Proporcijos: santykis, mastelis, tiesioginis ir atvirkštinis proporcingumas

Santykis: kiek kartų vienas dydis didesnis už kitą

Dviejų skaičių $a$ ir $b$ santykis – tai jų dalmuo $a : b$, dar užrašomas trupmena $\frac{a}{b}$ ($b \neq 0$). Skaičiai $a$ ir $b$ vadinami santykio nariais. Santykis $12 : 4 = 3$ sako, kad 12 yra 3 kartus didesnis už 4. Santykis $4 : 12 = \frac{1}{3}$ sako, kad 4 sudaro trečdalį skaičiaus 12. Todėl narių tvarka svarbi.

Santykis nepasikeičia, kai abu jo narius padauginame arba padalijame iš to paties skaičiaus, nelygaus nuliui. Pagal tą pačią taisyklę prastinamos ir plečiamos trupmenos. Pavyzdžiui, $18 : 24 = 3 : 4$ (abu nariai padalyti iš 6). Dešimtainių ar paprastųjų trupmenų santykį patogu paversti sveikųjų skaičių santykiu. Pavyzdžiui, $0{,}6 : 1{,}5 = 6 : 15 = 2 : 5$: abu nariai padauginti iš 10, paskui padalyti iš 3. O $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 3 : 2$, nes abu nariai padauginti iš 6: $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ ir $\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$. Tą patį gautum, atlikęs trupmenų dalybą: $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{3}{2}$.

Kai santykiu lygini, kiek kartų vienas dydis didesnis už kitą, abu dydžiai turi būti tos pačios rūšies ir išreikšti tais pačiais vienetais. 40 cm ir 2 m santykis nėra $40 : 2$. Pirma 2 m paverčiame centimetrais: $40 : 200 = 1 : 5$. Toks santykis yra skaičius be vienetų.

Santykis gali lyginti dalį su dalimi arba dalį su visuma. Jei klasėje berniukų ir mergaičių santykis $4 : 5$, tai iš kiekvienų $4 + 5 = 9$ mokinių 4 yra berniukai. Taigi berniukai sudaro $\frac{4}{9}$ klasės, o ne $\frac{4}{5}$.

Kas yra proporcijos?

Proporcija – lygybė, kurioje vienas santykis lygus kitam. Pavyzdžiui, $5 : 2 = 15 : 6$ yra proporcija, nes abu santykiai lygūs $2{,}5$. Raidėmis proporcija užrašoma $a : b = c : d$, arba $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Skaičiai $a$ ir $d$ stovi kraštuose, todėl vadinami kraštiniais proporcijos nariais, o $b$ ir $c$ – viduriniais. Proporcijoje $5 : 2 = 15 : 6$ kraštiniai nariai yra 5 ir 6, o viduriniai – 2 ir 15.

Pagrindinė proporcijos savybė: kraštinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai, $a \cdot d = b \cdot c$. Patikrinkime: $5 \cdot 6 = 30$ ir $2 \cdot 15 = 30$. Kodėl taip yra? Abi lygybės $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ puses padauginame iš $b \cdot d$. Kairėje susiprastina $b$, dešinėje – $d$, ir lieka $a \cdot d = c \cdot b$.

Savybė galioja ir atvirkščiai: jei $a \cdot d = b \cdot c$ ir nė vienas narys nelygus nuliui, tai $a : b = c : d$ yra proporcija. Taip greitai patikrinsi, ar keturi skaičiai sudaro proporciją, net neprastindamas santykių.

Iš savybės kyla dvi išvados. Pirma, taip randamas nežinomas narys. Proporcijoje $x : 2 = 15 : 6$ kraštinių narių sandauga $6x$ lygi vidurinių sandaugai $2 \cdot 15 = 30$, todėl $x = 30 : 6 = 5$. Taigi proporcija su nežinomuoju – tai paprasta lygtis. Antra, vietomis galima sukeisti vidurinius arba kraštinius narius: iš $5 : 2 = 15 : 6$ gaunama ir $5 : 15 = 2 : 6$, ir $6 : 2 = 15 : 5$. Sandaugos lieka tos pačios, todėl lygybės teisingos.

Procentas – taip pat santykis: 25 % reiškia $25 : 100 = 1 : 4$. Todėl daug procentų uždavinių galima spręsti sudarant proporciją.

• Trikampių panašumas Panašiųjų trikampių kraštinės proporcingos: ten proporcija padeda rasti nežinomą kraštinę.

Tiesioginis proporcingumas: abu dydžiai kinta tiek pat kartų

Du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, kai vienam padidėjus (sumažėjus) kelis kartus, kitas padidėja (sumažėja) tiek pat kartų. Tada jų santykis visada tas pats: $\frac{y}{x} = k$, arba $y = kx$. Skaičius $k$ vadinamas proporcingumo koeficientu. Jis rodo, kiek $y$ vienetų tenka vienam $x$ vienetui: pavyzdyje žemiau $k = 6$ litrai per minutę.

Pavyzdys. Iš čiaupo kas minutę išteka 6 litrai vandens. Laikas $t$ (min) ir ištekėjusio vandens kiekis $V$ (l) susiję taip: $$\begin{array}{c|c|c|c|c} t & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \hline V & 6 & 12 & 18 & 30 \end{array}$$ Visada $V : t = 6$ (tiek litrų išteka per minutę), todėl $V = 6t$. Laikas padidėjo nuo 2 iki 5 minučių, tai yra $5 : 2 = 2{,}5$ karto. Vandens irgi padaugėjo $2{,}5$ karto: nuo 12 iki 30 litrų, nes $30 : 12 = 2{,}5$.

Pažymėjus šias skaičių poras koordinačių plokštumoje, visi taškai atsiduria vienoje tiesėje, einančioje per koordinačių pradžią $(0; 0)$. Tai tiesioginio proporcingumo grafiko požymis. 9 klasėje tokia tiesė nagrinėjama kaip tiesinės funkcijos $y = kx + b$ atvejis, kai $b = 0$.

Ne visi kartu didėjantys dydžiai proporcingi. Taksi kelionė kainuoja 2 eurus už įlipimą ir dar po 1 eurą už kiekvieną kilometrą. Už 2 km mokama 4 eurai, už 4 km – 6 eurai. Kelias padidėjo 2 kartus, o kaina – ne. Santykiai $4 : 2 = 2$ ir $6 : 4 = 1{,}5$ nelygūs, todėl kaina kelio ilgiui neproporcinga. Kainos grafikas irgi tiesė, bet ji neina per tašką $(0; 0)$: net už 0 km tektų mokėti 2 eurus.

Mastelis: atstumas plane ir tikrovėje

Mastelis – tai atstumo žemėlapyje (plane, brėžinyje) ir tikrojo atstumo santykis. Mastelis $1 : 50\,000$ reiškia, kad 1 cm žemėlapyje atitinka $50\,000$ cm tikrovėje, o tai yra 500 m. Visi atstumai sumažinti tiek pat kartų, todėl atstumas žemėlapyje ir tikrasis atstumas yra tiesiogiai proporcingi.

Kai mastelis $1 : n$, tikrąjį atstumą gausi atstumą žemėlapyje padauginęs iš $n$. Atstumą žemėlapyje gausi tikrąjį atstumą, išreikštą tais pačiais vienetais, padalijęs iš $n$. Pravers ryšiai $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ ir $1 \text{ km} = 100\,000 \text{ cm}$. Pavyzdžiui, kai mastelis $1 : 50\,000$, 3 cm žemėlapyje atitinka $3 \cdot 50\,000 = 150\,000$ cm tikrovėje, o tai yra 1,5 km.

Būna ir didinantis mastelis. Mažos detalės brėžinio mastelis $5 : 1$ reiškia, kad kiekvienas ilgis brėžinyje 5 kartus didesnis už tikrąjį.

Mastelis galioja ilgiams, bet ne plotams. Plane, kurio mastelis $1 : 100$, kvadratas su 1 cm kraštine vaizduoja kvadratą su 1 m kraštine. Plane jo plotas 1 cm², o tikrovėje – 1 m², tai yra $100 \cdot 100 = 10\,000$ cm². Plotas padidėjo ne 100, o 10 000 kartų. Todėl pirmiausia apskaičiuok tikruosius ilgius, o plotą skaičiuok iš jų.

• Matavimo vienetai Ilgio ir ploto vienetų keitimas: mm, cm, m, km.

Atvirkštinis proporcingumas: pastovi dydžių sandauga

Du dydžiai yra atvirkščiai proporcingi, kai vienam padidėjus kelis kartus, kitas tiek pat kartų sumažėja. Tada pastovus ne jų santykis, o sandauga: $x \cdot y = k$, arba $y = \frac{k}{x}$.

Pavyzdys. Stačiakampio plotas lygus 12 cm². Jo ilgis $a$ ir plotis $b$ (cm) gali būti įvairūs, bet visada $a \cdot b = 12$: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} a & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ \hline b & 12 & 6 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}$$ Ilgį padidinus 3 kartus, nuo 2 iki 6 cm, plotis sumažėja 3 kartus, nuo 6 iki 2 cm.

Koordinačių plokštumoje šie taškai nesudaro tiesės. Jie guli kreivėje, kuri leidžiasi žemyn ir artėja prie ašių, bet jų nepasiekia: nė vienas iš dydžių negali būti lygus nuliui.

Daugiau pavyzdžių: greitis ir kelionės laikas, kai kelias tas pats; vienodai dirbančių žmonių skaičius ir darbo trukmė; vienos dėžutės talpa ir dėžučių skaičius, kai supilstomas tas pats kiekis.

Ne kiekvienas atvejis „vienas didėja, kitas mažėja“ yra atvirkštinis proporcingumas. Važiuojant 60 km keliu, nuvažiavus 10 km, lieka 50 km, o nuvažiavus 20 km – 40 km. Nuvažiuotas atstumas padidėjo 2 kartus, bet likęs sumažėjo ne 2 kartus. Pastovi čia suma, o ne sandauga.

• Judėjimo uždaviniai Greitis, laikas ir kelias: kada jie proporcingi tiesiogiai, o kada atvirkščiai.

Tiesioginis, atvirkštinis ar joks: kaip atpažinti proporcingumą

Prieš sudarydamas proporciją, nuspręsk, kaip dydžiai susiję. Nuo to priklauso, ar santykius rašyti ta pačia tvarka, ar vieną jų apversti. Padeda trys klausimai:

• Kurie du dydžiai kinta ir kas lieka pastovu: greitis, kelias, kiekis, darbo apimtis?
• Kas nutiktų antrajam dydžiui, jei pirmąjį padidinčiau 2 kartus? Padidėtų 2 kartus – tiesioginis proporcingumas, sumažėtų 2 kartus – atvirkštinis, kitaip – dydžiai neproporcingi.
• Ar tikrai pastovus santykis $\frac{y}{x}$ (tiesioginis) arba sandauga $x \cdot y$ (atvirkštinis)? Patikrink bent dvi skaičių poras.

• Tekstiniai uždaviniai Proporcingoji dalyba, bendras darbas ir kiti uždaviniai, sprendžiami sudarant lygtį.

Proporcijos formulė ir kitos taisyklės

Kaip padalyti dydį duotu santykiu, pavyzdžiui, $3 : 5$, rasi puslapyje Tekstiniai uždaviniai.

Dažnos klaidos su santykiais ir proporcijomis

• Sukeičiami santykio nariai. Santykis $4 : 5$ ir santykis $5 : 4$ – skirtingi skaičiai. Narius rašyk ta tvarka, kuria dydžiai išvardyti sąlygoje.
• Lyginami dydžiai skirtingais vienetais: 45 min ir 2 h santykis nėra $45 : 2$. Suvienodinus vienetus, $45 : 120 = 3 : 8$.
• Painiojama „dalis su dalimi“ ir „dalis iš visumos“. Kai berniukų ir mergaičių santykis $4 : 5$, berniukai sudaro $\frac{4}{9}$ klasės, ne $\frac{4}{5}$.
• Proporcija sudaroma nepatikrinus, kaip dydžiai susiję. Atvirkštinio proporcingumo uždavinyje vienas santykis turi būti apverstas, o neproporcingų dydžių, pavyzdžiui, kvadrato kraštinės ir ploto, proporcija apskritai nesieja.
• Mastelis taikomas plotui. Kai mastelis 1 : 200, kiekvienas ilgis tikrovėje 200 kartų didesnis, o plotas – 200 · 200 = 40 000 kartų. Todėl plotą skaičiuok iš tikrųjų ilgių.
• Sudauginami ne tie nariai: vietoj $a \cdot d = b \cdot c$ rašoma $a \cdot b = c \cdot d$. Rastą narį patikrink, įrašęs jį į proporciją.

Proporcijos ir NMPP 8

Data ir vykdymo būdas nurodyti 2027 metams. Punktai su žyma „2026 m.“ aprašyti pagal praėjusių mokslo metų tvarką, nes nauji aprašai dar nepatvirtinti.

• Matematikos nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas (NMPP) 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Vykdymo būdas – elektroninis.
• Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Santykis, proporcija, mastelis ir abu proporcingumai yra 6–7 klasių turinys, todėl pagal šį aprašą jie gali būti per NMPP 8.
• Bendrojoje programoje nurodyta, kokią NMPP 8 užduoties dalį sudaro kiekviena turinio sritis: skaičiai ir skaičiavimai – 30 %, modeliai ir sąryšiai – 30 %, geometrija ir matavimai – 30 %, duomenys ir tikimybės – 10 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Santykis ir proporcingumas priklauso sričiai „Modeliai ir sąryšiai“, o mastelis – sričiai „Geometrija ir matavimai“.
• 2026 m. užduotyje buvo pasirenkamojo atsakymo ir trumpojo atsakymo uždaviniai. Uždaviniuose žemiau rasi abi rūšis: su atsakymų variantais A–D ir su atsakymu, kurį įrašai pats.
• 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, santykių, proporcijų ir mastelio uždavinius teks spręsti be skaičiuotuvo.
• 2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė naujų NMPP užduočių aprašų projektus viešam derinimui.

• NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF)
• Matematikos NMPP 8 klasėje Patikrinimo sandara, temos ir kartojimo planas.
• Matematikos užduotys 6 klasei
• Matematikos užduotys 7 klasei
• Matematikos užduotys 8 klasei

Proporcijos uždaviniai su atsakymais

Spręsk be skaičiuotuvo. Prieš sudarydamas proporciją, nuspręsk, ar dydžiai proporcingi tiesiogiai, ar atvirkščiai. Gautą atsakymą įvertink: ar jis turi prasmę?

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni