Matematikos formulės 7–8 klasei

Čia surinktos 7–8 klasių temų formulės: prie kiekvienos parašyta, kada ją taikyti, ir nuoroda į temą, kurioje ji paaiškinta. Matematikos NMPP laiko 4 ir 8 klasių mokiniai, todėl aštuntokams šios formulės praverčia ruošiantis patikrinimui.

7–8 klasių temos

Apskritimas ir skritulys 7–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Laipsniai 7 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Nelygybės 7–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Palūkanos 7, 10–11 klasė; NMPP 8, PUPP, VBE (B)
Prizmė ir piramidė 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. tūris), VBE
Ritinys, kūgis, rutulys 7–8 ir 12 klasė; NMPP 8 (7 kl. formulės), VBE
Daugianariai 8–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP; kubai – VBE A kursas
Kvadratinės lygtys 8–9 klasė, NMPP 8 (nepilnosios) ir PUPP
Lygčių sistemos 8–11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Pitagoro teorema 8 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Skaičių aibės ir modulis 8 ir 11 klasė, NMPP 8 ir VBE
Šaknys 8 ir 11 klasė, NMPP 8, PUPP ir VBE
Vektoriai 8 ir 11 klasė (A kursas), VBE

Apskritimas ir skritulys

Formulė	Kada taikyti
$C = 2\pi R$	Apskritimo ilgis, kai žinomas spindulys: kai $R = 5$ , $C = 10\pi$ .Išmok mintinai · Plačiau: Apskritimas ir skritulys
$C = \pi d$	Apskritimo ilgis, kai žinomas skersmuo: kai $d = 8$ , $C = 8\pi$ . Iš jos $d = \frac{C}{\pi}$ .Išmok mintinai · Plačiau: Apskritimas ir skritulys
$S = \pi R^2$	Skritulio plotas, kai žinomas spindulys: kai $R = 3$ , $S = 9\pi$ .Išmok mintinai · Plačiau: Apskritimas ir skritulys
$S = \frac{\pi d^2}{4}$	Skritulio plotas, kai žinomas tik skersmuo: kai $d = 10$ , $S = \frac{100\pi}{4} = 25\pi$ . Tai tas pats kaip $\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$ .Išmok mintinai · Plačiau: Apskritimas ir skritulys
$C_{\text{išpj.}} = \frac{2\pi R}{360} \cdot \alpha$	Išpjovos lanko ilgis, kai žinomi spindulys ir centrinis kampas: kai $R = 6$ , $\alpha = 60^\circ$ , lankas $\frac{12\pi}{360} \cdot 60 = 2\pi$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Apskritimas ir skritulys
$S_{\text{išpj.}} = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha$	Išpjovos plotas, kai žinomi spindulys ir centrinis kampas: kai $R = 6$ , $\alpha = 60^\circ$ , plotas $\frac{36\pi}{360} \cdot 60 = 6\pi$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Apskritimas ir skritulys
$S_{\text{išpj.}} = \frac{1}{2} C_{\text{išpj.}} \cdot R$	Išpjovos plotas, kai žinomi lanko ilgis ir spindulys, o kampo nereikia (įrodyta toliau): kai lankas $2\pi$ , o $R = 6$ , plotas $\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot 6 = 6\pi$ .Išmok mintinai · Plačiau: Apskritimas ir skritulys
$S_{\text{žiedo}} = \pi \left(R^2 - r^2\right)$	Žiedo tarp dviejų apskritimų su tuo pačiu centru plotas: $R$ – išorinio, $r$ – vidinio apskritimo spindulys. Kai $R = 5$ , $r = 3$ , plotas $\pi(25 - 9) = 16\pi$ .Išmok mintinai · Plačiau: Apskritimas ir skritulys

Laipsniai

Formulė	Kada taikyti
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}, \qquad a^1 = a$	Laipsnio apibrėžimas, kai rodiklis natūralusis. Išskleidęs laipsnį į sandaugą, gali patikrinti bet kurią taisyklę mažais skaičiais.Išmok mintinai · Plačiau: Laipsniai
$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$	Dauginant laipsnius su tuo pačiu pagrindu: pagrindas lieka tas pats, rodikliai sudedami.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Laipsniai
$a^n : a^m = a^{n-m}$	Dalijant laipsnius su tuo pačiu pagrindu ( $a \neq 0$ ): iš dalinio rodiklio atimamas daliklio rodiklis.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Laipsniai
$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$	Kai laipsnis skliaustuose dar keliamas laipsniu: rodikliai sudauginami.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Laipsniai
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$	Kai pagrindai skirtingi, o rodikliai vienodi: pagrindus galima sudauginti po vienu rodikliu.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Laipsniai
$a^n : b^n = (a : b)^n$	Kai rodikliai vienodi ir dalijama ( $b \neq 0$ ). Pagal ją laipsniu keliama ir trupmena.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Laipsniai
$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$	Kai rodiklis lygus nuliui.Išmok mintinai · Plačiau: Laipsniai
$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \; (a \neq 0)$	Kai rodiklis neigiamas: laipsnis perkeliamas į vardiklį su teigiamu rodikliu. Trupmenai: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$ (šios formos lape nėra).Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Laipsniai
$a \cdot 10^k, \qquad 1 \le a < 10, \; k \text{ sveikasis}$	Standartinė skaičiaus išraiška: kai reikia užrašyti, palyginti ar sudauginti labai didelius ar labai mažus skaičius.Išmok mintinai · Plačiau: Laipsniai

Nelygybės

Formulė	Kada taikyti
$a < b \;\Rightarrow\; a + c < b + c$	Perkeliant narius: pridėti ar atimti galima bet kokį skaičių, ženklas nesikeičia.Išmok mintinai · Plačiau: Nelygybės
$a < b,\ c > 0 \;\Rightarrow\; ac < bc$	Dauginant ar dalijant iš teigiamo skaičiaus, pavyzdžiui, šalinant vardiklius, ženklas nesikeičia.Išmok mintinai · Plačiau: Nelygybės
$a < b,\ c < 0 \;\Rightarrow\; ac > bc$	Dauginant ar dalijant iš neigiamo skaičiaus, ženklas keičiamas priešingu: $<$ į $>$ , $\le$ į $\ge$ .Išmok mintinai · Plačiau: Nelygybės
$a < b,\ b < c \;\Rightarrow\; a < c$	Lyginant tris dydžius. Todėl galima rašyti trumpai: $a < b < c$ (dviguboji nelygybė).Išmok mintinai · Plačiau: Nelygybės

Palūkanos

Formulė	Kada taikyti
$S_n = S_0 \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$	Kai dydis $n$ kartų iš eilės padidėja arba sumažėja tuo pačiu procentu, kaskart nuo naujos reikšmės.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Palūkanos
$\text{palūkanos} = S_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n$	Kai palūkanos paprastosios ir klausiama, kiek jų susidarys per $n$ metų.Išmok mintinai · Plačiau: Palūkanos
$S_n = S_0 \left(1 + \frac{p \cdot n}{100}\right)$	Kai palūkanos paprastosios ir klausiama visos sumos po $n$ metų.Išmok mintinai · Plačiau: Palūkanos
$S = S_0 \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot t}$	Kai metinė norma yra $p$ %, bet palūkanos pridedamos $m$ kartų per metus (kas mėnesį $m = 12$ ), o $t$ – metų skaičius.Išmok mintinai · Plačiau: Palūkanos

Prizmė ir piramidė

Formulė	Kada taikyti
$V = S H$	Bet kurios prizmės tūris. Stačiojoje prizmėje aukštinė lygi šoninei briaunai.Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$S_{\text{šon}} = P \cdot H$	Stačiosios prizmės šoninis paviršius: išklotinėje šoninės sienos sudaro vieną stačiakampį, kurio kraštinės $P$ ir $H$ .Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$S_{\text{pav}} = S_{\text{šon}} + 2S$	Visas prizmės paviršius: šoninis paviršius ir du pagrindai.Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$V = \frac{1}{3} S H$	Bet kurios piramidės tūris. Ši formulė yra ir A kurso formulių lape.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$S_{\text{šon}} = \frac{1}{2} P h$	Taisyklingosios piramidės šoninis paviršius: $n$ vienodų trikampių, kurių kiekvieno plotas $\frac{1}{2} a h$ .Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$S_{\text{pav}} = S_{\text{šon}} + S$	Visas piramidės paviršius: piramidė turi tik vieną pagrindą.Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$\begin{gathered} h^2 = H^2 + r^2 \\ l^2 = H^2 + R^2 \\ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \end{gathered}$	Trys statieji trikampiai taisyklingojoje piramidėje: kai žinomi du kurio nors iš jų dydžiai, trečiasis randamas pagal Pitagoro teoremą.Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$\begin{gathered} S_{\text{prizmės}} = a\sqrt{2} \cdot H \\ S_{\text{piramidės}} = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot H \end{gathered}$	Taisyklingosios keturkampės prizmės ir piramidės įstrižinio pjūvio plotas; $a\sqrt{2}$ – pagrindo įstrižainė.Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$S_x = S \cdot \left(\frac{x}{H}\right)^2$	Piramidės pjūvis, lygiagretus pagrindui ir nutolęs nuo viršūnės atstumu $x$ (A kursas).Išmok mintinai · Plačiau: Prizmė ir piramidė
$V = \frac{1}{3} H \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)$	Nupjautinės piramidės tūris: $S_1$ ir $S_2$ – pagrindų plotai, $H$ – atstumas tarp pagrindų (A kursas).Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Prizmė ir piramidė

Ritinys, kūgis, rutulys

Formulė	Kada taikyti
$V = \pi R^2 H$	Ritinio tūris: pagrindo plotas $\pi R^2$ , padaugintas iš aukštinės.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$S_{\text{šon}} = 2\pi R H$	Ritinio šoninis paviršius; išklotinė – stačiakampis $2\pi R \times H$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$S_{\text{pav}} = 2\pi R H + 2\pi R^2$	Visas ritinio paviršius: šonas ir du pagrindai. Atviram indui pridedamas tik vienas pagrindas.Išmok mintinai · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$	Kūgio tūris; čia $H$ – aukštinė, ne sudaromoji.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$S_{\text{šon}} = \pi R l$	Kūgio šoninis paviršius; čia $l$ – sudaromoji.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$S_{\text{pav}} = \pi R l + \pi R^2$	Visas kūgio paviršius: šonas ir pagrindas.Išmok mintinai · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$l^2 = R^2 + H^2$	Kai žinomi du iš trijų kūgio dydžių $R$ , $H$ , $l$ , o reikia trečiojo.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$S = 4\pi R^2$	Rutulio paviršiaus (sferos) plotas.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$	Rutulio tūris.Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$S_{\text{šon}} = \pi (R + r)\, l$	Nupjautinio kūgio šoninis paviršius; $R$ ir $r$ – pagrindų spinduliai, $l$ – sudaromoji.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$V = \frac{1}{3}\pi H \left(R^2 + Rr + r^2\right)$	Nupjautinio kūgio tūris; $H$ – atstumas tarp pagrindų.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$l^2 = H^2 + (R - r)^2$	Nupjautinio kūgio sudaromoji iš ašinio pjūvio trapecijos.Išmok mintinai · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$r = \sqrt{R^2 - d^2}$	Rutulio pjūvio spindulys, kai plokštuma nutolusi nuo centro atstumu $d$ .Išmok mintinai · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$S_{\text{šon}} = 2\pi R H$	Rutulio nuopjovos lenktas paviršius; $R$ – rutulio spindulys, $H$ – nuopjovos aukštinė.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys
$V = \frac{1}{3}\pi H^2 (3R - H)$	Rutulio nuopjovos tūris.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Ritinys, kūgis, rutulys

Daugianariai

Formulė	Kada taikyti
$ab + ac = a(b + c)$	Kai visi nariai turi bendrą daugiklį: iškelk jį prieš skliaustus.Išmok mintinai · Plačiau: Daugianariai
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$	Kai dauginami du dvinariai: kiekvienas narys dauginamas iš kiekvieno.Išmok mintinai · Plačiau: Daugianariai
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	Kai dvinaris su pliusu keliamas kvadratu arba trinaryje atpažįsti sumos kvadratą.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Daugianariai
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	Kai dvinaris su minusu keliamas kvadratu arba išskiriamas dvinario kvadratas.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Daugianariai
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$	Kai dviejų reiškinių suma dauginama iš jų skirtumo arba skaidomas kvadratų skirtumas.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Daugianariai
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$	Kai skaidomas kvadratinis trinaris, kurio $D \geq 0$ ; $x_1$ ir $x_2$ – jo šaknys.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$	A kursas: kai dvinaris keliamas kubu.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Daugianariai
$(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3$	A kursas: kai skaidoma kubų suma arba kubų skirtumas.Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Daugianariai

Kvadratinės lygtys

Formulė	Kada taikyti
$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$	Standartinis pavidalas. Prieš taikydamas kitas formules, perkelk visus narius į vieną pusę ir užsirašyk $a$ , $b$ , $c$ su jų ženklais.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$D = b^2 - 4ac$	Diskriminantas. Jį apskaičiuoti – pirmas pilnosios lygties žingsnis: jo ženklas parodo, ar sprendinių bus du, vienas, ar nė vieno.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$\begin{gathered} x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \end{gathered}$	Sprendiniai, kai $D \ge 0$ . Kai $D = 0$ , abu sutampa; kai $D < 0$ , realiųjų sprendinių nėra.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$\begin{gathered} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{gathered}$	Vieto teorema: greita rastų sprendinių patikra, o kai $a = 1$ ir sprendiniai sveikieji – būdas juos atspėti be diskriminanto. Lape jos nėra, bet mokėti nebūtina: bet kurią lygtį išspręsi sprendinių formule.Plačiau: Kvadratinės lygtys
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$	Trinario skaidymas dauginamaisiais, kai lygtis turi sprendinių: praverčia prastinant algebrines trupmenas ir sprendžiant nelygybes.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$ax^2 + bx = 0 \;\Rightarrow\; x(ax + b) = 0$	Nepilnoji lygtis be laisvojo nario: iškelk $x$ prieš skliaustus; vienas sprendinys visada $x = 0$ .Išmok mintinai · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$x^2 = d, \; d > 0 \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{d}$	Nepilnoji lygtis be nario su $x$ : kai $d > 0$ , du priešingi sprendiniai; kai $d = 0$ , vienas; kai $d < 0$ , nė vieno.Išmok mintinai · Plačiau: Kvadratinės lygtys

Lygčių sistemos

Formulė	Kada taikyti
$\begin{gathered} x = py + q,\quad ax + by = c \\ \Downarrow \\ a(py + q) + by = c \end{gathered}$	Keitimo būdas: kai viena lygtis jau išreiškia nežinomąjį, įstatyk tą reiškinį į kitą lygtį, būtinai skliaustuose. Pavyzdžiui, iš $x = 2y + 1$ ir $3x + 4y = 23$ gaunama $3(2y + 1) + 4y = 23$ .Išmok mintinai · Plačiau: Lygčių sistemos
$\begin{gathered} A = B,\quad C = D \\ \Downarrow \\ A + C = B + D \end{gathered}$	Sudėties būdas: kai prie to paties nežinomojo koeficientai priešingi arba juos tokius gali padaryti, padaugindamas visą lygtį iš skaičiaus, nelygaus nuliui. Pavyzdžiui, sudėjus $x + y = 5$ ir $2x - y = 1$ , gaunama $3x = 6$ .Išmok mintinai · Plačiau: Lygčių sistemos
$\begin{gathered} y = f(x),\quad y = g(x) \\ \Downarrow \\ f(x) = g(x) \end{gathered}$	Sulyginimo būdas: kai abi lygtys išreiškia tą patį nežinomąjį, sulygink tas išraiškas.Išmok mintinai · Plačiau: Lygčių sistemos
$\begin{gathered} y = k_1x + b_1,\quad y = k_2x + b_2 \\ k_1 \neq k_2 \text{: vienas sprendinys} \\ k_1 = k_2,\ b_1 \neq b_2 \text{: sprendinių nėra} \\ k_1 = k_2,\ b_1 = b_2 \text{: be galo daug} \end{gathered}$	Kai nori sužinoti, kiek sprendinių turi tiesinių lygčių sistema: abiejose lygtyse išreikšk $y$ ir palygink koeficientus. Pavyzdžiui, $y = 3x + 1$ ir $y = -x + 5$ : koeficientai $3$ ir $-1$ skirtingi, todėl sprendinys vienas.Išmok mintinai · Plačiau: Lygčių sistemos
$\begin{gathered} x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\ D = b^2 - 4ac \end{gathered}$	9–10 klasės sistemose: įstačius tiesinės lygties išraišką į antrojo laipsnio lygtį, gaunama kvadratinė lygtis $ax^2 + bx + c = 0$ , $a \neq 0$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Kvadratinės lygtys
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$	11 klasė, A kursas: apskritimo su centru $(a; b)$ ir spinduliu $r$ lygtis, kurios sprendiniai yra visi apskritimo taškai.Išmok mintinai · Plačiau: Lygčių sistemos

Pitagoro teorema

Formulė	Kada taikyti
$c^2 = a^2 + b^2$	Bet kuriame stačiajame trikampyje: $c$ – įžambinė, $a$ ir $b$ – statiniai.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$	Kai žinomi abu statiniai ir reikia įžambinės.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$a = \sqrt{c^2 - b^2}$	Kai žinoma įžambinė ir vienas statinis, o reikia kito statinio.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$	Kai reikia atstumo tarp taškų $A(x_1; y_1)$ ir $B(x_2; y_2)$ koordinačių plokštumoje.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$d = \sqrt{a^2 + b^2}$	Stačiakampio, kurio kraštinės $a$ ir $b$ , įstrižainė.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema
$d = a\sqrt{2}$	Kvadrato, kurio kraštinė $a$ , įstrižainė.Išmok mintinai · Plačiau: Pitagoro teorema

Skaičių aibės ir modulis

Formulė	Kada taikyti
$a \in A,\quad a \notin A$	Apie vieną skaičių: $\sqrt{3} \in \mathbb{I}$ , bet $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$ .Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$A \subset B$	Apie dvi aibes: kiekvienas $A$ elementas yra ir $B$ , pavyzdžiui, $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ .Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\varnothing$	Tuščioji aibė: taip užrašomas atsakymas, kai sprendinių nėra.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$2n,\quad 2n - 1,\quad n \in \mathbb{N}$	Lyginių ir nelyginių natūraliųjų skaičių aibės, užrašytos reiškiniu.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$5k + 2,\quad k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$	A kursas: skaičiai $2; 7; 12; \ldots$ , kuriuos dalijant iš 5 lieka 2. Užrašas $\mathbb{N} \cup \{0\}$ reiškia natūraliuosius skaičius ir nulį. Nulio reikia, kitaip dingtų pats skaičius 2.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$A \cup B$	Sąjunga: kai sąlygoje „arba“.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$A \cap B$	Sankirta: kai sąlygoje „ir“.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$A \setminus B$	Skirtumas: kai sąlygoje „bet ne“.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) \\ &\quad - n(A \cap B) \end{aligned}$	Kai skaičiuojamas dviejų baigtinių aibių sąjungos elementų skaičius.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\|{-a}\| = \|a\|$	Priešingų skaičių moduliai lygūs.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\|a - b\| = \|b - a\|$	Atstumas tarp taškų $a$ ir $b$ nepriklauso nuo to, kurį skaičių atimi iš kurio.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\|a\|^2 = a^2,\quad \sqrt{a^2} = \|a\|$	Kai keliama kvadratu arba šaknis traukiama iš kvadrato: rezultatas niekada nebūna neigiamas.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\|a \cdot b\| = \|a\| \cdot \|b\|,\quad \|a : b\| = \|a\| : \|b\|$	A kursas: sandaugos ir dalmens ( $b \ne 0$ ) modulis.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\sqrt[2n]{a^{2n}} = \|a\|,\quad n \in \mathbb{N}$	A kursas: lyginio laipsnio šaknis iš lyginio laipsnio, pavyzdžiui, $\sqrt[4]{(-2)^4} = 2$ .Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\begin{gathered} \|f(x)\| = a,\ a > 0: \\ f(x) = a \text{ arba } f(x) = -a \end{gathered}$	Kai dešinėje teigiamas skaičius. Jei skaičius neigiamas, sprendinių nėra.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\begin{gathered} \|f(x)\| = g(x): \\ f(x) = \pm g(x),\ \ g(x) \ge 0 \end{gathered}$	Kai dešinėje reiškinys su nežinomuoju: gautus sprendinius patikrink sąlyga $g(x) \ge 0$ .Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\begin{gathered} \|f(x)\| < a,\ a > 0: \\ -a < f(x) < a \end{gathered}$	Kai modulis mažesnis už teigiamą skaičių: atsakymas – vienas intervalas.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis
$\begin{gathered} \|f(x)\| > a,\ a > 0: \\ f(x) < -a \text{ arba } f(x) > a \end{gathered}$	Kai modulis didesnis už teigiamą skaičių: atsakymas – dviejų intervalų sąjunga.Išmok mintinai · Plačiau: Skaičių aibės ir modulis

Šaknys

Formulė	Kada taikyti
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$	Dauginant kvadratines šaknis arba skaidant pošaknį; galioja, kai $a \ge 0$ ir $b \ge 0$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$	Dalijant kvadratines šaknis; galioja, kai $a \ge 0$ ir $b > 0$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$	Dauginant kubines šaknis; tinka bet kokiems skaičiams.Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a : b}$	Dalijant kubines šaknis; galioja, kai $b \neq 0$ .Yra PUPP formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\sqrt{a^2} = \|a\|$	Traukiant šaknį iš kvadrato, kai skaičius gali būti neigiamas.Išmok mintinai · Plačiau: Šaknys
$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$	Įkeliant daugiklį po šaknimi arba iškeliant jį; galioja, kai $a \ge 0$ ir $b \ge 0$ .Išmok mintinai · Plačiau: Šaknys
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$	Dauginant to paties laipsnio šaknis; kai $n$ lyginis, $a \ge 0$ ir $b \ge 0$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$	Dalijant to paties laipsnio šaknis; $b \neq 0$ , o kai $n$ lyginis, dar $a \ge 0$ ir $b > 0$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$	Traukiant šaknį iš šaknies: šaknų laipsniai sudauginami. Kai bent vienas laipsnis lyginis, $a \ge 0$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}$	Keliant šaknį laipsniu: laipsniu galima kelti pošaknį. Kai $n$ lyginis, $a \ge 0$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Šaknys
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$	Verčiant laipsnį su trupmeniniu rodikliu šaknimi arba atvirkščiai; $a > 0$ .Yra VBE B kurso formulių lape · Plačiau: Šaknys
$\frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{a}$	Kai vardiklyje yra viena kvadratinė šaknis; $a > 0$ .Išmok mintinai · Plačiau: Šaknys
$\frac{c}{\sqrt{a} - b} = \frac{c\left(\sqrt{a} + b\right)}{a - b^2}$	Kai vardiklyje yra šaknies ir skaičiaus skirtumas. Jei vardiklyje $\sqrt{a} + b$ , daugink iš $\sqrt{a} - b$ : vardiklis vis tiek bus $a - b^2$ . Galioja, kai $a \ge 0$ ir $a \neq b^2$ .Išmok mintinai · Plačiau: Šaknys

Vektoriai

Formulė	Kada taikyti
$\vec{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$	Iš pabaigos $B$ koordinačių atimk pradžios $A$ koordinates.Išmok mintinai · Plačiau: Vektoriai
$\begin{gathered} \vec a \pm \vec b = (x_1 \pm x_2;\ y_1 \pm y_2) \\ k\vec a = (kx_1;\ ky_1) \end{gathered}$	Veiksmas atliekamas su kiekviena koordinate atskirai.Išmok mintinai · Plačiau: Vektoriai
$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$	Vektoriaus ilgiui rasti (Pitagoro teorema).Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Pitagoro teorema
$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= x_1 x_2 + y_1 y_2 \\ &= \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cos \alpha \end{aligned}$	Skaliarinei sandaugai rasti iš koordinačių arba iš ilgių ir kampo. Iš jos randamas ir kampas: $\cos\alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec a\| \cdot \|\vec b\|}$ .Yra VBE A kurso formulių lape · Plačiau: Vektoriai
$\vec a \cdot \vec a = \lvert \vec a \rvert^2$	Kai reikia sumos ar skirtumo ilgio be koordinačių: pakelk vektorių kvadratu.Išmok mintinai · Plačiau: Vektoriai
$x_1 y_2 = x_2 y_1$	Vektoriai kolinearūs, kai jų koordinatės proporcingos. Ši lygybė tai patikrina be dalybos, todėl tinka ir tada, kai kuri nors koordinatė lygi nuliui.Išmok mintinai · Plačiau: Vektoriai
$x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$	Nenuliniai vektoriai statmeni tada ir tik tada, kai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui.Išmok mintinai · Plačiau: Vektoriai

Temos, kurių pradedama mokytis anksčiau

Šių temų mokomasi ir šiose klasėse, bet jų formulių lentelės yra žemesnių klasių formulių puslapiuose, nes jų pradedama mokytis anksčiau.

Diagramos ir dažnių lentelės 2–7 klasė, NMPP 4 ir NMPP 8
Lygtys 5–7 klasė, NMPP 8
Procentai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Tekstiniai uždaviniai 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Trikampis 5–10 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Vidurkis, mediana ir moda 5–8 klasė; NMPP 8 – 5–7 klasių dalis
Keturkampiai 6–9 klasė, NMPP 8 ir PUPP
Proporcijos 6–7 klasė, NMPP 8

Taip pat: Matematikos formulės pagal klases · 5–6 klasių formulių lentelės · 9–10 klasių formulių lentelės

Šaltiniai

ŠMSM, 2026–2027 mokslo metų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų tvarkaraštis ir vykdymo būdas, 1 p.; tikrinta 2026-10-09.