Skaičių aibės, veiksmai su aibėmis ir skaičiaus modulis

Skaičių aibės 8 klasėje: nuo natūraliųjų iki realiųjų skaičių

Aibės nariai vadinami jos elementais. Užrašas $7 \in \mathbb{N}$ skaitomas „7 priklauso natūraliųjų skaičių aibei“, o $-6 \notin \mathbb{N}$ – „$-6$ nepriklauso natūraliųjų skaičių aibei“. Nedidelę aibę galima užrašyti, išvardijus jos elementus riestiniuose skliaustuose. Juos skiria kabliataškis, nes kablelis jau užimtas dešimtainėms trupmenoms: $\{2; 4; 6\}$. Mokykloje naudojamos penkios pagrindinės skaičių aibės.

• $\mathbb{N} = \{1; 2; 3; \ldots\}$ – natūralieji skaičiai. Nulis natūraliuoju skaičiumi nelaikomas.
• $\mathbb{Z} = \{\ldots; -2; -1; 0; 1; 2; \ldots\}$ – sveikieji skaičiai: natūralieji, jiems priešingi skaičiai ir nulis.
• $\mathbb{Q}$ – racionalieji skaičiai: visi skaičiai, kuriuos galima užrašyti trupmena $\frac{m}{n}$, kur $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$. Dešimtainiu pavidalu tai baigtinės arba begalinės periodinės trupmenos: $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $0{,}(3) = 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$.
• $\mathbb{I}$ – iracionalieji skaičiai: begalinės dešimtainės trupmenos, kurių skaitmenys po kablelio nesudaro besikartojančio periodo, pavyzdžiui, $\sqrt{2}$, $\sqrt{12}$ ir $\pi$. Trupmena $\frac{m}{n}$ jų užrašyti neįmanoma.
• $\mathbb{R}$ – realieji skaičiai: racionalieji ir iracionalieji kartu. Kiekvienas realusis skaičius atitinka vieną skaičių tiesės tašką, o kiekvienas taškas – realųjį skaičių.

• Racionalieji skaičiai Teigiamieji ir neigiamieji skaičiai, skaičių tiesė ir veiksmai su jais.

Skaičių aibės poaibis: kaip aibės įdėtos viena į kitą

Aibė $A$ yra aibės $B$ poaibis, jei kiekvienas $A$ elementas priklauso ir $B$; rašoma $A \subset B$. Kiekvienas natūralusis skaičius yra sveikasis, kiekvienas sveikasis – racionalusis ($5 = \frac{5}{1}$), o racionalieji ir iracionalieji kartu sudaro realiuosius. Todėl $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ir $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$. Racionalieji ir iracionalieji skaičiai bendrų elementų neturi: kiekvienas realusis skaičius priklauso lygiai vienai iš šių dviejų aibių.

Kvadratinė šaknis iš natūraliojo skaičiaus yra arba natūralusis skaičius (kai pošaknyje tikslus kvadratas, kaip $\sqrt{49} = 7$), arba iracionalusis, kaip $\sqrt{2}$ ar $\sqrt{12}$. Daugiau apie šaknis – šaknų temoje.

Ištisą skaičių tiesės dalį patogu užrašyti intervalu. $[-2; 5)$ – tai visi $x$, kuriems $-2 \le x < 5$: laužtinis skliaustas reiškia, kad galas priklauso, lenktinis – kad nepriklauso. Prie $-\infty$ ir $+\infty$ (minus ir plius begalybės) skliaustas visada lenktinis: $(3; +\infty)$ – tai $x > 3$.

Aibė gali būti baigtinė, kaip skaičiaus 10 daliklių aibė $\{1; 2; 5; 10\}$, arba begalinė, kaip $\mathbb{N}$. Aibė be elementų vadinama tuščiąja ir žymima $\varnothing$; ji yra bet kurios aibės poaibis. A kurse dar skiriamos diskrečiosios aibės, kurių elementai yra atskiri taškai (pavyzdžiui, $\mathbb{Z}$), ir tolydžiosios – ištisi skaičių tiesės intervalai.

Skaičių aibės: sąjunga, sankirta ir skirtumas

III gimnazijos (11) klasėje su aibėmis atliekami veiksmai. Sąjunga $A \cup B$ – visi elementai, priklausantys bent vienai iš aibių. Sankirta $A \cap B$ – elementai, priklausantys abiem aibėms. Skirtumas $A \setminus B$ – tie $A$ elementai, kurių nėra $B$. Pavyzdžiui, kai $A = \{1; 3; 5; 7\}$ ir $B = \{5; 6; 7; 8\}$, tai $A \cup B = \{1; 3; 5; 6; 7; 8\}$, $A \cap B = \{5; 7\}$, $A \setminus B = \{1; 3\}$, o $B \setminus A = \{6; 8\}$. Sąjungai ir sankirtai aibių tvarka nesvarbi, skirtumui – svarbi.

Žodžiai sąlygoje padeda pasirinkti veiksmą: „arba“ (bent vienas) – sąjunga, „ir“ (abu kartu) – sankirta, „bet ne“ – skirtumas. Nelygybių sistemos atsakymas yra sankirta, nes sprendinys turi tenkinti visas nelygybes. O atsakymas iš kelių intervalų, pavyzdžiui, $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$, yra sąjunga.

Su intervalais elkis taip pat, tik pažymėk juos vienoje skaičių tiesėje. Sankirta – ten, kur žymėjimai persidengia, sąjunga – visa pažymėta dalis. Atidžiai žiūrėk į galus: galas priklauso sankirtai tik tada, kai priklauso abiem intervalams, o sąjungai – kai priklauso bent vienam.

Veno diagramos: kiek elementų sąjungoje ir sankirtoje

Veno diagramoje visi nagrinėjami elementai telpa stačiakampyje, o kiekviena aibė nubraižoma skrituliu. Bendra skritulių dalis yra sankirta, abu skrituliai kartu – sąjunga, o skritulio dalis be bendros dalies – skirtumas. Tokių diagramų vėliau prireiks ir tikimybėms skaičiuoti.

Baigtinės aibės elementų skaičių žymėsime $n(A)$. Sudėjus $n(A)$ ir $n(B)$, sankirtos elementai suskaičiuojami du kartus, todėl sankirtos elementų skaičių reikia vieną kartą atimti. Skaičius į diagramą rašyk iš vidaus į išorę: sankirta, tik viena aibė, likę elementai.

• Dalumas Dalumo požymiai, dalikliai ir mažiausiasis bendrasis kartotinis.

Skaičiaus modulis ir jo geometrinė prasmė

Skaičiaus modulis – tai atstumas skaičių tiesėje nuo to skaičiaus iki nulio. Atstumas negali būti neigiamas, todėl modulis visada teigiamas arba lygus nuliui: $|6| = 6$, $|-6| = 6$, $|0| = 0$. Formule tai užrašoma taip: neneigiamo skaičiaus modulis lygus pačiam skaičiui, o neigiamo – jam priešingam skaičiui: $$|a| = \begin{cases} a, & \text{kai } a \ge 0, \\ -a, & \text{kai } a < 0. \end{cases}$$

Užrašas $-a$ nebūtinai reiškia neigiamą skaičių: kai $a = -6$, tai $-a = 6$. Todėl taisyklė „modulis nuima minusą“ tinka tik konkretiems skaičiams. Prieš nuimdamas modulio ženklą nuo $|x - 3|$, pirmiausia nustatyk, ar $x - 3$ teigiamas, ar neigiamas.

Skaičius $|a - b|$ lygus atstumui tarp taškų $a$ ir $b$ skaičių tiesėje. Pavyzdžiui, per 5 vienetus nuo 3 nutolę du skaičiai: $-2$ ir 8, nes $|-2 - 3| = |8 - 3| = 5$. Su moduliu susijusi ir lygybė $\sqrt{a^2} = |a|$. Kvadratinė šaknis – tai neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus pošaknio reiškiniui, o $|a|$ kaip tik toks: $|a| \ge 0$ ir $|a|^2 = a^2$. Pavyzdžiui, $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = |-4|$.

A kurse braižomas funkcijos $y = |x|$ grafikas. Kai $x \ge 0$, grafikas yra tiesės $y = x$ dalis, o kai $x < 0$ – tiesės $y = -x$ dalis. Todėl jis primena raidę V su viršūne taške $(0; 0)$. Grafikas simetriškas $y$ ašies atžvilgiu, nes $|-x| = |x|$. Grafikų transformacijos, pavyzdžiui, $y = |f(x)|$, aiškinamos funkcijų temoje.

Lygtys su moduliu (A kursas)

Lygtis $|f(x)| = a$ klausia, su kuriais $x$ reiškinio $f(x)$ reikšmė nutolusi nuo nulio per $a$. Kai $a > 0$, tokios reikšmės dvi: $a$ ir $-a$, todėl lygtis skyla į dvi: $f(x) = a$ arba $f(x) = -a$. Kai $a = 0$, lieka viena lygtis $f(x) = 0$. Kai $a < 0$, sprendinių nėra, nes modulis neigiamas nebūna: lygtis $|x + 4| = -2$ sprendinių neturi.

Lygtyje $|f(x)| = g(x)$ dešinėje yra reiškinys. Ji sprendžiama taip pat: $f(x) = g(x)$ arba $f(x) = -g(x)$. Tačiau modulis neneigiamas, todėl tinka tik tie sprendiniai, su kuriais $g(x) \ge 0$. Kiekvieną gautą skaičių patikrink, kitaip atsakyme gali likti pašalinis sprendinys.

• Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys Kitos A kurso lygtys, kuriose taip pat reikia tikrinti sprendinius.

Nelygybės su moduliu (A kursas)

Nelygybę $|x| < 3$ tenkina skaičiai, nutolę nuo nulio mažiau nei per 3, t. y. $-3 < x < 3$. O nelygybę $|x| > 3$ tenkina skaičiai, nutolę daugiau nei per 3: $x < -3$ arba $x > 3$. Grafike tai matyti iš karto: $|x| < 3$ ten, kur grafikas $y = |x|$ yra žemiau tiesės $y = 3$.

Taip pat sprendžiamos nelygybės su reiškiniu po moduliu. Kai $a > 0$, nelygybė $|f(x)| < a$ keičiama dviguba nelygybe $-a < f(x) < a$. Pavyzdžiui, $|x - 1| < 4$ reiškia $-4 < x - 1 < 4$, iš čia $-3 < x < 5$. Nelygybė $|f(x)| > a$ keičiama dviem nelygybėmis $f(x) < -a$ arba $f(x) > a$, o jos atsakymas yra intervalų sąjunga. Kai $a < 0$, nelygybė $|f(x)| < a$ sprendinių neturi, o $|f(x)| > a$ teisinga su visais $x$, nes modulis neigiamas nebūna. Jei dešinėje yra reiškinys $g(x)$, galioja tos pačios taisyklės: $|f(x)| < g(x)$ reiškia $-g(x) < f(x) < g(x)$. Ženklai $\le$ ir $\ge$ sprendžiami taip pat, tik galai įeina.

• Kvadratinės nelygybės Kita tema: grafinis ir intervalų metodas.

Dažnos klaidos su skaičių aibėmis ir moduliu

• Supainiojami ženklai $\in$ ir $\subset$. Skaičius aibei priklauso: $5 \in \mathbb{N}$. Poaibis yra aibė: $\{5\} \subset \mathbb{N}$. Užrašas $5 \subset \mathbb{N}$ klaidingas.
• Kiekviena šaknis laikoma iracionaliuoju skaičiumi, nors $\sqrt{49} = 7$, o $3{,}14$ painiojamas su $\pi$. Periodinė trupmena, pavyzdžiui, $0{,}(45)$, yra racionalusis skaičius.
• Sukeičiamos sąjunga ir sankirta arba neatsižvelgiama į intervalų galus. Galas priklauso sankirtai tik tada, kai priklauso abiem intervalams.
• Skaičiuojant $n(A \cup B)$, sankirta neatimama ir suskaičiuojama du kartus.
• Modulis „nuimamas“ neatsižvelgiant į reiškinio ženklą: rašoma $\sqrt{x^2} = x$ arba $|x - 3| = x - 3$, nors tai teisinga tik kai reiškinys neneigiamas. Be to, $|a + b|$ ne visada lygus $|a| + |b|$: $|3 + (-5)| = 2$, o $|3| + |-5| = 8$.
• Lygtyje $|f(x)| = g(x)$ netikrinama sąlyga $g(x) \ge 0$, o nelygybės $|f(x)| > a$ atsakymas užrašomas viena dviguba nelygybe, nors tai dviejų intervalų sąjunga.

Skaičių aibės ir modulis NMPP 8 ir VBE užduotyse

Skaičių aibės ir modulis priklauso programos sričiai „Skaičiai ir skaičiavimai“. Datos – 2027 metų. Kas gali būti per patikrinimą ir kokios priemonės leidžiamos, aprašyta pagal 2026 m. tvarką, nes nauji užduočių aprašai dar tik derinami.

• Matematikos NMPP (nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas) aštuntokams vyks 2027 m. kovo 12 d. Vykdymo būdas – elektroninis. 2026 m. NMPP 8 priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama.
• Pagal 2026 m. NMPP 8 aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Skaičių aibės – 8 klasės tema, o neįtrauktų temų sąraše jų nėra. Vadinasi, skaičių aibių uždavinių per NMPP 8 gali būti. Veiksmų su aibėmis ir modulio 8 klasėje dar nesimokoma.
• Matematikos VBE (valstybinis brandos egzaminas) pagal 2026 m. tvarką laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Veiksmų su aibėmis, Veno diagramų ir modulio mokomasi III gimnazijos (11) klasėje abiejuose kursuose, o lygčių ir nelygybių su moduliu bei funkcijos $y = |x|$ grafiko – tik A kurse.
• Matematikos bendrojoje programoje parašyta: pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Todėl šių 11 klasės temų uždavinių gali būti ir pirmojoje, ir antrojoje VBE dalyje.
• VBE formulių lapas ir priemonės. Pagal 2026 m. tvarką oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Veiksmų su aibėmis, modulio savybių, lygčių ir nelygybių su moduliu taisyklių nėra nė viename skyriuje, todėl lentelėse jos pažymėtos „Išmok mintinai“. 2026 m. priemonės: pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
• NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) 2026 m. spalio 1 d. paskelbė, kad atnaujinti NMPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui, o 2026 m. spalio 7 d. – kad viešam derinimui teikiami ir atnaujinti VBE užduočių aprašų projektai.

• NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF)
• NŠA: matematikos VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniais (PDF)
• Matematikos NMPP Pilna NMPP faktų lentelė.
• Matematikos VBE Pilna VBE faktų lentelė.
• Matematikos NMPP 8 klasėje Patikrinimo formatas, temos ir pasiruošimas.
• Matematikos VBE I dalis Pirmosios dalies formatas, temos ir pasiruošimo planas.
• Matematikos VBE II dalis Kaip sudaryta antroji egzamino dalis.

Skaičių aibės: uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai, kuriems reikia A kurso žinių, pažymėti „A kursas“. Atsakymą atsiversk tik išsprendęs. Jei jis nesutampa, grįžk prie atitinkamo pavyzdžio aukščiau. Mišrių aštuntos klasės uždavinių rasi užduotyse 8 klasei.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni