Panašieji trikampiai: požymiai, panašumo koeficientas ir plotų santykis

Panašieji trikampiai – tai trikampiai, kurių atitinkami kampai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos. Vienas toks trikampis yra kito padidinta arba sumažinta kopija. Kiek kartų padidinta ar sumažinta, rodo panašumo koeficientas $k$ . Plotas pasikeičia ne $k$ , o $k^2$ kartų.

Kas yra panašieji trikampiai?

Du trikampiai vadinami panašiais, kai jų kampus galima suporuoti taip, kad kiekvienos poros kampai būtų lygūs. Be to, kraštinės prieš lygius kampus turi būti proporcingos. Tokie kampai ir kraštinės vadinami atitinkamais. Proporcingos reiškia, kad visų trijų atitinkamų kraštinių porų santykis tas pats: jei viena kraštinė pailgėjo 3 kartus, tiek pat kartų pailgėjo ir kitos dvi.

Panašumas žymimas ženklu $\sim$ . Užrašas $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ reiškia, kad viršūnė $A$ atitinka $A_1$ , $B$ atitinka $B_1$ , o $C$ atitinka $C_1$ . Todėl raidžių tvarka svarbi: iš jos matyti, kurios kraštinės atitinka viena kitą, pavyzdžiui, $AB$ ir $A_1B_1$ , $BC$ ir $B_1C_1$ .

Panašumą sutinki visur, kur keičiasi dydis, bet ne forma: žemėlapis ir vietovė, modelis ir tikras daiktas, nuotrauka ir jos padidinimas. Panašieji trikampiai padeda rasti atstumus, kurių neišmatuosi tiesiogiai. Jais remiasi ir trigonometrija. Visi statieji trikampiai su tuo pačiu smailiuoju kampu yra panašūs, todėl jų kraštinių santykiai priklauso tik nuo to kampo.

Atitinkami kampai lygūs (vienodas lankų skaičius), o kiekviena trikampio

A_1B_1C_1

kraštinė

k

kartų ilgesnė už atitinkamą trikampio

ABC

kraštinę.

Trikampis Trikampių rūšys, kampų suma ir plotas: ko reikia prieš panašumą.
Proporcijos Santykis, proporcija ir pagrindinė proporcijos savybė.

Kas yra panašumo koeficientas?

Panašumo koeficientas $k$ – tai skaičius, iš kurio padauginus vieno trikampio kraštines gaunamos atitinkamos kito trikampio kraštinės. Jis lygus bet kurių dviejų atitinkamų kraštinių santykiui, ir visos trys poros duoda tą patį skaičių. Pavyzdžiui, trikampio kraštinės 2, 3 ir 4 cm, o panašiojo – 6, 9 ir 12 cm. Tada $k = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = \frac{12}{4} = 3$ .

Kryptis svarbi. Jei $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ ir $k = \frac{A_1B_1}{AB}$ , antrojo trikampio kraštinės gaunamos pirmojo kraštines padauginus iš $k$ . Kai $k > 1$ , antrasis trikampis didesnis, kai $0 < k < 1$ – mažesnis, o kai $k = 1$ , trikampiai lygūs. Paėmęs santykį atvirkščiai, gausi $\frac{1}{k}$ : ankstesniame pavyzdyje $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ vietoj $3$ . Tai nėra klaida, jei tą pačią kryptį išlaikai iki galo.

Panašiuosiuose trikampiuose $k$ kartų skiriasi ne tik kraštinės, bet ir visi kiti ilgiai: aukštinės, pusiaukraštinės, perimetrai. Kampai nuo $k$ nepriklauso. Nežinomą kraštinę randi iš proporcijos, pavyzdžiui, $\frac{x}{8} = \frac{15}{10}$ . Ją sprendi kaip tiesinę lygtį: abi puses padauginęs iš 8, gauni $x = \frac{8 \cdot 15}{10} = 12$ .

Formulė	Kada taikyti
$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}$	Kai $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ : bet kuri atitinkamų kraštinių pora duoda tą patį $k$ .Išmok mintinai
$\begin{gathered} \angle A_1 = \angle A, \quad \angle B_1 = \angle B, \\ \angle C_1 = \angle C \end{gathered}$	Panašiųjų trikampių atitinkami kampai lygūs, kad ir koks būtų $k$ .Išmok mintinai
$\frac{P_1}{P} = \frac{h_1}{h} = k$	Perimetrams, aukštinėms ir kitiems ilgiams: jie skiriasi tiek pat kartų kaip kraštinės. Kai $k = 3$ , perimetras 3 kartus didesnis.Išmok mintinai
$\frac{S_1}{S} = k^2$	Plotams: kraštinėms pailgėjus $k$ kartų, plotas padidėja $k^2$ kartų. Kai $k = 3$ , plotas $3^2 = 9$ kartus didesnis.Išmok mintinai
$k = \sqrt{\frac{S_1}{S}}$	Kai žinomi tik plotai, o reikia panašumo koeficiento arba kraštinių santykio. Kai plotų santykis lygus 9, $k = \sqrt{9} = 3$ .Išmok mintinai

Panašiojo trikampio kraštinės ir perimetras

Trikampiai $DEF$ ir $XYZ$ panašūs: $\triangle DEF \sim \triangle XYZ$ . Žinoma, kad $DE = 8$ cm, $EF = 6$ cm, $DF = 12$ cm ir $XY = 12$ cm. Rask panašumo koeficientą $k$ (skaičių, iš kurio padauginus trikampio $DEF$ kraštines gaunamos atitinkamos trikampio $XYZ$ kraštinės), kraštines $YZ$ ir $XZ$ bei perimetrų santykį $P_{XYZ} : P_{DEF}$ .

Iš užrašo $\triangle DEF \sim \triangle XYZ$ skaitome atitikimą: $D \to X$ , $E \to Y$ , $F \to Z$ . Todėl $DE$ atitinka $XY$ , $EF$ atitinka $YZ$ , o $DF$ atitinka $XZ$ .
Koeficientą randame iš poros, kurioje žinomos abi kraštinės: $k = \frac{XY}{DE} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ . Kadangi $k > 1$ , trikampis $XYZ$ didesnis.
Kitos kraštinės: $YZ = 1{,}5 \cdot 6 = 9$ cm, $XZ = 1{,}5 \cdot 12 = 18$ cm. Atkreipk dėmesį: $DF$ irgi lygi 12 cm, bet ją atitinka ne $XY$ , o $XZ$ .
Perimetrai: $P_{DEF} = 8 + 6 + 12 = 26$ cm, $P_{XYZ} = 12 + 9 + 18 = 39$ cm. Jų santykis $\frac{39}{26} = 1{,}5$ – toks pat kaip $k$ .

Atsakymas: $k = 1{,}5$ ; $YZ = 9$ cm, $XZ = 18$ cm; perimetrų santykis lygus $1{,}5$ .

Trikampių lygumo požymiai

Lygūs trikampiai – tai trikampiai, kurie sutaptų, vieną uždėjus ant kito: visos atitinkamos kraštinės ir visi atitinkami kampai lygūs. Tai panašiųjų trikampių atvejis, kai $k = 1$ . Lygumas žymimas lygybės ženklu, pavyzdžiui, $\triangle ABC = \triangle KLM$ .

Lygumo požymių mokomasi 6 klasėje. Norint įrodyti, kad trikampiai lygūs, nereikia tikrinti visų trijų kraštinių ir trijų kampų. Užtenka vieno iš trijų požymių, surašytų žemiau.

Kiekviename požymyje yra bent viena kraštinė. Trijų lygių kampų neužtenka: tokie trikampiai gali būti skirtingo dydžio, kaip mažas ir didelis lygiakraštis trikampis. Neužtenka ir dviejų kraštinių su kampu, kuris yra ne tarp jų.

Pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų: dvi vieno trikampio kraštinės ir kampas tarp jų lygūs dviem kito trikampio kraštinėms ir kampui tarp jų.
Pagal kraštinę ir du prie jos esančius kampus: vieno trikampio kraštinė ir du kampai prie jos lygūs kito trikampio kraštinei ir dviem kampams prie jos.
Pagal tris kraštines: trys vieno trikampio kraštinės lygios trims kito trikampio kraštinėms.

Aitvaro rėmas: lygūs trikampiai

Aitvaro rėmas yra keturkampis $ABCD$ : $AB = AD = 40$ cm, $CB = CD = 65$ cm, o strypas $AC$ jungia viršutinę ir apatinę viršūnes (žr. brėžinį). Kampas $BAC$ lygus $35^\circ$ . a) Įrodyk, kad $\triangle ABC = \triangle ADC$ . b) Rask kampus $DAC$ ir $BAD$ .

Lyginame trikampius $ABC$ ir $ADC$ : $AB = AD = 40$ cm (duota), $CB = CD = 65$ cm (duota), o kraštinė $AC$ jiems bendra.
Trys vieno trikampio kraštinės lygios trims kito trikampio kraštinėms, todėl $\triangle ABC = \triangle ADC$ pagal tris kraštines. Viršūnės atitinka taip: $A \to A$ , $B \to D$ , $C \to C$ .
Lygių trikampių atitinkami kampai lygūs. Kampas $BAC$ yra tarp kraštinių $AB$ ir $AC$ , o jį atitinka kampas $DAC$ tarp $AD$ ir $AC$ . Todėl $\angle DAC = \angle BAC = 35^\circ$ .
Tada $\angle BAD = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$ . Vadinasi, strypas $AC$ dalija kampą $A$ pusiau.

Atsakymas: a) $\triangle ABC = \triangle ADC$ pagal tris kraštines; b) $\angle DAC = 35^\circ$ , $\angle BAD = 70^\circ$ .

Trikampių panašumo požymiai

Kad įsitikintum, jog trikampiai panašūs, nereikia tikrinti visų trijų kampų ir visų trijų santykių. Užtenka vieno iš trijų panašumo požymių. Jie primena lygumo požymius, tik vietoj lygių kraštinių čia kalbama apie proporcingas.

Kodėl užtenka dviejų kampų? Trikampio kampų suma visada lygi $180^\circ$ . Jei du vieno trikampio kampai lygūs dviem kito trikampio kampams, lygūs ir tretieji kampai. O trikampiai su vienodais kampais yra vienas kito padidinta ar sumažinta kopija.

Lygių kampų dažniausiai ieškok prie lygiagrečių tiesių (kampai prie jų nagrinėjami 7 klasėje). Tiesė, lygiagreti trikampio kraštinei, atkerta mažesnį trikampį, panašų į duotąjį. Kampas prie viršūnės jiems bendras. Kampai prie lygiagrečių atkarpų lygūs kaip atitinkamieji: jie išsidėstę vienodai, tik prie skirtingų lygiagrečių tiesių. Kai dvi atkarpos kertasi, lygūs kryžminiai kampai, esantys vienas prieš kitą. Jei dar ir atkarpų galus jungiančios tiesės lygiagrečios, lygūs ir vidaus priešiniai kampai: jie yra tarp lygiagrečių tiesių, priešingose jas kertančios tiesės pusėse.

Pagal du kampus: du vieno trikampio kampai lygūs dviem kito trikampio kampams.
Pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų: dvi vieno trikampio kraštinės proporcingos dviem kito trikampio kraštinėms, o kampai tarp tų kraštinių lygūs.
Pagal tris kraštines: visos trys vieno trikampio kraštinės proporcingos trims kito trikampio kraštinėms.

Susikertančios atkarpos: kurios kraštinės atitinka

Atkarpos $AD$ ir $BC$ kertasi taške $O$ , o $AB \parallel CD$ (žr. brėžinį). $AO = 6$ cm, $OD = 9$ cm, $BO = 4$ cm, $CD = 12$ cm. Rask $OC$ ir $AB$ .

Ieškome lygių kampų. $\angle AOB = \angle DOC$ kaip kryžminiai. $\angle BAO = \angle CDO$ kaip vidaus priešiniai kampai prie lygiagrečių tiesių $AB$ ir $CD$ , kurias kerta $AD$ .
Du kampai poromis lygūs, todėl trikampiai panašūs pagal du kampus. Atitikimą imame iš lygių kampų: $A \to D$ , $O \to O$ , $B \to C$ . Todėl rašome $\triangle AOB \sim \triangle DOC$ .
Klaidingas kelias. Brėžinyje $AO$ ir $OC$ yra kairėje, todėl kyla noras rašyti $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$ , o skaičiais $\frac{6}{OC} = \frac{4}{9}$ . Gautume $OC = 13{,}5$ cm. Bet $AO$ atitinka $DO$ , o ne $OC$ , todėl ši proporcija neteisinga.
Teisingai: $k = \frac{DO}{AO} = \frac{9}{6} = 1{,}5$ . Kraštinę $BO$ atitinka $CO$ , todėl $OC = 1{,}5 \cdot 4 = 6$ cm.
Kraštinę $AB$ atitinka $DC$ , todėl $AB = \frac{12}{1{,}5} = 8$ cm. Patikriname: $\frac{9}{6} = \frac{6}{4} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ .

Atsakymas: $OC = 6$ cm, $AB = 8$ cm.

Panašiųjų figūrų perimetrų ir plotų santykis

Jei visos trikampio kraštinės pailgėja $k$ kartų, perimetras irgi padidėja $k$ kartų: $ka + kb + kc = k(a + b + c)$ .

Su plotu kitaip. Trikampio plotas $S = \frac{1}{2}ah$ , o panašiajame trikampyje ir kraštinė, ir į ją nuleista aukštinė yra $k$ kartų ilgesnės: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh = k^2 S.$ Taigi plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui. Kraštines padidinus 2 kartus, plotas padidėja 4 kartus, o padidinus 10 kartų – net 100 kartų.

Tas pats galioja visoms panašiosioms figūroms. Du daugiakampiai panašūs, kai jų atitinkami kampai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos. Įstrižainės iš atitinkamų viršūnių juos padalija į poromis panašius trikampius. Todėl ir daugiakampių perimetrų santykis lygus $k$ , o plotų – $k^2$ . Žemėlapis irgi panašus į vietovę. Mastelis $1 : 1000$ reiškia $k = 1000$ , todėl tikrasis plotas $1000^2 = 1\,000\,000$ kartų didesnis už plotą žemėlapyje.

Burės modelis: perimetras ir plotas

Jachtos modelis padarytas masteliu $1 : 25$ , todėl trikampė modelio burė panaši į tikrąją. Modelio burės perimetras 72 cm, plotas 160 cm². Rask tikrosios burės perimetrą metrais ir plotą kvadratiniais metrais.

Eskizas, ne pagal mastelį.

Mastelis $1 : 25$ reiškia, kad kiekvienas tikrosios burės ilgis 25 kartus didesnis už atitinkamą modelio ilgį: $k = 25$ .
Perimetras keičiasi $k$ kartų: $72 \cdot 25 = 1800$ cm, arba 18 m.
Plotas keičiasi $k^2$ kartų: $160 \cdot 25^2 = 160 \cdot 625 = 100\,000$ cm².
Kadangi 1 m² $= 100 \cdot 100 = 10\,000$ cm², plotas lygus $100\,000 : 10\,000 = 10$ m².
Dažna klaida – plotą padauginti tik iš 25. Gautum 4000 cm², arba vos 0,4 m²: tokia burė būtų 25 kartus mažesnė, nei turi būti.

Atsakymas: perimetras 18 m, plotas 10 m².

Įrodymas, kad trikampiai panašūs: pilnas sprendimas

Įrodymo uždavinyje neužtenka parašyti, kad trikampiai panašūs. Reikia nurodyti, kurie kampai lygūs arba kurios kraštinės proporcingos, kodėl taip yra ir kuriuo požymiu remiesi. Patogu rašyti grandine: teiginys, o šalia jo – priežastis (duota, apibrėžimas ar jau žinoma savybė). Tik įrodęs panašumą, sudaryk proporciją ir skaičiuok.

Statmuo stačiajame trikampyje: įrodymas ir plotas

Stačiojo trikampio $ABC$ kampas $C$ statusis, $AC = 12$ cm, $BC = 9$ cm. Įžambinėje $AB$ pažymėtas taškas $D$ , $AD = 5$ cm, ir iš jo nuleistas statmuo $DE$ į statinį $AC$ (žr. brėžinį). a) Įrodyk, kad $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . b) Rask $DE$ ir $AE$ . c) Rask keturkampio $DECB$ plotą.

a) Nagrinėjame trikampius $ADE$ ir $ABC$ . $\angle AED = 90^\circ$ , nes $DE \perp AC$ (duota), ir $\angle ACB = 90^\circ$ (duota). Taigi $\angle AED = \angle ACB$ .
Kampas $A$ abiem trikampiams bendras: $\angle DAE = \angle BAC$ .
Du vieno trikampio kampai lygūs dviem kito trikampio kampams, todėl $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ pagal du kampus. Atitikimas: $A \to A$ , $D \to B$ , $E \to C$ . Įrodyta.
b) Įžambinę randame pagal Pitagoro teoremą: $AB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Mažąjį trikampį lyginame su didžiuoju: $k = \frac{AD}{AB} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .
$DE$ atitinka $BC$ , o $AE$ atitinka $AC$ : $DE = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ cm, $AE = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ cm.
c) $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ cm². Plotų santykis $k^2 = \frac{1}{9}$ , todėl $S_{ADE} = \frac{54}{9} = 6$ cm². Pasitikriname: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ .
Keturkampis $DECB$ – tai trikampis $ABC$ be trikampio $ADE$ : $S_{DECB} = 54 - 6 = 48$ cm².

Atsakymas: a) $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ pagal du kampus; b) $DE = 3$ cm, $AE = 4$ cm; c) 48 cm².

Dažnos klaidos su panašiaisiais trikampiais

Prieš rašydamas atsakymą, patikrink, ar nepadarei nė vienos iš šių klaidų:

Proporcija sudaroma iš neatitinkamų kraštinių. Atitinkamos kraštinės yra prieš lygius kampus, o ne tos, kurios brėžinyje atrodo „toje pačioje vietoje“. Pirma užrašyk viršūnių atitikimą, pavyzdžiui, $A \to D$ , $B \to C$ , ir tik tada santykius.
Painiojama kryptis: viename santykyje didesniojo trikampio kraštinė skaitiklyje, kitame – vardiklyje. Visuose atitinkamų kraštinių santykiuose skaitiklyje turi būti to paties trikampio kraštinės.
Plotas dauginamas iš $k$ , o ne iš $k^2$ . Ir atvirkščiai: iš plotų santykio $k$ gaunamas ištraukus kvadratinę šaknį, o ne padalijus iš 2. Kai plotų santykis 16, $k = 4$ , o ne 8.
Kai trikampį kerta lygiagreti tiesė, į proporciją įrašoma tik kraštinės dalis. Mažojo trikampio kraštinę atitinka visa didžiojo trikampio kraštinė, o ne jos likusi atkarpa.
Dvi kraštinės ir kampas ne tarp jų laikomi požymiu. Nei lygumui, nei panašumui to nepakanka: kampas turi būti tarp tų dviejų kraštinių.
Trikampiai su lygiais kampais vadinami lygiais. Trys poromis lygūs kampai reiškia tik panašumą, o lygiems trikampiams reikia ir lygių kraštinių.

Panašieji trikampiai PUPP užduotyse

PUPP – pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas. Data, vykdymo būdas ir taškų dalys nurodyti 2027 metams. Kas gali būti užduotyje ir kokias priemones galima naudoti, parašyta pagal 2026 m. aprašą, nes naujas aprašas dar nepatvirtintas.

Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Vykdymo būdas – elektroninis. Panašiųjų trikampių (9 klasė) ir panašiųjų figūrų perimetrų bei plotų (10 klasės geometrija) uždavinių per jį gali būti. Pagal 2026 m. PUPP aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Šios temos į išimtį nepatenka.
Lygumo požymiai – 6 klasės turinys, kuriuo remiasi 9–10 klasių geometrija. Lygiais trikampiais pagrindžiama, kad dvi atkarpos ar du kampai lygūs.
2027 m. PUPP taškų dalis pagal turinio sritis: modeliai ir sąryšiai – 55 %, geometrija ir matavimai – 40 %, duomenys ir tikimybės – 5 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Panašumas priklauso geometrijai ir matavimams.
Formulių rinkinys pagal 2026 m. aprašą: oficialus PUPP formulių rinkinys – matematikos PUPP užduoties aprašo priedas. Panašumo koeficiento, perimetrų ir plotų santykio formulių jame nėra, todėl jas reikia mokėti mintinai. Kas rinkinyje yra, rasi puslapyje PUPP formulės.
Priemonės pagal 2026 m. aprašą: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). Vadinasi, skaičiuotuvu naudotis galima: jis padės padalyti ar ištraukti šaknį. Bet proporciją iš atitinkamų kraštinių vis tiek sudarai pats.
Uždavinių rūšys pagal 2026 m. aprašą („t.“ – taškai): pasirenkamojo atsakymo 8–10 uždavinių (10 t.), trumpojo atsakymo 17–19 (24 t.), pilnojo sprendimo 5–6 (16 t.). Pilnojo sprendimo uždavinyje užrašyk visus žingsnius su pagrindimu, kaip pavyzdyje su statmeniu stačiajame trikampyje.
2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė, kad naujas PUPP užduoties aprašo projektas teikiamas viešam derinimui.
Daugiau PUPP formato uždavinių, tarp jų ir apie panašiuosius trikampius, rasi puslapyje PUPP užduotys, o apie patikrinimą apskritai – puslapyje matematikos PUPP.

NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF) Oficialus dokumentas; formulių rinkinys – jo priede.
PUPP formulės Kas yra oficialiame rinkinyje ir ką reikia mokėti mintinai.
Trigonometrija stačiajame trikampyje Kita tema: sinusas, kosinusas ir tangentas remiasi panašiaisiais trikampiais.

Panašieji trikampiai: užduotys su atsakymais

Aštuonios užduotys suskirstytos pagal sunkumą. Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą. Prieš skaičiuodamas nusibraižyk situaciją ir užrašyk, kuri viršūnė kurią atitinka.

Lengvesni

1. Duoti trys trikampiai. $\triangle ABC$ : $AB = 6$ cm, $BC = 9$ cm, $\angle B = 50^\circ$ . $\triangle MNT$ : $MN = 6$ cm, $NT = 9$ cm, $\angle N = 50^\circ$ . $\triangle PRS$ : $PR = 6$ cm, $RS = 9$ cm, $\angle P = 50^\circ$ . Kurie du iš jų tikrai lygūs ir pagal kurį požymį?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $\triangle ABC = \triangle MNT$ pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų.

Trikampyje $ABC$ kampas $B$ yra tarp kraštinių $AB$ ir $BC$ , o trikampyje $MNT$ kampas $N$ – tarp $MN$ ir $NT$ . Kraštinės ir kampai tarp jų poromis lygūs, todėl $\triangle ABC = \triangle MNT$ . Trikampyje $PRS$ kampas $P$ nėra tarp kraštinių $PR$ ir $RS$ : jis yra prieš kraštinę $RS$ . Toks duomenų rinkinys nėra lygumo požymis, todėl teigti, kad $\triangle PRS$ lygus kitiems dviem, negalima.

2. Saulėtą popietę 1,5 m aukščio vertikalios kartelės šešėlis yra 2,5 m ilgio. Tuo pačiu metu šalia stovinčio apžvalgos bokšto šešėlis yra 40 m ilgio. Žemė lygi, bokštas vertikalus. Koks bokšto aukštis?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 24 m.

Saulės spinduliai lygiagretūs, todėl kartelė su savo šešėliu ir bokštas su savo šešėliu sudaro du stačiuosius trikampius su lygiais smailiaisiais kampais. Jie panašūs pagal du kampus: $\frac{h}{1{,}5} = \frac{40}{2{,}5} = 16$ , todėl $h = 1{,}5 \cdot 16 = 24$ m.

Vidutiniai

3. Sugretink trikampių poras 1–4 su raidėmis A–D. Kiekviena raidė tinka tik vienai porai. A – panašūs pagal du kampus; B – panašūs pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų; C – panašūs pagal tris kraštines; D – nepanašūs. 1) Kraštinės 4, 6, 8 cm ir 6, 9, 12 cm. 2) Vieno trikampio du kampai $30^\circ$ ir $70^\circ$ , kito – $70^\circ$ ir $80^\circ$ . 3) Kraštinės 3, 5, 6 cm ir 6, 10, 11 cm. 4) Kraštinės 5 cm ir 8 cm su $40^\circ$ kampu tarp jų ir kraštinės 10 cm ir 16 cm su $40^\circ$ kampu tarp jų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – C, 2 – A, 3 – D, 4 – B.

Kraštines lygink surikiavęs nuo trumpiausios iki ilgiausios. 1) $\frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ – visos trys kraštinės proporcingos. 2) Trečiasis pirmojo trikampio kampas $180^\circ - 30^\circ - 70^\circ = 80^\circ$ , todėl abiejų trikampių kampai $30^\circ$ , $70^\circ$ ir $80^\circ$ . 3) $\frac{6}{3} = \frac{10}{5} = 2$ , bet $\frac{11}{6} \neq 2$ , todėl trikampiai nepanašūs. 4) $\frac{10}{5} = \frac{16}{8} = 2$ , o kampai tarp šių kraštinių lygūs.

4. Dviejų panašiųjų trikampių plotai lygūs 18 cm² ir 50 cm². Mažesniojo trikampio perimetras 24 cm. Rask didesniojo trikampio perimetrą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 40 cm.

Plotų santykis $\frac{50}{18} = \frac{25}{9}$ lygus $k^2$ , todėl $k = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$ . Perimetras keičiasi $k$ kartų: $24 \cdot \frac{5}{3} = 40$ cm. Padauginęs perimetrą iš plotų santykio, gautum klaidingą atsakymą, apie 66,7 cm.

5. Trikampio $T$ plotas 20 cm². Trikampiai $A$ , $B$ , $C$ ir $D$ panašūs į $T$ . Trikampio $A$ kraštinės 2 kartus ilgesnės už atitinkamas $T$ kraštines. Trikampio $B$ perimetras 1,5 karto didesnis už $T$ perimetrą. Trikampio $C$ plotas 3 kartus didesnis už $T$ plotą. Trikampio $D$ kiekviena kraštinė 1,8 karto ilgesnė už atitinkamą $T$ kraštinę. Išdėstyk trikampius $A$ , $B$ , $C$ , $D$ jų plotų didėjimo tvarka.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $B$ (45 cm²), $C$ (60 cm²), $D$ (64,8 cm²), $A$ (80 cm²).

Plotas keičiasi $k^2$ kartų. $A$ : $k = 2$ , plotas $20 \cdot 4 = 80$ cm². $B$ : perimetrų santykis ir yra $k = 1{,}5$ , todėl plotas $20 \cdot 2{,}25 = 45$ cm². $C$ : plotas duotas tiesiogiai, $20 \cdot 3 = 60$ cm². $D$ : plotas $20 \cdot 1{,}8^2 = 20 \cdot 3{,}24 = 64{,}8$ cm².

6. Namo frontonas yra lygiašonis trikampis: jo pagrindas 9 m, o aukštinė, nuleista į pagrindą, 3,6 m. Horizontali sija, lygiagreti pagrindui, pritvirtinta 2,4 m aukštyje nuo pagrindo, o jos galai remiasi į šonines frontono kraštines. Kokio ilgio sija?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 3 m.

Sija atkerta viršutinį trikampį, panašų į visą frontoną: kampas viršuje bendras, o kampai prie sijos ir prie pagrindo lygūs kaip atitinkamieji, nes sija lygiagreti pagrindui. Viršutinio trikampio aukštinė $3{,}6 - 2{,}4 = 1{,}2$ m, todėl $k = \frac{1{,}2}{3{,}6} = \frac{1}{3}$ , o sijos ilgis $9 \cdot \frac{1}{3} = 3$ m. Aukštines lygink nuo viršūnės: santykis $\frac{2{,}4}{3{,}6}$ duotų klaidingą atsakymą 6 m.

Sunkesni

7. Sulankstomos kėdutės dvi tiesios kojos $AD$ ir $BC$ sukryžiuotos ir taške $O$ sujungtos varžtu. Viršutinius kojų galus $A$ ir $B$ jungia sėdynė $AB$ , lygiagreti grindims, o apatiniai galai $C$ ir $D$ remiasi į grindis. $AO = BO = 20$ cm, $OC = OD = 30$ cm, $CD = 36$ cm, o sėdynė yra 40 cm aukštyje nuo grindų. a) Kokio pločio sėdynė $AB$ ? b) Kiek centimetrų žemiau sėdynės yra varžtas $O$ ?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) 24 cm; b) 16 cm.

$\angle AOB = \angle DOC$ kaip kryžminiai, o $\angle OAB = \angle ODC$ kaip vidaus priešiniai kampai prie lygiagrečių $AB$ ir $CD$ . Todėl $\triangle AOB \sim \triangle DOC$ ir $k = \frac{OD}{OA} = \frac{30}{20} = 1{,}5$ . a) $AB = \frac{CD}{k} = \frac{36}{1{,}5} = 24$ cm. b) Iš $O$ nuleiskime aukštines į $AB$ ir į $CD$ . Jos yra vienoje vertikalioje tiesėje ir kartu sudaro 40 cm. Panašiųjų trikampių aukštinės irgi skiriasi $k$ kartų, todėl apatinė aukštinė 1,5 karto ilgesnė už viršutinę. Pažymėję viršutinę aukštinę $x$ , gauname $x + 1{,}5x = 40$ , $2{,}5x = 40$ , $x = 16$ cm.

8. Trapecijos $ABCD$ pagrindai $AD = 15$ cm ir $BC = 6$ cm, įstrižainės $AC$ ir $BD$ kertasi taške $O$ . a) Įrodyk, kad $\triangle AOD \sim \triangle COB$ . b) Įstrižainė $AC = 14$ cm. Rask $AO$ ir $OC$ . c) Trikampio $BOC$ plotas 8 cm². Rask trikampio $AOD$ plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) panašūs pagal du kampus; b) $AO = 10$ cm, $OC = 4$ cm; c) 50 cm².

a) $\angle AOD = \angle COB$ kaip kryžminiai, o $\angle OAD = \angle OCB$ kaip vidaus priešiniai kampai prie lygiagrečių pagrindų $AD$ ir $BC$ , kuriuos kerta $AC$ . Du kampai poromis lygūs, todėl $\triangle AOD \sim \triangle COB$ ( $A \to C$ , $O \to O$ , $D \to B$ ). b) $k = \frac{AD}{CB} = \frac{15}{6} = 2{,}5$ , todėl $AO = 2{,}5 \cdot OC$ . Kadangi $AO + OC = 14$ , gauname $2{,}5 \cdot OC + OC = 3{,}5 \cdot OC = 14$ , $OC = 4$ cm ir $AO = 10$ cm. c) $S_{AOD} = k^2 \cdot S_{COB} = 6{,}25 \cdot 8 = 50$ cm².

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo lygūs trikampiai skiriasi nuo panašiųjų?

Lygūs trikampiai sutampa visiškai: poromis lygūs ir kampai, ir kraštinės. Panašiųjų trikampių lygūs tik kampai, o kraštinės proporcingos, todėl vienas gali būti didesnis už kitą. Lygūs trikampiai yra atskiras panašiųjų atvejis, kai panašumo koeficientas lygus vienetui. Todėl lygumo požymiuose kalbama apie lygias kraštines, o panašumo požymiuose – apie proporcingas.

Ar panašumo koeficientas gali būti mažesnis už vienetą?

Taip. Koeficientas visada teigiamas, bet gali būti mažesnis už vienetą: tada antrasis trikampis yra sumažinta pirmojo kopija. Pavyzdžiui, kai koeficientas lygus vienai trečiajai, kiekviena antrojo trikampio kraštinė tris kartus trumpesnė. Ar gausi koeficientą, ar jam atvirkštinį skaičių, priklauso nuo to, kurį trikampį laikai pirmuoju, todėl tai visada aiškiai užrašyk.

Ar panašios gali būti ir kitos figūros, ne tik trikampiai?

Taip. Du daugiakampiai panašūs, kai jų atitinkami kampai lygūs ir atitinkamos kraštinės proporcingos. Skirtingai nei trikampiams, vien lygių kampų čia nepakanka: kvadratas ir ilgas siauras stačiakampis turi po keturis stačiuosius kampus, bet nėra panašūs. Visi kvadratai yra panašūs tarpusavyje, kaip ir visi lygiakraščiai trikampiai. Panašiųjų figūrų perimetrų santykis lygus panašumo koeficientui, o plotų santykis – jo kvadratui.

Kaip rasti panašumo koeficientą, kai žinomi tik plotai?

Padalyk vieno trikampio plotą iš kito ploto ir iš gauto skaičiaus ištrauk kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, jei plotai lygūs 45 ir 5 kvadratiniams centimetrams, plotų santykis lygus 9, o panašumo koeficientas – 3. Taip yra todėl, kad plotas keičiasi koeficiento kvadratu.

Taip pat: Trikampis · Proporcijos · Matematikos PUPP

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 2 p., 10.1.2 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 4–5 p., priedas; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, PUPP lentelė; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt