Matematikos formulės 11–12 klasei

Čia surinktos 11–12 klasių temų formulės: prie kiekvienos parašyta, kada ją taikyti, ir nuoroda į temą, kurioje ji paaiškinta. Šios klasės veda į matematikos VBE, todėl prie formulių pažymėta, ar jos yra VBE A ar B kurso formulių lape.

11–12 klasių temos

Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Logaritmai 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Progresijos 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Rodiklinė funkcija 11 klasė, A ir B kursai, VBE
Trigonometrija 11–12 klasė, VBE
Integralai 12 klasė, A kursas, VBE
Išvestinės 12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Optimizavimo uždaviniai 12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Stereometrija 12 klasė, A ir B kursai, VBE

Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys

Formulė	Kada taikyti
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$	Šaknies naikinimas: abi lygties puses keliame šaknies rodiklio laipsniu.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\text{jei } \sqrt[n]{a} = b, \text{ tai } b^n = a \; (n \in \mathbb{N},\ n > 1)$	Lygtį $\sqrt[n]{f(x)} = b$ keičiame lygtimi $f(x) = b^n$ ; kai $n$ lyginis, turi būti $b \ge 0$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys
$\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$	A kursas: kai šaknis lygi reiškiniui su $x$ . Keliame kvadratu ir atmetame sprendinius, su kuriais $g(x) < 0$ .Išmok mintinai · Plačiau: Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys
$\sqrt{f(x)} = c, \ c < 0 \ \Rightarrow \ \text{sprendinių nėra}$	Kai šaknis prilyginta neigiamam skaičiui: kelti kvadratu nereikia.Išmok mintinai · Plačiau: Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	Keliant kvadratu dešinę pusę, pavyzdžiui, $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys
$\begin{gathered} x^n = c \\ n \text{ lyginis},\ c > 0: \ x = \pm\sqrt[n]{c} \\ n \text{ nelyginis}: \ x = \sqrt[n]{c} \end{gathered}$	Lygtis $ax^n + b = 0$ , kai iš jos jau išreikštas $x^n$ .Išmok mintinai · Plačiau: Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys
$A \cdot B = 0 \iff A = 0 \ \text{arba} \ B = 0$	Aukštesnio laipsnio lygtis, kurios kairė pusė išskaidyta dauginamaisiais.Išmok mintinai · Plačiau: Daugianariai
$\begin{gathered} ax^4 + bx^2 + c = 0 \\ t = x^2,\ t \ge 0: \ at^2 + bt + c = 0 \end{gathered}$	A kursas: bikvadratinė lygtis. Po keitinio sprendžiama kvadratinė lygtis, neigiamos $t$ reikšmės atmetamos.Išmok mintinai · Plačiau: Iracionaliosios ir aukštesnio laipsnio lygtys
$\begin{gathered} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ D = b^2 - 4ac \end{gathered}$	Kai po kėlimo kvadratu ar keitinio gaunama kvadratinė lygtis.Išmok mintinai · Plačiau: Kvadratinės lygtys

Logaritmai

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} \text{jei } \log_a b = c, \text{ tai } a^c = b \\ (a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0) \end{gathered}$	Kai logaritmą reikia paversti laipsniu arba laipsnio lygybę – logaritmu.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$a^{\log_a b} = b$	Kai laipsnio rodiklyje yra logaritmas tuo pačiu pagrindu.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1$	Kai skaičius po logaritmo ženklu lygus 1 arba pačiam pagrindui.Išmok mintinai · Plačiau: Logaritmai
$\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$	Kai logaritmų sumą su tuo pačiu pagrindu reikia sutraukti į vieną arba sandaugos logaritmą išskaidyti.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$	Kai logaritmų skirtumą reikia sutraukti į vieną arba dalmens logaritmą išskaidyti.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$k \log_a b = \log_a \left(b^k\right)$	Kai daugiklį prieš logaritmą reikia įkelti į rodiklį arba rodiklį iškelti prieš logaritmą.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$\frac{1}{k} \log_a b = \log_{a^k} b$	A kursas: kai pagrindas yra kito skaičiaus laipsnis, pavyzdžiui, $8 = 2^3$ arba kvadratinė šaknis iš 5, lygi $5^{0{,}5}$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$	A kursas: kai reikia pereiti prie kito pagrindo, pavyzdžiui, prie lg ar ln skaičiuotuve.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai
$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$	A kursas: kai pagrindas ir skaičius po logaritmo ženklu susikeičia vietomis.Išmok mintinai · Plačiau: Logaritmai
$\lg x = \log_{10} x, \qquad \ln x = \log_e x$	Kai užrašyta lg arba ln: tai logaritmai pagrindu 10 ir pagrindu e (pastarojo mokomasi A kurse).Išmok mintinai · Plačiau: Logaritmai

