Išvestinės: ką reiškia, kaip skaičiuoti ir kur taikyti

Kas yra išvestinės?

Pradėkime nuo pavyzdžio. Imkime funkciją $f(x) = 3x^2 - x$. Kai argumentas $x$ pakinta nuo 1 iki 2, funkcijos reikšmė pakinta nuo $f(1) = 2$ iki $f(2) = 10$. Pokytis žymimas graikiška raide $\Delta$ (delta). Argumento pokytis $\Delta x = 2 - 1 = 1$, funkcijos reikšmės pokytis $\Delta y = 10 - 2 = 8$. Jų santykis $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 8$ rodo vidutinį funkcijos kitimo greitį tame intervale. Bendrai: jei argumentas pakinta nuo $x_0$ iki $x_0 + \Delta x$, tai $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Tiesė, einanti per du grafiko taškus, vadinama kirstine. Santykis $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ yra kirstinės krypties koeficientas, t. y. skaičius $k$ jos lygtyje $y = kx + b$.

Dabar imkime $\Delta x$ vis mažesnį, artėjantį prie nulio. Santykis $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ tada artėja prie tam tikro skaičiaus. Tas skaičius vadinamas funkcijos išvestine taške $x_0$ ir žymimas $f'(x_0)$: $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$ Ženklas $\lim$ skaitomas „riba“. Funkcijai $f(x) = 3x^2 - x$ taške $x_0 = 1$ šis skaičius lygus 5 – tai parodyta pavyzdyje žemiau. Jei išvestinė egzistuoja kiekviename intervalo taške, gauname naują funkciją $f'(x)$ – išvestinę funkciją. Išvestinės radimas vadinamas diferencijavimu.

Fizikinė išvestinės prasmė. Tarkime, kūnas juda tiese, o $s(t)$ – jo koordinatė metrais po $t$ sekundžių. Tada $v(t) = s'(t)$ yra greitis tą akimirką (momentinis greitis), metrais per sekundę. Jo didumą rodytų spidometras. Greičio išvestinė $v'(t)$ yra pagreitis. Greičio ženklas rodo judėjimo kryptį, o kai greitis lygus nuliui, kūnas tą akimirką nejuda.

Geometrinė išvestinės prasmė. Nubrėžkime grafiko liestinę taške $(x_0; f(x_0))$. Jos krypties koeficientas lygus $f'(x_0)$. Taip yra todėl, kad antrajam kirstinės taškui artėjant prie pirmojo, kirstinė pasisuka ir artėja prie liestinės. Jei $f'(x_0) > 0$, liestinė kyla, o funkcija ties tuo tašku didėja. Jei $f'(x_0) < 0$, liestinė leidžiasi, o funkcija mažėja. Jei $f'(x_0) = 0$, liestinė horizontali.

Išvestinės skaičiavimas: pagrindinės taisyklės

Skaičiuoti išvestinę kaskart pagal apibrėžimą užtruktų ilgai. Todėl taisyklės vieną kartą išvedamos iš apibrėžimo, o toliau taikomos tik jos. B kursui užtenka lentelės žemiau. A kurse taikomos tos pačios taisyklės ir dar kelios (jos – A kurso skiltyje). Prie kiekvienos formulės pažymėta, ar ji yra 2026 m. valstybinio brandos egzamino (VBE) formulių lape.

Kodėl konstantos išvestinė lygi nuliui? Funkcija $y = c$ nekinta, todėl $\Delta y = 0$ ir pokyčių santykis visada lygus 0. Tiesinės funkcijos $y = kx + b$ pokyčių santykis visada lygus $k$: tiesės liestinė yra ji pati. Pavyzdžiui, $(7)' = 0$, o $(3x - 2)' = 3$.

Sumą ir skirtumą diferencijuojame panariui: kiekvieno dėmens išvestinę randame atskirai, pavyzdžiui, $(x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$. Pastovų daugiklį iškeliame prieš išvestinės ženklą: $(5x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$. Laipsnio formulė tinka ir neigiamam sveikajam rodikliui, todėl trupmeną su $x$ vardiklyje pirmiausia perrašome laipsniu: $$\frac{5}{x^2} = 5x^{-2}, \qquad \left(5x^{-2}\right)' = -10x^{-3} = -\frac{10}{x^3}$$

Išvestinės reikšmę taške randame dviem žingsniais: pirmiausia $f'(x)$, tik tada įstatome skaičių. Pavyzdžiui, jei $f(x) = x^3$, tai $f'(x) = 3x^2$ ir $f'(2) = 12$. Jei pirma įstatytum 2, gautum skaičių $f(2) = 8$, o skaičiaus išvestinė visada lygi nuliui. Kai $f$ – trečiojo laipsnio daugianaris, jo išvestinė yra kvadratinis trinaris. Todėl lygtis $f'(x) = a$ tampa kvadratine (žr. kvadratinės lygtys).

Išvestinės geometrinė prasmė: liestinės lygtis

Kadangi $f'(x_0)$ yra liestinės krypties koeficientas, liestinės lygtį galima užrašyti iš karto. Jai reikia trijų dalykų: lietimosi taško $x$ koordinatės (abscisės) $x_0$, funkcijos reikšmės $f(x_0)$ ir išvestinės reikšmės $f'(x_0)$.

A kurse krypties koeficientas siejamas ir su kampu: $f'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha$, kur $\alpha$ – kampas tarp liestinės ir teigiamosios $Ox$ pusašės. Pavyzdžiui, jei liestinė su šia pusaše sudaro $45^\circ$ kampą, tai $f'(x_0) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Liestinės uždaviniai būna trijų rūšių. Pirma: liestinė duotame taške – kaip pavyzdyje žemiau. Antra: liestinė, lygiagreti duotai tiesei $y = kx + b$. Lygiagrečių tiesių krypties koeficientai lygūs, todėl sprendžiama lygtis $f'(x) = k$. Trečia: taškai, kuriuose liestinė horizontali. Tada sprendžiama lygtis $f'(x) = 0$.

• Tiesinė funkcija Krypties koeficientas ir lygiagrečios tiesės.

Kaip rasti funkcijos kritinius taškus?

Išvestinės ženklas pasako, kaip elgiasi funkcija. Kur $f'(x) > 0$, funkcija didėja, o kur $f'(x) < 0$, ji mažėja. Jei visame intervale $f'(x) = 0$, funkcija pastovi. Taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja (o pati funkcija apibrėžta), vadinami kritiniais.

Kritinius taškus rasi taip: apskaičiuok $f'(x)$, išspręsk lygtį $f'(x) = 0$ ir pridėk taškus, kuriuose išvestinė neapibrėžta, bet funkcija apibrėžta. Daugianario išvestinė apibrėžta visur, todėl jo kritiniai taškai – tik lygties $f'(x) = 0$ sprendiniai.

Toliau sudaroma ženklų lentelė. Kritiniai taškai padalija skaičių tiesę į intervalus. Kiekviename intervale išvestinės ženklą nustatai įstatęs bet kurį to intervalo skaičių. Jei einant per kritinį tašką ženklas keičiasi iš pliuso į minusą, tai maksimumo taškas. Jei iš minuso į pliusą – minimumo taškas. Maksimumo ir minimumo taškai bendrai vadinami ekstremumo taškais, o funkcijos reikšmė tokiame taške – ekstremumu. Jei ženklas per kritinį tašką nesikeičia, ekstremumo ten nėra.

Tokia analizė leidžia nubraižyti grafiko eskizą. B kurse taip tiriami daugianariai iki trečiojo laipsnio, A kurse – ir ketvirtojo laipsnio. Kvadratinės funkcijos atveju lygtis $f'(x) = 0$ duoda parabolės viršūnės $x$ koordinatę (žr. kvadratinė funkcija).

Didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę atkarpoje randame pagal aiškų planą:

• apskaičiuojame išvestinę ir randame kritinius taškus;
• paliekame tik tuos kritinius taškus, kurie priklauso duotai atkarpai;
• apskaičiuojame funkcijos reikšmes šiuose taškuose ir abiejuose atkarpos galuose;
• iš gautų skaičių išrenkame didžiausią ir mažiausią.

Išvestinės taikymas: kai ieškoma geriausio varianto

Optimizavimo uždavinyje ieškoma geriausio varianto: didžiausio tūrio, mažiausių sąnaudų, trumpiausio laiko. Matematiškai tai ta pati užduotis kaip didžiausios ar mažiausios reikšmės paieška, tik funkciją reikia susidaryti pačiam iš sąlygos. Kai ji kvadratinė, užtenka parabolės viršūnės, o kai sudėtingesnė, pavyzdžiui, trečiojo laipsnio, reikia išvestinės.

Vienas toks uždavinys, apie dviejų skaičių sandaugą, yra šio puslapio uždaviniuose. Daugiau jų su pilnais sprendimais rasi puslapyje „Optimizavimo uždaviniai“.

• Optimizavimo uždaviniai Modelio sudarymas ir pilni sprendimai.

A kursas: sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinė

A kurse išvestinių taisyklių daugiau. Diferencijuojama ir sandauga, dalmuo bei sudėtinė funkcija. Prie laipsnio formulės prisideda rodiklinės, logaritminės ir trigonometrinių funkcijų išvestinės.

Sandaugos išvestinė nėra išvestinių sandauga. Tai lengva pamatyti: $x \cdot x = x^2$ ir $(x^2)' = 2x$, o išvestinių sandauga būtų $1 \cdot 1 = 1$. Pagal taisyklę viskas sutampa: $(x \cdot x)' = 1 \cdot x + 1 \cdot x = 2x$.

Sudėtinės funkcijos taisyklę taikome, kai funkcijos viduje yra ne tiesiog $x$, o kitas reiškinys. Pirmiausia diferencijuojame išorinę funkciją, palikę vidų nepakeistą, ir padauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Reiškinyje $(3x + 1)^2$ išorinė funkcija – kėlimas kvadratu, vidinė – $3x + 1$. Kvadrato išvestinė duoda $2(3x + 1)$, vidinės funkcijos išvestinė lygi 3, todėl $\big((3x + 1)^2\big)' = 2(3x + 1) \cdot 3 = 6(3x + 1)$. Taip pat $(e^{-2x})' = -2e^{-2x}$ ir $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$.

Laipsnio formulė tinka bet kokiam rodikliui, taip pat trupmeniniam: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, todėl $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, kai $x > 0$. Apie natūrinį logaritmą, kurio pagrindas $e$, plačiau – puslapyje logaritmai.

Trigonometrinių funkcijų išvestinių formulės galioja, kai kampas matuojamas radianais (žr. trigonometrija). Skaičiuodamas tokios išvestinės reikšmę skaičiuotuvu, nustatyk radianų režimą.

Kas yra funkcijos riba?

Ribos A kurse mokomasi prieš išvestinę. Tegu $x$ vis labiau artėja prie skaičiaus $a$ (bet $x \ne a$). Jei funkcijos $f(x)$ reikšmės tada artėja prie skaičiaus $L$, tas skaičius vadinamas funkcijos riba, kai $x$ artėja prie $a$. Rašoma $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Riba priklauso nuo reikšmių šalia taško, o ne nuo reikšmės pačiame taške: taške $a$ funkcija gali būti net neapibrėžta.

Jei funkcija taške $a$ apibrėžta ir tolydi (jos grafikas ties tuo tašku nenutrūksta), riba lygi funkcijos reikšmei, todėl užtenka įstatyti: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x) = 9 - 6 = 3$. Visi daugianariai tolydūs visoje skaičių tiesėje.

Jei įstačius gaunama $\frac{0}{0}$, tai dar ne atsakymas. Reiškinį reikia suprastinti, paprastai išskaidžius skaitiklį ir vardiklį dauginamaisiais. Jei suprastinus gaunama funkcija, kuri tame taške tolydi (pavyzdžiui, daugianaris), jos ribą jau galima rasti įstatant.

Ribų savybės (kai abi ribos egzistuoja): sumos riba lygi ribų sumai; tas pats galioja skirtumui ir sandaugai. Dalmens riba lygi ribų dalmeniui, jei vardiklio riba nelygi nuliui. Grafiškai nagrinėjamos ir ribos, kai $x$ neribotai didėja ar mažėja: pavyzdžiui, kai $x \to +\infty$, $\frac{1}{x}$ artėja prie nulio.

Dažnos klaidos skaičiuojant išvestines

Dažniausiai klystama ne dėl sudėtingų idėjų, o dėl skubėjimo ir praleisto paskutinio žingsnio. Peržvelk sąrašą, kai tikrini atsakymą.

• Pamirštama vidinės funkcijos išvestinė. Funkcijos $(1 - 4x)^3$ išvestinė nėra $3(1 - 4x)^2$: dar reikia padauginti iš vidinės funkcijos išvestinės $-4$, todėl $f'(x) = -12(1 - 4x)^2$.
• Sandaugos išvestinė imama kaip išvestinių sandauga. Bet $(uv)'$ nėra $u'v'$, o $u'v + uv'$. Dalmens skaitiklyje pirmas rašomas $u'v$, o iš jo atimamas $uv'$. Sukeitus tvarką, pasikeičia viso atsakymo ženklas.
• Kritinis taškas iš karto laikomas ekstremumu. Reikia patikrinti, ar išvestinės ženklas per jį keičiasi (žr. pavyzdį „Kritinis taškas be ekstremumo“).
• Ieškant didžiausios ar mažiausios reikšmės atkarpoje, pamirštami atkarpos galai. Didžiausia ar mažiausia reikšmė gali būti pasiekiama būtent galuose.
• Atsakyme parašomas taškas, o ne reikšmė (arba atvirkščiai). Perskaityk klausimą: ar prašoma rasti $x$, ar funkcijos reikšmę.
• Neįvertinama apibrėžimo sritis. Pavyzdžiui, funkcija $\ln x$ apibrėžta tik kai $x > 0$, todėl kritiniai taškai už šios srities netinka; tas pats galioja taškams, kuriuose vardiklis lygus nuliui.

Išvestinės ir VBE: formulių rinkinys ir priemonės

Išvestinių mokomasi 12 (IV gimnazijos) klasėje. B kurse – apibrėžimas, pagrindinės taisyklės, liestinė ir funkcijos tyrimas. A kurse papildomai – ribos samprata, sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės bei rodiklinės, logaritminės ir trigonometrinių funkcijų išvestinės. Žemiau – ką apie egzaminą sako oficialūs dokumentai.

• Egzamino dalys. 2026 m. tvarka matematikos VBE dalys laikytos taip: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje.
• Kurioje dalyje gali būti išvestinių. Matematikos bendrojoje programoje nurodyta: pirmosios dalies užduotis rengiama pagal III gimnazijos (11) klasės turinį, o antrosios dalies užduotis rengiama pagal III–IV gimnazijos (11–12) klasių turinį. Išvestinės yra 12 klasės turinys, todėl jų uždavinių gali būti tik antrojoje dalyje.
• Formulių rinkinys. 2026 m. tvarka: oficialus rinkinys – VBE užduočių aprašo 1 priedas: I skyrius – matematikos (B), II skyrius – matematikos (A). Šio puslapio lentelėse žymos „Yra VBE … formulių lape“ rodo būtent šį rinkinį. Plačiau – puslapyje VBE formulių rinkiniai.
• Ko rinkinyje nėra. Konstantos išvestinės ($c' = 0$) nėra nė viename skyriuje, todėl ją reikia mokėti mintinai. Atskirai neišspausdintos ir $e^x$ bei $\ln x$ išvestinės: jos gaunamos iš $a^x$ ir $\log_a x$ formulių, kai $a = e$.
• Leidžiamos priemonės (2026 m. tvarka): pirmojoje dalyje – lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, formulių rinkiniai (1 priedas); antrojoje dalyje – skaičiuotuvas, formulių rinkinys (1 priedas).
• 2027 m. tvarka. Atnaujintus VBE užduočių aprašų projektus Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) pateikė viešam derinimui 2026 m. spalio 7 d. Kol jie nepatvirtinti, čia aprašyta 2026 m. tvarka.

• NŠA: VBE užduočių aprašas su formulių rinkiniu (PDF)
• Matematikos VBE Egzamino sandara ir pasiruošimas.
• VBE: A ir B kursas Kuo skiriasi kursų turinys.
• VBE antroji dalis Antrosios egzamino dalies sandara.

Išvestinės uždaviniai su atsakymais

Uždaviniai suskirstyti pagal sunkumą. Pažymėtiems „(A kursas)“ reikia A kurso taisyklių; kitus gali spręsti ir B kurso mokinys. Pirmiausia išspręsk pats ir tik tada atsiversk atsakymą bei trumpą sprendimą.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni