Keturkampiai: trapecijos, lygiagretainio ir rombo plotas, daugiakampio kampų suma

Trapecijos plotas lygus pagrindų pusinei sumai, padaugintai iš aukštinės: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ . Pagrindai $a$ ir $b$ – dvi lygiagrečios trapecijos kraštinės, o aukštinė $h$ – atstumas tarp jų. Pavyzdžiui, kai pagrindai 7 cm ir 3 cm, o aukštinė 4 cm, $S = \frac{7 + 3}{2} \cdot 4 = 20$ cm². Lygiagretainio plotas lygus kraštinei, padaugintai iš į ją nuleistos aukštinės, o rombo – pusei įstrižainių sandaugos. Visos šios formulės išvedamos iš stačiakampio ploto, todėl pamiršęs jas lengvai išvesi vėl.

Keturkampių rūšys: nuo lygiagretainio iki trapecijos

Keturkampis turi keturias kraštines, keturias viršūnes ir keturis kampus. Atkarpa, jungianti dvi priešingas (negretimas) viršūnes, vadinama įstrižaine. Keturkampis turi dvi įstrižaines. Keturkampiai skirstomi pagal tai, kiek jie turi lygiagrečių kraštinių porų.

Lygiagretainis turi dvi poras lygiagrečių kraštinių. Trapecija turi tik vieną porą: tos lygiagrečios kraštinės vadinamos pagrindais, o kitos dvi – šoninėmis kraštinėmis. Jei trapecijos šoninės kraštinės lygios, ji vadinama lygiašone. Jei viena šoninė kraštinė statmena pagrindams, trapecija vadinama stačiąja.

Stačiakampis, rombas ir kvadratas yra ypatingi lygiagretainiai. Stačiakampio visi kampai statūs, rombo visos kraštinės lygios, o kvadratas yra ir stačiakampis, ir rombas. Todėl teiginys „kiekvienas kvadratas yra rombas“ teisingas, o teiginys „kiekvienas rombas yra kvadratas“ – klaidingas.

Aukštinė – tai atkarpa, nuleista iš vienos kraštinės taško į priešingą kraštinę (ar jos tęsinį) stačiu kampu. Lygiagretainis turi dvi aukštines: $h_a$ , nuleistą į kraštinę $a$ , ir $h_b$ , nuleistą į kraštinę $b$ . Trapecijos aukštinė yra atstumas tarp jos pagrindų.

Pirmoje eilėje – lygiagretainis ir du jo ypatingi atvejai. Kvadratas yra ir stačiakampis, ir rombas. Trapecija turi tik vieną porą lygiagrečių kraštinių.

Trikampis Trikampio plotas ir kampų suma: iš jų išvedami keturkampių plotai ir kampai.
Plotas, perimetras ir tūris Stačiakampio ir kvadrato plotas bei perimetras, ploto vienetai.

Lygiagretainio, rombo ir trapecijos savybės

Bet kurio keturkampio kampų suma lygi $360^\circ$ . Įstrižainė padalija keturkampį į du trikampius, o kiekvieno trikampio kampų suma yra $180^\circ$ : $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ .

Lygiagretainyje $ABCD$ kraštinės $AD$ ir $BC$ lygiagrečios, o kraštinė $AB$ jas kerta. Kampai $A$ ir $B$ yra vidaus vienašaliai: abu yra tarp lygiagrečių tiesių ir toje pačioje tiesės $AB$ pusėje. Tokių kampų suma lygi $180^\circ$ , todėl $\angle A + \angle B = 180^\circ$ . Taip pat $\angle B + \angle C = 180^\circ$ . Vadinasi, $\angle A = \angle C = 180^\circ - \angle B$ : priešingi kampai lygūs. Stačiakampis, rombas ir kvadratas yra lygiagretainiai, todėl turi visas lygiagretainio savybes ir dar savų. Svarbiausios savybės:

Lygiagretainis. Priešingos kraštinės lygios, priešingi kampai lygūs, gretimų kampų suma lygi $180^\circ$ . Įstrižainės susikirtimo tašku dalijamos pusiau.
Stačiakampis. Be lygiagretainio savybių, jo įstrižainės lygios.
Rombas. Jo įstrižainės statmenos ir dalija rombo kampus pusiau.
Kvadratas. Turi ir stačiakampio, ir rombo savybes: įstrižainės lygios, statmenos ir dalija kampus pusiau.
Lygiašonė trapecija. Kampai prie to paties pagrindo lygūs, įstrižainės lygios.
Trapecijos vidurio linija jungia šoninių kraštinių vidurio taškus. Ji lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusinei sumai: $m = \frac{a + b}{2}$ .

Įrodyk: lygiašonės trapecijos įstrižainės lygios

Trapecijos $ABCD$ pagrindai yra $AD$ ir $BC$ , o šoninės kraštinės lygios: $AB = CD$ . Įrodyk, kad trapecijos įstrižainės $AC$ ir $BD$ lygios.

Trikampiai

ABD

DCA

turi bendrą kraštinę

AD

Nagrinėjame trikampius $ABD$ ir $DCA$ . Kraštinė $AD$ jiems bendra.
$AB = DC$ pagal sąlygą.
Trapecija lygiašonė, todėl jos kampai prie pagrindo $AD$ lygūs: $\angle BAD = \angle CDA$ .
Trikampiai $ABD$ ir $DCA$ lygūs pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų. Todėl lygios ir jų trečiosios kraštinės: $BD = CA$ .

Atsakymas: įrodyta: $AC = BD$ .

Keturkampių plotų formulės

Šių keturkampių plotų formulės išvedamos iš stačiakampio ploto $S = ab$ . Lygiagretainį perkirpk išilgai aukštinės ir atkirstą trikampį perkelk į kitą pusę. Gausi stačiakampį, kurio viena kraštinė lygi lygiagretainio kraštinei $a$ , o kita – aukštinei $h_a$ . Todėl lygiagretainio plotas $S = a \cdot h_a$ . Pavyzdžiui, kai $a = 8$ cm, o $h_a = 5$ cm, $S = 8 \cdot 5 = 40$ cm².

Rombui tinka ta pati formulė, bet dažnai patogiau naudoti įstrižaines $d_1$ ir $d_2$ . Jos statmenos ir dalija rombą į keturis vienodus stačiuosius trikampius. Per rombo viršūnes nubrėžk tieses, lygiagrečias įstrižainėms. Gausi stačiakampį su kraštinėmis $d_1$ ir $d_2$ , sudarytą iš aštuonių tokių trikampių. Rombas užima lygiai pusę jo, todėl $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ .

10 klasėje išmoksi trikampio ploto formulę su kampo sinusu: $S = \frac{1}{2} ab \cdot \sin \angle C$ . Įstrižainė padalija lygiagretainį į du vienodus trikampius. Todėl lygiagretainio plotas lygus $ab \cdot \sin \alpha$ , čia $\alpha$ – kampas tarp kraštinių $a$ ir $b$ .

Formulė	Kada taikyti
$S = a \cdot b$	Stačiakampis su gretimomis kraštinėmis $a$ ir $b$ ; kvadratui $S = a^2$ .Išmok mintinai
$S = a \cdot h_a$	Lygiagretainis ir rombas: kraštinė dauginama iš aukštinės, nuleistos būtent į tą kraštinę.Išmok mintinai
$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$	Kai žinomos dvi gretimos lygiagretainio kraštinės ir kampas tarp jų; rombui $S = a^2 \sin \alpha$ . Išvedama iš trikampio ploto formulės, kuri yra PUPP (pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo) formulių lape.Išmok mintinai
$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$	Rombas ir kvadratas, kai žinomos įstrižainės $d_1$ ir $d_2$ .Išmok mintinai
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$	Bet kuri trapecija: $a$ ir $b$ – pagrindai, $h$ – aukštinė.Išmok mintinai
$m = \frac{a + b}{2}, \qquad S = m \cdot h$	Kai žinoma trapecijos vidurio linija $m$ : plotas lygus vidurio linijos ir aukštinės sandaugai.Išmok mintinai
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$	Bet kurio keturkampio kampų suma; ja randamas nežinomas kampas.Išmok mintinai
$180^\circ \cdot (n - 2)$	Daugiakampio, turinčio $n$ kampų, kampų suma.Yra PUPP formulių lape
$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$	Vienas taisyklingojo daugiakampio kampas: visi jo kampai lygūs.Išmok mintinai

Kaip apskaičiuojamas trapecijos plotas?

Paimk dvi vienodas trapecijas ir vieną iš jų pasuk $180^\circ$ kampu. Sudėjus jas šoninėmis kraštinėmis, gaunamas lygiagretainis, kurio pagrindas $a + b$ , o aukštinė ta pati $h$ . Jo plotas lygus $(a + b) \cdot h$ , o viena trapecija yra lygiai pusė jo.

Skaičiuok trimis žingsniais. Pirma atpažink pagrindus: tai lygiagrečios kraštinės, nebūtinai apatinė ir viršutinė. Tada rask aukštinę – atstumą tarp pagrindų, matuojamą stačiu kampu. Galiausiai įstatyk abu dydžius į formulę. Kai aukštinės sąlygoje nėra, nuleisk ją iš trumpesniojo pagrindo galo. Ji atkerta statųjį trikampį, kuriame aukštinę rasi pagal Pitagoro teoremą arba su smailiojo kampo sinusu ir kosinusu.

Nepainiok su kreivine trapecija iš 12 klasės: tai kita figūra su kreiva kraštine, o jos plotas skaičiuojamas integralu.

Dvi vienodos trapecijos sudaro lygiagretainį, kurio pagrindas

a + b

, o aukštinė

h

. Viena trapecija yra pusė jo:

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Stačioji trapecija: malkinės galinė siena

Malkinės galinė siena yra stačiosios trapecijos formos (žr. brėžinį). Apačioje ji 4 m pločio, kairysis jos kraštas 2,6 m aukščio, dešinysis – 3,4 m aukščio. Abu kraštai vertikalūs. Apskaičiuok sienos plotą.

Abu kraštai vertikalūs, todėl jie lygiagretūs. Tai trapecijos pagrindai: $a = 3{,}4$ m, $b = 2{,}6$ m.
Aukštinė – atstumas tarp pagrindų. Apatinė kraštinė horizontali, todėl statmena abiem pagrindams: $h = 4$ m.
$S = \frac{3{,}4 + 2{,}6}{2} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$ (m²).

Atsakymas: 12 m².

Dažna klaida: šoninė kraštinė nėra aukštinė

Melioracijos griovio skerspjūvis yra lygiašonė trapecija (žr. brėžinį). Viršuje griovys 2,1 m pločio, dugnas 0,9 m pločio, o kiekvienas šlaitas skerspjūvyje yra 1 m ilgio. Apskaičiuok skerspjūvio plotą.

Klaidingas kelias: šlaitą laikyti aukštine ir skaičiuoti $\frac{2{,}1 + 0{,}9}{2} \cdot 1 = 1{,}5$ (m²). Taip negalima, nes šlaitas nėra statmenas pagrindams.
Iš dugno galų nubrėžiame aukštines iki viršutinio pagrindo. Jos atkerta du vienodus stačiuosius trikampius. Viršutinis pagrindas ilgesnis už dugną $2{,}1 - 0{,}9 = 1{,}2$ (m), ir šis skirtumas po lygiai tenka abiem trikampiams. Todėl kiekvieno trikampio statinis ant viršutinio pagrindo lygus $1{,}2 : 2 = 0{,}6$ (m). Įžambinė (kraštinė prieš statųjį kampą) yra šlaitas, 1 m.
Pagal Pitagoro teoremą $h = \sqrt{1^2 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ (m).
$S = \frac{2{,}1 + 0{,}9}{2} \cdot 0{,}8 = 1{,}5 \cdot 0{,}8 = 1{,}2$ (m²).
Klaidingas atsakymas didesnis, nes šlaitas yra įžambinė. Įžambinė visada ilgesnė už statinį, šiuo atveju – už aukštinę.

Atsakymas: 1,2 m².

Pilnasis sprendimas: trapecija su 45° kampu

Trapecijos $ABCD$ pagrindai yra $AD$ ir $BC$ , o kampai $A$ ir $D$ smailieji. $BC = 5$ cm, $AB = 6\sqrt{2}$ cm, $CD = 10$ cm, $\angle A = 45^\circ$ . Apskaičiuok trapecijos plotą.

Iš viršūnių $B$ ir $C$ nuleidžiame aukštines $BH$ ir $CK$ į pagrindą $AD$ . Kampai $A$ ir $D$ smailieji, todėl taškai $H$ ir $K$ yra atkarpoje $AD$ . $HBCK$ yra stačiakampis, todėl $HK = BC = 5$ cm ir $BH = CK = h$ .
Trikampis $ABH$ statusis ir $\angle A = 45^\circ$ , todėl $\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ . Trikampis lygiašonis: $AH = BH = h$ .
Pagal Pitagoro teoremą $AH^2 + BH^2 = AB^2$ . Kadangi $AH = BH = h$ , gauname $h^2 + h^2 = (6\sqrt{2})^2$ , arba $2h^2 = 36 \cdot 2 = 72$ . Iš čia $h^2 = 36$ , $h = 6$ cm ir $AH = 6$ cm.
Trikampis $CKD$ statusis: $KD = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ (cm).
$AD = AH + HK + KD = 6 + 5 + 8 = 19$ (cm).
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{19 + 5}{2} \cdot 6 = 72$ (cm²).

Atsakymas: 72 cm².

Kaip skaičiuojamas rombo plotas?

Rombo plotas lygus pusei įstrižainių sandaugos: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ . Iš įstrižainių galima rasti ir rombo kraštinę, o tada – perimetrą ir aukštinę.

Rombo plotas, perimetras ir aukštinė pagal įstrižaines

Vitražo detalė yra rombo formos, jos įstrižainės lygios 24 cm ir 18 cm. Apskaičiuok detalės plotą, perimetrą ir aukštinę.

$S = \frac{24 \cdot 18}{2} = 216$ (cm²).
Įstrižainės statmenos ir susikirtimo tašku dalijamos pusiau. Jos padalija rombą į keturis stačiuosius trikampius, kurių statiniai $24 : 2 = 12$ cm ir $18 : 2 = 9$ cm, o įžambinė – rombo kraštinė $a$ .
$a = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$ (cm), todėl $P = 4 \cdot 15 = 60$ (cm).
Rombas yra lygiagretainis, todėl $S = a \cdot h$ . Iš čia $h = 216 : 15 = 14{,}4$ (cm).

Atsakymas: $S = 216$ cm², $P = 60$ cm, $h = 14{,}4$ cm.

Kaip apskaičiuoti daugiakampio kampų sumą?

Daugiakampio kampų suma priklauso tik nuo kampų skaičiaus $n$ : ji lygi $180^\circ \cdot (n - 2)$ . Pavyzdžiui, penkiakampio kampų suma $180^\circ \cdot 3 = 540^\circ$ . Kodėl taip? Paimk vieną iškilojo daugiakampio (kurio visi kampai mažesni už $180^\circ$ ) viršūnę. Iš jos negalima išvesti įstrižainės į ją pačią ir į dvi gretimas viršūnes, todėl įstrižainių yra $n - 3$ . Jos padalija daugiakampį į $n - 2$ trikampius, o kiekvieno trikampio kampų suma $180^\circ$ . Kai $n = 4$ , gaunama jau žinoma keturkampio suma $360^\circ$ .

Taisyklingojo daugiakampio visos kraštinės ir visi kampai lygūs, todėl vieną kampą gausi kampų sumą padalijęs iš $n$ . Pavyzdžiui, taisyklingojo šešiakampio kampų suma $180^\circ \cdot 4 = 720^\circ$ , todėl vienas kampas $720^\circ : 6 = 120^\circ$ . Kai žinomas kampas, o ieškomas $n$ , patogu skaičiuoti išorės kampais. Išorės kampas papildo vidaus kampą iki $180^\circ$ : šešiakampio išorės kampas $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ . Paėmus po vieną išorės kampą prie kiekvienos iškilojo daugiakampio viršūnės, jų suma visada lygi $360^\circ$ . Šešiakampiui $6 \cdot 60^\circ = 360^\circ$ .

