Matematika 9–10 klasėje: ko mokomasi ir kaip padėti

9 klasė (I gimnazijos): ko mokomasi per matematiką

Temas ir jų turinį nustato bendroji matematikos programa, o mokykla ir vadovėlis gali jas dėlioti skirtinga tvarka. Todėl žemiau – visų metų turinys, ne pamokų eilė.

9 klasėje daugiau dirbama su raidiniais reiškiniais ir funkcijomis. Geometrijoje vis dažniau reikia ne tik apskaičiuoti, bet ir pagrįsti, kodėl atsakymas toks, remiantis apibrėžimais ir jau įrodytais teiginiais.

• Kvadratinės lygtys. 8 klasėje sprendžiamos tik nepilnosios kvadratinės lygtys, pavyzdžiui, $x^2 - 6x = 0$. 9 klasėje įrodoma bendroji lygties $ax^2 + bx + c = 0$ sprendinių formulė. Nagrinėjamas diskriminantas $D = b^2 - 4ac$ – skaičius, pagal kurio ženklą matyti, ar lygtis turi du sprendinius, vieną, ar neturi nė vieno. Lygtys sudaromos ir tekstiniams uždaviniams spręsti. Plačiau – kvadratinių lygčių puslapyje.
• Raidiniai reiškiniai. Kvadratinis trinaris $ax^2 + bx + c$ išskaidomas dauginamaisiais, o trupmeniniai reiškiniai su raidėmis prastinami, pavyzdžiui, $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$. Čia atsiranda nauja sąvoka – apibrėžimo sritis: raidei negalima suteikti reikšmės, su kuria vardiklis lygus nuliui (šiame pavyzdyje $x \neq -3$).
• Lygčių sistemos. Sprendžiamos dviejų lygčių sistemos, kuriose viena lygtis tiesinė, o kitoje gali būti ir kvadratas, pavyzdžiui, $x^2 + y = 13$. Jos sprendžiamos keitimo ir grafiniu būdais. Plačiau – lygčių sistemų puslapyje.
• Funkcijos. Funkcija – taisyklė, kuri kiekvienai $x$ reikšmei priskiria vieną $y$ reikšmę. Mokomasi ją aprašyti žodžiais, lentele, grafiku ir formule. Randama apibrėžimo sritis (kokias $x$ reikšmes galima įstatyti) ir reikšmių sritis (kokias $y$ reikšmes galima gauti), grafiko susikirtimo su ašimis taškai, nustatoma, kur funkcija didėja, o kur mažėja. Išsamiai nagrinėjamos tiesinė funkcija $y = kx + b$ (jos grafikas – tiesė) ir kvadratinė funkcija $y = ax^2 + bx + c$ (jos grafikas – parabolė).
• Panašiosios figūros. Panašiųjų trikampių atitinkami kampai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos: visos padidintos arba sumažintos tiek pat kartų. Tas skaičius vadinamas panašumo koeficientu. Nežinomos kraštinės randamos sudarant proporciją.
• Apskritimas. Centriniai ir įbrėžtiniai kampai, liestinė, kirstinė, styga, skritulio išpjova ir nuopjova bei jų savybės, pavyzdžiui, kad liestinė statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką.
• Trigonometrijos pradžia. Stačiajame trikampyje apibrėžiami smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas. Tai kraštinių santykiai, kurie priklauso tik nuo kampo, o ne nuo trikampio dydžio. Mokomasi kampų $30^\circ$, $45^\circ$ ir $60^\circ$ sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių ir darbo su skaičiuotuvu, o praktiniuose uždaviniuose randamas, pavyzdžiui, pastato aukštis ar kelio nuolydis.
• Duomenys. Sklaidos diagrama rodo, ar du dydžiai susiję: ar ryšys teigiamas (vienam dydžiui didėjant, didėja ir kitas), ar neigiamas, stiprus ar silpnas. Iš diagramos taškų užrašoma tiesės lygtis $y = kx + b$.

10 klasė (II gimnazijos): ko mokomasi per matematiką

10 klasėje 9 klasės temos tęsiamos, o naujos dažnai sujungia kelias ankstesnes: lygtį su trupmenomis, parabolę su nelygybe, panašumą su trigonometrija.

• Procentai ir santykiai. Džiovinimo ir drėkinimo, sudėtinių procentų, lydinių, mišinių ir tirpalų uždaviniai, proporcingoji dalyba (dydžio padalijimas į dvi nelygias dalis duotu santykiu) ir aukso pjūvio skaičius $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Pati procento sąvoka nėra nauja, bet uždaviniai tampa kelių žingsnių ir dažnai sprendžiami sudarant lygtį.
• Trupmeninės racionaliosios lygtys – lygtys, kuriose nežinomasis yra ir vardiklyje, pavyzdžiui, $\frac{8}{x} = x + 2$. Jos pertvarkomos taip, kad vienoje pusėje liktų viena trupmena, o kitoje – nulis. Kiekvienas rastas sprendinys tikrinamas, ar nepaverčia vardiklio nuliu. Plačiau – racionaliųjų lygčių puslapyje.
• Kvadratinės nelygybės, pavyzdžiui, $x^2 - 4x < 0$. Jos sprendžiamos dviem būdais. Algebriškai – suvedant į paprastesnes, tiesines nelygybes. Grafiškai – pagal parabolės eskizą.
• Lygčių sistemos, kuriose viena lygtis tiesinė, o kita – tiesinė, kvadratinė arba trupmeninė racionalioji.
• Geometrija. Panašiųjų figūrų perimetrų ir plotų santykiai, trikampio pusiaukampinių ir pusiaukraštinių savybės, į trikampį įbrėžtas ir apie jį apibrėžtas apskritimas, įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai keturkampiai. Taikomos ploto formulės $S = rp$ ir $S = \frac{abc}{4R}$; čia $r$ ir $R$ – įbrėžto ir apibrėžto apskritimų spinduliai, o $p$ – pusė trikampio perimetro.
• Trigonometrija toliau. Vienetinis apskritimas, bukųjų kampų sinusas ir kosinusas, trikampio ploto formulė $S = \frac{1}{2}ab\sin C$, sinusų ir kosinusų teoremos. Jomis randamos bet kokio, ne tik stačiojo, trikampio kraštinės ir kampai.
• Duomenys. Dispersija ir standartinis nuokrypis – skaičiai, rodantys, kaip stipriai duomenys išsibarstę apie vidurkį. Taip pat histogramos – stulpelinės diagramos, rodančios, kiek reikšmių patenka į kiekvieną intervalą.
• Kombinatorika ir tikimybės. Skaičiuojama, kiek yra galimų rinkinių, kai elementų tvarka svarbi ir kai nesvarbi; taikomos kombinatorikos sudėties ir daugybos taisyklės. Tikimybė lyginama su santykiniu dažniu, gautu daug kartų pakartojus bandymą, pavyzdžiui, metant kauliuką. Plačiau – tikimybių ir kombinatorikos puslapyje.

Kur pakartoti 9–10 klasės matematikos temas

Temų puslapiuose rasite paaiškinimą, formules, išspręstus pavyzdžius, dažnas klaidas ir uždavinius su atsakymais.

• Procentai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
• Tekstiniai uždaviniai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
• Trikampis 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
• Keturkampiai 6–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
• Trikampių panašumas 6 ir 9–10 klasė, PUPP
• Apskritimas ir skritulys 7–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
• Nelygybės 7–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
• Palūkanos 7, 10–11 klasė; NMPP 8, PUPP, VBE (B)
• Daugianariai 8–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP; kubai – VBE A kursas
• Kvadratinės lygtys 8–9 klasė, NMPP 8 (nepilnosios) ir PUPP
• Lygčių sistemos 8–11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
• Apskritimo kampai 9–10 klasė, PUPP
• Funkcijos 9–11 klasė, PUPP ir VBE
• Kvadratinė funkcija 9–10 klasė, PUPP
• Racionaliosios lygtys 9–10 klasė, PUPP
• Sinusas, kosinusas, tangentas 9 klasė, PUPP
• Tiesinė funkcija 9 klasė, PUPP
• Kvadratinės nelygybės 10–11 klasė, PUPP ir VBE
• Sinusų ir kosinusų teoremos 10 klasė, PUPP
• Tikimybės ir kombinatorika 10–12 klasė, VBE (A ir B kursai)
• Vienetinis apskritimas 10–11 klasė, PUPP ir VBE

Ankstesnės temos, kuriomis remiasi 9–10 klasės matematika

Matematikoje kiekviena nauja tema remiasi ankstesnėmis. Kai vaikas sako, kad nesupranta naujos temos, priežastis gali būti ne ji, o spraga keliais metais anksčiau. Todėl verta žinoti, kokių pagrindų reikia pagrindinėms 9–10 klasės temoms:

• Kvadratinėms lygtims ir reiškiniams reikia greitosios daugybos formulių, skaidymo dauginamaisiais, nepilnųjų kvadratinių lygčių ir kvadratinių šaknų (visa tai – 8 klasės turinys), taip pat tikslių veiksmų su neigiamais skaičiais.
• Trupmeniniams reiškiniams ir racionaliosioms lygtims reikia tvirtų veiksmų su trupmenomis, ypač bendro vardiklio radimo, ir skaidymo dauginamaisiais.
• Lygčių sistemoms reikia 8 klasėje išmokto tiesinių lygčių sistemų sprendimo keitimo ir sudėties būdais.
• Funkcijoms ir grafikams reikia koordinačių plokštumos ir mokėjimo apskaičiuoti reiškinio reikšmę, pavyzdžiui, įstatyti $x = -2$ į $y = 3x^2 - x$ ir nesuklysti su ženklais.
• Panašumui reikia santykių ir proporcijų.
• Trigonometrijai reikia Pitagoro teoremos (8 klasė) ir panašiųjų trikampių (9 klasė).
• 10 klasės procentų uždaviniams reikia ne tik procentų, bet ir mokėjimo pagal tekstą sudaryti lygtį.

Kaip 9–10 klasės temos susijusios su matematikos PUPP

Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimas (PUPP) 2027 m. vyks gegužės 12 d. elektroniniu būdu. Jį laikys 10 (II gimnazijos) klasės mokiniai.

Data jau paskelbta, o 2027 m. užduoties aprašas dar nepatvirtintas. 2026 m. spalio 1 d. NŠA (Nacionalinė švietimo agentūra) paskelbė, kad atnaujinti PUPP užduočių aprašų projektai teikiami viešam derinimui. Todėl toliau remiamasi 2026 m. aprašu, o 2027 m. tvarka paaiškės, kai bus patvirtintas galutinis aprašas.

Duomenų uždavinių per PUPP gali būti iš 9 klasės turinio: tai sklaidos diagramos ir tiesinis ryšys tarp dviejų dydžių. Pagal 2026 m. aprašą gali būti uždavinių iš visų 9 (I gimnazijos) klasės temų, o iš 10 (II gimnazijos) klasės neįtraukiamas srities „Duomenys ir tikimybės“ turinys. Tai aukščiau išvardytos 10 klasės temos: dispersija, standartinis nuokrypis, histogramos, kombinatorika ir tikimybės.

Bendrojoje programoje PUPP užduoties taškai pagal turinio sritis paskirstyti taip: modeliai ir sąryšiai – 55 %, geometrija ir matavimai – 40 %, duomenys ir tikimybės – 5 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Šie procentai apytiksliai: tikroje užduotyje jie gali šiek tiek skirtis. Geometrijai tenka didelė taškų dalis, todėl jos nereikėtų palikti paskutiniams mėnesiams. Sprendžiant uždavinius naudojamos ir žemesnių klasių žinios: trupmenos, procentai, proporcijos, Pitagoro teorema.

Užduoties sandara, trukmė, taškai, vertinimas, bandomasis patikrinimas ir kartojimo planas pagal savaites aprašyti puslapyje apie matematikos PUPP. Oficialus formulių rinkinys ir tai, ko jame nėra, – puslapyje PUPP formulės.

• Matematikos PUPP Data, trukmė, vertinimas, bandomasis ir kartojimo planas.
• PUPP užduotys PUPP formato užduotys su atsakymais.
• ŠMSM: 2026–2027 m. m. PUPP tvarkaraštis (PDF)
• NŠA: matematikos PUPP užduoties aprašas (PDF)

Kaip tėvai gali padėti 9–10 klasės mokiniui

Šiame etape tėvams nebūtina aiškinti temų. Daugiau naudos duoda ritmas, tinkamos priemonės ir įprotis tikrinti savo darbą:

• Paprašykite paaiškinti. Pasirinkite vieną jau išspręstą namų darbų uždavinį ir paprašykite vaiko papasakoti, kodėl daromas kiekvienas žingsnis. Atsakymo žinoti jums nereikia: vieta, kurioje paaiškinimas virsta „taip reikia“, ir yra tai, ką verta pakartoti.
• Išmokykite tikrinti atsakymą. Lygties sprendinį, lygčių sistemos skaičių porą ar nelygybės atsakymą galima patikrinti įstačius skaičių į sąlygą. Kaip tai padaryti, parodyta kitame skyriuje.
• Klaidų sąsiuvinis. Uždavinį, kuriame suklydo, vaikas perrašo, pažymi, kur buvo klaida, ir po savaitės išsprendžia iš naujo, nežiūrėdamas į ankstesnį sprendimą.
• Ritmas, ne kiekis. Keli trumpi netrukdomi užsiėmimai per savaitę paprastai duoda daugiau nei vienas ilgas vakaras prieš kontrolinį. Telefonas tuo metu – kitame kambaryje.
• Tinkamas skaičiuotuvas. 9 klasėje mokomasi skaičiuotuvu rasti sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, todėl reikės mokslinio skaičiuotuvo su šiais mygtukais. Pagal 2026 m. tvarką per PUPP buvo leidžiamos šios priemonės: atspausdintas PUPP formulių rinkinys, mokyklos spaudu pažymėti A4 lapai užrašams, skaičiuotuvas be tekstinės atminties, mėlynas ar juodas rašiklis, pieštukas, trintukas, liniuotė. Kol 2027 m. tvarka nepatvirtinta, saugiausia iš karto rinktis skaičiuotuvą be tekstinės atminties ir abu metus naudotis tuo pačiu, kad per patikrinimą nereikėtų pratintis prie naujo.
• Pasikalbėkite su mokytoju. Paklauskite matematikos mokytojo, kurios temos vaikui sekasi silpniausiai ir ką jis siūlo daryti, taip pat apie konsultacijas mokykloje. Mokytojas mato tai, ko namuose nematyti.

Kaip patikrinti vaiko sprendimą, nebeprisimenant temos

Daugelį 9–10 klasės atsakymų galima patikrinti nemokant pačios temos: pakanka įstatyti gautą skaičių į pradinę sąlygą ir suskaičiuoti. Jei lygybė teisinga, sprendinys tinka. Jei ne, kažkur yra klaida. Toliau – keturi tokie patikrinimai. Juos verta atlikti kartu su vaiku, kol jis įpras tikrinti pats.

Kur 9–10 klasės matematikoje dažnai suklystama

Žemiau – tipinės šio etapo klaidos. Jei kuri nors iš jų kartojasi, verta grįžti prie temos, iš kurios ji kyla.

• Minusas kvadratinės lygties formulėje. Pamirštamas minusas prieš $b$ formulėje $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ arba neteisingai apskaičiuojamas $D$, kai $b$ neigiamas: $(-6)^2 = 36$, o ne $-36$.
• Prarastas sprendinys $x = 0$. Lygtyje $x^2 = 5x$ abi pusės padalijamos iš $x$ ir gaunama tik $x = 5$. Dalyti iš reiškinio su nežinomuoju galima tik atskirai patikrinus, ar jis nelygus nuliui. Teisingai: $x^2 - 5x = 0$, $x(x - 5) = 0$, todėl $x = 0$ arba $x = 5$.
• Pamiršta apibrėžimo sritis. Racionaliojoje lygtyje paliekamas sprendinys, su kuriuo vardiklis lygus nuliui (žr. trečią pavyzdį aukščiau).
• Panašiųjų figūrų plotai. Jei visos kraštinės padidėja $k$ kartų, plotas padidėja $k^2$ kartų, o ne $k$ kartų: padidinus kraštines 3 kartus, plotas padidėja 9 kartus.
• Sinusas ir kosinusas sukeičiami vietomis. Sinusas – prieš kampą esančio statinio ir įžambinės santykis, kosinusas – prie kampo esančio statinio ir įžambinės santykis. Padeda įprotis brėžinyje pirmiausia pažymėti kampą ir pasirašyti, kuri kraštinė yra kuri.
• Skaičiuotuvas nustatytas ne laipsniais. Jei skaičiuotuvas $\sin 30^\circ$ rodo ne $0{,}5$, jis nustatytas kitais kampo matavimo vienetais (pavyzdžiui, radianais). Laipsnių režimą ekrane paprastai rodo raidė D arba užrašas DEG.

9–10 klasės matematikos pasitikrinimas: užduotys su atsakymais

Užduotys suskirstytos į tris grupes. Lengvesnės – ankstesnių klasių pagrindai, kurių reikia 9 klasėje. Vidutinės – 9 klasės turinys, sunkesnės – 10 klasės. Duokite jas vaikui spręsti savarankiškai; skaičiuotuvo reikia tik užduočiai apie rampą. Atsakymus galite patikrinti patys, o kur galima – ir įstatę gautą skaičių į sąlygą, kaip parodyta aukščiau.

Jei lengvesnėse užduotyse klaidų daug, pradėkite nuo jų, o ne nuo naujų temų. Daugiau 7–8 klasės pagrindų pasitikrinti padės užduotys 8 klasei, o kaip tos temos dėstomos ir kur jose atsiranda spragų, aprašyta gide apie 1–8 klasės matematiką.

Lengvesni

Vidutiniai

Sunkesni

Kada 9–10 klasės matematikai reikia papildomos pagalbos

Paauglys ne visada pats pasako, kad nesupranta. Todėl verta žinoti ženklus, išvardytus žemiau.

Jei pastebite kelis iš jų, pirmas žingsnis – pokalbis su matematikos mokytoju ir mokyklos konsultacijos. Jei spragų daug, o iki PUPP lieka nedaug laiko, galima apsvarstyti ir korepetitorių. Ką patikrinti renkantis, aprašyta gide kaip išsirinkti matematikos korepetitorių.

• Pažymiai krenta kelis mėnesius iš eilės, o ne po vieno nepavykusio kontrolinio.
• Vaikas sako, kad „nieko nesupranta“. Tada verta peržiūrėti ankstesnių temų sąrašą aukščiau: spraga gali būti keliomis temomis anksčiau.
• Namų darbai nurašomi arba atliekami tik su programėle, kuri išsprendžia nufotografuotą uždavinį, o panašaus uždavinio savarankiškai išspręsti nepavyksta.
• Kartojasi tos pačios klaidos su ženklais ir trupmenomis, net kai tema jau kita.
• Lengvesnės šio puslapio užduotys (ankstesnių klasių pagrindai) sekasi sunkiai.
• Artėjant PUPP atsiranda didelis nerimas arba, priešingai, abejingumas: „vis tiek nieko nebus“.

• Kaip išsirinkti matematikos korepetitorių internetu Ką patikrinti ir ko paklausti prieš pradedant.

Po 10 klasės: kas laukia 11–12 klasėje

Po 10 klasės gimnazijoje pereinama į vidurinį ugdymą. Nuo III gimnazijos klasės matematikos mokomasi bendruoju arba išplėstiniu kursu, o temos tampa abstraktesnės: atsiranda logaritmai, išvestinės, daugiau trigonometrijos. Kvadratinė funkcija, reiškinių pertvarkymas ir trupmeninės lygtys ten naudojami nuolat, todėl tvirti 9–10 klasės pagrindai palengvina kitus dvejus metus.

Pagal 2026 m. tvarką matematikos brandos egzaminas laikomas dviem dalimis: pirmoji dalis – III gimnazijos klasėje, antroji dalis – IV gimnazijos klasėje. Daugiau apie šį etapą – puslapyje apie matematiką 11–12 klasėje.

• Matematika 11–12 klasėje Kitas etapas ir kelias į matematikos VBE.
• A ir B kursas Kuo skiriasi išplėstinis ir bendrasis matematikos kursas.