Progresijos

Formulė	Kada taikyti
$a_n = a_1 + d(n-1)$	Kai reikia aritmetinės progresijos $n$ -tojo nario arba, atvirkščiai, nario numerio, pirmojo nario ar skirtumo. Yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$d = a_{n+1} - a_n$	Kai iš dviejų gretimų narių reikia rasti skirtumą arba patikrinti, ar seka aritmetinė. Yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$a_n = a_k + d(n-k)$	Kai žinomas ne pirmasis, o kuris nors kitas narys $a_k$ : nuo jo iki $a_n$ yra $n - k$ žingsnių.Išmok mintinai · Plačiau: Progresijos
$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \\ = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n \end{gathered}$	Kai reikia pirmųjų $n$ narių sumos: pirmasis pavidalas – kai žinomas paskutinis narys, antrasis – kai žinomas tik skirtumas. Yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$b_n = b_1 q^{n-1}$	Kai reikia geometrinės progresijos $n$ -tojo nario arba, žinant du narius, vardiklio. Yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$	Kai iš dviejų gretimų narių reikia rasti vardiklį arba patikrinti, ar seka geometrinė. Yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$\begin{gathered} S_n = \frac{b_1 - q b_n}{1 - q} = \\ = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} \end{gathered}$	Kai reikia pirmųjų $n$ narių sumos ir $q \neq 1$ ; kai $q = 1$ , visi nariai lygūs ir $S_n = n \cdot b_1$ . Yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$S = \frac{b_1}{1 - q}$	A kursas: visų begalinės nykstamosios geometrinės progresijos narių suma. Taikoma tik kai $\lvert q \rvert < 1$ ; lape ši sąlyga šalia formulės neužrašyta.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Progresijos
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \quad n \geq 2$	A kursas: kai reikia patikrinti, ar trys iš eilės einantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją, arba rasti vidurinį iš jų.Išmok mintinai · Plačiau: Progresijos
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}, \quad n \geq 2$	A kursas: kai reikia patikrinti, ar trys iš eilės einantys nenuliniai skaičiai sudaro geometrinę progresiją, arba rasti vidurinį iš jų.Išmok mintinai · Plačiau: Progresijos

Rodiklinė funkcija

Formulė	Kada taikyti
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \; (a \neq 0)$	Kai trupmeną reikia užrašyti laipsniu, pavyzdžiui, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Rodiklinė funkcija
$\begin{gathered} a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \\ a^{n} : a^{m} = a^{n-m} \end{gathered}$	Kai laipsnį reikia išskaidyti, pavyzdžiui, $2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}$ , arba sandaugą sutraukti.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Rodiklinė funkcija
$(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$	Kai keiti pagrindą: $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2x}$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Rodiklinė funkcija
$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$	Kai abi lygties pusės užrašytos tuo pačiu pagrindu: prilygink rodiklius.Išmok mintinai · Plačiau: Rodiklinė funkcija
$\begin{gathered} a^{f(x)} > a^{g(x)}: \\ f(x) > g(x), \text{ kai } a > 1; \\ f(x) < g(x), \text{ kai } 0 < a < 1 \end{gathered}$	Kai sprendi rodiklinę nelygybę: ženklas apsiverčia tik tada, kai pagrindas tarp 0 ir 1.Išmok mintinai · Plačiau: Rodiklinė funkcija
$\begin{gathered} \text{jei } \log_a b = c, \text{ tai } a^c = b \\ (a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0) \end{gathered}$	Kai pagrindų suvienodinti nepavyksta: iš $a^{x} = b$ , kai $b > 0$ , gauni $x = \log_a b$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Logaritmai

Trigonometrija

Formulė	Kada taikyti
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$	Kai žinomas sinusas, o reikia kosinuso (ar atvirkščiai); šaknies ženklą parink pagal ketvirtį.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	Kai reikia tangento arba kai lygtį su tangentu patogiau užrašyti sinusu ir kosinusu.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$	Kai žinomas tangentas, o reikia kosinuso.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \\ \cos(-\alpha) = \cos\alpha \\ \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \end{gathered}$	Kai kampas neigiamas: sin(−30°) = −sin 30°, o cos(−30°) = cos 30°. Eilutė su tg – tik A kursui.Išmok mintinai · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \sin(\alpha + 360^\circ k) = \sin\alpha \\ \cos(\alpha + 360^\circ k) = \cos\alpha \\ \operatorname{tg}(\alpha + 180^\circ k) = \operatorname{tg}\alpha \end{gathered}$	Kai kampas didesnis už 360° ar neigiamas: atmesk pilnus apsisukimus. Čia k – bet kuris sveikasis skaičius (k ∈ Z). Eilutė su tg – tik A kursui; A kurse 360° = 2π, 180° = π.Išmok mintinai · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \end{gathered}$	Kai ieškai antrojo lygties sprendinio arba bukojo kampo reikšmės.Išmok mintinai · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \sin x = a,\ a \in [-1; 1]: \\ x = (-1)^k \arcsin a + 180^\circ \cdot k \\ \cos x = a,\ a \in [-1; 1]: \\ x = \pm \arccos a + 360^\circ \cdot k \\ \operatorname{tg} x = a,\ a \in \mathbb{R}: \\ x = \operatorname{arctg} a + 180^\circ \cdot k \end{gathered}$	Kai reikia visų lygties sprendinių; visur k ∈ Z. A kurse 180° keičiama π, 360° – 2π. Lygtis tg x = a – tik A kursui: B lape ji yra, bet B kurse tokios lygtys nesprendžiamos.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$180^\circ = \pi\ \text{rad}, \qquad 1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}$	A kursas: kai kampą laipsniais reikia užrašyti radianais ar atvirkščiai: $135^\circ = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ .Išmok mintinai · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \sin(\alpha \pm \beta) \\ = \sin\alpha \cdot \cos\beta \pm \cos\alpha \cdot \sin\beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) \\ = \cos\alpha \cdot \cos\beta \mp \sin\alpha \cdot \sin\beta \end{gathered}$	A kursas: kai reikia sumos ar skirtumo reikšmės, pavyzdžiui, sin 75° = sin(45° + 30°), arba kai reiškinį reikia suprastinti.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$	A kursas: kai žinomi kampų tangentai, o reikia jų sumos ar skirtumo tangento.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha \\ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \\ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} \end{gathered}$	A kursas: kai lygtyje ar reiškinyje yra ir kampas, ir dvigubas kampas – viską užrašyk vienu kampu.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Trigonometrija
$\begin{gathered} \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \\ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \end{gathered}$	A kursas: kai reiškinyje yra 1 − cos 2α ar 1 + cos 2α arba kai lygtį reikia užrašyti tik sinusu ar tik kosinusu. Lape yra tik pavidalas $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ .Išmok mintinai · Plačiau: Trigonometrija

Integralai

Formulė	Kada taikyti
$\int x^n\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \; (n \neq -1)$	A kursas: laipsninei funkcijai, taip pat šaknims ir trupmenoms, kai jos užrašytos laipsniu, pavyzdžiui, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Integralai
$\int k\,\mathrm{d}x = kx + C$	A kursas: kai pointegralinė funkcija yra pastovus skaičius, pavyzdžiui, $\int 5\,\mathrm{d}x = 5x + C$ .Išmok mintinai · Plačiau: Integralai
$\begin{gathered} \int k f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x \\ \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,\mathrm{d}x \\ = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x \end{gathered}$	A kursas: sumą ir skirtumą integruok dėmuo po dėmens, o skaitinį daugiklį iškelk prieš integralo ženklą.Išmok mintinai · Plačiau: Integralai
$\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln \lvert x \rvert + C$	A kursas: funkcijai $\frac{1}{x} = x^{-1}$ , kuriai laipsninės funkcijos formulė netinka; čia $x \neq 0$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Integralai
$\int a^x\,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C$	A kursas: rodiklinei funkcijai, kai $a > 0$ , $a \neq 1$ . Kai $a = e$ , $\ln e = 1$ , todėl $\int e^x\,\mathrm{d}x = e^x + C$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Integralai
$\begin{gathered} \int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C \\ \int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C \end{gathered}$	A kursas: sinusui ir kosinusui; kampas matuojamas radianais.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Integralai
$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} x + C$	A kursas: funkcija $\frac{1}{\cos^2 x}$ yra tangento išvestinė; čia $\cos x \neq 0$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Integralai
$\int f(kx + b)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{k} F(kx + b) + C$	A kursas: kai funkcijos argumentas yra ne $x$ , o $kx + b$ , pavyzdžiui, $\int \cos 3x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\sin 3x + C$ . Čia $k \neq 0$ , o $F$ – funkcijos $f$ pirmykštė.Išmok mintinai · Plačiau: Integralai
$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$	A kursas: Niutono ir Leibnico formulė apibrėžtiniam integralui apskaičiuoti; $a$ – apatinis rėžis, $b$ – viršutinis.Išmok mintinai · Plačiau: Integralai
$\begin{gathered} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0 \\ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x \end{gathered}$	A kursas: kai sukeiti rėžius arba atkarpą padaliji taške $c$ . Skaičiuojant plotą, atkarpa dažnai dalijama ties funkcijos nuliu.Išmok mintinai · Plačiau: Integralai
$\begin{gathered} S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x, \\ \text{kai } f(x) \geq g(x),\ x \in [a; b] \end{gathered}$	A kursas: plotui tarp dviejų kreivių; kai $g(x) = 0$ , gaunamas kreivinės trapecijos plotas.Išmok mintinai · Plačiau: Integralai
$V = \pi \int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x$	A kursas: kūno, gauto sukant kreivinę trapeciją apie ašį Ox, tūriui.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Integralai

Išvestinės

Formulė	Kada taikyti
$c' = 0$	Konstantos (skaičiaus) išvestinė lygi nuliui.Išmok mintinai · Plačiau: Išvestinės
$(kx + b)' = k$	Tiesinės funkcijos išvestinė lygi jos krypties koeficientui.Išmok mintinai · Plačiau: Išvestinės
$(x^n)' = n\, x^{n-1}$	Laipsnio išvestinė: rodiklis tampa daugikliu, o pats rodiklis sumažėja vienetu.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\left(c\, f(x)\right)' = c\, f'(x)$	Pastovų daugiklį iškelk prieš išvestinės ženklą.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\begin{gathered} \left(f(x) + g(x)\right)' = f'(x) + g'(x) \\ \left(f(x) - g(x)\right)' = f'(x) - g'(x) \end{gathered}$	Sumą ir skirtumą diferencijuok panariui.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$	Kai reikia grafiko liestinės taške, kurio abscisė $x_0$ ; ta pati formulė yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\begin{gathered} \left(f(x) \cdot g(x)\right)' = \\ = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x) \end{gathered}$	A kursas: sandaugos išvestinė. Diferencijuok po vieną dauginamąjį, kitą palikęs nepakeistą, ir abi gautas sandaugas sudėk.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\begin{gathered} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \\ = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g^2(x)} \end{gathered}$	A kursas: dalmens išvestinė. Skaitiklyje tvarka svarbi, vardiklyje – vardiklio kvadratas.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	A kursas: sudėtinės funkcijos išvestinė – išorinės funkcijos išvestinė, padauginta iš vidinės funkcijos išvestinės.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\begin{gathered} (\sin x)' = \cos x \\ (\cos x)' = -\sin x \end{gathered}$	A kursas: sinuso ir kosinuso išvestinės (kampas radianais); kosinuso išvestinė turi minusą.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$	A kursas: tangento išvestinė, kai $\cos x \ne 0$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$(a^x)' = a^x \ln a$	A kursas: rodiklinės funkcijos išvestinė; kai $a = e$ , gaunama $(e^x)' = e^x$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$	A kursas: logaritminės funkcijos išvestinė, kai $x > 0$ ; kai $a = e$ , gaunama $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės

Optimizavimo uždaviniai

Formulė	Kada taikyti
$f'(x_0) = 0$	Kritinio taško sąlyga: intervalo viduje didžiausia ar mažiausia reikšmė gali būti tik taške, kuriame išvestinė lygi nuliui arba jos nėra.Išmok mintinai · Plačiau: Optimizavimo uždaviniai
$\max_{[a;\,b]} f(x) = \max\{f(a);\ f(b);\ f(x_1);\ \ldots\}$	Atkarpoje $[a; b]$ didžiausia reikšmė – didžiausias skaičius iš reikšmių galuose ir kritiniuose taškuose $x_1, \ldots$ ; mažiausia randama lygiai taip pat.Išmok mintinai · Plačiau: Optimizavimo uždaviniai
$(x^n)' = n\, x^{n-1}$	Laipsninės funkcijos išvestinė; tinka ir neigiamam rodikliui: $\left(\frac{1}{x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Išvestinės
$\begin{gathered} \left(c\, f(x)\right)' = c\, f'(x) \\ \left(f(x) + g(x)\right)' = f'(x) + g'(x) \\ \left(f(x) - g(x)\right)' = f'(x) - g'(x) \end{gathered}$	Pastovų daugiklį iškelk prieš išvestinės ženklą, sumą ir skirtumą diferencijuok panariui.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Optimizavimo uždaviniai
$S = 2\pi R H, \qquad V = \pi R^2 H$	Ritinio šoninio paviršiaus plotas ir tūris – dažna tikslo funkcijos ar apribojimo dalis; tos pačios formulės yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Optimizavimo uždaviniai
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$	Kūgio tūris; ši formulė yra ir A kurso lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Optimizavimo uždaviniai
$\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	A kursas: sudėtinės funkcijos išvestinė – išorinės funkcijos išvestinė, padauginta iš vidinės funkcijos išvestinės.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Optimizavimo uždaviniai
$\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$	A kursas: šaknies išvestinė, pavyzdžiui, $\left(\sqrt{x^2 + 9}\right)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ . Gaunama iš laipsnio formulės ( $\sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ ) ir sudėtinės funkcijos taisyklės.Išmok mintinai · Plačiau: Optimizavimo uždaviniai

Stereometrija

Formulė	Kada taikyti
$\sin\varphi = \dfrac{h}{l}$	Kai žinomi taško atstumas iki plokštumos ir pasvirosios ilgis.Išmok mintinai · Plačiau: Sinusas, kosinusas, tangentas
$\cos\varphi = \dfrac{p}{l}$	Kai žinomi projekcijos ir pasvirosios ilgiai.Išmok mintinai · Plačiau: Stereometrija
$\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{h}{p}$	Kai žinomi atstumas iki plokštumos ir projekcijos ilgis. Taip randamas ir dvisienis kampas – apie jį skyriuje žemiau.Išmok mintinai · Plačiau: Stereometrija
$l^2 = h^2 + p^2$	Statmuo, pasviroji ir projekcija sudaro statųjį trikampį: trūkstamą kraštinę rasi pagal Pitagoro teoremą.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$	Stačiakampio gretasienio su briaunomis $a$ , $b$ , $c$ įstrižainė. Pavyzdžiui, kai briaunos 1, 2 ir 2, $d = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ . Kubo įstrižainė $d = a\sqrt{3}$ .Išmok mintinai · Plačiau: Stereometrija
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\angle A$	Kai pjūvio ar sienos trikampis nėra statusis. Kosinusų teorema yra abiejuose 2026 m. VBE formulių rinkinio skyriuose (B ir A kurso).Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Sinusų ir kosinusų teoremos

Temos, kurių pradedama mokytis anksčiau

Šių temų mokomasi ir šiose klasėse, bet jų formulių lentelės yra žemesnių klasių formulių puslapiuose, nes jų pradedama mokytis anksčiau.

Palūkanos 7, 10–11 klasė; NMPP 8, PUPP, VBE (B)
Prizmė ir piramidė 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. tūris), VBE
Ritinys, kūgis, rutulys 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. formulės), VBE
Lygčių sistemos 8–11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Skaičių aibės ir modulis 8 ir 11 klasė, NMPP 8 ir VBE
Šaknys 8 ir 11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Vektoriai 8 ir 11 klasė (A kursas), VBE
Funkcijos 9–11 klasė, PUPP ir VBE
Kvadratinės nelygybės 10–11 klasė, PUPP ir VBE
Tikimybės ir kombinatorika 10–12 klasė, VBE (A ir B kursai)
Vienetinis apskritimas 10–11 klasė, PUPP ir VBE

Taip pat: Matematikos formulės pagal klases · 9–10 klasių formulių lentelės