Taisyklingojo aštuonkampio kampai

Pavėsinės grindys yra taisyklingojo aštuonkampio formos. Apskaičiuok aštuonkampio kampų sumą ir vieno jo kampo didumą.

Iš vienos viršūnės išvedame visas įstrižaines. Jų yra $8 - 3 = 5$ , ir jos padalija aštuonkampį į $8 - 2 = 6$ trikampius.
Visų šešių trikampių kampai kartu sudaro aštuonkampio kampus, todėl kampų suma lygi $180^\circ \cdot 6 = 1080^\circ$ .
Taisyklingojo aštuonkampio visi 8 kampai lygūs: $1080^\circ : 8 = 135^\circ$ .
Patikriname išorės kampais: prie kiekvienos viršūnės išorės kampas lygus $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ , o $8 \cdot 45^\circ = 360^\circ$ .

Atsakymas: kampų suma $1080^\circ$ , kiekvienas kampas $135^\circ$ .

Apskritimo kampai Kitas žingsnis: įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai keturkampiai, centriniai ir įbrėžtiniai kampai.

Dažnos klaidos skaičiuojant keturkampių plotus

Šoninė kraštinė paimama vietoj aukštinės: ji nuožulni, todėl ilgesnė už aukštinę, ir plotas gaunamas per didelis (žr. griovio pavyzdį).
Pagrindų suma nepadalijama iš 2. Skaičiuojant $(a + b) \cdot h$ gaunamas dvigubai didesnis plotas – dviejų trapecijų, sudėtų į lygiagretainį, plotas.
Aukštinė sudauginama ne su ta kraštine. Lygiagretainyje $h_a$ eina tik su kraštine $a$ . Jei aukštinė nuleista į trumpesnę kraštinę, dauginti reikia iš trumpesnės.
Rombo įstrižainių sandauga nepadalijama iš 2. Sandauga $d_1 \cdot d_2$ yra stačiakampio aplink rombą plotas, o rombas užima tik pusę jo.
Daugiakampio kampų sumai imama $180^\circ \cdot n$ . Formulę patikrink su trikampiu: kai $n = 3$ , turi gautis $180^\circ$ . Taip pat nepainiok kampų sumos su vienu taisyklingojo daugiakampio kampu.
Sumaišomi matavimo vienetai. Jei viena kraštinė duota metrais, o kita centimetrais, prieš dauginant juos suvienodink. Atmink, kad $1\ \text{m}^2 = 100 \cdot 100\ \text{cm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ , o ne 100.

Keturkampiai NMPP 8 ir PUPP užduotyse

NMPP – nacionalinis mokinių pasiekimų patikrinimas. Datos nurodytos 2027 metams. Turinys ir priemonės aprašyti pagal 2026 m. tvarką, nes nauji aprašai dar nepatvirtinti.

Matematikos NMPP 8 klasėje vyks 2027 m. kovo 12 d. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Keturkampių rūšys, savybės ir plotai (7 klasė) bei trapecijos vidurio linija (8 klasė) gali būti per NMPP 8: tarp išimčių jų nėra.
2026 m. NMPP 8 priemonės: lapas užrašams, kompiuteris; skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Vadinasi, plotus skaičiuok be skaičiuotuvo, o formules mokėk mintinai.
Matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d. Keturkampių plotai ir savybės yra žemesnių klasių turinys, bet PUPP uždaviniuose jie naudojami. 2026 m. priemonės: lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (aprašo priedas). 2026 m. formulių rinkinyje yra daugiakampio kampų sumos formulė, bet keturkampių plotų formulių jame nėra. Vadinasi, jas reikia mokėti mintinai.
2026 m. PUPP vertinimo tvarka: pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius vertina vertintojai. Todėl pilnojo sprendimo uždavinyje užrašyk kiekvieną žingsnį su pagrindimu, kaip trapecijos su 45° kampu pavyzdyje.
2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė atnaujintų NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektus viešam derinimui.

PUPP formulės Kas yra PUPP formulių rinkinyje ir ką reikia mokėti mintinai.
NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF) Oficialus 2026 m. aprašas: kas neįtraukiama ir kokios priemonės leidžiamos.
NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF) Oficialus 2026 m. aprašas su formulių rinkiniu priede.

Keturkampių uždaviniai su atsakymais

Prie kiekvieno uždavinio nusibraižyk figūrą ir pažymėk, kas duota. Atsakymą atsiversk tik išsprendęs.

Lengvesni

1. Sugretink kiekvieną figūrą A–D su jos įstrižainių savybe 1–4. A) kvadratas; B) rombas, kuris nėra kvadratas; C) stačiakampis, kuris nėra kvadratas; D) lygiagretainis, kuris nėra nei rombas, nei stačiakampis. 1) įstrižainės lygios ir statmenos; 2) įstrižainės statmenos, bet nelygios; 3) įstrižainės lygios, bet nestatmenos; 4) įstrižainės nei lygios, nei statmenos, bet susikirtimo tašku dalijamos pusiau.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A–1, B–2, C–3, D–4.

2. Trapecijos pagrindai lygūs 7,5 cm ir 4,5 cm, o aukštinė – 3,2 cm. Apskaičiuok trapecijos plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 19,2 cm².

$S = \frac{7{,}5 + 4{,}5}{2} \cdot 3{,}2 = 6 \cdot 3{,}2 = 19{,}2$ (cm²).

3. Rombo įstrižainės lygios 14 cm ir 11 cm. Apskaičiuok rombo plotą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 77 cm².

Vidutiniai

4. Dviejų lygiagretainio kampų suma lygi $250^\circ$ . Apskaičiuok visus lygiagretainio kampus.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Du kampai po $125^\circ$ ir du po $55^\circ$ .

Dviejų gretimų kampų suma lygi $180^\circ$ , o čia $250^\circ$ . Vadinasi, tai priešingi kampai, o jie lygūs: $250^\circ : 2 = 125^\circ$ . Kiti du kampai lygūs $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ .

5. Lygiagretainio kraštinės lygios 15 cm ir 10 cm, o aukštinė, nuleista į ilgesniąją kraštinę, – 4 cm. Apskaičiuok aukštinę, nuleistą į trumpesniąją kraštinę.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 6 cm.

Plotas $S = 15 \cdot 4 = 60$ (cm²). Tas pats plotas lygus $10 \cdot h$ , todėl $h = 60 : 10 = 6$ (cm).

6. Išdėstyk figūras jų plotų didėjimo tvarka. A) kvadratas, kurio kraštinė 6 cm; B) rombas, kurio įstrižainės 10 cm ir 8 cm; C) trapecija, kurios pagrindai 9 cm ir 3 cm, o aukštinė 5 cm; D) lygiagretainis, kurio kraštinė 7 cm, o į ją nuleista aukštinė 5 cm.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: C, D, A, B.

Plotai: A – 36 cm², B – 40 cm², C – 30 cm², D – 35 cm².

7. Penkiakampio keturi kampai lygūs $96^\circ$ , $118^\circ$ , $104^\circ$ ir $125^\circ$ . Apskaičiuok penktąjį kampą.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $97^\circ$ .

Penkiakampio kampų suma $180^\circ \cdot 3 = 540^\circ$ . Keturių kampų suma $443^\circ$ , todėl penktasis kampas lygus $540^\circ - 443^\circ = 97^\circ$ .

8. Taisyklingojo daugiakampio kampas lygus $140^\circ$ . Kiek kraštinių turi šis daugiakampis?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 9.

Išorės kampas lygus $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ . Visų išorės kampų suma $360^\circ$ , todėl $n = 360^\circ : 40^\circ = 9$ . Patikrinimas: $180^\circ \cdot 7 : 9 = 140^\circ$ .

Sunkesni

9. Rombo perimetras lygus 40 cm, o viena jo įstrižainė – 12 cm. Apskaičiuok rombo plotą ir aukštinę.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $S = 96$ cm², $h = 9{,}6$ cm.

Kraštinė $a = 40 : 4 = 10$ cm. Įstrižainių pusės ir kraštinė sudaro statųjį trikampį: viena pusė $6$ cm, kita $\sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ cm, todėl antroji įstrižainė $16$ cm. $S = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ (cm²), o $h = 96 : 10 = 9{,}6$ (cm).

10. Lygiašonės trapecijos pagrindai lygūs 16 cm ir 6 cm, o kampas prie ilgesniojo pagrindo – $60^\circ$ . Apskaičiuok trapecijos plotą. Atsakymą užrašyk tiksliai ir suapvalink iki dešimtųjų.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $55\sqrt{3} \approx 95{,}3$ cm².

Aukštinė, nuleista iš trumpesniojo pagrindo galo, atkerta statųjį trikampį, kurio statinis ant pagrindo $\frac{16 - 6}{2} = 5$ cm. Trečiasis šio trikampio kampas lygus $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ , ir jis yra prieš tą statinį. Statinis prieš $30^\circ$ kampą lygus pusei įžambinės, todėl šoninė kraštinė lygi $2 \cdot 5 = 10$ cm. Tada $h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ (cm), o $S = \frac{16 + 6}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 11 \cdot 5\sqrt{3} = 55\sqrt{3} \approx 95{,}3$ (cm²).

Matematikos užduotys 8 klasei Daugiau geometrijos uždavinių kartojimui prieš NMPP.
PUPP matematikos užduotys Savos PUPP formato užduotys pagal temas.
Prizmė ir piramidė Kitas žingsnis: keturkampiai kaip prizmės ir piramidės pagrindai.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kaip rasti trapecijos plotą, kai aukštinė nežinoma?

Pirmiausia rask aukštinę. Iš trumpesniojo pagrindo galo nuleisk aukštinę į ilgesnįjį pagrindą: susidarys statusis trikampis, kurio įžambinė yra šoninė kraštinė. Jei žinai šoninę kraštinę ir atkarpą, kurią aukštinė atkerta ant pagrindo, aukštinę rasi pagal Pitagoro teoremą. Lygiašonėje trapecijoje ta atkarpa lygi pusei pagrindų skirtumo. Jei žinai šoninę kraštinę ir kampą prie pagrindo, aukštinė lygi šoninei kraštinei, padaugintai iš to kampo sinuso.

Ar trapecijos plotą galima apskaičiuoti per vidurio liniją?

Taip. Vidurio linija jungia šoninių kraštinių vidurio taškus ir lygi pagrindų pusinei sumai. Todėl trapecijos plotas lygus vidurio linijos ir aukštinės sandaugai. Pavyzdžiui, kai vidurio linija 12 cm, o aukštinė 5 cm, plotas lygus 60 kvadratinių centimetrų.

Kaip apskaičiuoti rombo plotą su sinusu?

Rombo plotas lygus kraštinės kvadratui, padaugintam iš bet kurio rombo kampo sinuso. Gretimų rombo kampų suma lygi 180 laipsnių, o tokių kampų sinusai lygūs, todėl nesvarbu, kurį kampą imsi. Pavyzdžiui, rombo, kurio kraštinė 10 cm, o kampas 30 laipsnių, plotas lygus 100 padauginus iš 0,5, t. y. 50 kvadratinių centimetrų. Šią formulę gali taikyti, kai išmoksti trikampio ploto formulę su sinusu.

Kuo skiriasi daugiakampio vidaus ir išorės kampų suma?

Vidaus kampų suma priklauso nuo kampų skaičiaus: ji lygi 180 laipsnių, padaugintų iš skaičiaus, kuris dviem mažesnis už kampų skaičių. Išorės kampas papildo vidaus kampą iki 180 laipsnių. Jei prie kiekvienos viršūnės imsi po vieną išorės kampą, iškilojo daugiakampio išorės kampų suma visada bus 360 laipsnių. Todėl taisyklingojo daugiakampio išorės kampą rasi 360 laipsnių padalijęs iš kampų skaičiaus.

Taip pat: Trikampis · Prizmė ir piramidė · Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 8 klasei · Matematikos PUPP

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; 3 p., 10.7 punktas; tikrinta 2026-10-09.
ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos PUPP užduoties aprašas (VK-1018, 2025-12-10 įsakymo Nr. VK-1210 redakcija), 3 p., 10.7 punktas; 3 p., 10.8 punktas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-09

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt