Simetrija, figūros ir kampai 1–5 klasėse: paaiškinimai tėvams

Simetrija matematikoje reiškia, kad figūrą galima perlenkti per tiesę taip, jog abi jos pusės tiksliai sutampa. Ta tiesė vadinama simetrijos ašimi, o kiekvienas figūros taškas, nesantis ašyje, turi porą kitoje ašies pusėje, tokiu pat atstumu nuo jos. Nuo antros iki penktos klasės simetrijos mokomasi kartu su geometrinėmis figūromis ir kampais. Antrokas ieško simetrijos ašies ir užbaigia piešinį languotame lape. Trečiokas skiria statųjį, smailųjį ir bukąjį kampus, ketvirtokas – trikampių rūšis. Penktokas kampus matuoja laipsniais ir susipažįsta su simetrija taško atžvilgiu. Žemiau – paaiškinimai, pavyzdžiai, dažnos klaidos ir užduotys vaikui su atsakymais.

Ko vaikas mokosi apie figūras, kampus ir simetriją 1–5 klasėse

Geometrija pradinėse klasėse prasideda nuo paprasčiausių figūrų, o kasmet atsiranda naujų sąvokų. Svarbu ne tik pavadinti figūrą, bet ir paaiškinti, kodėl ji tokia: kodėl tai kvadratas, o ne bet koks keturkampis, kodėl piešinys simetriškas arba ne. Kaip matematika tęsiasi toliau, apžvelgta puslapyje Matematika 1–8 klasėje. Trumpai pagal klases:

1 klasė: kuo brėžinys skiriasi nuo piešinio; taškas, tiesė, spindulys ir atkarpa; kur daiktas yra kito atžvilgiu (kairėje, virš, tarp, viduje) ir kaip jis atrodo iš priekio, iš šono ir iš viršaus.
2 klasė: plokštumos figūros; atvira ir uždara laužtė; daugiakampis, jo kraštinės, viršūnės ir kampai; figūrų rūšiavimas pagal kraštinių skaičių, jų ilgius ar simetrijos ašių skaičių; taisyklingasis daugiakampis. Vaikas sužino, kas yra simetrijos ašis, ir užbaigia simetrišką piešinį languotame ar taškuotame lape, kai ašis vertikali arba horizontali.
3 klasė: statusis, smailusis ir bukasis kampai, lyginami su kampainiu (trikampe liniuote); lygiagrečios, statmenos ir susikertančios tiesės; kvadratas ir stačiakampis; apskritimas ir skritulys, jų centras, spindulys ir skersmuo. Ieškoma dviejų figūrų, simetriškų viena kitai tiesės atžvilgiu, kuriami ornamentai, atpažįstamas figūros postūmis per kelis langelius.
4 klasė: lygios figūros (uždėtos viena ant kitos, jos sutampa); trikampių rūšys pagal kraštines ir pagal kampus; figūros posūkis stačiuoju kampu apie tašką.
5 klasė: kampai matuojami laipsniais, naudojamas matlankis; ištiestinis ir pilnasis kampas; gretutiniai ir kryžminiai kampai; trikampio ir keturkampio kampų suma. Simetrija tiesės atžvilgiu ir simetrija taško atžvilgiu (centrinė simetrija) apibrėžiamos kaip transformacijos – taisyklės, pagal kurias kiekvienas figūros taškas perkeliamas į naują vietą.

Geometrinės figūros: pavadinimai ir elementai

Pirmos figūros, kurias vaikas pažįsta, yra taškas, tiesė, spindulys ir atkarpa. Tiesė neturi galų: lape nubrėžiame tik jos dalį. Spindulys turi pradžią, bet neturi galo. Atkarpa turi du galus, todėl jos ilgį galima išmatuoti liniuote.

Kelios atkarpos, sujungtos galais viena po kitos, sudaro laužtę. Jei paskutinės atkarpos galas sutampa su pirmosios pradžia, laužtė uždara, jei ne – atvira. Uždara laužtė, kurios atkarpos nesikerta, apriboja daugiakampį. Tos atkarpos vadinamos daugiakampio kraštinėmis. Taškai, kuriuose susitinka dvi kraštinės, vadinami viršūnėmis. Prie kiekvienos viršūnės yra daugiakampio kampas.

Daugiakampis visada turi tiek pat kampų, kiek kraštinių ir viršūnių: trikampis turi 3 kraštines, 3 viršūnes ir 3 kampus. Kodėl? Einant figūros kraštu, kraštinės ir viršūnės kaitaliojasi: kraštinė, viršūnė, kraštinė, viršūnė… Grįžus į pradžią, abiejų suskaičiuota po lygiai, o prie kiekvienos viršūnės yra vienas kampas. Todėl daugiakampiai vadinami pagal kampų skaičių: trikampis, keturkampis, penkiakampis, šešiakampis.

Kai kurie keturkampiai turi savo vardus. Stačiakampio visi keturi kampai statūs. Kvadratas – tai stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios. Todėl kiekvienas kvadratas yra ir stačiakampis, bet ne kiekvienas stačiakampis yra kvadratas. Taisyklingojo daugiakampio visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs: kvadratas yra taisyklingasis keturkampis. Penktoje klasėje prisideda dar keli keturkampiai. Lygiagretainio priešingos kraštinės lygiagrečios. Rombo visos keturios kraštinės lygios. Trapecijos lygiagrečios tik dvi priešingos kraštinės, o lygiašonės trapecijos kitos dvi kraštinės lygios. Plačiau apie juos – keturkampių puslapyje.

Apskritimas – tai uždara kreivė, kurios visi taškai vienodai nutolę nuo vieno taško, centro. Skritulys – visa plokštumos dalis, kurią apskritimas apriboja. Atkarpa nuo centro iki apskritimo vadinama spinduliu, o atkarpa, kuri eina per centrą ir jungia du apskritimo taškus, – skersmeniu. Skersmuo lygus dviem spinduliams. Atkreipkite dėmesį: žodis „spindulys“ čia reiškia atkarpą, o ne pirmos klasės liniją be galo. Apskritimas neturi nei kraštinių, nei kampų, todėl tai ne daugiakampis. Apie apskritimo ilgį ir skritulio plotą vyresnėse klasėse – apskritimo ir skritulio puslapyje.

Visos šios figūros yra plokštumos figūros: jos guli lape. Kubas, rutulys ar piramidė – erdvės figūros, nes užima erdvės dalį. Žodžius verta tarti tiksliai: kvadratas yra kubo siena, o ne pats kubas. Skritulys irgi nėra rutulys.

Inkilo sienelė: kiek kraštinių ir kampų?

Inkilo priekinė sienelė išpjauta iš lentos taip, kaip parodyta brėžinyje: apačioje stačiakampė dalis, viršuje stogelis, viduryje apvali anga. Kiek kraštinių, viršūnių ir kampų turi sienelės kraštas? Kaip vadinamas toks daugiakampis?

Inkilo sienelė. Raidėmis A, B, C, D ir E pažymėtos viršūnės.

Pradedame nuo viršūnės A ir einame kraštu aplink, žymėdami kiekvieną kraštinę: AB, BC, CD, DE, EA. Grįžome į A – kraštinių yra 5.
Viršūnės – taškai, kuriuose susitinka dvi kraštinės: A, B, C, D ir E. Jų taip pat 5. Prie kiekvienos viršūnės yra po vieną kampą, todėl kampų irgi 5.
Anga neskaičiuojama: ji yra sienelės viduje, o klausiama apie sienelės kraštą.
Kur vaikai klysta: pamato stačiakampį ir trikampį ir sudeda jų kraštines, $4 + 3 = 7$ . Tačiau linijos tarp E ir C, kuri skirtų stogelį nuo apačios, brėžinyje nėra. Ją būtume suskaičiavę du kartus – ir stačiakampyje, ir trikampyje, nors ji nėra krašto dalis: $7 - 2 = 5$ .
Daugiakampis, turintis penkis kampus, vadinamas penkiakampiu.

Atsakymas: Sienelės kraštas turi 5 kraštines, 5 viršūnes ir 5 kampus; tai penkiakampis.

Lengvesni

1. Mozaikai iš spalvoto popieriaus Gabija iškirpo 3 trikampius, 2 penkiakampius ir 4 kvadratus. Kiek iš viso viršūnių turi visos šios figūros?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 35 viršūnes.

Trikampis turi 3 viršūnes, penkiakampis – 5, kvadratas – 4: $3 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 4 = 9 + 10 + 16 = 35$ .

Vidutiniai

2. Kurie teiginiai teisingi? Pažymėk visus teisingus. A) Kiekvienas kvadratas yra stačiakampis. B) Kiekvienas stačiakampis yra kvadratas. C) Apskritimas turi vieną kampą. D) Apskritimo skersmuo dvigubai ilgesnis už jo spindulį. E) Atvira laužtė apriboja daugiakampį.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A ir D.

B klaidingas: stačiakampio kraštinės gali būti nelygios, pavyzdžiui, 5 cm ir 2 cm. C klaidingas: apskritimas neturi kampų. E klaidingas: daugiakampį apriboja tik uždara laužtė.

Kampų rūšys: statusis, smailusis, bukasis ir kiti

Kampą sudaro du spinduliai, išeinantys iš to paties taško. Tas taškas vadinamas kampo viršūne, o spinduliai – kampo kraštinėmis. Kampo didumas parodo, kiek kraštinės prasiskleidusios. Jis nepriklauso nuo to, kokio ilgio kraštines nubrėžėme: pratęsus kraštines, kampas nepasikeičia.

Trečioje klasėje kampai lyginami su stačiuoju kampu. Statusis kampas – toks, kaip sąsiuvinio lapo kampas arba kampainio kampas. Jei kampas mažesnis už statųjį, jis smailusis. Jei didesnis, bet kraštinės dar nesudaro vienos tiesės, – bukasis. Du kampai lygūs, jei uždėti vienas ant kito jie sutampa. Kampainį galima pasidaryti ir iš popieriaus – kaip, parašyta patarimuose tėvams žemiau.

Tiesės, kurios susikerta stačiuoju kampu, vadinamos statmenomis. Tiesės, kurios plokštumoje nesikerta, kad ir kiek jas tęstume, vadinamos lygiagrečiomis. Languoto sąsiuvinio linijos – geras abiejų pavyzdys: horizontalios linijos lygiagrečios viena kitai ir statmenos vertikalioms.

Penktoje klasėje kampai matuojami laipsniais (°). Tam naudojamas matlankis – pusapvalė liniuotė su laipsnių skale. Statusis kampas lygus $90^\circ$ , smailusis mažesnis už $90^\circ$ , bukasis didesnis už $90^\circ$ , bet mažesnis už $180^\circ$ . Kai kraštinės sudaro vieną tiesę, kampas vadinamas ištiestiniu ir lygus $180^\circ$ , o visas apsisukimas, pilnasis kampas, lygus $360^\circ$ . Atversta knyga tai gerai parodo: kai ji guli ant stalo išskleista, jos viršeliai sudaro ištiestinį kampą.

Matuojant kampą, matlankio centras dedamas į kampo viršūnę, o nulio linija – ant vienos kraštinės. Skaitoma ta skalė, kurios nulis yra ant tos kraštinės. Penktokai taip pat sužino, kad dvi susikirtusios tiesės sudaro keturis kampus. Du kampai, esantys greta, vadinami gretutiniais: jų suma lygi $180^\circ$ . Du kampai, esantys vienas prieš kitą, vadinami kryžminiais: jie lygūs. Pavyzdžiui, jei vienas kampas lygus $70^\circ$ , tai gretutinis jam lygus $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ , o kryžminis – irgi $70^\circ$ .

Aitvaro kampai: kuris statusis, kuris smailusis?

Brėžinyje languotame lape nubraižytas aitvaras – keturkampis $TRBL$ . Kurie jo kampai statūs, kurie smailieji, o kurie bukieji?

Aitvaras TRBL. Ilgiausios jo kraštinės – BL ir BR.

Prie kampo T pridedame kampainį arba perlenkto lapo kampą. Abu jo kraštai sutampa su kraštinėmis TL ir TR, todėl kampas T statusis. Languotame lape tai matyti ir be kampainio: abi kraštinės eina langelių įstrižainėmis skirtingomis kryptimis, o kvadrato įstrižainės susikerta stačiuoju kampu.
Kampas B daug siauresnis už statųjį: pridėjus kampainį prie kraštinės BL, kita kraštinė BR lieka kampainio viduje. Kampas B smailusis.
Kampai L ir R platesni už statųjį: pridėjus kampainį prie vienos kraštinės, kita kraštinė lieka už jo. Tačiau kraštinės nesudaro vienos tiesės, todėl kampai L ir R bukieji, o ne ištiestiniai.
Kur vaikai klysta: vertina kampą pagal kraštinių ilgį ir mano, kad didžiausias kampas B, nes jo kraštinės BL ir BR ilgiausios. Tačiau kampo didumą lemia tai, kiek kraštinės prasiskleidusios, o ne jų ilgis. Penktokas gali išmatuoti matlankiu: kampas B lygus maždaug $45^\circ$ , kampai L ir R – maždaug po $112^\circ$ , o kampas T – $90^\circ$ .

Atsakymas: Kampas T statusis, kampas B smailusis, kampai L ir R bukieji.

Vidutiniai

3. Kurie iš šių kampų bukieji: $89^\circ$ , $91^\circ$ , $120^\circ$ , $179^\circ$ , $180^\circ$ ?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $91^\circ$ , $120^\circ$ ir $179^\circ$ .

Bukasis kampas didesnis už $90^\circ$ , bet mažesnis už $180^\circ$ . Kampas $89^\circ$ smailusis, nors ir labai artimas stačiajam. Kampas $180^\circ$ ištiestinis, o ne bukasis.

4. Atverstos knygos viršeliai sudaro $75^\circ$ kampą. Kokios rūšies šis kampas? Keliais laipsniais dar reikia atversti knygą, kad ji gulėtų ant stalo išskleista, t. y. kad viršeliai sudarytų ištiestinį kampą?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: Smailusis kampas; dar $105^\circ$ .

$75^\circ$ mažiau už $90^\circ$ , todėl kampas smailusis. Ištiestinis kampas lygus $180^\circ$ : $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ .

Trikampių rūšys pagal kraštines ir kampus

Ketvirtoje klasėje trikampiai skirstomi dviem būdais. Pagal kraštines: įvairiakraščio trikampio visos trys kraštinės skirtingo ilgio, lygiašonio dvi kraštinės lygios, o lygiakraščio – visos trys. Lygiakraštis trikampis turi ir dvi lygias kraštines, todėl matematiškai jis yra ypatingas lygiašonio atvejis. Jei užduotyje prašoma vieno pavadinimo, rinkitės tiksliausią – lygiakraštis.

Pagal kampus: smailiojo trikampio visi trys kampai smailieji, stačiojo vienas kampas statusis, bukojo vienas kampas bukasis. Daugiau nei vieno stačiojo ar bukojo kampo trikampis turėti negali. Penktoje klasėje vaikas sužino kodėl: trikampio kampų suma lygi $180^\circ$ , o du statieji kampai kartu jau sudaro $180^\circ$ , todėl trečiajam kampui nieko nebeliktų.

Abu skirstymai vienas nuo kito nepriklauso, todėl trikampį galima apibūdinti dviem žodžiais, pavyzdžiui, bukasis lygiašonis trikampis. Daugiau apie trikampius, jų kampų sumą, aukštinę ir plotą rasite trikampio temos puslapyje.

Lengvesni

5. Pavadink trikampius pagal kraštines: a) 6 cm, 6 cm ir 6 cm; b) 4 cm, 7 cm ir 4 cm; c) 5 cm, 8 cm ir 9 cm.

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) lygiakraštis; b) lygiašonis; c) įvairiakraštis.

Sunkesni

6. Kvadratinę servetėlę perlenkėme per įstrižainę ir gavome trikampį. Kam lygūs šio trikampio kampai? Kaip jis vadinamas pagal kampus ir pagal kraštines?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $90^\circ$ , $45^\circ$ ir $45^\circ$ ; tai statusis lygiašonis trikampis.

Kvadrato kampas statusis, todėl vienas trikampio kampas lygus $90^\circ$ . Kvadrato įstrižainė yra jo simetrijos ašis: perlenkus abi pusės sutampa, todėl įstrižainė kvadrato kampą dalija į dvi lygias dalis, $90^\circ : 2 = 45^\circ$ . Dvi trikampio kraštinės yra kvadrato kraštinės, todėl jos lygios, ir trikampis lygiašonis.

Kas yra simetrija?

Figūra vadinama simetriška tiesės atžvilgiu, jei ją galima perlenkti per tą tiesę taip, kad abi pusės tiksliai sutaptų. Ta tiesė – simetrijos ašis. Kitaip tariant, viena pusė yra kitos pusės atvaizdas veidrodyje, pastatytame ant ašies.

Kiekvienas figūros taškas turi porą kitoje ašies pusėje. Abu poros taškai yra vienodu atstumu nuo ašies, o juos jungianti atkarpa statmena ašiai. Taškas, esantis pačioje ašyje, lieka savo vietoje. Būtent ši taisyklė padeda languotame lape: atstumą skaičiuojame langeliais nuo ašies.

Figūra gali turėti vieną ar kelias simetrijos ašis, o gali neturėti nė vienos. Lygiakraštis trikampis turi tris ašis, o lygiašonis, kuris nėra lygiakraštis, – vieną. Kvadratas turi keturias ašis, o stačiakampis, kuris nėra kvadratas, – dvi. Įvairiakraštis trikampis neturi nė vienos. Taisyklingasis daugiakampis turi tiek ašių, kiek kampų. Apskritimas turi be galo daug ašių: kiekviena tiesė, einanti per jo centrą, yra simetrijos ašis.

Stačiakampio įstrižainė nėra simetrijos ašis

Stačiakampio ilgis 6 cm, plotis 3 cm. Kiek jis turi simetrijos ašių? Ar jo įstrižainė yra simetrijos ašis?

Dvi tiesės per kraštinių vidurius – simetrijos ašys. Taškinė linija – įstrižainė AC: perlenkus per ją, viršūnė B atsiduria taške B′, už stačiakampio ribų.

Perlenkiame stačiakampį per vertikalią tiesę, einančią per ilgųjų kraštinių vidurius. Kairioji pusė, 3 cm ilgio ir 3 cm pločio, tiksliai uždengia dešiniąją. Tai simetrijos ašis.
Perlenkiame per horizontalią tiesę, einančią per trumpųjų kraštinių vidurius. Viršutinė pusė, 6 cm ilgio ir 1,5 cm pločio, uždengia apatinę. Tai antroji ašis.
Bandome perlenkti per įstrižainę AC. Ji padalija stačiakampį į du vienodus trikampius, bet perlenkus jie nesutampa: viršūnė B atsiduria virš stačiakampio, taške B′. Vadinasi, įstrižainė nėra simetrijos ašis. Kur vaikai klysta: mano, kad jei tiesė dalija figūrą į dvi lygias dalis, ji jau yra ašis. Bet dalys turi sutapti perlenkus, o ne tik būti vienodo dydžio.
Kitų ašių nėra: perlenkus per bet kurią kitą tiesę, stačiakampio kampai nesueina su kampais.
Kvadrato įstrižainės yra ašys, nes jo kraštinės lygios: perlenkus per įstrižainę, viena kraštinė nugula tiksliai ant kitos. Todėl kvadratas turi 4 simetrijos ašis, o stačiakampis, kuris nėra kvadratas, – tik 2.

Atsakymas: Stačiakampis, kurio ilgis 6 cm, o plotis 3 cm, turi 2 simetrijos ašis; jo įstrižainė nėra simetrijos ašis.

Sunkesni

7. Kiek simetrijos ašių turi: a) aitvaras, kurio dvi viršutinės kraštinės lygios tarpusavyje, dvi apatinės lygios tarpusavyje, o viršutinės trumpesnės už apatines; b) rombas, kuris nėra kvadratas (visos jo kraštinės lygios, bet kampai nestatūs); c) taisyklingasis aštuonkampis; d) lygiašonė trapecija?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: a) 1; b) 2; c) 8; d) 1.

a) Aitvaro ašis eina per viršutinę ir apatinę viršūnes. b) Rombo ašys – abi jo įstrižainės. Per kraštinių vidurius jo perlenkti negalima, nes kampai nestatūs. c) Taisyklingasis daugiakampis turi tiek ašių, kiek kampų. d) Lygiašonės trapecijos ašis eina per abiejų lygiagrečių kraštinių vidurius.

Kaip atrodo simetrija?

Simetrijos pavyzdžių daug: drugelio sparnai, klevo lapas, snaigė, bažnyčios fasadas, lango rėmas, juostų ir audinių raštai. Gamtoje dvi pusės niekada nebūna visiškai vienodos, todėl drugelis ar lapas simetriški tik apytiksliai. Matematikoje simetrija tiksli: kiekvienas taškas turi porą.

Simetrijos ieškoti galima ir raidėse. Jei didžiosios raidės parašytos paprastomis linijomis, be puošybos, raidė A turi vertikalią simetrijos ašį, raidė E – horizontalią, raidė H – abi, o raidė F – nė vienos. Lietuviškos raidės Š ir Ž vertikalios ašies neturi: jų varnelė simetriška, bet pačios raidės S ir Z – ne.

Antroje klasėje vaikas užbaigia simetrišką piešinį languotame lape. Šią tvarką galite perskaityti kartu su juo:

Prie kiekvienos duotos pusės viršūnės suskaičiuok, keli langeliai iki ašies.
Kitoje ašies pusėje atskaičiuok tiek pat langelių toje pačioje eilutėje. Kai ašis horizontali, skaičiuok tame pačiame stulpelyje.
Pažymėk naują tašką. Taškai, esantys pačioje ašyje, lieka vietoje.
Sujunk naujus taškus ta pačia tvarka kaip pirmojoje pusėje.
Patikrink: perlenk lapą per ašį ir pažiūrėk prieš šviesą arba pastatyk ant ašies veidrodėlį.

Raketa languotame lape: atspindėti, o ne nukopijuoti

Languotame lape nubrėžta vertikali simetrijos ašis ir kairioji raketos pusė (žr. brėžinį). Užbaik raketą taip, kad ji būtų simetriška ašies atžvilgiu. Kur bus dešiniosios pusės viršūnės?

Vertikali brūkšninė tiesė – simetrijos ašis. Ištisinė linija – duotoji kairioji pusė, punktyrinė – užbaigta dešinioji.

Kiekvienai kairiosios pusės viršūnei suskaičiuojame, keli langeliai iki ašies ir kokiame aukštyje ji yra. Smaigalys ir pagrindo vidurys yra pačioje ašyje, todėl jie lieka vietoje.
Raketos petys yra 2 langeliais kairiau už ašį ir 7 langeliais aukščiau už pagrindą. Jis atsiduria 2 langeliais dešiniau už ašį, tame pačiame aukštyje. Sparnelio pradžia yra 2 langeliais kairiau už ašį ir 2 langeliais aukščiau už pagrindą. Ji atsiduria 2 langeliais dešiniau už ašį, taip pat 2 langeliais aukščiau už pagrindą.
Sparnelio galas yra ant pagrindo 4 langeliais kairiau už ašį. Jis atsiduria ant pagrindo 4 langeliais dešiniau už ašį.
Sujungiame naujus taškus ta pačia tvarka: smaigalys, petys, sparnelio pradžia, sparnelio galas ir pagrindas iki ašies.
Kur vaikai klysta: nukopijuoja kairiąją pusę ir pastumia ją į dešinę. Tada dešinysis sparnelis žiūri į kairę, į raketos vidų, o smaigalys atsiduria ne ašyje. Tai postūmis, o ne atspindys. Klaidą parodo veidrodėlis, pastatytas ant ašies: jame matoma pusė turi sutapti su nupiešta.

Atsakymas: Dešiniosios pusės viršūnės: 2 langeliais dešiniau už ašį ir 7 langeliais aukščiau už pagrindą; 2 langeliais dešiniau už ašį ir 2 langeliais aukščiau už pagrindą; sparnelio galas – ant pagrindo 4 langeliais dešiniau už ašį. Smaigalys ir pagrindo vidurys lieka ašyje.

Lengvesni

8. Languotame lape nubrėžta horizontali simetrijos ašis. Taškas K yra 3 langeliais aukščiau už ašį, o nuo kairiojo lapo krašto jį skiria 5 langeliai. Kur yra taškas, simetriškas taškui K ašies atžvilgiu? Kiek langelių skiria šiuos du taškus?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: 3 langeliais žemiau už ašį, o nuo kairiojo krašto jį taip pat skiria 5 langeliai; tarp taškų – 6 langeliai.

Vidutiniai

9. Žodžiai parašyti didžiosiomis raidėmis paprastomis linijomis, be puošybos: OHO, MAMA, AHA, ATA. Kurie iš jų turi vertikalią simetrijos ašį?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: OHO, AHA ir ATA.

Žodis turi vertikalią ašį, jei kiekviena jo raidė turi vertikalią ašį ir žodis vienodai skaitomas iš abiejų galų. Raidės O, H, A, T, M tokią ašį turi. Žodis MAMA, atspindėtas veidrodyje, virsta AMAM, todėl ašies neturi.

Simetrija tiesės atžvilgiu ir taško atžvilgiu

Antroje klasėje kalbama apie vieną simetrišką figūrą, kurią ašis dalija į dvi sutampančias puses. Trečioje klasėje atsiranda dvi figūros, simetriškos viena kitai tiesės atžvilgiu, pavyzdžiui, kairės ir dešinės pirštinės kontūrai, nubrėžti veidrodiškai abipus tiesės. Kiekviena pirštinė atskirai nesimetriška, bet viena yra kitos atspindys.

Penktoje klasėje simetrija tiesės atžvilgiu, arba atspindys, apibrėžiama kaip transformacija: kiekvienas taškas perkeliamas į kitą tiesės pusę statmenai jai ir tokiu pat atstumu. Kartu atsiranda simetrija taško atžvilgiu, arba centrinė simetrija. Taškas $O$ vadinamas simetrijos centru. Kiekvienam taškui $A$ randamas taškas $A'$ : jis yra tiesėje $AO$ , kitoje taško $O$ pusėje ir tokiu pat atstumu nuo $O$ . Vadinasi, $O$ yra atkarpos $AA'$ vidurys. Pavyzdžiui, jei $A$ yra 3 langeliais kairiau už $O$ , tai $A'$ yra 3 langeliais dešiniau už $O$ .

Simetrija taško atžvilgiu yra tas pats, kas pasukimas apie tašką $O$ pusę apsisukimo, t. y. $180^\circ$ . Figūra turi simetrijos centrą, jei, pasukta pusę apsisukimo apie jį, sutampa pati su savimi. Tokį centrą turi kvadratas ir stačiakampis (įstrižainių susikirtimo taškas), apskritimas (jo centras) ir iš tiesių linijų parašytos raidės N ir Z. Lygiakraštis trikampis simetrijos centro neturi, nors simetrijos ašių turi net tris.

Trikampis, simetriškas tiesės ir taško atžvilgiu

Languotame lape pažymėtas taškas O, o per jį nubrėžta vertikali tiesė $l$ . Trikampio $ABC$ viršūnės: A – 4 langeliais kairiau ir 1 langeliu aukščiau už O, B – 2 langeliais kairiau ir 3 aukščiau, C – 2 langeliais kairiau ir 1 aukščiau. a) Kur yra viršūnės trikampio, simetriško trikampiui $ABC$ tiesės $l$ atžvilgiu? b) Kur yra viršūnės trikampio, simetriško trikampiui $ABC$ taško O atžvilgiu?

Ištisinis kontūras – trikampis ABC, brūkšninis – jo atspindys tiesės l atžvilgiu, taškinis – jo atvaizdas taško O atžvilgiu.

a) Tiesė $l$ vertikali, todėl kiekvienas taškas pereina į kitą jos pusę toje pačioje eilutėje: tiek pat langelių, tik dešiniau. Aukštis nesikeičia.
$A_1$ – 4 langeliais dešiniau ir 1 aukščiau už O; $B_1$ – 2 dešiniau ir 3 aukščiau; $C_1$ – 2 dešiniau ir 1 aukščiau.
b) Taško O atžvilgiu keičiasi abi kryptys: kas buvo kairiau, tampa dešiniau, o kas buvo aukščiau, tampa žemiau. Atstumai langeliais lieka tie patys.
$A_2$ – 4 langeliais dešiniau ir 1 žemiau už O; $B_2$ – 2 dešiniau ir 3 žemiau; $C_2$ – 2 dešiniau ir 1 žemiau.
Patikriname: O turi būti atkarpos $AA_2$ vidurys. Nuo A iki O – 4 langeliai į dešinę ir 1 žemyn, nuo O iki $A_2$ – vėl 4 į dešinę ir 1 žemyn. Kur vaikai klysta: centrinę simetriją atlieka kaip atspindį tiesėje ir pakeičia tik vieną kryptį. Tada gaunamas trikampis $A_1B_1C_1$ , o ne $A_2B_2C_2$ .

Atsakymas: a) $A_1$ – 4 langeliais dešiniau ir 1 aukščiau už O, $B_1$ – 2 dešiniau ir 3 aukščiau, $C_1$ – 2 dešiniau ir 1 aukščiau. b) $A_2$ – 4 langeliais dešiniau ir 1 žemiau už O, $B_2$ – 2 dešiniau ir 3 žemiau, $C_2$ – 2 dešiniau ir 1 žemiau.

Vidutiniai

10. Taškas O – simetrijos centras. Taškas K yra 3 langeliais dešiniau ir 2 langeliais žemiau už O. Kur yra taškas $K_1$ , simetriškas taškui K taško O atžvilgiu? Keliais langeliais horizontaliai ir keliais vertikaliai $K_1$ nutolęs nuo K?

Rodyti atsakymą

Atsakymas: $K_1$ – 3 langeliais kairiau ir 2 langeliais aukščiau už O; nuo K jis nutolęs 6 langeliais horizontaliai ir 4 langeliais vertikaliai.

Sunkesni

11. Kurios iš šių figūrų turi simetrijos centrą? Pažymėk visas tinkamas. A) lygiagretainis B) lygiašonė trapecija C) taisyklingasis šešiakampis D) taisyklingasis penkiakampis E) rombas

Rodyti atsakymą

Atsakymas: A, C ir E.

Lygiagretainis ir rombas, pasukti pusę apsisukimo apie įstrižainių susikirtimo tašką, sutampa patys su savimi. Taisyklingojo šešiakampio viršūnės išsidėsčiusios poromis viena prieš kitą, todėl jis taip pat turi centrą. Taisyklingojo penkiakampio priešais kiekvieną viršūnę yra kraštinė, o ne viršūnė, todėl pasuktas pusę apsisukimo jis nesutampa pats su savimi. Lygiašonės trapecijos lygiagrečios kraštinės skirtingo ilgio: pasukus ilgoji atsidurtų ten, kur buvo trumpoji.

Dažnos klaidos su figūromis, kampais ir simetrija

Šias klaidas galima pastebėti iš vaiko piešinio ar atsakymo. Prie kiekvienos parašyta, kaip padėti.

Kraštinės skaičiuojamos pagal figūras, iš kurių daugiakampis „sudėtas“. Namelio formos penkiakampis palaikomas stačiakampiu ir trikampiu, todėl gaunamos 7 kraštinės, nors jų 5. Paprašykite vaiko apeiti figūrą pirštu ir kiekvieną kraštinę pažymėti brūkšneliu.
Kampo didumas vertinamas pagal kraštinių ilgį. Ilgomis kraštinėmis nubrėžtas smailusis kampas atrodo „didesnis“ už trumpomis kraštinėmis nubrėžtą bukąjį. Pratęskite trumpas kraštines: kampas nepasikeis, o vaikas pamatys, kad lemia tik tai, kiek kraštinės prasiskleidusios.
Stačiakampio įstrižainė laikoma simetrijos ašimi. Iškirpkite popierinį stačiakampį ir leiskite vaikui jį perlenkti per įstrižainę: kampai išlįs už kraštų.
Simetriška pusė nukopijuojama, o ne atspindima, arba langeliai skaičiuojami nuo lapo krašto, o ne nuo ašies. Priminkite, kad atstumas visada skaičiuojamas nuo ašies, o rezultatą patikrinkite veidrodėliu.
Matuojant matlankiu, skaitoma ne ta skalė, ir $50^\circ$ kampas užrašomas kaip $130^\circ$ . Prieš matuodamas vaikas tegul pasako, ar kampas smailusis, ar bukasis: smailiojo kampo atsakymas turi būti mažesnis už $90^\circ$ .
Painiojami plokštumos ir erdvės figūrų vardai: kubas vadinamas kvadratu, rutulys – apskritimu. Taisykite klausimu: „Kvadratas – tai kubo siena. O kaip vadinasi visas kubas?“

Kaip namie mokytis figūrų, kampų ir simetrijos

Geometrijai namie reikia popieriaus, žirklių ir trumpų pokalbių. Keli būdai, kaip padėti jūsų vaikui:

Lenkite ir karpykite. Iškirptą figūrą perlenkus iš karto matyti, ar linkis yra simetrijos ašis. Perlenkite lapą pusiau, tada dar kartą skersai ir iškirpkite figūrą iš kampo, kuriame susitinka abu linkiai. Išskleidę iškirptą dalį, gausite figūrą, turinčią bent dvi simetrijos ašis.
Pasidarykite kampainį. Bet kokį popieriaus lapą perlenkite – gausite tiesų linkį. Tada perlenkite dar kartą taip, kad abi pirmojo linkio dalys sugultų viena ant kitos. Kampas prie naujojo linkio bus statusis. Su tokiu kampainiu ieškokite namuose stačiųjų, smailiųjų ir bukųjų kampų.
Veidrodėlis. Pastatykite nedidelį veidrodėlį ant piešinio ašies: pusė piešinio kartu su atspindžiu turi sudaryti visą figūrą.
Simetrija aplink. Pasivaikščiodami paklauskite: kur šio lango ašis? Ar šis lapas simetriškas? Kodėl? Atsakymas „nes gražus“ dar nėra paaiškinimas, o „perlenkus pusės sutaptų“ – jau yra.
Languotas sąsiuvinis. Nupieškite pusę figūros prie ašies, o vaikas tegul ją užbaigia. Paskui susikeiskite vaidmenimis: tegul jis sugalvoja figūrą jums.
Tikslūs žodžiai. Kraštinė, viršūnė, kampas, spindulys, skersmuo – tegul vaikas juos vartoja pats, kai rodo figūrą pirštu.

Figūros, kampai ir simetrija per NMPP 4 ir NMPP 8

Šios temos uždavinių gali būti per du nacionalinius mokinių pasiekimų patikrinimus (NMPP): ketvirtokų (NMPP 4) ir aštuntokų (NMPP 8). Datas, vykdymo būdą, leidžiamas priemones ir patarimus, kaip ruoštis, rasite puslapiuose NMPP 4 klasei ir NMPP 8 klasei. Čia – tik tai, kas susiję su figūromis, kampais ir simetrija.

NMPP 4: kas gali būti. Pagal 2026 m. užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 1–3 klasių temų, o iš 4 klasės turinio neįtraukiama: erdvės figūros; duomenys ir jų interpretavimas; tikimybės ir jų interpretavimas. Vadinasi, per NMPP 4 gali būti viskas, ko apie plokštumos figūras, kampus ir simetriją mokomasi 1–4 klasėse, įskaitant 4 klasės lygias figūras ir trikampių rūšis.
NMPP 4: erdvės figūros. Iš erdvės figūrų neįtraukiama tik 4 klasės tema „Erdvės figūros“. Ankstesnių klasių erdvės figūrų uždavinių per NMPP 4 gali būti: kaip daiktas atrodo iš priekio, šono ir viršaus (1 kl.); kubas, stačiakampis gretasienis, kūgis, ritinys, rutulys (2 kl.); prizmė ir piramidė, jų viršūnės, briaunos, sienos ir išklotinės (3 kl.). Išklotinė – tai kūno paviršius, išskleistas ant lapo. Tokių užduočių rasite užduotyse 3 klasei, skyriuje „Kampai ir erdvės kūnai 3 klasei“.
NMPP 4: sritys. Taškai pagal sritis pasiskirsto taip: skaičiai ir skaičiavimai – 50 %, modeliai ir sąryšiai – 20 %, geometrija ir matavimai – 20 %, duomenys ir tikimybės – 10 % (orientaciniai, iki 5 proc. paklaida). Figūros, kampai ir simetrija priklauso sričiai „Geometrija ir matavimai“, kartu su ilgio, masės, laiko ir ploto matavimais.
NMPP 8. Laipsnių, matlankio, gretutinių ir kryžminių kampų bei simetrijos taško atžvilgiu mokomasi 5 klasėje. Šių temų per NMPP 4 nėra, bet per NMPP 8 gali būti. Pagal 2026 m. NMPP 8 užduoties aprašą gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės turinio neįtraukiama: transformacijos; braižymas; erdvės figūros; tūrio skaičiavimai; duomenys ir jų interpretavimas. Iš 8 klasės išbrauktos „transformacijos“ – tai vektoriai, o ne simetrija.
Nauji aprašai. 2026 m. spalio 1 d. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) paskelbė naujų NMPP užduočių aprašų projektus viešam derinimui. Kol jie nepatvirtinti, turinys čia aprašytas pagal 2026 m. aprašus.

NŠA: NMPP užduočių pradiniam ugdymui aprašas (PDF)
NŠA: matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (PDF)
emokykla.lt: Matematikos bendroji programa
NŠA: NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai viešam derinimui
Matematikos NMPP tėvams Kas laiko patikrinimus ir ką reiškia rezultatai

Po figūrų ir kampų: perimetras, plotas ir užduotys pagal klases

Kai vaikas tvirtai skiria figūras ir kampus, ateina skaičiavimai. Trečioje klasėje randamas daugiakampio perimetras, ketvirtoje – kvadrato ir stačiakampio plotas, o penktoje – stačiojo trikampio plotas. Apie tai rašoma ploto, perimetro ir tūrio puslapyje.

Užduočių iš visų temų rasite pagal klases: 2 klasei, 3 klasei, 4 klasei ir 5 klasei.

Matavimo vienetai Ilgis, masė, talpa ir laikas pradinėse klasėse
Visos matematikos temos Temos pagal programos sritis
Užduotys pagal klases Matematikos užduotys 1–8 klasei

Dažniausiai užduodami klausimai

Kas yra dvišalė simetrija?

Dvišale vadinama simetrija, kai daiktas ar gyva būtybė susideda iš dviejų veidrodinių pusių – kairės ir dešinės. Paveikslėlyje tas puses skiria viena ašis, o erdvėje – plokštuma. Tokia yra drugelio, vabalo ar žmogaus kūno sandara, žiūrint iš priekio, nors gamtoje abi pusės sutampa tik apytiksliai. Matematikoje tai atitinka figūrą, turinčią vieną simetrijos ašį, pavyzdžiui, lygiašonį trikampį ar aitvarą. Taigi dvišalė simetrija – tai ta pati simetrija ašies atžvilgiu, tik kalbant apie kūno ar daikto formą.

Kokias geometrines figūras turi atpažinti ketvirtokas?

Iš ankstesnių klasių – tašką, tiesę, spindulį, atkarpą, laužtę, daugiakampius ir jų kraštines, viršūnes bei kampus, kvadratą, stačiakampį, apskritimą ir skritulį, statųjį, smailųjį ir bukąjį kampus, lygiagrečias ir statmenas tieses. Ketvirtoje klasėje prisideda lygios figūros ir trikampių rūšys: pagal kraštines – įvairiakraštis, lygiašonis ir lygiakraštis, pagal kampus – smailusis, statusis ir bukasis. Iš erdvės figūrų ketvirtokas skiria kubą, stačiakampį gretasienį, prizmę, piramidę, ritinį ir kūgį ir sieja jas su išklotinėmis.

Ar figūrų spalvinimo lapai padeda mokytis geometrijos?

Mažesniems vaikams jie padeda įsiminti figūrų vardus ir formas. Tačiau spalvinant figūrų savybės lieka nepastebėtos, todėl verta pridėti klausimą: kiek šis daugiakampis turi kampų? Kur jo simetrijos ašis? Spalvinimą lengva paversti simetrijos užduotimi: tegul vaikas abiejose ašies pusėse simetriškas dalis nuspalvina ta pačia spalva. Jei spalvos nesueina, jis pats pastebės, kurios dalys nėra viena kitos atspindys.

Ką apie simetriją turi suprasti antrokas?

Antroje klasėje vaikas sužino, kas yra figūros simetrijos ašis, ir mokosi užbaigti simetrišką piešinį languotame ar taškuotame lape, kai ašis vertikali arba horizontali. Jis ieško simetriškų daiktų aplinkoje, gamtoje, pastatuose ir mene, rūšiuoja daugiakampius pagal simetrijos ašių skaičių ir aiškina, kodėl figūra yra simetriška arba nėra. Dvi atskiros figūros, simetriškos viena kitai, ateina trečioje klasėje, o simetrija taško atžvilgiu – penktoje.

Taip pat: Matematikos NMPP · Matematikos NMPP 4 klasei · Matematikos NMPP 8 klasei

Šaltiniai

NŠA, NMPP užduočių pradiniam ugdymui aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 5 p., 12 punktas; tikrinta 2026-10-09.
emokykla.lt, Matematikos bendroji programa, skyrius „Mokinių pasiekimų vertinimas“, išorinis apibendrinamasis vertinimas, NMPP 4 klasėje lentelė; 8 klasė, Geometrija ir matavimai → Konstravimas, transformacijos; tikrinta 2026-10-09.
NŠA, Matematikos NMPP 8 klasėje užduoties aprašas (VK-971, 2025-10-31 įsakymo Nr. VK-1115 redakcija), 2 p., 9 punktas; tikrinta 2026-10-09.
NŠA naujiena „Viešam derinimui – NMPP ir PUPP užduočių aprašų projektai“ (2026-10-01); tikrinta 2026-10-09.

Atnaujinta: 2026-10-10

Kaip rengiame turinį

Radai klaidą? Parašyk: info@exacta.lt