešingų skaičių ir dėmenų, kurie kartu sudaro apvalų skaičių: −4,7+2,9+4,7+(−1,9)=(−4,7+4,7)+(2,9−1,9)=0+1=1\begin{aligned} &-4{,}7 + 2{,}9 + 4{,}7 + (-1{,}9) \\ &= (-4{,}7 + 4{,}7) + (2{,}9 - 1{,}9) \\ &= 0 + 1 = 1 \end{aligned}

Daugyboje dauginamuosius taip pat galima sukeisti ir grupuoti: (−0,5)⋅37⋅(−2)=((−0,5)⋅(−2))⋅37=37(-0{,}5) \cdot 37 \cdot (-2) = \big((-0{,}5) \cdot (-2)\big) \cdot 37 = 37. Skirstomumo dėsnis padeda dauginti mintinai: (−3)⋅99=(−3)⋅(100−1)=(−3)⋅100−(−3)⋅1=−300+3=−297(-3) \cdot 99 = (-3) \cdot (100 - 1) = (-3) \cdot 100 - (-3) \cdot 1 = -300 + 3 = -297.

Veiksmų tvarka su neigiamais skaičiais ta pati: pirma skliaustai, tada daugyba ir dalyba, paskui sudėtis ir atimtis. Neigiamą skaičių, kuris eina po veiksmo ženklo, rašyk skliaustuose: ne 5⋅−25 \cdot -2, o 5⋅(−2)5 \cdot (-2). Taip nesupainiosi veiksmo ženklo su skaičiaus ženklu.

Pasirenkamojo atsakymo uždavinys su tipinėmis klaidomis

Kokia reiškinio −12−(−7)+3⋅(−2)-12 - (-7) + 3 \cdot (-2) reikšmė? A) −25-25; B) 44; C) −11-11; D) 11.

  1. Pirma daugyba: 3⋅(−2)=−63 \cdot (-2) = -6, nes skirtingų ženklų skaičių sandauga neigiama.
  2. Atimtį keičiame sudėtimi: −12−(−7)=−12+7=−5-12 - (-7) = -12 + 7 = -5.
  3. Liko −5+(−6)=−11-5 + (-6) = -11. Tinka atsakymas C.
  4. Kiti atsakymai gaunami padarius tipinę klaidą. A: atimant −7-7, pamirštas antras minusas: −12−7−6=−25-12 - 7 - 6 = -25. B: pirma sudėta ir atimta, tik paskui dauginta: (−12+7+3)⋅(−2)=4(-12 + 7 + 3) \cdot (-2) = 4. D: sandauga 3⋅(−2)3 \cdot (-2) palikta teigiama: −5+6=1-5 + 6 = 1.

Atsakymas: C) −11-11.

  • Veiksmų tvarka Skliaustai ir veiksmų eilė su natūraliaisiais skaičiais.

Kas yra koordinačių plokštuma?

Koordinačių plokštuma – tai plokštuma su dviem statmenomis skaičių tiesėmis, kurios susikerta jų nuliuose. Horizontalioji tiesė vadinama xx ašimi, arba abscisių ašimi. Vertikalioji – yy ašimi, arba ordinačių ašimi. Jų susikirtimo taškas OO vadinamas koordinačių pradžia. xx ašyje teigiamieji skaičiai yra į dešinę nuo OO, yy ašyje – į viršų.

Kiekvieno plokštumos taško vietą nusako dvi koordinatės. Užrašas A(3;−2)A(3; -2) reiškia: iš koordinačių pradžios eik 3 vienetus į dešinę, paskui 2 vienetus žemyn. Pirmoji koordinatė vadinama abscise: ji rodo, kiek eiti į dešinę ar į kairę. Antroji koordinatė vadinama ordinate: ji rodo, kiek eiti į viršų ar žemyn. Koordinatės skiriamos kabliataškiu, nes kablelis jau skiria sveikąją dalį nuo trupmeninės. Užrašą (2,5,1)(2{,}5{,}1) būtų galima suprasti ir kaip tašką (2,5;1)(2{,}5; 1), ir kaip tašką (2;5,1)(2; 5{,}1).

Atvirkščiai, pažymėto taško koordinates rasi, nuleidęs iš jo statmenis į ašis. Statmuo į xx ašį rodo abscisę, statmuo į yy ašį – ordinatę. Panašiai žemėlapyje vieta randama pagal platumą ir ilgumą, o šachmatų lentoje langelis nusakomas raide ir skaičiumi.

Kai dviejų taškų ordinatės vienodos, abu taškai yra vienoje horizontalioje tiesėje. Atstumas tarp jų lygus abscisių skirtumui: iš didesnės atimk mažesnę. Taškų (−3;2)(-3; 2) ir (4;2)(4; 2) atstumas yra 4−(−3)=74 - (-3) = 7. Kai vienodos abscisės, taip pat atimamos ordinatės: taškų (1;−4)(1; -4) ir (1;2)(1; 2) atstumas yra 2−(−4)=62 - (-4) = 6. Atstumą tarp bet kurių dviejų taškų 8 klasėje rasi pagal Pitagoro teoremą.

6 klasėje koordinačių plokštumoje pažymėsi ir proporcingų dydžių lentelės skaičių poras: kiekviena pora – vienas taškas. Vėliau joje braižomi funkcijų grafikai, pavyzdžiui, tiesinės funkcijos, ir grafiškai sprendžiamos lygčių sistemos.

Stačiakampis koordinačių plokštumoje

Stačiakampio ABCDABCD trys viršūnės yra A(−4;−2)A(-4; -2), B(3;−2)B(3; -2) ir C(3;3)C(3; 3). Rask viršūnės DD koordinates, stačiakampio perimetrą ir plotą. Ilgio vienetas – koordinačių plokštumos vienetas.

xyO11A(−4; −2)B(3; −2)C(3; 3)D(−4; 3)75
Vienas langelis – vienas koordinačių vienetas. Kraštinė AB eina per 7 langelius, kraštinė BC – per 5.
  1. Taškų AA ir BB ordinatės vienodos (−2-2), todėl kraštinė ABAB horizontali: AB=3−(−4)=7AB = 3 - (-4) = 7.
  2. Taškų BB ir CC abscisės vienodos (33), todėl kraštinė BCBC vertikali: BC=3−(−2)=5BC = 3 - (-2) = 5.
  3. Viršūnė DD yra virš AA ir tame pačiame aukštyje kaip CC: jos abscisė tokia pati kaip taško AA, o ordinatė – kaip taško CC. Taigi D(−4;3)D(-4; 3).
  4. Perimetras P=2⋅(7+5)=24P = 2 \cdot (7 + 5) = 24, plotas S=7⋅5=35S = 7 \cdot 5 = 35 kvadratinių vienetų.

Atsakymas: D(−4;3)D(-4; 3), P=24P = 24, S=35S = 35.

  • Proporcijos Proporcingi dydžiai, jų lentelės ir taškai koordinačių plokštumoje.

Koordinačių plokštumos ketvirčiai

Ašys padalija plokštumą į keturias dalis – koordinatinius ketvirčius. Jie numeruojami romėniškais skaitmenimis prieš laikrodžio rodyklę, pradedant nuo viršutinio dešiniojo. Kuriame ketvirtyje yra taškas, nusako jo koordinačių ženklai:

  • I ketvirtis: x>0x > 0 ir y>0y > 0, pavyzdžiui, (4;1)(4; 1).
  • II ketvirtis: x<0x < 0 ir y>0y > 0, pavyzdžiui, (−4;1)(-4; 1).
  • III ketvirtis: x<0x < 0 ir y<0y < 0, pavyzdžiui, (−4;−1)(-4; -1).
  • IV ketvirtis: x>0x > 0 ir y<0y < 0, pavyzdžiui, (4;−1)(4; -1).
  • Ašys nepriklauso jokiam ketvirčiui. Jei x=0x = 0, taškas yra yy ašyje, pavyzdžiui, (0;−3)(0; -3). Jei y=0y = 0, taškas yra xx ašyje, pavyzdžiui, (5;0)(5; 0). Koordinačių pradžia O(0;0)O(0; 0) yra abiejose ašyse.

Kuriame ketvirtyje yra taškas

Pažymėk koordinačių plokštumoje taškus A(3;2)A(3; 2), B(−4;1)B(-4; 1), C(−2;−3)C(-2; -3), D(4;−1)D(4; -1) ir E(0;−2)E(0; -2). Kuriame ketvirtyje arba kurioje ašyje yra kiekvienas taškas?

xyO11IIIIIIIVA(3; 2)B(−4; 1)C(−2; −3)D(4; −1)E(0; −2)
  1. Taško A(3;2)A(3; 2) abi koordinatės teigiamos – I ketvirtis.
  2. Taško B(−4;1)B(-4; 1) abscisė neigiama, ordinatė teigiama – II ketvirtis.
  3. Taško C(−2;−3)C(-2; -3) abi koordinatės neigiamos – III ketvirtis.
  4. Taško D(4;−1)D(4; -1) abscisė teigiama, ordinatė neigiama – IV ketvirtis.
  5. Taško E(0;−2)E(0; -2) abscisė lygi nuliui, todėl jis yra yy ašyje, 2 vienetais žemiau koordinačių pradžios. Jokiam ketvirčiui jis nepriklauso.

Atsakymas: AA – I, BB – II, CC – III, DD – IV ketvirtyje; EE – yy ašyje.

Dažnos klaidos su racionaliaisiais skaičiais

  • Neigiami skaičiai lyginami kaip teigiami: rašoma −8>−3-8 > -3, nes 8>38 > 3. Iš dviejų neigiamų skaičių didesnis tas, kuris arčiau nulio, todėl −3>−8-3 > -8.
  • Atimant neigiamą skaičių, pametamas antras minusas: 9−(−4)9 - (-4) suskaičiuojama kaip 9−4=59 - 4 = 5, nors teisingai 9+4=139 + 4 = 13.
  • Daugybos ženklų taisyklė perkeliama į sudėtį: „du minusai duoda pliusą“, todėl −5+(−6)=11-5 + (-6) = 11. Ši taisyklė galioja tik daugybai ir dalybai. Dviejų neigiamų skaičių suma neigiama: −11-11.
  • Sudedant skirtingų ženklų skaičius, ženklas pamirštamas arba imamas nuo pirmo dėmens: −13+8=5-13 + 8 = 5 arba 3−10=73 - 10 = 7. Ženklą lemia tas dėmuo, kuris toliau nuo nulio, todėl teisingai −5-5 ir −7-7.
  • Sukeičiamos taško koordinatės: taškas (2;−5)(2; -5) pažymimas ten, kur yra (−5;2)(-5; 2): 5 vienetus į kairę ir 2 vienetus į viršų. Pirma visada xx – į dešinę ar į kairę, tik tada yy – į viršų ar žemyn.
  • Taškas ašyje priskiriamas ketvirčiui: (0;4)(0; 4) vadinamas I ketvirčio tašku. Taškai, kurių bent viena koordinatė lygi nuliui, yra ašyse ir jokiam ketvirčiui nepriklauso.

Racionalieji skaičiai NMPP 8 klasėje

NMPP – nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas. Toliau nurodyta 2027 m. patikrinimo data, o uždaviniai ir priemonės – pagal 2026 m. aprašą, nes nauji aprašai dar nepatvirtinti. Kaip sudarytas aštuntokų patikrinimas ir kaip jam ruoštis, rasi puslapyje Matematikos NMPP 8 klasėje.

  • Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Racionaliųjų skaičių ir koordinačių plokštumos uždavinių per jį gali būti: tai 6 klasės turinys. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Šių temų tarp išimčių nėra.
  • 2026 m. aprašo priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, veiksmus su ženklais, paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis reikia mokėti atlikti be skaičiuotuvo.
  • 2026 m. aprašo uždavinių rūšys: pasirenkamojo atsakymo ir trumpojo atsakymo uždaviniai. Pasirenkamojo atsakymo uždavinyje atsakymą renkiesi iš pateiktų variantų, o trumpojo atsakymo uždavinyje pats įrašai atsakymą.
  • 2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė, kad naujų NMPP ir PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui.

Racionaliųjų skaičių ir koordinačių plokštumos užduotys

Užduotis spręsk be skaičiuotuvo. Trupmenas atsakymuose užrašyk nesuprastinamas. Kai veiksmai su ženklais taps įprasti, pereik prie lygčių: jas sprendžiant, neigiamų skaičių prireikia nuolat.

Lengvesni

1. Užrašyk skaičiams priešingus skaičius: a) −14-14; b) 0,80{,}8; c) −213-2\frac{1}{3}; d) 00.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) 1414; b) −0,8-0{,}8; c) 2132\frac{1}{3}; d) 00.

2. Apskaičiuok: a) −9+4-9 + 4; b) −6−7-6 - 7; c) 5−(−8)5 - (-8); d) −3+(−11)-3 + (-11).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) −5-5; b) −13-13; c) 1313; d) −14-14.

c) Atimti −8-8 – tas pats, kas pridėti 88: 5+8=135 + 8 = 13. d) Abu dėmenys neigiami: 3+11=143 + 11 = 14, ženklas minusas.

3. Apskaičiuok: a) (−7)⋅6(-7) \cdot 6; b) (−45):(−9)(-45) : (-9); c) (−2,5)⋅(−4)(-2{,}5) \cdot (-4); d) 36:(−0,4)36 : (-0{,}4).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) −42-42; b) 55; c) 1010; d) −90-90.

d) Ženklai skirtingi, todėl dalmuo neigiamas. 36:0,4=360:4=9036 : 0{,}4 = 360 : 4 = 90.

4. Kuriame ketvirtyje arba kurioje ašyje yra taškai K(−7;2)K(-7; 2), L(5;−9)L(5; -9), M(0;6)M(0; 6) ir N(−1;−1)N(-1; -1)?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: KK – II ketvirtyje, LL – IV ketvirtyje, MM – yy ašyje, NN – III ketvirtyje.

Vidutiniai

5. Surašyk skaičius didėjimo tvarka: −0,7-0{,}7; −23-\frac{2}{3}; −115-1\frac{1}{5}; 0,050{,}05; −35-\frac{3}{5}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: −115<−0,7<−23<−35<0,05-1\frac{1}{5} < -0{,}7 < -\frac{2}{3} < -\frac{3}{5} < 0{,}05.

Vienintelis teigiamas skaičius 0,050{,}05 yra didžiausias. Neigiamų skaičių atstumai nuo nulio: 1,21{,}2; 0,70{,}7; 0,666…0{,}666\ldots; 0,60{,}6. Kuo atstumas didesnis, tuo neigiamas skaičius mažesnis.

6. Sugretink reiškinius su jų reikšmėmis. Reiškiniai: 1) −56+13-\frac{5}{6} + \frac{1}{3}; 2) −38⋅(−49)-\frac{3}{8} \cdot \left(-\frac{4}{9}\right); 3) −23−(−12)-\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right); 4) −34:(−38)-\frac{3}{4} : \left(-\frac{3}{8}\right). Reikšmės: A) 22; B) −16-\frac{1}{6}; C) −12-\frac{1}{2}; D) 16\frac{1}{6}.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1–C, 2–D, 3–B, 4–A.

1) −56+26=−36=−12-\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}. 2) Du minusai, sandauga teigiama: 3⋅48⋅9=16\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 9} = \frac{1}{6}. 3) −46+36=−16-\frac{4}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}. 4) Du minusai, dalmuo teigiamas: 34⋅83=2\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2.

7. Pirma nustatyk sandaugos ženklą, paskui apskaičiuok jos reikšmę: (−2)⋅3⋅(−5)⋅(−1,5)⋅(−4)(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1{,}5) \cdot (-4).

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Sandauga teigiama, jos reikšmė 180180.

Neigiamų dauginamųjų yra keturi – lyginis skaičius, todėl sandauga teigiama. Be ženklų: 2⋅5=102 \cdot 5 = 10, 1,5⋅4=61{,}5 \cdot 4 = 6, 10⋅6⋅3=18010 \cdot 6 \cdot 3 = 180.

8. Apskaičiuok patogiu būdu: (−6)⋅2,35+(−6)⋅7,65(-6) \cdot 2{,}35 + (-6) \cdot 7{,}65.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: −60-60.

Pagal skirstomumo dėsnį (−6)⋅(2,35+7,65)=(−6)⋅10=−60(-6) \cdot (2{,}35 + 7{,}65) = (-6) \cdot 10 = -60.

9. Penkių dienų rytais termometras rodė −4-4 °C, −7-7 °C, 22 °C, −1-1 °C ir −5-5 °C. Kokia buvo vidutinė ryto temperatūra?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: −3-3 °C.

Suma: −4−7+2−1−5=2−17=−15-4 - 7 + 2 - 1 - 5 = 2 - 17 = -15. Vidurkis: −15:5=−3-15 : 5 = -3.

10. Taškas P(−3;4)P(-3; 4) perkeliamas 5 vienetais į dešinę ir 6 vienetais žemyn. Kokios naujo taško koordinatės ir kuriame ketvirtyje jis yra?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: (2;−2)(2; -2), IV ketvirtyje.

Į dešinę – abscisė didėja: −3+5=2-3 + 5 = 2. Žemyn – ordinatė mažėja: 4−6=−24 - 6 = -2.

Sunkesni

11. Povandeninis tyrimų robotas ežere buvo 12,512{,}5 m žemiau vandens paviršiaus, t. y. aukštyje −12,5-12{,}5 m. Jis pakilo 4,84{,}8 m, paskui nusileido 7,37{,}3 m. Ežero dugnas toje vietoje yra aukštyje −21-21 m. Kiek metrų robotui liko iki dugno?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 6 m.

Roboto aukštis: −12,5+4,8−7,3=−15-12{,}5 + 4{,}8 - 7{,}3 = -15 (m). Iki dugno: −15−(−21)=−15+21=6-15 - (-21) = -15 + 21 = 6 (m).

12. Koordinačių plokštumoje pažymėk taškus A(−5;−1)A(-5; -1), B(1;−1)B(1; -1) ir C(1;3)C(1; 3) ir sujunk juos atkarpomis. Gausi statųjį trikampį. Apskaičiuok jo plotą, kai ilgio vienetas – koordinačių plokštumos vienetas.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 12 kvadratinių vienetų.

ABAB horizontali, nes ordinatės vienodos: AB=1−(−5)=6AB = 1 - (-5) = 6. BCBC vertikali, nes abscisės vienodos: BC=3−(−1)=4BC = 3 - (-1) = 4. Statusis kampas – ties BB, todėl plotas lygus pusei stačiakampio ploto: 6⋅42=12\frac{6 \cdot 4}{2} = 12.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo skiriasi racionalieji ir iracionalieji skaičiai?

Racionalųjį skaičių galima užrašyti trupmena, kurios skaitiklis yra sveikasis, o vardiklis natūralusis skaičius. Jo dešimtainė išraiška baigtinė arba periodinė, pavyzdžiui, trys aštuntosios lygu 0,375, o viena trečioji lygu 0,333… Iracionaliojo skaičiaus trupmena užrašyti negalima, o jo dešimtainė išraiška begalinė ir neperiodinė. Tokie yra, pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 2 ir skaičius pi. Iracionalieji skaičiai nagrinėjami 8 klasėje.

Kuo skiriasi priešingi ir atvirkštiniai skaičiai?

Priešingų skaičių suma lygi nuliui, o atvirkštinių skaičių sandauga lygi vienetui. Skaičiui 5 priešingas yra minus 5, o atvirkštinis – viena penktoji. Skaičiui minus dvi trečiosios priešingas yra dvi trečiosios, o atvirkštinis – minus trys antrosios. Priešingas skaičius turi kitą ženklą, atvirkštinis – tą patį. Nuliui priešingas yra pats nulis, o atvirkštinio skaičiaus nulis neturi.

Ar nulis yra teigiamas, ar neigiamas skaičius?

Nei teigiamas, nei neigiamas. Teigiamieji skaičiai didesni už nulį, neigiamieji – mažesni, o nulis skaičių tiesėje juos skiria. Nulis yra sveikasis ir racionalusis skaičius, nes jį galima užrašyti trupmena, kurios skaitiklis 0, o vardiklis 1. Jis vienintelis lygus sau priešingam skaičiui.

Kiek ketvirčių turi koordinačių plokštuma?

Keturis. Ašys padalija plokštumą į I, II, III ir IV ketvirtį, numeruojamus prieš laikrodžio rodyklę nuo viršutinio dešiniojo. I ketvirtyje abi koordinatės teigiamos, II – pirmoji neigiama, antroji teigiama, III – abi neigiamos, IV – pirmoji teigiama, antroji neigiama. Taškai, esantys ašyse, jokiam ketvirčiui nepriklauso.

Taip pat: Veiksmų tvarka ir skliaustai · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei

Šaltiniai

  1. ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
  2. NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 2 p., 10.1.2 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
  3. NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta:

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt