Tekstiniai uždaviniai: kaip sudaryti lygtį ir ją išspręsti

Q: Kaip iš tekstinio uždavinio sudaryti lygtį?

Pirmiausia nuspręsk, ką žymėsi raide, ir užsirašyk tai žodžiais. Tada kitus dydžius išreikšk per tą raidę ir surask dydį, kuris sąlygoje aprašytas du kartus, pavyzdžiui, „iš viso 26“ ir „vienų ir kitų kartu“. Šiuos du užrašus sulygink – tai ir yra lygtis. Išsprendęs patikrink atsakymą pagal sąlygos žodžius.

Q: Kaip spręsti tekstinius uždavinius su trupmenomis?

Trupmenos atsiranda, kai dalis nurodyta nuo visumos arba kai visas darbas laikomas vienetu. Lygtį sudaryk taip pat kaip be trupmenų, o tada abi jos puses padaugink iš bendro vardiklio – trupmenos dings. Pavyzdžiui, jei per valandą vienas atlieka šeštadalį darbo, o kitas devintadalį, lygtį patogu dauginti iš 18.

Q: Ko apie tekstinius uždavinius mokomasi 6 klasėje?

Šeštoje klasėje lygtį iš uždavinio sąlygos ar schemos mokomasi sudaryti ir tada, kai sąlyga nepasako, kas nežinoma: ką žymėti raide, nusprendi pats. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose reikia rasti visumą, kai žinoma jos dalis ir kokią trupmeną ar kiek procentų ji sudaro. Procentai taikomi ir uždaviniuose apie pirkimą, pardavimą bei nuolaidas, skaičiuojant be skaičiuotuvo. Dar sprendžiami uždaviniai su santykiu ir proporcija, taip pat su dydžiais, kuriuos sieja tiesioginis proporcingumas.

Q: Ar 4 klasės tekstiniai uždaviniai jau sprendžiami lygtimis?

Iš dalies. Pirmoje klasėje uždavinys vaizduojamas piešiniu ar schema, o nežinomasis lygybėje žymimas, pavyzdžiui, langeliu. Trečioje ir ketvirtoje klasėje jau sudaromos paprasčiausios lygtys su raide, kai sąlyga pati nurodo, kas nežinoma. Kitus uždavinius pradinukai sprendžia veiksmais ir sprendimą užrašo klausimų ir atsakymų seka. Užduočių ketvirtokams rasi puslapyje „Matematikos užduotys 4 klasei“.

Tekstinis uždavinys – tai uždavinys, kurio sąlyga papasakota žodžiais, o lygtį ar reiškinį iš jos turi sudaryti pats. Sprendžiant lygtimi, esmė visada ta pati. Pažymi nežinomąjį raide, kitus dydžius išreiški per jį ir sulygini du to paties dydžio užrašus.

Tekstinių uždavinių sprendimas sudarant lygtis

Iš kur tekstiniame uždavinyje atsiranda lygtis? Sąlygoje kuris nors dydis aprašytas du kartus: vieną kartą skaičiumi, kitą kartą – per kitus dydžius. Pavyzdžiui, „mokinių iš viso 27“ ir „pirmos, antros ir trečios grupės mokiniai kartu“ – tai tas pats skaičius. Kai abu aprašymus užrašai su ta pačia raide ir sulygini, gauni lygtį. Jei grupėse yra $x$ , $x + 2$ ir $x + 4$ mokinių, lygtis tokia: $x + (x + 2) + (x + 4) = 27$ . Kaip išspręsti pačią lygtį, rasi puslapyje Lygtys.

Sąlyga ne visada pasako, ką žymėti raide. Tai nusprendi pats, o nuo pasirinkimo priklauso, kokia patogi bus lygtis. Kai nežinomųjų du ir juos patogiau žymėti dviem raidėmis, sudaroma lygčių sistema. Planas toks:

Perskaityk visą sąlygą ir surask klausimą. Nuspręsk, ką žymėsi raide, ir užsirašyk tai žodžiais su matavimo vienetu, jei jis yra, pavyzdžiui: „ $x$ – tinklinio kamuolių skaičius“.
Kitus dydžius išreikšk per $x$ . Kai dydžių daug, susidaryk lentelę: eilutėse – dalyviai, stulpeliuose – dydžiai, pavyzdžiui, našumas, laikas ir atliktas darbas.
Rask dydį, kuris sąlygoje aprašytas du kartus, ir sulygink abu jo užrašus.
Išspręsk lygtį.
Patikrink atsakymą pagal sąlygos žodžius, ne pagal savo lygtį. Jei lygtis sudaryta klaidingai, rastas skaičius ją tenkins, bet sąlygos – ne. Atsakyk būtent į tai, ko klausiama, ir parašyk matavimo vienetą.

Du būdai pažymėti nežinomąjį

Mokyklos sporto sandėlyje yra krepšinio ir tinklinio kamuolių, iš viso 26. Krepšinio kamuolių yra 8 daugiau nei tinklinio. Kiek tinklinio kamuolių yra sandėlyje?

Pirmas būdas. Tegu $x$ – tinklinio kamuolių skaičius. Tada krepšinio kamuolių yra $x + 8$ .
Kamuolių iš viso 26: $x + (x + 8) = 26$ , $2x + 8 = 26$ , $2x = 18$ , $x = 9$ .
Antras būdas. Tegu $y$ – krepšinio kamuolių skaičius. Tada tinklinio kamuolių yra $y - 8$ , o lygtis $y + (y - 8) = 26$ duoda $2y - 8 = 26$ , $2y = 34$ , $y = 17$ .
Antruoju būdu rastas $y$ dar nėra atsakymas: klausiama apie tinklinio kamuolius, todėl $17 - 8 = 9$ . Lygtys skirtingos, bet atsakymas tas pats.
Patikriname pagal sąlygą: $9 + 17 = 26$ , o 17 yra 8 daugiau nei 9.

Atsakymas: 9 tinklinio kamuoliai.

Matematikos užduotys 4 klasei Pradinukams: uždaviniai, sprendžiami veiksmais.
Judėjimo uždaviniai Kelias, greitis ir laikas: tas pats lygties sudarymo planas.

Tekstiniai uždaviniai su trupmenomis: bendras darbas

Darbo uždaviniuose visas darbas (lauko nukūlimas, sniego nuvalymas) laikomas vienetu (1). Jei kombainas visą lauką nukulia per 6 valandas, per vieną valandą jis nukulia $\frac{1}{6}$ lauko. Apskritai, jei visas darbas atliekamas per $t$ valandų, per vieną valandą atliekama $\frac{1}{t}$ darbo. Tai vadinama našumu. Atliktas darbas lygus našumui, padaugintam iš darbo laiko.

Kai dirba keli, sudedami jų našumai, o ne laikai. Jei vienas darbą atlieka per 6 h, o kitas per 9 h, kartu jie tikrai neužtruks 15 h – užtruks mažiau nei 6 h, nes padeda vienas kitam. Todėl lygtį sudaryk iš atliktų darbo dalių: visų dalių suma lygi 1. Dalims sudėti reikės bendro vardiklio. Jį rasti padės puslapis Trupmenos.

Vyresnėse klasėse nežinomas laikas kartais atsiduria vardiklyje. Tada gauni trupmeninę racionaliąją lygtį (lygtį su nežinomuoju vardiklyje), kuri kartais virsta kvadratine. Tokių uždavinių rasi puslapyje Racionaliosios lygtys, o kaip išspręsti gautą kvadratinę lygtį – puslapyje Kvadratinės lygtys.

Du kombainai, vienas išvažiuoja anksčiau

Pirmasis kombainas vienas javų lauką nukultų per 6 valandas, antrasis – per 9 valandas. Abu kombainai dirbo kartu 2 valandas, tada antrasis išvažiavo į kitą lauką. Per kiek laiko pirmasis kombainas vienas baigė likusį darbą?

Visas laukas – 1. Pirmojo kombaino našumas – $\frac{1}{6}$ lauko per valandą, antrojo – $\frac{1}{9}$ lauko per valandą.
Tegu pirmasis kombainas vienas dirbo $x$ valandų. Iš viso jis dirbo $2 + x$ valandų ir nukūlė $\frac{2 + x}{6}$ lauko. Antrasis dirbo 2 valandas ir nukūlė $\frac{2}{9}$ lauko.
Abu kartu nukūlė visą lauką: $\frac{2 + x}{6} + \frac{2}{9} = 1$
Abi puses dauginame iš bendro vardiklio 18. Kadangi $18 : 6 = 3$ , o $18 : 9 = 2$ , gauname $3(2 + x) + 2 \cdot 2 = 18$ , $6 + 3x + 4 = 18$ , $3x = 8$ , $x = \frac{8}{3}$ .
$\frac{8}{3}$ h $= 2\frac{2}{3}$ h, o $\frac{2}{3}$ valandos yra $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ min.
Patikriname: per 2 h kartu nukulta $2 \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{9}\right) = 2 \cdot \frac{5}{18} = \frac{5}{9}$ lauko, liko $\frac{4}{9}$ . Pirmasis per $\frac{8}{3}$ h nukula $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{9}$ lauko. Tinka.

Atsakymas: per 2 h 40 min.

Amžiaus uždaviniai: kas keičiasi ir kas ne

Laikas bėga visiems vienodai. Po $n$ metų kiekvienas tampa $n$ metų vyresnis, prieš $n$ metų kiekvienas buvo $n$ metų jaunesnis. Todėl dviejų žmonių amžių skirtumas niekada nekinta, o santykis („kiek kartų vyresnis“) keičiasi. Pavyzdžiui, mamai 30 metų, dukrai 10: skirtumas 20 metų, ir mama 3 kartus vyresnė. Po 10 metų joms bus 40 ir 20: skirtumas vėl 20 metų, bet mama jau tik 2 kartus vyresnė. Patogu susidaryti nedidelę lentelę: eilutėse – žmonės, stulpeliuose – „dabar“ ir „po $n$ metų“ arba „prieš $n$ metų“.

Lygtį sudaryk tam laiko momentui, apie kurį sąlygoje pasakytas santykis. Žodžiai „3 kartus vyresnis“ reiškia, kad iš 3 dauginamas visas jaunesniojo amžius tuo momentu, todėl jį rašyk skliaustuose.

Senelis ir anūkė: kur pamirštami skliaustai

Dabar senelis yra 5 kartus vyresnis už anūkę. Po 12 metų jis bus 3 kartus vyresnis už ją. Kiek metų dabar seneliui?

Tegu anūkei dabar $x$ metų. Tada seneliui dabar $5x$ metų.
Po 12 metų anūkei bus $x + 12$ , seneliui – $5x + 12$ metų.
Tuo metu senelis bus 3 kartus vyresnis: $5x + 12 = 3(x + 12)$ .
Atskliaudžiame ir sprendžiame: $5x + 12 = 3x + 36$ , $2x = 24$ , $x = 12$ .
Klausiama apie senelį: $5 \cdot 12 = 60$ (metų).
Patikriname pagal sąlygą: dabar 60 ir 12 – 5 kartus. Po 12 metų bus 72 ir 24 – 3 kartus. Tinka.
Dažna klaida – iš 3 padauginti tik $x$ , o ne visą anūkės amžių $x + 12$ . Tada gaunama $5x + 12 = 3x + 12$ , $x = 0$ , ir seneliui išeitų $5 \cdot 0 = 0$ metų – to būti negali. Kita klaida – 12 metų pridėti tik vienam žmogui: lygtis $5x + 12 = 3x$ duoda neigiamą amžių.

Atsakymas: seneliui dabar 60 metų.

Procentų uždaviniai, kai ieškoma pradinio dydžio

Kai sąlygoje procentai skaičiuojami vienas po kito, pradinį dydį patogu pažymėti $x$ ir eiti nuo jo žingsnis po žingsnio. Kiekvieną kartą nustatyk, nuo ko skaičiuojamas procentas: nuo visos pradinės sumos ar nuo to, kas liko. Procentų pagrindus gali pakartoti puslapyje Procentai.

Kiek pinigų buvo pradžioje

Mokyklos dramos būrelis dekoracijoms gavo pinigų. 40 % visos sumos jis išleido medienai, 25 % likusių pinigų – dažams, ir dar liko 135 eurai. Kiek pinigų būrelis gavo? Skaičiuok be skaičiuotuvo.

Tegu būrelis gavo $x$ eurų. Išleidus 40 %, liko 60 % sumos: $0{,}6x$ eurų.
Dažams išleista 25 % likučio, ne visos sumos. Todėl liko 75 % likučio: $0{,}75 \cdot 0{,}6x = 0{,}45x$ .
Liko 135 eurai: $0{,}45x = 135$ , $x = 135 : 0{,}45$ . Abu skaičius padauginame iš 100: $x = 13\,500 : 45 = 300$ .
Patikriname: medienai $0{,}4 \cdot 300 = 120$ eurų, liko 180 eurų; dažams $0{,}25 \cdot 180 = 45$ eurai; liko $180 - 45 = 135$ eurai. Tinka.

Atsakymas: 300 eurų.

Proporcingoji dalyba: kai dydis dalijamas santykiu

Padalyti 30 santykiu $2 : 3$ reiškia padalyti jį į $2 + 3 = 5$ vienodas daleles po $30 : 5 = 6$ . Pirmajai daliai tenka 2 dalelės, antrajai – 3: dalys lygios 12 ir 18. Bendrai: padalyti dydį santykiu $m : n$ reiškia padalyti jį į dvi dalis taip, kad pirmojoje būtų $m$ , o antrojoje $n$ vienodų dalelių. Vieną dalelę pažymėk $k$ . Tada dalys lygios $mk$ ir $nk$ , o lygtis $mk + nk = S$ duoda $k = \frac{S}{m + n}$ . Taip dalijamas uždarbis pagal dirbtą laiką ar išlaidos pagal tai, kiek kas gavo.

Ypatinga dalyba – aukso pjūvis. Čia prireiks kvadratinės lygties (9 klasės tema). Atkarpa padalijama į dvi dalis taip, kad visa atkarpa būtų tiek pat kartų ilgesnė už didesniąją dalį, kiek kartų didesnioji dalis ilgesnė už mažesniąją. Tegu mažesnioji dalis lygi 1, o didesnioji $\Phi$ (skaitoma „fi“). Tada visa atkarpa lygi $\Phi + 1$ , ir gauname lygtį $\frac{\Phi + 1}{\Phi} = \frac{\Phi}{1}$ . Abi puses padauginę iš $\Phi$ , gauname kvadratinę lygtį $\Phi^2 = \Phi + 1$ . Jos teigiamas sprendinys $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ .

Malkų sunkvežimis dviem kaimynams

Du kaimynai kartu užsisakė malkų sunkvežimį ir už jį sumokėjo 340 eurų. Malkas jie pasidalijo taip, kad pirmojo ir antrojo kaimyno dalių santykis buvo 7 : 10. Mokestį jie padalijo proporcingai gautam malkų kiekiui. Kiek eurų sumokėjo kiekvienas kaimynas?

Viena santykio dalelė – $k$ eurų. Tada kaimynai moka $7k$ ir $10k$ eurų.
Kartu jie sumoka 340 eurų: $7k + 10k = 340$ , $17k = 340$ , $k = 20$ .
Pirmasis moka $7 \cdot 20 = 140$ eurų, antrasis – $10 \cdot 20 = 200$ eurų.
Patikriname: $140 + 200 = 340$ , o $140 : 200 = 7 : 10$ .

Atsakymas: pirmasis – 140 eurų, antrasis – 200 eurų.

Proporcijos Santykis, proporcija ir pagrindinė proporcijos savybė.

Mišinių, tirpalų, lydinių ir džiovinimo uždaviniai

Tirpale, mišinyje ar lydinyje yra gryna medžiaga (druska, spiritas, auksas) ir visa kita. Koncentracija rodo, kiek procentų visos masės ar tūrio sudaro gryna medžiaga. Jei visa masė $m$ , o koncentracija $p$ %, grynos medžiagos yra $\frac{p}{100} \cdot m$ . Pavyzdžiui, 200 g tirpalo, kurio koncentracija 5 %, yra $0{,}05 \cdot 200 = 10$ g druskos. Visi šie uždaviniai sprendžiami atsakius į vieną klausimą: kuris dydis nekinta arba sumuojasi?

Sumaišius du tirpalus ar sulydžius du lydinius, sumuojasi ir visos masės, ir grynos medžiagos masės. Procentai nesisumuoja: sumaišius 20 % ir 40 % tirpalus, gausi ne 60 %, o koncentraciją tarp 20 % ir 40 %. Įpylus vandens, grynos medžiagos masė nekinta, o visa masė didėja.

Džiovinant išgaruoja tik vanduo, todėl nekinta sausosios medžiagos masė. Mirkant ar drėkinant – atvirkščiai: vandens pridedama, o sausosios medžiagos lieka tiek pat. Lygtį sudaryk būtent pagal nekintantį dydį.

Dalis skysčio pakeičiama vandeniu: pilnas sprendimas

Kanistre yra 20 l langų plovimo skysčio, kuriame spirito yra 40 %. Iš kanistro nupylė dalį skysčio ir vietoj jo įpylė tiek pat litrų vandens. Dabar spirito skystyje yra 30 %. Kiek litrų skysčio nupylė? Užrašyk visą sprendimą.

Nuspalvinta dalis – spiritas. Skysčio tūris kanistre nekinta: prieš ir po – 20 l.

Pažymime: $x$ – nupilto skysčio tūris litrais, $0 < x < 20$ .
Kas nekinta? Bendras tūris: nupylus $x$ l ir įpylus $x$ l vandens, kanistre vėl yra 20 l.
Spirito pradžioje buvo $0{,}4 \cdot 20 = 8$ (l). Su nupiltu skysčiu išpilta $0{,}4x$ l spirito, o vandenyje spirito nėra. Liko $8 - 0{,}4x$ litrų spirito.
Dabar spiritas sudaro 30 % visų 20 l: $0{,}3 \cdot 20 = 6$ (l). Lygtis: $8 - 0{,}4x = 6$ .
Sprendžiame: $0{,}4x = 8 - 6 = 2$ , $x = 2 : 0{,}4 = 5$ . Sąlygą $0 < x < 20$ tenkina.
Patikriname: nupylus 5 l, liko 15 l skysčio ir $0{,}4 \cdot 15 = 6$ l spirito. Įpylus 5 l vandens, 6 l spirito iš 20 l sudaro $\frac{6}{20} = 30\,\%$ . Tinka.

Atsakymas: nupylė 5 l skysčio.

Tekstinių uždavinių formulės ir kada jas taikyti

Šios formulės tekstiniuose uždaviniuose virsta lygtimis. Raidės: $A$ – atliktas darbas, $N$ – našumas, $t$ – laikas, $S$ – dalijamas dydis, $m$ – masė, $p$ – procentai. Proporcingosios dalybos eilutėje $m$ ir $n$ – santykio skaičiai: santykyje $7 : 10$ tai 7 ir 10. Amžiaus eilutėje $a$ ir $b$ – dviejų žmonių amžiai dabar.

Formulė	Kada taikyti
$A = N \cdot t$	Darbo uždaviniai: atliktas darbas lygus našumui, padaugintam iš darbo laiko.Išmok mintinai
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$	Kai du dirba kartu nuo pradžios iki galo: $t_1$ ir $t_2$ – kiekvieno laikas vienam, $t$ – bendras laikas.Išmok mintinai
$(a + n) - (b + n) = a - b$	Amžiaus uždaviniai: po $n$ metų amžių skirtumas toks pat kaip dabar.Išmok mintinai
$\text{dalis} = \frac{p}{100} \cdot \text{visuma}$	Procentų uždaviniai: dalis, kai žinoma visuma ir procentai.Išmok mintinai · Plačiau: Procentai
$\begin{gathered} a = \frac{m}{m + n} \cdot S \\ b = \frac{n}{m + n} \cdot S \end{gathered}$	Proporcingoji dalyba: dydis $S$ dalijamas į dalis $a$ ir $b$ santykiu $m : n$ .Išmok mintinai
$m_{\text{medž.}} = \frac{p}{100} \cdot m$	Tirpalai, mišiniai, lydiniai: grynos medžiagos masė, kai žinoma visa masė $m$ ir koncentracija $p$ %.Išmok mintinai
$\begin{gathered} \frac{p_1}{100} m_1 + \frac{p_2}{100} m_2 \\ = \frac{p}{100} (m_1 + m_2) \end{gathered}$	Sumaišius du tirpalus ar lydinius: grynos medžiagos masės sudedamos.Išmok mintinai
$\frac{100 - p_1}{100} \cdot m_1 = \frac{100 - p_2}{100} \cdot m_2$	Džiovinimas ir drėkinimas: $p_1$ ir $p_2$ – vandens procentai prieš ir po; sausosios medžiagos masė nekinta.Išmok mintinai

Dažnos klaidos sprendžiant tekstinius uždavinius

Raidė nepaaiškinta žodžiais. Po kelių eilučių nebeaišku, ar $x$ yra senelio, ar anūkės amžius, ir atsakoma ne į tą klausimą.
Atsakymu laikomas rastas $x$ , nors klausiama kito dydžio. Nepatikrinama ir tai, ar atsakymas prasmingas: amžius negali būti neigiamas, o nupilti galima ne daugiau, nei buvo.
Darbo uždavinyje sudedami laikai, o ne našumai. Dirbdami kartu, abu darbą atlieka greičiau nei kiekvienas vienas, todėl bendras laikas turi būti trumpesnis už kiekvieno laiką atskirai.
Amžiaus uždavinyje metai pridedami tik vienam žmogui arba santykis taikomas be skliaustų: turi būti $3(x + 12)$ , ne $3x + 12$ .
Procentas skaičiuojamas nuo ne tos visumos: „25 % likusių pinigų“ nėra tas pats, kas „25 % visų pinigų“.
Mišinių uždavinyje sudedami procentai. Sudedamos grynos medžiagos masės, o naujo mišinio koncentracija skaičiuojama iš naujo.

Tekstiniai uždaviniai NMPP 8 ir PUPP užduotyse

Tekstinių uždavinių gali būti per NMPP (nacionalinį mokinių pasiekimų patikrinimą) 8 klasėje ir per PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą). Datos žemiau – 2027 m. patikrinimų. 2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė naujų NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Kol jie nepatvirtinti, turinys, vertinimas ir priemonės čia nurodyti pagal 2026 m. tvarką. Plačiau – puslapiuose NMPP 8 klasei ir Matematikos PUPP.

NMPP 8: kas gali būti. Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Lygties sudarymas iš uždavinio sąlygos ir procentų uždaviniai yra 5–7 klasių turinys. Vadinasi, tokių uždavinių per NMPP 8 gali būti.
NMPP 8: priemonės. Pagal 2026 m. tvarką: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, lygtis spręsi ranka ir atsakymą tikrinsi be skaičiuotuvo, kaip pavyzdyje apie dramos būrelį.
PUPP: kas gali būti. Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Proporcingoji dalyba, džiovinimo, drėkinimo, lydinių, mišinių ir tirpalų uždaviniai priklauso kitai 10 klasės sričiai – „Modeliai ir sąryšiai“. Vadinasi, šis apribojimas jų neliečia, ir tokių uždavinių per PUPP gali būti. 9–10 klasėse uždavinio sąlygą mokomasi užrašyti ir kvadratine ar trupmenine racionaliąja lygtimi, ir lygčių sistema. Tokių uždavinių per PUPP irgi gali būti.
PUPP: vertinimas. Pagal 2026 m. tvarką: pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Todėl pilnojo sprendimo uždavinyje užrašyk, ką žymi raidė, lygtį, jos sprendimą ir atsakymą, kaip pavyzdyje apie langų plovimo skystį.
PUPP: priemonės. Pagal 2026 m. tvarką: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). 2026 m. PUPP formulių rinkinyje darbo, mišinių ir proporcingosios dalybos formulių nėra, todėl jas reikia mokėti mintinai. Visas rinkinys – puslapyje PUPP formulės.

NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF) 2026 m. tvarka.
NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF) 2026 m. tvarka; formulių rinkinys yra aprašo priede.
PUPP užduotys Savos PUPP formato užduotys su atsakymais.

Tekstiniai uždaviniai: užduotys su atsakymais

Prieš sudarydamas lygtį, užsirašyk, ką žymi raidė. Lengvesnius ir vidutinius uždavinius spręsk be skaičiuotuvo.

Lengvesni

1. Sudėliok tekstinio uždavinio sprendimo žingsnius teisinga tvarka. A) Sulygink du to paties dydžio užrašus. B) Pažymėk nežinomąjį raide ir užrašyk, ką ji reiškia. C) Patikrink atsakymą pagal sąlygą. D) Kitus dydžius išreikšk per nežinomąjį. E) Išspręsk lygtį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: B, D, A, E, C.

Pirmiausia reikia raidės ir jos prasmės (B), tada per ją išreiškiami kiti dydžiai (D). Tik tada galima sulyginti du to paties dydžio užrašus (A), išspręsti gautą lygtį (E) ir patikrinti atsakymą pagal sąlygą (C).

2. Sumaišius 3 kg sirupo, kuriame cukraus yra 20 %, ir 2 kg sirupo, kuriame cukraus yra 45 %, gautas naujas sirupas. Kiek procentų cukraus jame yra?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 30 %.

Cukraus yra $0{,}2 \cdot 3 = 0{,}6$ kg ir $0{,}45 \cdot 2 = 0{,}9$ kg, iš viso 1,5 kg. Sirupo iš viso 5 kg, todėl cukraus $\frac{1{,}5}{5} = 0{,}3 = 30\,\%$ . Procentų sudėti negalima: 65 % būtų daugiau nei abiejuose sirupuose.

3. Po rekonstrukcijos stadione vietų padaugėjo 15 % ir dabar jų yra 4140. Kiek vietų stadione buvo prieš rekonstrukciją?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 3600 vietų.

Tegu buvo $x$ vietų. Padidėjus 15 %, jų tapo $1{,}15x$ : $1{,}15x = 4140$ , $x = 4140 : 1{,}15 = 414\,000 : 115 = 3600$ . Atimti 15 % nuo 4140 negalima: 15 % skaičiuojama nuo senojo vietų skaičiaus, ne nuo naujojo.

Vidutiniai

4. Dukrai dabar $x$ metų, o mama 3 kartus vyresnė už ją. Kiekvienas sakinys 1–3 aprašo atskirą situaciją. Sugretink kiekvieną sakinį 1–3 su jį atitinkančia lygtimi A–D. 1) Po 10 metų mama bus 2 kartus vyresnė už dukrą. 2) Prieš 4 metus mama buvo 5 kartus vyresnė už dukrą. 3) Mamos ir dukters amžių suma dabar lygi 48 metams. Lygtys: A) $3x - 4 = 5(x - 4)$ ; B) $3x + x = 48$ ; C) $3x + 10 = 2(x + 10)$ ; D) $3x + 10 = 2x + 10$ . Viena lygtis liks nepanaudota.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 1 – C, 2 – A, 3 – B.

Po 10 metų mamai bus $3x + 10$ , dukrai $x + 10$ , ir iš 2 dauginamas visas dukters amžius – tai C. Lygtis D padaugina iš 2 tik $x$ , todėl ji klaidinga: jos sprendinys $x = 0$ . Prieš 4 metus amžiai buvo $3x - 4$ ir $x - 4$ – tai A. Suma dabar – B.

5. Du broliai vasarą kartu šienavo kaimynų pievas ir uždarbį pasidalijo pagal dirbtas valandas santykiu 4 : 7. Vyresnysis gavo 54 eurais daugiau nei jaunesnysis. Kiek eurų broliai uždirbo kartu?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 198 eurus.

Viena dalelė – $k$ eurų, broliai gavo $4k$ ir $7k$ . Skirtumas $7k - 4k = 3k = 54$ , todėl $k = 18$ . Kartu jie uždirbo $11k = 198$ eurus: jaunesnysis 72, vyresnysis 126.

6. Mokyklos stadioną nuo sniego vienas valytuvas nuvalo per 6 valandas, kitas – per 4 valandas. Per kiek laiko jie nuvalys stadioną dirbdami kartu? Atsakymą užrašyk valandomis ir minutėmis.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: per 2 h 24 min.

Per valandą kartu nuvaloma $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ stadiono. Tegu $t$ – bendras laikas valandomis: $\frac{5}{12} t = 1$ , $t = \frac{12}{5} = 2{,}4$ h, o 0,4 h yra $0{,}4 \cdot 60 = 24$ min. Atsakymas trumpesnis už 4 h, kaip ir turi būti.

Sunkesni

7. Juvelyras turi 300 g lydinio, kuriame aukso yra 75 %. Kiek gramų gryno aukso jis turi įlydyti, kad aukso lydinyje būtų 80 %?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 75 g.

Aukso dabar $0{,}75 \cdot 300 = 225$ g. Įlydžius $x$ g gryno aukso, aukso bus $225 + x$ g, o viso lydinio – $300 + x$ g. Lygtis $225 + x = 0{,}8(300 + x)$ , $225 + x = 240 + 0{,}8x$ , $0{,}2x = 15$ , $x = 75$ . Patikrinimas: aukso $225 + 75 = 300$ g iš $375$ g lydinio, o $\frac{300}{375} = 0{,}8$ .

8. Sausose pupelėse yra 10 % vandens, o pamirkytose – 55 % vandens. Kiek gramų svers 300 g sausų pupelių, kai jas pamirkysi?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 600 g.

Mirkant pridedama tik vandens, todėl sausosios medžiagos masė nekinta: $0{,}9 \cdot 300 = 270$ g. Pamirkytose pupelėse ji sudaro $100\,\% - 55\,\% = 45\,\%$ masės. Tegu pamirkytų pupelių masė $m$ g: $0{,}45m = 270$ , $m = 600$ .

9. Šviežiai nupjautoje žolėje yra 75 % vandens, o šiene – 16 % vandens. Kiek kilogramų šieno gaunama iš 840 kg žolės?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 250 kg.

Sausosios medžiagos žolėje $0{,}25 \cdot 840 = 210$ kg, ir džiovinant ji nekinta. Šiene ji sudaro $100\,\% - 16\,\% = 84\,\%$ masės. Tegu šieno masė $m$ kg: $0{,}84m = 210$ , $m = 250$ . Patikrinimas: 250 kg šieno yra $250 - 210 = 40$ kg vandens, o $\frac{40}{250} = 0{,}16 = 16\,\%$ .

Dažniausiai užduodami klausimai

Kaip iš tekstinio uždavinio sudaryti lygtį?

Pirmiausia nuspręsk, ką žymėsi raide, ir užsirašyk tai žodžiais. Tada kitus dydžius išreikšk per tą raidę ir surask dydį, kuris sąlygoje aprašytas du kartus, pavyzdžiui, „iš viso 26“ ir „vienų ir kitų kartu“. Šiuos du užrašus sulygink – tai ir yra lygtis. Išsprendęs patikrink atsakymą pagal sąlygos žodžius.

Kaip spręsti tekstinius uždavinius su trupmenomis?

Trupmenos atsiranda, kai dalis nurodyta nuo visumos arba kai visas darbas laikomas vienetu. Lygtį sudaryk taip pat kaip be trupmenų, o tada abi jos puses padaugink iš bendro vardiklio – trupmenos dings. Pavyzdžiui, jei per valandą vienas atlieka šeštadalį darbo, o kitas devintadalį, lygtį patogu dauginti iš 18.

Ko apie tekstinius uždavinius mokomasi 6 klasėje?

Šeštoje klasėje lygtį iš uždavinio sąlygos ar schemos mokomasi sudaryti ir tada, kai sąlyga nepasako, kas nežinoma: ką žymėti raide, nusprendi pats. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose reikia rasti visumą, kai žinoma jos dalis ir kokią trupmeną ar kiek procentų ji sudaro. Procentai taikomi ir uždaviniuose apie pirkimą, pardavimą bei nuolaidas, skaičiuojant be skaičiuotuvo. Dar sprendžiami uždaviniai su santykiu ir proporcija, taip pat su dydžiais, kuriuos sieja tiesioginis proporcingumas.

Ar 4 klasės tekstiniai uždaviniai jau sprendžiami lygtimis?

Iš dalies. Pirmoje klasėje uždavinys vaizduojamas piešiniu ar schema, o nežinomasis lygybėje žymimas, pavyzdžiui, langeliu. Trečioje ir ketvirtoje klasėje jau sudaromos paprasčiausios lygtys su raide, kai sąlyga pati nurodo, kas nežinoma. Kitus uždavinius pradinukai sprendžia veiksmais ir sprendimą užrašo klausimų ir atsakymų seka. Užduočių ketvirtokams rasi puslapyje „Matematikos užduotys 4 klasei“.

Taip pat: Lygtys · Procentai · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos PUPP

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; 3 p., 10.8 punktas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt